Referncia Base: Engenharia de
Controle Moderno 3 edio Katsuhiko Ogata Pearson Prenice
Hall, 2000
5 Capitulo
Erro de Estado Estacionrio
Emerson Lus Alberti
Objetivos
Determinar o erro no regime estacionrio de um sistema com realimentao unitria;
Especificar o desempenho do erro em regime estacionrio de um sistema;
Determinar o erro no regime estacionrio de sistemas decorrente de perturbaes na
entrada;
Determinar o erro no regime estacionrio de sistemas com realimentao no-unitria;
Determinar os parmetros de um sistema de modo a atender s especificaes do
desempenho para o erro em regime
estacionrio.
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A. Conceitos Bsicos;
B. Erro estacionrio em funo da Funo de Transferncia
de Malha Fechada;
C. Erro estacionrio em funo da Malha Direta.
Contedo
Professor Emerson Lus Alberti 3
1) OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. So Paulo:
Prentice Hall, 3. Edio, 2000.
2) BOLTON, W.. Engenharia de Controle. 1 Ed. S.P.:
Makron, 1995;
3) FRANKLIN, Gene. Feedback Control of Dynamic
Systems. 3 Ed. U.S.A.: Addison-Wesley, 1995;
4) NISE, Norman. Control System Engineering. 3 Ed.
U.S.A.: John Wiley, 2000.
Bibliografia Recomendada
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Conceitos Bsicos
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Definio
Conceitos Bsicos
Definimos como estado estacionrio, um sistema que apresenta seu sinal de
sada constante para qualquer tempo.
Transitrio Estacionrio Permanente
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Conceitos Bsicos
Definio
Por consequncia erro de estado estacionrio a diferena entre entrada e
sada, de um sinal de excitao conhecido, aps passar um determinado tempo
que permita ao sistema ter estabilizado (t ).
F(s)
E(s) R(s) C(s) )()()( sRsCsE
Estacionrio Permanente
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Definio
Conceitos Bsicos
Para tanto foi criado em controle, excitaes padro, que permitam comparar
sistemas semelhantes, mas no iguais, e classificar sua performance em funo
de seu erro de estado estacionrio. obvio que sistemas operam com
excitaes quaisquer que se faa necessria, mas as excitaes padro, servem
apenas para permitir comparaes de sistemas. So os chamados sinais de
teste.
G(s) R(s) C(s)
a) Impulso;
b) Degrau;
c) Rampa;
d) Parbola de
Acelerao.
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Conceitos Bsicos
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Aplicabilidade a Sistemas de Controle
Conceitos Bsicos
Estando em busca da diferena entre entrada e sada de um sistema
realimentado, aps atingir o estado estacionrio, nosso estudo ir se limitar a
sistemas estveis, como em todos os outros captulos, ou seja, quando a
resposta natural tender a zero, quando t .
Observe que as expresses deduzidas para o clculo do erro estacionrio,
podem eternamente ser aplicadas a sistemas instveis, sem que se perceba o
erro, pois a matemtica aplicada a erro de estado estacionrio no leva em conta
a estabilidade do sistema.
Portanto, aps o clculo de um erro desejado, devemos sempre verificar que,
para a condio imposta, no tenha sido perdida a estabilidade do sistema.
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Principais Fontes de Erro Estacionrio
Conceitos Bsicos
Diversos fatores causam erro estacionrio em sistemas de controle. Podemos
dizer que quase tudo impe erro a um sistema. Os mais comuns esto abaixo
apresentados.
Folga de engrenagens em sistemas mecnicos; Distoro por cross-over em amplificadores de potncia; Zona morta em motores de corrente continua; Saturao em amplificadores de potncia; Atrito mecnico em sistemas com movimentao.
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Exemplo
Conceitos Bsicos
Considere os dois diagramas de blocos abaixo, onde a diferena bsica entre
eles, est no ramo de malha direta, sendo um de ganho proporcional e o outro
com um ganho integrativo.
E(s) R(s) C(s) E(s) R(s) C(s)
Caso (1) Caso (2)
Ks
K
Excitamos ambos sistemas com um mesmo sinal de entrada, um degrau unitrio,
e vamos verificar que os sinais de sada so bastante distintos. O primeiro
apresenta um erro de estado estacionrio, possvel de ser calculado, enquanto o
segundo sistema apresenta erro nulo.
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Conceitos Bsicos
E(s) R(s) C(s)
Caso (1)
K
Exemplo Podemos definir que neste caso o erro
ser a diferena entre sada e entrada,
equacionando ento.
)()( sEksC
Para o estado estacionrio t , temos
)(sCk
erro 1
Observe que o erro menor quanto maior for o ganho do sistema, portanto
existe um erro de estado estacionrio, imposto pela funo de transferncia, que
neste caso inversamente proporcional ao ganho.
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Conceitos Bsicos
Exemplo
Existindo um bloco integrador no ramo
direto, por suas caractersticas
prprias, sempre que possuir um sinal
na entrada 0, sua sada ir acumular valores de forma crescente, neste
caso modificando nosso C(s).
E(s) R(s) C(s)
Caso (2)
s
K
Apenas quando C(s) e R(s) forem
iguais, ento o integrador ir parar de
acumular valores e a sada pode ser
considerada estabilizada.
Nesta mesma condio o erro de
estado estacionrio ser nulo, pois
entrada e sada so iguais.
Em resumo, para um sistema com um
integrador no ramo de avano o erro
ser nulo para um degrau de entrada.
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Conceitos Bsicos
Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta
Toda teoria de erro de estado estacionrio , na prtica, desenvolvida sobre o
malha direta de um sistema de controle e no sobre a funo de transferncia de
malha fechada. Assim, para o diagrama de blocos abaixo, que representa um
sistema realimentado, podemos calcular:
E(s) R(s) C(s) )(sG+
-
)()()( sGsEsC
)()()( sCsRsE
(1)
(2)
Substituindo (1) na (2), temos que:
)(
)()(
sG
sRsE
1
(3)
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Conceitos Bsicos
Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta
E(s) R(s) C(s) )(sG+
-
Da matemtica, aplicamos o
teorema do valor final, sem
esquecer de verificar as
condies de estabilidade da
planta para cada caso
calculado. Assim, temos:
)s(G1
)s(sRlim
)s(G1
)s(Rslim)(e
0s0s
)(l im)( sEses
0
(4)
(5)
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Conceitos Bsicos
Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta
Observe que o erro estacionrio, depende do ganho de malha direta G(s) e do
sinal de entrada, por este motivo eles so padronizados, permitindo comparar
sistemas de mesmo tipo.
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
32
111
sss,,Sinais Padronizados
a) Degrau;
b) Rampa;
c) Parbola de Acelerao.
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Conceitos Bsicos
Assim, os erros estacionrios podem ser ento calculados em funo da
entrada, conforme segue:
))((l im))((l im)(l im)(l im
)(l im
)(
)(l im)(
sGsGsGsGs
s
sG
ssRe
sss
sss
000
000 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta
- Entrada Degrau Unitrio: s
sR1
)(
))((l im)(
sGe
s 01
1
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Conceitos Bsicos
Assim, os erros estacionrios podem ser ento calculados em funo da
entrada, conforme segue:
)(l im)(l iml im))((l im
)(l im
)(l im
)(
)(l im)(
ssGssGssGssGs
sGs
s
sG
ssRe
sss
ssss
000
00
2
00
11
1
1
1
1
1
1
1
Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta
- Entrada Rampa Unitria: 2
1
ssR )(
))((l im)(
sGse
s 0
1
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Conceitos Bsicos
Assim, os erros estacionrios podem ser ento calculados em funo da
entrada, conforme segue:
)(l im)(l iml im))((l im
)(l im
)(l im
)(
)(l im)(
sGssGsssGssGs
sGs
s
sG
ssRe
sss
ssss 2
0
2
0
2
0
20
2
0
3
00
11
1
1
1
1
1
1
1
Erro de estado estacionrio em funo de G(s) Malha Direta
- Entrada Parbola Unitria: 3
1
ssR )(
))((l im)(
sGse
s
2
0
1
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Conceitos Bsicos
Resumindo o erro esttico ....
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
32
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sss,,
))((l im)(
sGe
s 01
1
))((l im)(
sGse
s 0
1
))((l im)(
sGse
s
2
0
1
Degrau
Rampa
Parbola
?
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Conceitos Bsicos
Exerccios
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Conceitos Bsicos
Exemplo:
Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e
5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.
E(s) R(s) C(s)
))((
)(
43
2120
ss
s+
-
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
Soluo:
1 - Certificar-se de que o sistema
estvel. Para isso aplica-se o arranjo
de Routh-Hurwitz:
Ok ! Sistema Estvel.
2 - Aplicar as entradas estabelecidas
para os erros no regime estacionrio.
2.1 Para a entrada 5u(t).
sstuLtuL
51555 ))(())((
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Conceitos Bsicos
Exemplo:
Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e
5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.
E(s) R(s) C(s)
))((
)(
43
2120
ss
s+
-
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
Soluo:
))((
)(l im)(
43
21201
5
0
ss
ss
se
s
)())((
))((l im)(
212043
435
0
sss
sse
s
%,,)( 8232380252
60e
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Conceitos Bsicos
Exemplo:
Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e
5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.
E(s) R(s) C(s)
))((
)(
43
2120
ss
s+
-
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
Soluo:
1 - Certificar-se de que o sistema
estvel. Para isso aplica-se o arranjo
de Routh-Hurwitz:
Ok ! Sistema Estvel.
2 - Aplicar as entradas estabelecidas
para os erros no regime estacionrio.
2.1 Para a entrada 5tu(t).
22
51555
ssttuLttuL ))(())((
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Conceitos Bsicos
Exemplo:
Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e
5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.
E(s) R(s) C(s)
))((
)(
43
2120
ss
s+
-
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
Soluo:
))((
)(l im)(
43
21201
52
0
ss
ss
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s
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))((l im)(
212043
435
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sse
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60)(
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Conceitos Bsicos
Exemplo:
Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e
5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.
E(s) R(s) C(s)
))((
)(
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2120
ss
s+
-
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
Soluo:
1 - Certificar-se de que o sistema
estvel. Para isso aplica-se o arranjo
de Routh-Hurwitz:
Ok ! Sistema Estvel.
2 - Aplicar as entradas estabelecidas
para os erros no regime estacionrio.
2.1 Para a entrada 5t2u(t).
33
22 102555ss
tutLtutL ))(())((
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Conceitos Bsicos
Exemplo:
Determine os erros para o regime estacionrio para as entradas 5u(t), 5tu(t) e
5t2u(t) no sistema abaixo. A funo u(t) o degrau unitrio.
E(s) R(s) C(s)
))((
)(
43
2120
ss
s+
-
)(
)(l im)(
sG
ssRe
s
10
Soluo:
))((
)(l im)(
43
21201
103
0
ss
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))((l im)(
212043
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2252
120
se )(
?
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