Cálculo II
Aula 3: Derivadas Parciais, interpretação geométrica. Funções de Mais do que Duas
Variáveis, Derivadas de Maior Ordem.
Índice temperatura-umidade
106
112
118
125
133
141
109 113 116 121 130 135 141 146
g´(96)
Tomando a média dos dois valores obtidos temos
(96) 3,75g
Índice temperatura-umidade
106
112
118
125
133
141
109 113 116 121 130 135 141 146
G´(70)
Tomando a média dos dois valores obtidos temos
(70) 0,9G
Definição
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e fy definidas por
0
( , ) ( , )( , ) limx
h
f x h y f x yf x y
h
0
( , ) ( , )( , ) limy
h
f x y h f x yf x y
h
Notações
Se z = f (x,y) escrevemos
( , )x xf x y f f
x
( , )f x y
x
z
x
1f 1D f xD f
( , )y yf x y ff
y
( , )f x y
y
z
y
2f 2D f yD f
Para calcular a derivada paracial
1. Para achar fx, olhe y como constante e
diferencie f (x,y) com relação a x.
2. Para achar fy, olhe x como constante e
diferencie f (x,y) com relação a y.
Exemplo 1
Se determine e 3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y (2,1)xf
(2,1)yf
Interpretação Geométrica
Exemplo 1
Se ache ee interprete esses números como
inclinações.
2 2( , ) 4 2f x y x y (1,1)xf (1,1)yf
Exemplo 1 fx
Exemplo 1 fx
Exemplo 1 fy
Exemplo 3
Se , calcule e . ( , ) sen1
xf x y
y
f
x
f
y
Exemplo 4
Determine e se z é definido
implicitamente pela equação
z
x
z
y
3 3 3 6 1x y z xyz
Funções de mais de uma variável
Se u é uma função de n variáveis,
, sua derivada parcial em
relação à i-ésima variável xi é1 2( , , )nu f x x x
1 1 1 1( , , , , , , ) ( , , , , )lim i i i n i n
hi
f x x x h x x f x x xu
x h
Exemplo 1
Determine , e se ( , , ) lnxyx y zf f f f x y z e z
Derivadas parciais de 2ª ordem
Se z = f (x,y) usamos as notações
x xf x xf 11f
f
x x
2
2
f
x
2
2
z
x
y yf yyf 22f
f
y y
2
2
f
y
2
2
z
y
y xf yxf 21f
f
x y
2 f
x y
2z
x y
x yf x yf 12f
f
y x
2 f
y x
2z
y x
Exemplo 2
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y
Gráfico de fx
Gráfico de fy
Gráfico de fxx
Gráfico de fxy = fyx
Gráfico de fyy
Teorema de Clairaut
Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contém o ponto (a,b). Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D, então
( , ) ( , )x y yxf a b f a b
Derivadas de ordem 3
xyyf x y yf
2 f
y y x
3
2
f
y x
Exemplo 3
Calcule se ( , , ) sen(3 ).xxyzf f x y z x yz
Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2