Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico
H. Dreifus1
1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo
Caixa Econômica Federal/2010
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico I
Mikosch T., Elementary Stochastic Calculus With Finance in View
1 Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico II3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)
Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Propriedades da Medida de Probabilidade
Para eventos A,B ∈ F
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
e, se A e B são disjuntos,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Além disto,
P(Ac) = 1− P(A), P(Ω) = 1 e P(∅) = 0
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Exemplos de Distribuições
Binomial
P(X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.
Normal
fX (x) =1√2πσ
exp−(x − µ)2
2σ2
, x ∈ R
Fx =
∫ x
−∞fX (y)dy
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Exemplos de Distribuições
Binomial
P(X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.
Normal
fX (x) =1√2πσ
exp−(x − µ)2
2σ2
, x ∈ R
Fx =
∫ x
−∞fX (y)dy
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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Vetores Aleatórios
X = (X1,X2, ...,Xn)
é um vetor aleatório n-dimensional se os seus componentesX1,X − 2, ...,Xn são variáveis aleatórias unidimensionais avalores reais.
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Exemplos:
FX1(x1) =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
fX (x)dx2dx3
fX (x) =1
(2π)n/2(detΣ)1/2 exp−1
2(x − µ)t Σ−1(x − µ)
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Correlação
corr(X1,X2) =cov(X1,X2)
σX1σX2
=E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
σX1σX2
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Independência e dependência
Dois eventos A1 e A2 são independentes se
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se
P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)
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Independência e dependência
Dois eventos A1 e A2 são independentes se
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se
P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)
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Independência e dependência
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R
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Independência e dependência
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R
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Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes,
EF (X1)G(X2) = EX1F (X1)EX2G(X2)
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Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.
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Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.
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Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.
Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.
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Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.
Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Processos Estocásticos.
DefiniçãoPasseio Aleatório
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Processos Estocásticos.
DefiniçãoPasseio Aleatório
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Definição
Um processo estocástico X é uma coleção de variáveisaleatórias
Xt , t ∈ T = Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Distribuição
As distribuições de dimensão finita (disfi) de um processoestocástico X são as distribuições dos vetores de dimensãofinita.
(Xt1 ...Xtn ), t1...tn2 ∈ T ,
para todas as escolhas possíveis dos instantes t1...tn ∈ T epara todo n ≥ 1.
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Exemplo
Processo Gaussiano
P(Xt1 ≤ x1, ...,Xtn ≤ xn) = P(Xt1 ≤ x1)...P(Xtn ≤ xn) =
= Φ(x1)...Φ(xn)
0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ T , (x1...xn) ∈ Rn.
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X e dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância e dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Estrutura de Dependência
Processos Estacionários
Um processo estocástico é dito ser estacionário se os difi’s sãoinvariantes por translações em t .
(Xt1 ...Xtn )d= (Xt1+δ...Xtn+δ)
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Estrutura de Dependência
Processos com Incrementos EstacionáriosSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estocástico e T ⊂ R umintervalo. Dizemos que X possui incrementos estacionários se
Xt − Xsd= Xt+δ − Xs+δ
para todo t , s ∈ T e δ, com t + δ, s + δ ∈ T X é dito possuirincrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ Tcom t1 < ... < tn e n ≥ 1,
Xt2 − Xt1 ...Xtn − Xtn−1
são variáveis aleatórias independentes.
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de Transição
Kjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(B) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos
pj(t + δ) =∑k∈Z
Kjkpk (t)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos
pj(t + δ) =∑k∈Z
Kjkpk (t)
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2K =
..
.0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
..
.
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pj(t + δ) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)
pj(t + δ)− pj(t) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)− pj(t)
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pj(t + δ) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)
pj(t + δ)− pj(t) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)− pj(t)
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Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
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Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
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Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
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Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
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Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
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p(t , x) =1
σ√
4πt
∫ ∞−∞
e−(x−y)2
4tσ2 p(0, y)dy
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Movimento Browniano.
Propriedades da definição
Processos derivados do movimento browniano
Simulações de caminhos amostrais brownianos
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Movimento Browniano.
Propriedades da definição
Processos derivados do movimento browniano
Simulações de caminhos amostrais brownianos
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Movimento Browniano.
Propriedades da definição
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Simulações de caminhos amostrais brownianos
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;
possui incrementos independentes e estacionários;
para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);
possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
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Movimento Browniano
As variáveis aleatórias Bt − Bs e Bt−s possuem umadistrobuição N(0, t − s) para s < t .
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Movimento Browniano
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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O movimento Browniano é um processo estocástico gaussianocaracterizado por:
µB(t) = 0
cB(s, t) = min(s, t)
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Auto-similaridade
Um processo estocástico (Xt , t ∈ [0,1)) é dito H-auto similarpara um dado H > 0 se os seus disfi’s satisfizerem à condiçãodada por
(T HBt1 ...THBtn )
d= (BTt1 ...BTtn )
para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1.
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Não diferenciabilidade
O movimento browniano é 0.5-auto-similar, i.e.,
(T 1/2Bt1 ...T1/2Btn )
d= (BTt1 ...BTtn )
para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1. Portanto, os caminhos amostrais não são diferenciáveisem parte alguma.
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Variação ilimitada
Os caminhos amostrais brownianos não possuem variaçãolimitada em nenhum intervalo finito [0,T ]. Isto significa que
supτ
n∑1
|Bti (ω)− Bti−1(ω)| =∞
onde o supremo é tomado sobre todas as partições possíveisτ : 0 = t0 < ... < tn = T do intervalo [0,T ].
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Processos Derivados do movimento Browniano
Movimento Browniano com drift
Xt = µt + σBt
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Movimento Browniano Geométrico
Xt = eµt+σBt
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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discreta
Sobre σ-álgebras
A esperança condicional geral
Regras para o cálculo da esperança condicional
A propriedade da projeção de esperanças condicionais
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A esperança condicional geral
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Sobre σ-álgebras
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Esperança condicional sob a condição discreta
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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
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Martingais.
Propriedades definidoras
Exemplos
A interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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Propriedades definidoras
Exemplos
A interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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Martingais.
Propriedades definidoras
Exemplos
A interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.
A integral de Riemann ordinária
A integral de Riemann-Stieltjes
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A integral de Ito.
Um exemplo motivador
A integral estocástica de Ito para processos simples
A integral estocástica geral de Ito
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Um exemplo motivador
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Um exemplo motivador
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
O lema de Ito.
A regra da cadeia clássica para a diferenciação
Uma versão simples do lema de Ito
Versões estendidas do lema de Ito
A integral de Stratonovich e outras integrais
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A regra da cadeia clássica para a diferenciação
Uma versão simples do lema de Ito
Versões estendidas do lema de Ito
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O que é uma equação diferencial estocástica?
Resolvendo EDEs usando o lema de Ito
Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich
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O que é uma equação diferencial estocástica?
Resolvendo EDEs usando o lema de Ito
Resolvendo equações diferenciais estocásticas de Ito atravésdo cálculo de Stratonovich
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
A equação diferencial linear geral.
Equações lineares com ruído aditivo
Equações homogêneas com ruído multiplicativo
O caso geral
As funções de esperança e variância da solução
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
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4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
A aproximação de Euler
A aproximação de Milstein
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A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.
Uma breve excursão através das finanças
O que é uma opção?
Uma formulação matemática do problema de apreçamento deopções
A fórmula de Black e Scholes
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A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
Uma técnica útil: a mudança de medida.
O que é a mudança da medida subjacente
Uma interpretação da fórmula de Black-Scholes pela mudançade medida
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