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Equações Diferenciais Ordinárias

Prof. Guilherme Jahnecke Weymar

AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DE 1ª ORDEM

Equações diferenciais de primeira ordeme Aplicações

Fonte:Boyce, Bronson, Zill, diversos internet

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MODELOS MATEMÁTICOS Problema de física

Equação Diferencial

Elaborar pressuposiçõe

s e aproximações

razoáveis

Identificar variáveis

importantes

Aplicar as leis físicas relevantes

Solução do problema

Aplicar as condições

iniciais e de contorno

Aplicar uma técnica de

solução

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Queda livre de objetosO objetivo é saber qual

velocidade irá atingir o solo!

Lei Física: 2ª Lei de Newton

∑𝑖𝐹 𝑖=𝐹𝑅=¿𝑚 .𝑎¿

𝑃=−𝑚 .𝑔=𝑚 .𝑑𝑣𝑑𝑡

Aproximação

+

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Queda livre de objetos

−𝑔=𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑣 (𝑡=0 )=𝑣0

Condição Inicial

Solução....

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Queda livre de objetosConsiderando a resistência do ar sobre o

paraquedista!

Lei Física: 2ª Lei de Newton

∑𝑖𝐹 𝑖=𝐹𝑅=¿𝑚 .𝑎¿

𝑃 −𝐹 𝑎𝑟=𝑚 .𝑔−𝑘𝑣2=𝑚 . 𝑑𝑣𝑑𝑡

+

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Queda livre de objetos

Exemplo....

𝑚 .𝑔−𝑘𝑣2=𝑚 . 𝑑𝑣𝑑𝑡

Observação:

𝑚 .𝑔−𝑘𝑣=𝑚 . 𝑑𝑣𝑑𝑡

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Corrente em circuito RL

𝒊 (𝒕 )

Comportamento da corrente em um circuito

composto por um Resistor (R) e um Indutor (I),

alimentado por uma fonte de tensão (E)

Diz: Diferença de potencial em um circuito fechado é igual à soma das voltagens em cada componente do circuito.

2ª Lei de Kirchhoff

𝐸 (𝑡 )=𝑉 𝑅+𝑉 𝐼

E=𝑖 (𝑡 ) .𝑅+𝐿 .𝑑𝑖 (𝑡)𝑑𝑡

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Corrente em circuito RL

Solução....

E=𝑖 (𝑡 ) .𝑅+𝐿 .𝑑𝑖 (𝑡 )𝑑𝑡

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Diluição de soluçõesProblema:

Determinar a quantidade dessa substância num instante futuro

Lei de Conservação

de Massa

Volume de Controle

𝑑𝑄 (𝑡)𝑑𝑡 =𝑡𝑎𝑥𝑎𝑑𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑑𝑒𝑠𝑎 í 𝑑𝑎

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Diluição de soluções

𝑑𝑄 (𝑡)𝑑𝑡 =𝑐 .𝑎−𝑄(𝑡 )

𝑉 0.𝑎

- quantidade da substância no instante .Taxa de entrada da substância = recebe uma solução ( da substância por litro de solução) a uma razão de . Taxa de saída da substância = solução formada () a uma razão de .

Aproximações: - O mecanismo de agitação no reservatório mantém

homogênea a solução que vai sendo formada.- A razão de entrada é a mesma razão de saída. Não

se altera o volume dentro do volume de controle!

Solução....

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Diluição de soluçõesLei de Torricelli: A velocidade v do fluxo de água de um buraco estreito na base do tanque preenchido com uma profundidade h é igual à velocidade que um corpo adquiriria caindo livremente a partir da altura h.

Calcular a profundidade h de água remanescente no

tanque no instante t.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑞𝑢𝑒𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒=𝑣 . 𝐴hVolume de Controle

𝑑𝑉𝑑𝑡 =−𝑣 .𝐴h=𝐴h .√2h𝑔

𝑑 (h𝐴¿¿𝑤)𝑑𝑡 =− 𝐴h .√2h𝑔→

𝑑h𝑑𝑡 =−

𝐴h

𝐴𝑤.√2h𝑔¿

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Resfriamento de um corpo:Modelo simplificado para o fenômeno da variação de temperatura num corpo por perda de calor para o meio ambiente. Um corpo sem fonte interna de calor deixado em um ambiente com temperatura , sua temperatura tende a entrar em equilíbrio com a .Hipóteses:- Temperatura é a mesma em todo o corpo e depende apenas do

tempo. - é constante com o tempo, e é a mesma para qualquer ponto no

ambiente.- Fluxo de calor através das paredes do corpo é proporcional a

diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente.

𝑑𝑇𝑑𝑡 =−𝑘 .(𝑇 −𝑇 𝑎𝑚𝑏)

- constante que depende das propriedades físicas do corpo.Calor flui da Fonte Quente para Fonte Fria

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Decaimento RadioativoNúcleo de um átomo composto de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações são instáveis. Os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância. Núcleos são chamados de radioativos.

Fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade de substância remanescente no instante .

𝒅𝑨(𝒕 )𝒅𝒕 ∝ 𝑨 (𝒕 )→ 𝒅𝑨 (𝒕 )

𝒅𝒕 =𝜶 .𝑨 (𝒕 )

–constante de decaimento da substância.

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Dinâmica Populacional1ª Tentativa de modelagem de crescimento populacional humano (Thomas Malthus, 1798).

Taxa segundo qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à

população total do país naquele instante.

– população no instante t.

𝒅 𝑷 (𝒕 )𝒅𝒕 ∝𝑷 (𝒕 )→ 𝒅𝑷 (𝒕 )

𝒅𝒕 =𝒌 .𝑷 (𝒕 )

Modelo não leva em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana. (emigração e imigração)