Introdução às Equações Diferenciais

1C A P Í T U L O

Introdução àsEquações Diferenciais

O objetivo deste curto capítulo é duplo: introduzir a terminologia básica das equações diferenciais e investigar superficialmente como as equações diferenciais surgem como uma tentativa de descrever ou modelar fenômenos físicos em termos matemáticos.

Descrição do capítulo

1.1 Definições e terminologia1.2 Problemas de valor inicial1.3 Equações diferenciais como modelos matemáticos

Exercícios de revisão

18 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais

1.1 Definições e terminologia

Introdução � As palavras diferencial e equação certamente sugerem a solução de algum tipo de equação que contenha derivadas. Porém, antes que comecemos a re-solver qualquer coisa, precisamos aprender algumas das definições e terminologias básicas deste assunto.

Uma definição � A derivada dy/dx de uma função y � f(x) é por si própria uma outra função f¿(x) determinada por uma regra apropriada. Por exemplo, a função y � e0,1x2

é diferenciável no intervalo (�q, q), sendo sua derivada dada por dy/dx � 0,2xe0,1x2

. Se substituirmos e0,1x2 pelo símbolo y, obtemos

(1)

Imagine agora que um amigo seu simplesmente tenha entregue a você a equação dife-rencial indicada em (1), e que você não tenha idéia de como ela foi construída. Seu ami-go pergunta: qual é a função representada pelo símbolo y? Você está agora em frente a um dos problemas básicos de um curso de equações diferenciais: como resolver tal equação para a função incógnita y � f(x)? O problema é de certo modo equivalente ao problema inverso do cálculo diferencial: dada uma derivada, determine uma anti-derivada.

Antes de prosseguirmos mais além, vamos apresentar uma definição mais preci-sa do conceito de uma equação diferencial.

Equação diferencialUma equação que contenha as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é dita ser uma equação dife-rencial (ED).

D E F I N I Ç Ã O 1 . 1

A fim de estudarmos essas equações, elas serão classificadas por tipo, ordem e linearidade.

Classificação por tipo � Se uma equação contiver apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO). Por exemplo,

(2)

são equações diferenciais ordinárias. Uma equação envolvendo derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é deno-minada uma equação diferencial parcial (EDP). Por exemplo,

(3)

são equações diferenciais parciais.

Notação � Ao longo deste texto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a notação de Leibniz dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, ..., ou a notação prima y¿, y–, y‡,... Utili-zando-se a última notação, as duas primeiras equações diferenciais em (2) podem ser escritas de forma um pouco mais compacta como y¿ � 5y � ex e y– � y¿ � 6y � 0. Na verdade, a notação prima é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas; a quarta derivada é escrita y(4) em vez de y. Em geral, a derivada de ordem n é dny/dxn

ou y(n). Apesar de ser menos conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz é mais vantajosa em relação à notação prima pelo fato de apresentar de modo mais claro tanto as variáveis dependentes como as variáveis independentes. Por exemplo,

1.1 Definições e Terminologia 19

na equação diferencial d2x/dt2 � 16x � 0, percebe-se imediatamente que o símbolo x agora representa uma variável dependente, enquanto a variável independente é t. Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de Newton (destacada de modo pejorativo por alguns como a notação “excremento de mosca”) é algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a equação diferencial d2s/dt2 � �9,81 se escreve � �9,81. Derivadas parciais são freqüentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis independentes. Por exemplo, a primeira e a segunda equações em (3) podem ser es-critas, respectivamente, como uxx � uyy � 0 e uxx � utt � 2ut.

Classificação por ordem � A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) corresponde à ordem da mais alta derivada na equação. Por exemplo,

é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial M(x, y)dx � N(x, y)dy � 0. Por exemplo, se considerarmos que y representa a variável dependente em (y � x)dx � 4xdy � 0, então y¿ � dy/dx, e dividindo-se pelo elemento diferencial dx obtemos a forma alternativa 4xy¿ � y � x. Veja as Observações ao final desta seção.

Em símbolos, podemos expressar uma equação diferencial ordinária de ordem n com uma variável dependente pela forma geral

(4)

onde F é uma função de valores reais com n � 2 variáveis: x, y, y¿, ..., y(n). Por razões práticas e teóricas, também adotaremos daqui por diante a hipótese de que é possível resolver uma equação diferencial ordinária da forma (4) unicamente para a derivada mais elevada y(n) em termos das n�1 variáveis restantes. A equação diferencial

(5)

onde f é uma função contínua de valor real, é referida como a forma padrão de (4). Portanto, quando for conveniente para os nossos propósitos, utilizaremos as formas normais

para representar equações diferenciais ordinárias gerais de primeira e segunda ordem. Por exemplo, a forma padrão da equação de primeira ordem 4xy¿ � y � x é y¿ � (x � y)/4x. Veja as Observações.

Classificação por linearidade � Uma equação diferencial ordinária de ordem n (4) é linear se F for linear em y, y¿, ..., y(n). Isto significa que uma EDO de ordem n é linear quando (4) for an(x)y(n) � an�1(x)y(n�1) � ... � a1(x)y¿ � a0(x)y � g(x) � 0 ou

(6)

Dois casos especiais e importantes de (6) se referem às EDs de primeira ordem linear (n � 1) e de segunda ordem linear (n � 2):

(7)

Com a combinação aditiva no lado esquerdo de (6), temos que as duas propriedades características de uma EDO linear são:


A variável dependente • y e todas as suas derivadas y¿, y–, ..., y(n) são de primeiro grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1.Os coeficientes • a0, a1, ..., an de y, y¿, ..., y(n) dependem no máximo da variável independente x.

As equações

são equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens, respec-tivamente. Acabamos de demonstrar que a primeira equação é linear na variável y escrevendo-a na forma alternativa 4xy¿ � y � x. Uma equação diferencial ordinária não-linear é simplesmente uma equação que não seja linear. Funções não-lineares da variável dependente ou suas derivadas, como sen y ou ey¿, não podem existir em uma equação linear. Portanto,

são exemplos de equações diferenciais ordinárias não-lineares de primeira, segunda e quarta ordem, respectivamente.

Solução � Conforme declarado anteriormente, um dos nossos objetivos nesse cur-so é resolver – ou determinar soluções de – equações diferenciais. A seguir, definimos o conceito de solução de uma equação diferencial ordinária.

Solução de uma EDOQualquer função f, definida em um intervalo I e possuindo ao menos n derivadas contínuas em I, que quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduz a equação a uma identidade, é dita ser uma solução da equação no intervalo.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 2

Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n (4) é uma função f que tem ao menos n derivadas e

Dizemos que f satisfaz a equação diferencial em I. Para os nossos propósitos, con-sideraremos também que uma solução f é uma função com valores reais. Em nossa discussão inicial, já tínhamos visto que y � e0,1x2

é uma solução de dy/dx � 0,2xy no intervalo (�q,q).

Ocasionalmente, será conveniente indicar uma solução pelo símbolo alternativo y(x).

Intervalo de definição � Não se pode considerar uma solução de uma equação diferencial ordinária sem pensar simultaneamente em um intervalo. O intervalo I na Definição 1.2 é denominado de diversas maneiras, como o intervalo de definição, o intervalo de existência, o intervalo de validade, ou o domínio da solução, podendo ser um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (a, q), e assim por diante.

Exemplo 1 Verificação de uma solução

Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no inter-valo (�q,q).

(a) dy/dx � xy1/2; y � x4/16 (b) y– � 2y¿ � y � 0; y � xex

Lembre-se destas duas características

de uma EDO linear.


Solução � Uma forma de verificar que a função dada é uma solução é notar, após a substituição, se cada lado da equação é o mesmo para todo x no intervalo.

(a) A partir do

vemos que cada membro da equação é igual para todo número real x. Observe que y1/2 � x2/4 é, por definição, a raiz quadrada não-negativa de x4/16.

(b) A partir das derivadas y¿ � xex � ex e y– � xex � 2ex temos, para todo número real x,

❑

Observe também que, no Exemplo 1, cada equação diferencial possui a solução constante y � 0, �q � x � q. Uma solução de uma equação diferencial que seja identicamente zero em um intervalo I é dita ser uma solução trivial.

Curva solução � O gráfico de uma solução f de uma EDO é denominado curva solução. Como f é uma função diferenciável, ela é contínua no seu intervalo de defini-ção I. Assim, pode existir uma diferença entre o gráfico de uma função f e o gráfico de uma solução f. Escrito de outra forma, o domínio da função f não precisa ser igual ao intervalo I de definição (ou domínio) da solução f. O Exemplo 2 ilustra a diferença.

Exemplo 2 Função versus solução

Considerado simplesmente como uma função, o domínio de y � 1/x é o conjunto de to-dos os números reais x exceto 0. Quando geramos o gráfico y � 1/x, traçamos pontos no plano xy que correspondem a uma amostragem ponderada de números tomados a partir desse domínio. A função racional y � 1/x é descontínua em 0, e seu gráfico, na região próxima da origem, é apresentado na Figura 1.1(a). A função y � 1/x não é diferenciável em x � 0, pois o eixo y (cuja equação é x � 0) é uma assíntota vertical do gráfico.

Agora, y � 1/x também é uma solução da equação diferencial de primeira ordem linear xy¿ � y � 0 (verifique). Porém, quando dizemos que y � 1/x é uma solução desta ED, significa que ela é uma função definida em um intervalo I no qual ela é diferenciável e satisfaz a equação. Em outras palavras, y � 1/x é uma solução da ED em qualquer intervalo que não contenha 0, tal como (�3, �1), ( , 10), (�q, 0) ou (0, q). Como as curvas solução definidas por y � 1/x nos intervalos �3 � x � �1 e � x � 10 são simplesmente segmentos ou partes das curvas solução definidas por y

� 1/x em �q � x � 0 e 0 � x � q, respectivamente, faz sentido adotar o intervalo I tão extenso quanto possível. Assim, tomaríamos I como sendo (�q, 0) ou (0, q). A curva solução em (0, q) é mostrada na Figura 1.1(b). ❑

Soluções explícitas e implícitas � Você já deve estar familiarizado com os ter-mos funções explícitas e implícitas do curso de cálculo. Uma solução na qual a variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e constantes é dita ser uma solução explícita. Para os nossos propósitos, vamos imaginar a solução explícita como uma fórmula explícita y � f(x) que podemos manipular, calcular e diferenciar aplicando as regras padrões. Vimos nos últimos dois exemplos que y � x4/16, y � xex e y � 1/x são, respectivamente, soluções ex-plícitas de dy/dx � xy1/2, y– � 2y¿ � y � 0 e xy¿ � y � 0. Além disso, a solução tri-vial y � 0 é uma solução explícita de todas as três equações. Veremos que quando formos de fato resolver algumas equações diferenciais ordinárias tais métodos de solução nem sempre resultarão em uma solução explícita y � f(x). Isto é particu-larmente válido quando se tenta resolver equações diferenciais de primeira ordem não-lineares. Muitas vezes temos que nos contentar com uma relação ou expressão G(x, y) � 0 que define uma solução f implicitamente.

y

x1

1

y

x1

1

(a) Função y � 1/x, x � 0

(b) Solução y � 1/x, (0, q)

Figura 1.1 A função y � 1/x não é igual à solução y � 1/x.


Solução implícita de uma EDOUma relação G(x, y) � 0 é dita ser uma solução implícita de uma equação diferen-cial ordinária (4) em um intervalo I desde que exista pelo menos uma função f que satisfaça tanto a relação como a equação diferencial em I.

D E F I N I Ç Ã O 1 . 3

Está além do escopo deste texto investigar as condições sob as quais uma rela-ção G(x, y) � 0 define uma função diferenciável f. Assim, consideraremos que se a implementação formal de um método de solução resulta em uma relação G(x, y) � 0, existe ao menos uma função f que satisfaz tanto a relação (isto é, G(x, f(x)) � 0) como a equação diferencial em um intervalo I. Se a solução implícita G(x, y) � 0 for razoavelmente simples, podemos ser capazes de resolver y em termos de x e obter uma ou mais soluções explícitas. Veja as Observações.

Exemplo 3 Verificação de uma solução implícita

A relação x2 � y2 � 25 é uma solução implícita da equação diferencial

(8)

no intervalo �5 � x � 5. Por diferenciação implícita, obtemos

Resolvendo a última equação para o símbolo dy/dx, obtemos (8). Além disso, resolver

x2 � y2 � 25 para y em termos de x resulta em . As duas funções

e satisfazem a relação (isto é, x2 � f1

2 � 25 e x2 � f22 � 25) e são soluções explícitas definidas no intervalo �5 �

x � 5. As curvas solução indicadas na Figura 1.2(b) e 1.2(c) são partes do gráfico da solução implícita na Figura 1.2(a). ❑

Qualquer relação da forma x2 � y2 � c � 0 satisfaz formalmente (8) para qual-quer constante c. Entretanto, sabe-se que a relação deve sempre fazer sentido para os sistema de números reais; assim, por exemplo, não podemos dizer que x2 � y2 � 25 � 0 é uma solução implícita da equação. Por que não?

Como a distinção entre uma solução explícita e uma solução implícita deve estar intuitivamente clara, nós não insistiremos nessa questão dizendo sempre “Aqui está uma solução explícita (implícita)”.

Família de soluções � O estudo das equações diferenciais é similar àquele do cál-culo integral. Em alguns textos, uma solução f é algumas vezes referida como uma integral da equação, e seu gráfico é denominado uma curva integral. Quando se calcula uma antiderivada ou uma integral indefinida no cálculo, utilizamos uma única constante c de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação di-ferencial de primeira ordem F(x, y, y¿) � 0, usualmente obtemos uma solução conten-do uma constante arbitrária ou um parâmetro c. Uma solução contendo uma constante arbitrária representa um conjunto G(x, y, c) � 0 de soluções denominadas família de soluções de um parâmetro. Quando resolvemos uma equação diferencial de ordem n F(x, y, y¿, ..., y(n)) � 0, buscamos uma família de soluções de n parâmetros G(x, y, c1, c2, ..., cn) � 0. Isto significa que uma única equação diferencial pode possuir um número infinito de soluções correspondentes ao número ilimitado de escolhas para o(s) parâmetro(s). Uma solução de uma equação diferencial que seja livre de parâmetros arbitrários é designada como solução particular. Por exemplo, a família de um parâmetro y � cx � x cos x é uma solução explícita da equação de primeira ordem linear xy¿ � y � x2sen x no intervalo (�q,q) (verifique). A Figura 1.3, obtida por meio de um programa gráfico, mostra os gráficos de algumas das soluções dessa

5–5

(b) Solução explícita5

x

y

–5

5

–5

x

y5

(c) Solução explícita

y2 = –√

y1 = √25 �x2, �5 � x � 5

(a) Solução implícita

5

–5

x

y

–5

5

x2 � y2 � 25

25 �x2, �5 � x � 5

Figura 1.2 Uma solução implícita e duas soluções explícitas de (8).


família. A solução y � �x cos x, a curva colorida na figura, é uma solução particular que corresponde a c � 0. De modo similar, no intervalo (�q, q), y � c1e

x � c2xex é uma família de soluções de dois parâmetros (verifique) da equação de segunda ordem linear y– � 2y¿ � y � 0 no Exemplo 1. Algumas soluções particulares da equação são a solução trivial y � 0 (c1 � c2 � 0), y � xex (c1 � 0, c2 � 1), y � 5ex � 2xex (c1 � 5, c2 � �2), e assim por diante.

Em todos os exemplos anteriores, utilizamos x e y para denotar as variáveis inde-pendente e dependente, respectivamente. Porém, devemos nos acostumar a ver e tra-balhar com outros símbolos para expressar estas variáveis. Por exemplo, poderíamos escrever a variável independente como t e a variável dependente como x.

Exemplo 4 Utilizando símbolos diferentes

As funções x � c1 cos 4t e x � c2 sen 4t, onde c1 e c2 são constantes ou parâmetros arbitrários, são ambas soluções da equação diferencial linear

x– � 16x � 0.

Para x � c1 cos 4t, as primeiras duas derivadas em relação a t são x¿ � �4c1 sen 4t e x– � �16c1 cos 4t. Substituindo x– e x, temos

x– � 16x � �16c1 cos 4t � 16(c1 cos 4t) � 0.

De modo similar, para x � c2 sen 4t, temos x– � �16c2 sen 4t, e portanto

x– � 16x � �16c2 sen 4t � 16(c2 sen 4t) � 0.

Finalmente, é simples verificar que a combinação linear das soluções para a família de dois parâmetros x � c1 cos 4t � c2 sen 4t é também uma solução da equação diferencial. ❑

O próximo exemplo mostra que uma solução de uma equação diferencial pode ser uma função definida por partes.

Exemplo 5 Solução definida por partes

Verifique que a família de um parâmetro y � cx4 consiste em uma família de um pa-râmetro de soluções da equação diferencial xy¿ � 4y � 0 no intervalo (�q,q). Veja a Figura 1.4(a). A função diferenciável definida por partes

é uma solução particular da equação. Porém, ela não pode ser obtida a partir da fa-mília y � cx4 por uma única escolha de c; a solução é construída a partir da família adotando-se c � �1 para x � 0 e c � 1 para x � 0. Veja a Figura 1.4(b). ❑

Solução singular � Em alguns casos, a equação diferencial possui uma solução que não é um membro da família de soluções da equação, ou seja, a solução não pode ser obtida especificando-se qualquer dos parâmetros na família de soluções. Tal so-lução extra é denominada uma solução singular. Por exemplo, vimos que e y � 0 são soluções da equação diferencial dy/dx � xy1/2 em (�q,q). Na Seção 2.2, demonstraremos, resolvendo-a de fato, que a equação diferencial dy/dx � xy1/2 pos-sui a família de um parâmetro de soluções . Quando c � 0, a solução particular resultante é . Observe, porém, que a solução trivial y � 0 é uma solução singular, pois ela não é um membro da família ; não há como determinar um valor para a constante c de modo que se obtenha y � 0.

Sistemas de equações diferenciais � Até este ponto, viemos discutindo equações diferenciais únicas contendo uma função incógnita. Entretanto, muitas vezes na teo-ria, assim como em muitas aplicações, teremos que trabalhar com sistemas de equa-

y

x

c � 0

c � 0

c � 0

Figura 1.3 Algumas soluções de xy¿ � y � x2sen x.

x

y

x

y

(a)

(b)

c � 1

c � �1

c � 1,x � 0

c � �1,x � 0

Figura 1.4 Algumas soluções de xy¿ � 4y � 0.


ções diferenciais. Um sistema de equações diferenciais ordinárias é constituído por duas ou mais equações que envolvem as derivadas de duas ou mais funções incóg-nitas de uma única variável independente. Por exemplo, se x e y denotam variáveis dependentes e t é a variável independente, então um sistema com duas equações dife-renciais de primeira ordem é dado por

(9)

Uma solução de um sistema definido como (9) é um par de funções diferenciáveis x � f1(t), y � f2(t) definido em um intervalo comum I que satisfaz cada equação do siste-ma neste intervalo. Veja os Problemas 33 e 34 nos Exercícios 1.1.

Observações

(i) Algumas poucas palavras adicionais a respeito de soluções implícitas de equações diferenciais são apresentadas. No Exemplo 3, fomos capazes de resolver a relação x2 �

y2 � 25 para y em termos de x, obtendo duas soluções explícitas,

e , da equação diferencial (8). Porém, não se atenha muito a esse exemplo. A não ser que seja fácil, óbvio ou importante, ou que você seja ins-truído a fazê-lo, usualmente não há necessidade de se tentar resolver uma solução implícita G(x, y) � 0 para y explicitamente em termos de x. Também, não interprete de modo incorreto a segunda sentença que se segue à Definição 1.3. Uma solução implícita G(x, y) � 0 pode definir uma função f satisfatoriamente diferenciável que seja uma solução de uma ED, porém podemos não ser capazes de resolver G(x, y) � 0 utilizando métodos analíticos como a álgebra. A curva solução de f pode ser uma parte do gráfico de G(x, y) � 0. Veja os Problemas 41 e 42 nos Exercícios 1.1. Além disso, leia a discussão que se segue ao Exemplo 4 na Seção 2.2.(ii) Apesar do conceito de solução ter sido enfatizado nesta seção, deve-se ter cons-ciência que uma ED não necessariamente tem que possuir uma solução. Veja o Pro-blema 35 nos Exercícios 1.1. A questão a respeito da existência da solução será dis-cutida na próxima seção.(iii) Pode não ser claro se uma EDO de primeira ordem escrita na forma diferencial M(x, y)dx � N(x,y) dy � 0 é linear ou não-linear, pois não existe nada nesta forma que nos indique qual símbolo se refere à variável dependente. Veja os Problemas 9 e 10 nos Exercícios 1.1.(iv) Pode não parecer grande problema assumir que F(x, y, y¿, ..., y(n)) � 0 pode ser resolvida para y(n), porém deve-se ter um pouco de cuidado nesse ponto. Existem ex-ceções e certamente existem alguns problemas associados a esta consideração. Veja os Problemas 48 e 49 nos Exercícios 1.1.(v) Se toda solução de uma EDO de ordem n F(x, y, y¿, ..., y(n)) � 0 em um intervalo I pode ser obtida a partir de uma família de n parâmetros G(x, y, c1, c2, ..., cn) � 0 por escolhas apropriadas dos parâmetros ci, i � 1, 2, ..., n, dizemos então que a família é a solução geral da ED. Na resolução das EDO lineares, imporemos restrições relativa-mente simples aos coeficientes da equação; com essas restrições, pode-se assegurar que não apenas uma solução existe no intervalo, como também que a família de soluções permite todas as soluções possíveis. Equações não-lineares, com a exceção de algumas EDs de primeira ordem, são usualmente difíceis ou mesmo impossíveis de serem resol-vidas em termos de funções elementares familiares: combinações finitas de potências inteiras de x, raízes, exponenciais e funções logarítmicas, funções trigonométricas e tri-gonométricas inversas. Além disso, se obtivermos uma família de soluções para uma equação não-linear, não será claro se esta família conterá todas as soluções. Em um nível prático, então, a designação “solução geral” é aplicada apenas para ED lineares. Não se preocupe a respeito deste conceito agora, mas guarde as palavras “solução geral” em sua mente – retornaremos a esta notação na Seção 2.3 e novamente no Capítulo 3.

Introdução às Equações Diferenciais 25

Nos Problemas 1-8, indique a ordem da equação diferencial ordinária dada. Determine se a equação é linear ou não-linear comparando-a com (6).

1. (1 � x)y– � 4xy¿ � 5y � cos x

2.

3. t5y(4) � t3y– � 6y � 0

4.

5.

6.

7. (sen u)y‡ � (cos u)y¿ � 2

8.

Nos Problemas 9 e 10, determine se a equação diferencial de primeira ordem apresentada é linear na variável dependente in-dicada comparando-a com a primeira equação diferencial dada em (7).

9. (y2 � 1) dx � x dy � 0; em y; em x

10. udv � (v � uv � ueu) du � 0; em v; em u

Nos Problemas 11-14, verifique que a função indicada é uma so-lução explícita da equação diferencial dada. Assuma um interva-lo aproximado I de definição para cada solução.

11. 2y¿ � y � 0; y � e�x/2

12.

13. y– � 6y¿ � 13y � 0; y � e3x cos 2x

14. y– � y � tg x; y � �(cos x) ln(sec x � tg x)

Nos Problemas 15-18, verifique que a função indicada y � f(x) é uma solução explícita da equação diferencial de primeira ordem dada. Procedendo como no Exemplo 2, considerando f simples-mente como uma função, dê o seu domínio. Então, considerando f como uma solução da equação diferencial, defina ao menos um intervalo I de definição.

15.

16. y¿ � 25 � y2; y � 5 tg 5x

17. y¿ � 2xy2; y � 1/(4 � x2)

18. 2y¿ � y3 cos x; y � (1 � sen x)�1/2

Nos Problemas 19 e 20, verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dada. Determine pelo menos uma solução explícita y � f(x) em cada caso. Utilize um programa gráfico para obter o gráfico de uma solução explícita. Defina um intervalo I de definição para cada solução f.

19.

20. 2xy dx � (x2 � y) dy � 0; �2x2y � y2 � 1

Nos Problemas 21-24, verifique que a família de funções indi-cadas é uma solução da equação diferencial dada. Assuma um intervalo de definição I apropriado para solução.

21.

22.

23.

24.

25. Verifique que a função definida por partes

é uma solução da equação diferencial xy¿ � 2y � 0 em (�q,q).

26. No Exemplo 3, vimos que y � f1(x) � e y � f2(x)

� são soluções de dy/dx � �x/y no intervalo (�5,5). Explique por que a função definida por partes

não é uma solução da equação diferencial no intervalo (�5,5).

27. Determine valores de m para os quais a função y � emx é uma solução da equação diferencial dada. Explique seu ra-ciocínio.

(a) y¿ � 2y � 0

(b) y– � 5y � 6y � 0

28. Determine valores de m para os quais a função y � xm é uma solução da equação diferencial dada. Explique seu raciocí-nio.

(a) xy– � 2y¿ � 0

(b) x2y– � 7xy¿ � 15y � 0

Nos Problemas 29-32, utilize o conceito que y � c, �q � x � q, é uma função constante se e somente se y¿ � 0 para determi-nar se a equação diferencial dada possui soluções constantes.

29. 3xy¿ � 5y � 10

30. y � y2 � 2y � 3

31. (y � 1)y¿ � 1

32. y– � 4y¿ � 6y � 10

EXERCÍCIOS 1.1 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 319.

26 Matemática Avançada para Engenharia

Nos Problemas 33 e 34, verifique que o par indicado de funções é uma solução do sistema dado de equações diferenciais no in-tervalo (�q,q).

33.

34.

Problemas para discussão 35. Crie uma equação diferencial que não tenha nenhuma solu-

ção real.

36. Crie uma equação diferencial que tenha somente a solução trivial y � 0. Explique o seu raciocínio.

37. Qual é função do cálculo cuja primeira derivada é ela pró-pria? E cuja primeira derivada é um múltiplo constante k dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equa-ção diferencial de primeira ordem com uma solução.

38. Qual função (ou funções) você conhece do cálculo cuja segunda derivada é ela própria? E cuja segunda derivada é o negativo dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de segunda ordem com uma solução.

39. Dado que y � sen x é uma solução explícita da equação di-

ferencial de primeira ordem , determine um

intervalo I de definição. [Dica: I não é o intervalo �q � x � q].

40. Discuta por que é intuitivo considerar que a equação dife-rencial linear y– � 2y¿ � 4y � 5 sen t tenha uma solução da forma y � A sen t � Bcos t, onde A e B são constantes. A seguir, especifique constantes A e B de modo que y � Asen t � Bcos t seja uma solução particular da ED.

Nos Problemas 41 e 42, a figura indicada representa o gráfico de uma solução implícita G(x, y) � 0 de uma equação diferencial dy/dx � f(x, y). Em cada caso, a relação G(x, y) � 0 define impli-citamente diversas soluções da ED. Reproduza cuidadosamente cada figura em um pedaço de papel. Use cores diferentes para marcar segmentos ou partes de cada gráfico que correspondam a gráficos de soluções. Tenha em mente que uma solução f precisa ser uma função diferenciável. Utilize a curva solução para esti-mar o intervalo I de definição de cada solução f.

41.

x

y

1

1

Figura 1.5 Gráfico para o Problema 41.

42.

1

1x

y


43. Os gráficos dos membros da família de um parâmetro x3 � y3 � 3cxy são denominados círculo de Descartes. Verifique que esta família é uma solução implícita da equação diferen-cial de primeira ordem

44. O gráfico da Figura 1.6 é membro da família do círculo do Problema 43 que corresponde a c � 1. Discuta: como a ED no Problema 43 pode auxiliar na determinação de pontos no gráfico x3 � y3 � 3xy onde a reta tangente é vertical? Como o conhecimento do local no qual a reta tangente é vertical pode auxiliar na determinação de um intervalo I de definição de uma solução f da ED? Apresente suas idéias e compare com as suas estimativas dos intervalos no Problema 42.

45. No Exemplo 3, o maior intervalo I sobre o qual as soluções y � f1(x) e y � f2(x) são definidas corresponde ao intervalo aberto (�5, 5). Por que o intervalo de definição I não pode ser o intervalo fechado [�5, 5]?

46. No Problema 21, uma família de soluções de um parâmetro da ED P¿ � P(1 � P) é apresentada. Alguma curva solução passa pelo ponto (0,3)? E pelo ponto (0,1)?

47. Discuta e ilustre com exemplos como resolver equações di-ferenciais da forma dy/dx � f(x) e d2y/dx2 � f(x).

48. A equação diferencial x(y¿)2 � 4y¿ � 12x3 � 0 tem a forma indicada em (4). Determine se a equação pode ser colocada na forma normal dy/dx � f(x, y).

1.2 Problemas de Valor Inicial 27

49. A forma normal (5) de uma equação diferencial de ordem n é equivalente a (4) não importando se ambas as formas têm exatamente a mesma solução. Crie uma equação diferencial de primeira ordem para a qual F(x, y, y¿) � 0 não é equiva-lente à forma normal dy/dx � f(x,y).

50. Determine uma equação diferencial de segunda ordem li-near F(x, y, y¿, y–) � 0 na qual y � c1x � c2x

2 é uma famí-lia de soluções de dois parâmetros. Tenha certeza que a sua equação seja livre dos parâmetros arbitrários c1 e c2.

Informações qualitativas a respeito de uma solução y � f(x) de uma equação diferencial podem muitas vezes ser obtidas a partir da própria equação. Antes de trabalhar com os Problemas 51-54, recorde o significado geométrico das derivadas dy/dx e d2y/dx2.

51. Considere a equação diferencial dy/dx � e�x2.

(a) Explique por que uma solução da ED tem que ser uma função crescente em qualquer intervalo do eixo x.

(b) O que são e ? O que isso sugere

a respeito de uma curva solução quando x→ � q?

(c) Determine um intervalo sobre o qual uma curva solu-ção é côncava para baixo e um intervalo sobre o qual a curva é côncava para cima.

(d) Esboce o gráfico de uma solução y � f(x) da equação diferencial cujo formato é sugerido pelos itens (a)-(c).

52. Considere a equação diferencial dy/dx � 5 � y.

(a) Por inspeção ou pelo método sugerido nos Problemas 29-32, calcule uma solução constante da ED.

(b) Utilizando apenas a equação diferencial, determine in-tervalos no eixo y nos quais uma solução não-constante y � f(x) é crescente. Determine intervalos no eixo y nos quais y � f(x) é decrescente.

53. Considere a equação diferencial dy/dx � y(a � by), onde a e b são constantes positivas.

(a) Por inspeção ou pelo método sugerido nos Problemas 29-32, determine uma solução constante da ED.

(b) Utilizando apenas a equação diferencial, determine in-tervalos no eixo y nos quais uma solução não-constante

y � f(x) é crescente. O mesmo considerando que y � f(x) seja decrescente.

(c) Utilizando apenas a equação diferencial, explique por que y � a/2b é a coordenada y de um ponto de inflexão do gráfico de uma solução não-constante y � f(x).

(d) Nos mesmos eixos coordenados, esboce os gráficos das duas soluções constantes calculadas no item (a). Estas soluções constantes dividem o plano xy em três regiões. Em cada região, esboce o gráfico de uma solução não-constante y � f(x) cujo formato é sugerido pelos resul-tados dos itens (b) e (c).

54. Considere a equação diferencial y¿ � y2 � 4.

(a) Explique por que não existem soluções constantes da ED.

(b) Descreva o gráfico de uma solução y � f(x). Por exemplo, uma curva solução pode ter algum extremo relativo?

(c) Explique porque y � 0 é a coordenada y de um ponto de inflexão de uma curva solução.

(d) Esboce o gráfico de uma solução y � f(x) da equação diferencial cujo formato é sugerido pelos itens (a)-(c).

Tarefas computacionaisNos Problemas 55 e 56, utilize um SAC (sistema de álgebra com-putacional) para calcular todas as derivadas e realizar as simpli-ficações necessárias de modo a verificar que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada.

55. y(4) � 20y‡ � 158y– � 580y¿ � 841y � 0;

y � xe5x cos 2x

56.

1.2 Problemas de valor inicial

Introdução � Freqüentemente estamos interessados em problemas nos quais bus-camos uma solução y(x) de uma equação diferencial de modo que y(x) satisfaça con-dições pré-definidas – isto é, condições que são impostas sobre a incógnita y(x) ou sobre suas derivadas. Nesta seção, examinaremos um problema assim denominado problema de valor inicial.

Problema de valor inicial � Em um determinado intervalo I contendo x0, o pro-blema

(1)


onde y0, y1, ..., yn�1 são constantes reais especificadas arbitrariamente, é denominado um problema de valor inicial (PVI). Os valores de y(x) e de suas primeiras n�1 derivadas em um ponto x0: y(x0) � y0, y¿(x0) � y1, ..., y

(n�1)(x0) � yn�1, são designados condições iniciais.

PVI de primeira e segunda ordem � O problema indicado em (1) é também deno-minado um problema de valor inicial de ordem n. Por exemplo,

(2)

e

(3)

são problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem, respectivamente. Estes dois problemas são fáceis de ser interpretados em termos geométricos. Em (2) estamos buscando uma solução da equação diferencial em um intervalo I contendo x0, de modo que uma curva solução passe pelo ponto prescrito (x0, y0). Veja a Figura 1.7. Em (3), queremos determinar uma solução da equação diferencial cujo gráfico não apenas pas-se por (x0, y0), mas que também neste ponto a curva tenha um coeficiente angular (ou inclinação) igual a y1. Veja a Figura 1.8. O termo condição inicial vem de sistemas físi-cos onde a variável independente é o tempo e onde y(t0) � y0 e y¿(t0) � y1 representam, respectivamente, a posição e a velocidade de um objeto em algum tempo inicial t0.

Resolver um problema de valor inicial de ordem n muitas vezes exige o uso de uma família de soluções de n parâmetros da equação diferencial dada para determinar n constantes especificadas de modo que a solução particular resultante da equação também se “ajuste”, isto é, satisfaça, as n condições iniciais.

Exemplo 1 PVI de primeira ordem

Verifica-se facilmente que y � cex é uma família de soluções de um parâmetro da equação de primeira ordem y¿ � y no intervalo (�q,q). Se especificarmos uma condição inicial, por exemplo, y(0) � 3, então substituir x � 0, y � 3 na família de-termina a constante 3 � ce0 � c. Assim, a função y � 3ex é uma solução do problema de valor inicial

y¿ � y, y(0) � 3.

Mas, se exigirmos que uma solução da equação diferencial passe pelo ponto (1, �2) ao invés de (0, 3), teremos y(1) � �2 resultando em �2 � ce ou c � �2e�1. A fun-ção y � �2ex�1 é uma solução do problema de valor inicial

y¿ � y, y(1) � �2.

Os gráficos dessas duas funções estão indicados em colorido na Figura 1.9. ❏

O próximo exemplo ilustra outro problema de valor inicial de primeira ordem. Neste exemplo, observe como o intervalo I de definição da solução y(x) depende da condição inicial y(x0) � y0.

Exemplo 2 Intervalo I de definição de uma solução

No Problema 6 dos Exercícios 2.2, você terá que mostrar que a família de soluções de um parâmetro da equação diferencial de primeira ordem y¿ � 2xy2 � 0 é y � 1/(x2 � c). Se impusermos a condição inicial y(0) � �1, e então substituirmos x � 0 e y � �1 na família de soluções, teremos como resultado �1 � 1/c ou c � �1. Assim, y � 1/(x2 � 1). Enfatizaremos agora as três seguintes distinções.

y

x

solução da ED

I

(x0, y0)

Figura 1.7 PVI de primeira ordem.

ysoluções da ED

Ix

m � y1

(x0 , y0)

Figura 1.8 PVI de segunda ordem.

x

y(0, 3)

(1, –2)

Figura 1.9 Soluções de PVI.


Considerado como uma • função, o domínio de y � 1/(x2 � 1) é o conjunto de números reais x no qual y(x) é definido; este é o conjunto de todos os números reais exceto x � �1 e x � 1. Veja a Figura 1.10(a).Considerado como uma • solução da equação diferencial y¿ � 2xy2 � 0, o in-tervalo I de definição de y � 1/(x2 � 1) poderia ser definido como sendo qualquer intervalo sobre o qual y(x) é definido e diferenciável. Como pode ser visto na Figura 1.10(a), os maiores intervalos nos quais y � 1/(x2 � 1) é uma solução são �q � x � �1, �1 � x � 1, e 1 � x � q.Considerado como uma • solução do problema de valor inicial y¿ � 2xy2 � 0, y(0) � �1, o intervalo I de definição de y � 1/(x2 � 1) poderia ser definido como sendo qualquer intervalo sobre o qual y(x) é definido, diferenciável e contenha o ponto inicial x � 0; o maior intervalo para o qual isto é válido é �1 � x � 1. Veja a Figura 1.10(b).

Veja os Problemas 3-6 nos Exercícios 1.2 para uma continuação do Exemplo 2.

Exemplo 3 PVI de segunda ordem

No Exemplo 4 da Seção 1.1, vimos que x � c1 cos 4t � c2 sen 4t é uma família de soluções de dois parâmetros de x– � 16 x � 0. Determine uma solução do problema de valor inicial.

(4)

Solução � Aplicamos primeiro x(�/2) � �2 à família de soluções indicada: c1cos2� � c2 sen 2� � �2. Como cos2� � 1 e sen2� � 0, obtemos c1 � �2. A seguir, aplicamos x¿(�/2) � 1 à família de um parâmetro x(t) � �2 cos 4t � c2 sen 4t. Diferenciando e definindo t � �/2 e x¿ � 1, temos 8 sen 2� � 4c2 cos 2� � 1, de onde resulta c2 � . Logo,

é uma solução de (4). ❏

Existência e unicidade � Duas questões fundamentais surgem quando se conside-ra um problema de valor inicial:

Existe solução para o problema? Se existe uma solução, ela é única?

Para um problema de valor inicial como (2), perguntamos:

ExistênciaA equação diferencial dy/dx � f(x, y) tem soluções?Qualquer curva solução passa pelo ponto (x0, y0)?

UnicidadePodemos ter certeza de que existe precisamente uma curva solução pas-sando pelo ponto (x0, y0)?

Note que nos Exemplos 1 e 3 a frase “uma solução” é utilizada ao invés de “a solu-ção” do problema. O artigo indefinido “uma” é aplicado deliberadamente para sugerir a possibilidade de que outras soluções possam existir. Até este ponto, não foi demons-trado que exista uma única solução de cada problema. O próximo exemplo ilustra um problema de valor inicial com duas soluções.

Exemplo 4 Um PVI pode ter diversas soluções

Cada uma das funções y � 0 e y � x4/16 satisfaz a equação diferencial dy/dx � xy1/2 e a condição inicial y(0) � 0. Assim, o problema de valor inicial dy/dx � xy1/2, y(0) � 0, tem pelo menos duas soluções. Conforme ilustrado na Figura 1.11, os gráficos de ambas funções passam pelo mesmo ponto (0,0). ❏

Dentro das fronteiras seguras de um curso formal em equações diferenciais, pode-se estar bastante certo que a maioria das equações diferenciais terá soluções

y

x–1 1

y

x–1 1

(a) função definida para todo xexceto x � 1

(b) solução definida no intervalocontendo x � 0

(0, –1)

Figura 1.10 Gráficos de função e solu-ção de PVI no Exemplo 2.

y

x(0, 0)

1

y � x4/16

y � 0

Figura 1.11 Duas soluções do mesmo PVI.


e que as soluções dos problemas de valor inicial provavelmente serão únicas. A vida real, entretanto, não é tão simples. Deseja-se saber, antes de se tentar resolver um problema de valor inicial, se ele possui solução e, caso exista, se ela é a única solu-ção do problema. Como iremos considerar equações diferenciais de primeira ordem nos próximos dois capítulos, determinaremos aqui, sem prova, um teorema claro que fornece condições que são suficientes para garantir a existência e a unicidade de uma solução de um problema de valor inicial de primeira ordem na forma dada em (2). Esperaremos até o Capítulo 3 para abordar a questão de existência e unicidade de um problema de valor inicial de segunda ordem.

Existência de uma única soluçãoSeja R uma região retangular no plano xy definida por a x b, c y d, que contenha o ponto (x0, y0) no seu interior. Se f(x, y) e f/y são contínuas em R, então existe algum intervalo I0: x0 � h � x � x0 � h, h � 0, contido em a x b, e uma função única y(x) definida em I0 que é uma solução do problema de valor inicial (2).

T E O R E M A 1 . 1

O resultado anterior é um dos teoremas mais populares de existência e unicidade para as equações diferenciais de primeira ordem, pois os critérios de continuidade de f(x,y) e f/y são relativamente fáceis de serem checados. A geometria do Teorema 1.1 é ilustrada na Figura 1.12.

Exemplo 5 Exemplo 3 revisitado

Vimos no Exemplo 3 que a equação diferencial dy/dx � xy1/2 tem ao menos duas so-luções cujos gráficos passam por (0,0). A inspeção dessas funções

mostra que elas são contínuas no plano metade superior definido por y � 0. Assim, o Teorema 1.1 nos permite concluir que através de qualquer ponto (x0, y0), y0 � 0, no plano metade superior, existe algum intervalo centrado em x0 no qual a equação dife-rencial dada tem uma solução única. Dessa forma, por exemplo, mesmo sem resolvê-lo, sabemos que existe algum intervalo centrado em 2 no qual o problema de valor inicial dy/dx � xy1/2, y(2) � 1, possui uma única solução. ❏

No Exemplo 1, o Teorema 1.1 garante que não existem outras soluções dos pro-blemas de valor inicial y¿ � y, y(0) � 3 e y¿ � y, y(1) � �2, que não sejam y � 3ex e y � �2ex�1, respectivamente. Isto é em decorrência do fato de que f(x, y) � y e f/y � 1 são contínuas por todo o plano xy. Pode-se mostrar que o intervalo I, no qual cada solução é definida, é (�q,q).

Intervalo de existência/unicidade � Suponha que y(x) represente uma solução do problema de valor inicial (2). Os seguintes três conjuntos no eixo real x não podem ser iguais: o domínio da função y(x), o intervalo I sobre o qual a solução y(x) é definida ou existe, e o intervalo I0 de existência e unicidade. No Exemplo 2 da Seção 1.1, apresenta-mos a diferença entre o domínio de uma função e o intervalo I de definição. Considere agora que (x0, y0) seja um ponto no interior da região retangular R do Teorema 1.1. Sa-be-se que a continuidade da função f(x,y) em R por si mesma é suficiente para garantir a existência de ao menos uma solução de dy/dx � f(x,y), y(x0) � y0, definida em algum intervalo I. O intervalo I de definição para este problema de valor inicial é usualmente tomado como sendo o maior intervalo que contém x0 sobre o qual a solução y(x) é de-finida e diferenciável. O intervalo I depende de f(x, y) e da condição inicial y(x0) � y0. Veja os Problemas 31-34 nos Exercícios 1.2. A condição extra da continuidade da pri-meira derivada parcial f/y em R nos permite dizer que não apenas uma solução exis-te em algum intervalo I0 contendo x0, porém também é a única solução satisfazendo

x

y

d

c

a b

R

(x0, y0)

I0

Figura 1.12 Região retangular R.


Nos Problemas 1 e 2, y � 1/(1 � c1e�x) é uma família de solu-

ções de um parâmetro da ED de primeira ordem y¿ � y � y2. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.

1.

2. y(�1) � 2

Nos Problemas 3-6, y � 1/(x2 � c) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem y¿ � 2xy2 � 0. Determi-ne uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior intervalo I sobre o qual a solução seja definida.

3.

4.

5. y(0) � 1

6.

Nos Problemas 7-10, x � c1 cos t � c2 sen t é uma família de so-luções de dois parâmetros da ED de segunda ordem x– � x � 0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.

7. x(0) � �1, x¿(0) � 8

8. x(p/2) � 0, x¿(p/2) � 1

9.

10.

Nos Problemas 11-14, x � c1 ex � c2 e

�x é uma família de solu-ções de dois parâmetros da ED de segunda ordem y– � y � 0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.

11. y(0) � 1, y¿(0) � 2

12. y(1) � 0, y¿(1) � e

13. y(�1) � 5, y¿(�1) � �5

14. y(0) � 0, y¿(0) � 0

Nos Problemas 15 e 16, determine por inspeção ao menos duas soluções do PVI de primeira ordem dado.

15. y¿ � 3y2/3, y(0) � 0 16. xy¿ � 2y, y(0) � 0

Nos Problemas 17-24, determine uma região do plano xy na qual a equação diferencial indicada teria uma solução única cujo grá-fico passa por um ponto (x0, y0) na região.

17.

18.

y(x0) � y0. Entretanto, o Teorema 1.1 não dá nenhuma indicação dos tamanhos dos intervalos I e I0; o intervalo I de definição não necessita ser tão amplo como a região R, e o intervalo I0 de existência e unicidade pode não ser tão grande quanto I. O número h � 0 que define o intervalo I0, x0 � h � x � x0 � h, pode ser muito pequeno. Assim, é melhor imaginar que a solução y(x) é única em um sentido local, isto é, uma solução definida próxima do ponto (x0, y0). Veja o Problema 44 nos Exercícios 1.2.

Observações

(i) As condições no Teorema 1.1 são suficientes, mas não necessárias. Quando f(x, y) e f/y forem contínuas em uma região retangular R, sempre existirá uma solução de (2) e ela será única sempre que (x0, y0) for um ponto interior a R. Entretanto, se as condições definidas na hipótese do Teorema 1.1 não se aplicarem, então qualquer coi-sa poderá acontecer: o Problema (2) pode ainda ter uma solução e esta solução pode ser única, ou (2) pode ter diversas soluções, ou pode não ter solução alguma. Uma releitura do Exemplo 4 revela que a hipótese do Teorema 1.1 não se aplica à reta y � 0 para a equação diferencial dy/dx � xy1/2. Portanto, não é surpresa, como vimos no Exemplo 3 desta seção, que existam duas soluções definidas em um intervalo comum �h � x � h satisfazendo y(0) � 0. Por outro lado, a hipótese do Teorema 1.1 não se aplica à reta y � 1 para a equação diferencial dy/dx � |y � 1|. No entanto, pode-se provar que a solução do problema de valor inicial dy/dx � |y � 1|, y(0) � 1, é única. Você pode advinhar essa solução?(ii) Você é encorajado a ler, pensar a respeito, trabalhar e então manter em mente o Problema 43 dos Exercícios 1.2.



19.

20.

21. (4 � y2)y¿ � x2 22. (1 � y3)y¿ � x2

23. (x2 � y2)y¿ � y2 24. (y � x)y¿ � y � x

Nos Problemas 25-28, determine se o Teorema 1.1 garante que

a equação diferencial tenha uma solução única

através do ponto indicado.

25. (1,4) 26. (5,3)

27. (2,�3) 28. (�1,1)

29. (a) Por inspeção, determine uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial xy¿ � y. Verifique que cada membro da família é uma solução do problema de valor inicial xy¿ � y, y(0) � 0.

(b) Explique o item (a) determinando uma região R no pla-no xy na qual a equação diferencial xy¿ � y teria uma solução única através de um ponto (x0, y0) em R.

(c) Verifique que a função definida por partes

satisfaz a condição y(0) � 0. Determine se esta função é também uma solução do problema de valor inicial do item (a).

30. (a) Verifique que y � tg(x � c) é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial y¿ � 1 � y2.

(b) Como f(x,y) � 1 � y2 e f/y � 2y são contínuas em toda parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano xy inteiro. Utilize a família de soluções do item (a) para calcular uma solução explícita do problema de valor inicial de primeira ordem y¿ � 1 � y2, y(0) � 0. Apesar de x0 � 0 estar no intervalo �2 � x � 2, explique por que a solução não é definida nesse intervalo.

(c) Determine o maior intervalo I de definição para a solu-ção do problema de valor inicial no item (b).

31. (a) Verifique que y � �1/(x � c) é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial y¿ � y2.

(b) Como f(x,y) � y2 e f/y � 2y são contínuas em toda parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano xy inteiro. Determine uma solu-ção a partir da família do item (a) que satisfaça y(0) � 1. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça y(0) � �1. Determine o maior inter-valo I de definição para a solução de cada problema de valor inicial.

32. (a) Determine uma solução a partir da família do item (a) do Problema 31 que satisfaça y¿ � y2, y(0) � y0, onde y0 � 0. Explique por que o maior intervalo I de definição para esta solução é �q � x � 1/y0 ou 1/y0 � x � q.

(b) Determine o maior intervalo I de definição para a so-lução do problema de valor inicial de primeira ordem y¿ � y2, y(0) � 0.

33. (a) Verifique que 3x2 � y2 � c é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial ydy/dx � 3x.

(b) À mão, esboce o gráfico da solução implícita 3x2 � y2 � 3. Calcule todas as soluções explícitas y � f(x) da ED no item (a) definidas por esta relação. Dê o interva-lo I de definição de cada solução explícita.

(c) O ponto (�2,3) está no gráfico de 3x2 � y2 � 3, po-rém qual das soluções explícitas do item (b) satisfaz y(�2) � 3?

34. (a) Utilize a família de soluções do item (a) do Problema 33 para determinar uma solução implícita do problema de valor inicial ydy/dx � 3x, y(2) � �4. A seguir, à mão, esboce o gráfico da solução explícita deste problema e dê o seu intervalo I de definição.

(b) Existem soluções explícitas de ydy/dx � 3x que passam pela origem?

Nos Problemas 35-38, o gráfico de um membro da família de soluções da equação diferencial de segunda ordem d2y/dx2 � f(x, y, y¿) é indicado. Case a curva solução com pelo menos um par das seguintes condições iniciais.

(a) y(1) � 1, y¿(1) � �2

(b) y(�1) � 0, y¿(�1) � �4

(c) y(1) � 1, y¿(1) � 2

(d) y(0) � �1, y¿(0) � 2

(e) y(0) � �1, y¿(0) � 0

(f) y(0) � �4, y¿(0) � �2

35.

x

y

5

5

–5


36.

x

y

5

5

–5



37.

x

y

5

5

–5


38.

x

y

5

5

–5


Problemas para discussãoNos Problemas 39 e 40, utilize o Problema 47 dos Exercícios 1.1 e (2) e (3) desta seção.

39. Determine uma função y � f(x) cujo gráfico em cada ponto (x,y) tem o coeficiente angular dado por 8e2x � 6 e tem o ponto de interceptação do eixo y (0,9).

40. Determine uma função y � f(x) cuja derivada segunda é y– � 12x � 2 em cada ponto (x, y) em seu gráfico e em que y � �x � 5 é tangente ao gráfico no ponto correspondente a x � 1.

41. Considere o problema de valor inicial y¿ � x � 2y, y(0) � . Determine qual das duas curvas mostradas na Figura 1.17 é a única curva solução plausível. Explique o seu raciocínio.

x

y

1

1

(0, )12


42. Determine um valor plausível de x0 para o qual o gráfico da solução do problema de valor inicial y¿ � 2y � 3x � 6, y(x0) � 0 é tangente ao eixo x em (x0, 0). Explique o seu raciocínio.

43. Suponha que a equação diferencial de primeira ordem dy/dx � f(x, y) possua uma família de soluções de um parâme-tro e que f(x, y) satisfaça as hipóteses do Teorema 1.1 em alguma região retangular R do plano xy. Explique por que duas curvas solução diferentes não podem interceptar ou ser tangentes uma em relação a outra em um ponto (x0, y0) em R.

44. As funções

têm o mesmo domínio mas são claramente diferentes. Veja as Figuras 1.18(a) e 1.18(b), respectivamente. Mostre que ambas as funções são soluções do problema de valor inicial dy/dx � xy1/2, y(2) � 1 no intervalo (�q,q). Solucione a aparente contradição entre este fato e a última sentença do Exemplo 5.

y

x

(2, 1)1

(a)

y

x

(2, 1)1

(b)

Figura 1.18 Duas soluções do PVI no Problema 44.

Modelo matemático 45. Crescimento populacional No início da próxima seção,

veremos que as equações diferenciais podem ser utilizadas para descrever ou modelar muitos sistemas físicos diferen-tes. Neste problema, considere que um modelo de cresci-mento populacional de uma pequena comunidade seja dado pelo problema de valor inicial

onde P é o número de indivíduos na comunidade e o tempo t é medido em anos. Quão rápido, isto é, qual é a taxa de crescimento populacional em t � 0? Quão rápido é o cresci-mento populacional quando a população é de 500?


1.3 Equações diferenciais como modelos matemáticos

Introdução � Nesta seção, introduziremos a noção de um modelo matemático. Grosso modo, um modelo matemático é uma descrição matemática de alguma coisa. Esta descri-ção pode ser tão simples como uma função. Por exemplo, estudando a queda de gotas de água e as marcas que eles faziam em um papel absorvente, Leonardo da Vinci compreen-deu que a velocidade de um corpo em queda é dada por v � gt. Apesar de existirem mui-tos tipos de modelos matemáticos, nesta seção nos concentraremos apenas nas equações diferenciais e discutiremos alguns modelos de equações diferenciais específicos para a biologia, física e química. Uma vez estudado alguns métodos para solucionar EDs, retor-naremos a esse assunto nos Capítulos 2 e 3 e resolveremos alguns desses modelos.

Modelos matemáticos � Muitas vezes, deseja-se descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real, seja físico, sociológico ou mesmo econômi-co, em termos matemáticos. A descrição matemática de um sistema ou um fenôme-no é denominada como modelo matemático, sendo construída com certos objetivos em mente. Por exemplo, podemos desejar compreender os mecanismos de um certo ecossistema estudando o crescimento das populações de animais naquele sistema, ou podemos querer datar fósseis pela análise do decaimento de uma substância radioati-va no fóssil ou no estrato no qual ele foi descoberto.

A construção de um modelo matemático de um sistema se inicia com a identifica-ção das variáveis que são responsáveis por alterar o sistema. Podemos decidir, de início, não incorporar todas essas variáveis no modelo. Neste primeiro passo, estamos especifi-cando o nível de resolução do modelo. A seguir, adotamos um conjunto de considera-ções razoáveis ou hipóteses a respeito do sistema que estamos tentando descrever. Estas considerações também incluirão alguma lei empírica que possa ser aplicada ao sistema.

Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável se contentar com mo-delos de pequena resolução. Por exemplo, você pode já estar consciente de que na modelagem da queda de corpos próximos da superfície do solo, a força de retardo do atrito do ar é algumas vezes ignorada em cursos iniciais de física; porém, se você é um cientista cujo trabalho é prever exatamente o caminho de vôo de um projétil de longo alcance, a resistência do ar e outros fatores como a curvatura do terreno têm que ser levados em consideração.

Como as hipóteses feitas a respeito de um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas suposi-ções pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Uma vez que tenhamos formulado um modelo matemático que é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais, estaremos frente a frente com o problema nada insignificante de tentar resolvê-lo. Se formos capazes de resolvê-lo, então consideraremos o modelo como sendo razoável caso sua solução seja consis-tente com dados experimentais ou fatos conhecidos a respeito do comportamento do sistema. Porém, se as predições produzidas pela solução forem pobres, podemos au-mentar o nível de resolução do modelo ou adotar considerações alternativas a respeito dos mecanismos para modificação do sistema. Os passos do processo de modelagem são então repetidos como indicado no diagrama a seguir.

Expressar as considerações emtermos de equações diferenciais

Se necessário, alterar as consideraçõesou aumentar a resolução do modelo Resolução das Eds

Apresentar as predições domodelo, por exemplo, graficamente

Obtençãodas soluçõesConferir as predições

do modelo comfatos conhecidos

Formulaçãomatemática

Considerações

1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos 35

É claro, aumentando a resolução, aumentamos a complexidade do modelo matemáti-co e a chance de que não consigamos obter uma solução explícita.

Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolverá a variá-vel tempo t. Uma solução do modelo, então, dá o estado do sistema; em outras pala-vras, para valores apropriados de t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no passado, presente e futuro.

Dinâmica da população � Uma das primeiras tentativas de se modelar o cresci-mento da população humana por meio da matemática foi feita pelo economista in-glês Thomas Malthus em 1798. Basicamente, a idéia do modelo Malthusiano cor-responde à consideração de que a taxa na qual a população de um país cresce em um certo tempo é proporcional* à população total do país naquele tempo. Em outras palavras, quanto mais pessoas existem em um tempo t, mais existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) corresponde à população total em um tempo t, então esta suposição pode ser escrita como

(1)

onde k é uma constante de proporcionalidade. Este modelo simples, falho ao descon-siderar muitos fatores (imigração e emigração, por exemplo) que podem influenciar o crescimento ou a redução da população humana, todavia, foi razoavelmente preciso na previsão da população dos Estados Unidos durante os anos 1790-1860. Populações que crescem a uma taxa descrita por (1) são raras; no entanto, (1) ainda é utilizada para modelar o crescimento de pequenas populações ao longo de pequenos intervalos de tempo, por exemplo, o crescimento de bactérias em uma placa de laboratório.

Decaimento radioativo � O núcleo de um átomo consiste da combinação de pró-tons e nêutrons. Muitas dessas combinações de prótons e nêutrons são instáveis, isto é, os átomos decaem ou se transformam em átomos de outra substância. Tais núcleos são ditos ser radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o rádio altamente radio-ativo, Ra-226, se transforma no gás radônio radioativo, Rn-222. Na modelagem do fenômeno de decaimento radioativo, assume-se que a taxa dA/dt com a qual os nú-cleos de uma substância decaem seja proporcional à quantidade (mais precisamente, o número de núcleos) A(t) da substância restante no tempo t:

(2)

É claro que as equações (1) e (2) são exatamente as mesmas; a diferença está apenas na interpretação dos símbolos e as constantes de proporcionalidade. Para o cresci-mento, como supusemos em (1), k � 0, e no caso de (2) e decaimento, k � 0.

O modelo (1) para crescimento pode ser visto como a equação dS/dt � rS, que descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente. O modelo (2) para decaimento também ocorre em um cenário bio-lógico, como a determinação da meia vida de uma droga – tempo necessário para que 50% de uma droga seja eliminada do corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de decaimento (2) aparece como a descrição matemática de uma reação química de primeira ordem. O principal é isto:

Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para muitos fenômenos diferentes.

Modelos matemáticos muitas vezes estão acompanhados por certas condições secundárias. Por exemplo, em (1) e (2) esperamos conhecer, respectivamente, uma população inicial P0 e uma quantidade inicial de substância radioativa A0 que esteja disponível. Se este ponto inicial no tempo for tomado como sendo t � 0, então sabe-

* Se duas quantidades u e v são proporcionais, escrevemos u r v. Isto significa que uma quantidade é um múltiplo constante da outra: u �kv.


mos que P(0) � P0 e A(0) � A0. Em outras palavras, um modelo matemático pode consistir em um problema de valor inicial ou, como veremos mais tarde na Seção 3.9, um problema de valor de contorno.

Lei de Newton do resfriamento/aquecimento � De acordo com a lei empírica de Newton do resfriamento – ou aquecimento – a taxa com a qual a temperatura do corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio envolvente, também chamada temperatura ambiente. Considerando que T(t) representa a temperatura de um corpo no instante de tempo t, Tm a temperatura do meio envolvente, e dT/dt a taxa com a qual a temperatura do corpo varia, então a lei de Newton do resfriamento/aquecimento se traduz no enunciado matemático

(3)

onde k é uma constante de proporcionalidade. Em um ou outro caso, resfriamento ou aquecimento, se Tm for uma constante, sustenta-se o raciocínio de que k � 0.

Disseminação de uma doença � Uma doença contagiosa, por exemplo, o vírus da gri-pe, dissemina-se por toda uma comunidade por meio do contato entre pessoas. Admita que x(t) corresponda ao número de pessoas que tenham contraído a doença e y(t) o núme-ro de pessoas que ainda não foram expostas. Parece razoável considerar que a taxa dx/dt com a qual a doença é disseminada seja proporcional ao número de encontros ou intera-ções entre estes dois grupos de pessoas. Se considerarmos que o número de interações é proporcional a x(t) juntamente com y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então

(4)

onde k é a constante usual de proporcionalidade. Suponha que uma comunidade pe-quena tenha uma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida nesta comunidade, então poderia-se dizer que x(t) e y(t) estariam relacionadas por x � y � n � 1. Aplicando esta última equação para eliminar y em (4), obtemos o modelo

(5)

Uma condição inicial óbvia acompanhando a equação (5) é x(0) � 1.

Reações químicas � A desintegração de uma substância radioativa, governada pela equação diferencial (2), é dita ser uma reação de primeira ordem. Em química, poucas reações seguem esta mesma lei empírica: se as moléculas da substância A se decompõem em moléculas menores, uma hipótese natural é que a taxa na qual esta decomposição ocorra seja proporcional à quantidade da primeira substância que ainda não se submeteu à conversão; isto é, se X(t) for a quantidade de substância A remanescente em qualquer tempo, então dX/dt � kX, onde k é uma constante negativa pois X está decrescendo. Um exemplo de uma reação química de primeira ordem é a conversão de cloreto de butil-t em álcool butil-t:

(CH3)3CCl � NaOH → (CH3)3COH � NaCl.

Somente a concentração do cloreto de butil-t controla a taxa da reação. Porém, na reação

CH3Cl � NaOH → CH3OH � NaCl,

para toda molécula de cloreto de metil, uma molécula de hidróxido de sódio é consumi-da, formando assim uma molécula de álcool metil é uma molécula de cloreto de sódio. Neste caso, a taxa na qual a reação ocorre é proporcional ao produto das concentra-ções restantes de CH3Cl e de NaOH. Considerando que X corresponda à quantidade de CH3OH formado e que � e � sejam as quantidades dadas dos dois primeiros produtos químicos A e B, então as quantidades instantâneas não convertidas no produto químico C são � � X e � � X, respectivamente. Portanto, a taxa de formação de C é dada por


(6)

onde k é uma constante de proporcionalidade. Uma reação cujo modelo é a equação (6) é dita ser de segunda ordem.

Misturas � A mistura de duas soluções de sal de concentrações diferentes resulta em uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mis-tura. Vamos supor que um tanque de mistura grande comporte 300 litros de salmoura (isto é, água com uma certa quantidade de quilos de sal dissolvidos). Outra solução de salmoura é bombeada para dentro desse tanque grande a uma taxa de 3 litros por minuto; a concentração de sal neste fluxo é de 2 kg de sal por litro. Quando a solução do tanque estiver bem misturada, ela é bombeada para fora à mesma taxa da solução de entrada. Veja a Figura 1.19. Se A(t) corresponde a taxa de sal (medida em quilos) no tanque no instante de tempo t, a taxa com a qual A(t) se modifica é uma taxa líquida:

(7)

A taxa de entrada Rin com a qual o sal entra no tanque é o produto do fluxo da con-centração de sal e o fluxo da concentração de fluído. Observe que Rin é medido em quilos por minuto

Agora, como a solução está sendo bombeada para fora do tanque com a mesma taxa que ela é bombeada para dentro, a quantidade de litros de salmoura no tanque no instante de tempo t é um valor constante de 300 litros. Conseqüentemente, a concen-tração de sal no tanque, assim como no fluxo para fora, é c(t) � A(t)/300 kg/l, e assim a taxa de saída Rout de sal é

A taxa líquida então se escreve

(8)

Se rin e rout denotam taxas gerais de entrada e saída das soluções de salmoura*, então existem três possibilidades: rin � rout, rin � rout e rin � rout. Na análise que nos levou a (8), assumimos rin � rout. Nos últimos dois casos, a quantidade de litros de sal-moura no tanque está aumentando (rin � rout) ou decrescendo (rin � rout) à taxa líquida rin � rout. Veja os Problemas 10-12 nos Exercícios 1.3.

Esvaziando um tanque � Em hidrodinâmica, a lei de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo de água de um buraco estreito na base do tanque preenchido com uma pro-fundidade h é igual à velocidade que um corpo (neste caso, uma gota de água) adquiri-ria caindo livremente a partir de uma altura h; isto é, , onde g é a aceleração em decorrência da gravidade. Esta última expressão surge da igualdade da energia ci-nética com a energia potencial mgh e posterior solução em relação a v. Suponha que um tanque preenchido com água seja esvaziado por um buraco sob influência da gravidade. Gostaríamos de calcular a profundidade h de água remanescente no tanque no instante de tempo t. Considere o tanque apresentado na Figura 1.20. Se a área do

buraco for Ah (em m2) e a velocidade da água deixando o tanque é (em m/s),

* Não confunda estes símbolos com Rin e Rout, que são taxas de entrada e saída do sal.

constante300 l

taxa de entrada desalmoura 3 l/min

taxa de saída desalmoura 3 l/min

Figura 1.19 Tanque de mistura.

Aw

Ah

h

Figura 1.20 Água escoando de um tanque.


então o volume de água que deixa o tanque por segundo é (em m3/s). Assim, se V(t) expressa o volume de água no tanque no instante de tempo t,

(9)

onde o sinal menos indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos igno-rando a possibilidade de que haja atrito no buraco, o que poderia causar uma redução da taxa de fluxo. Agora, se o tanque está de tal modo que o volume de água nele no instante de tempo t possa ser escrito como V(t) � Awh, onde Aw (em m2) é a área constante da superfície superior da água (veja a Figura 1.20), então dV/dt � Awdh/dt. Substituindo esta última expressão em (9) resulta na equação diferencial desejada para a altura da água no instante de tempo t:

(10)

É interessante observar que (10) permanece válida mesmo quando Aw não é constante. Neste caso, temos que expressar a área da superfície superior da água em função de h, isto é, Aw � A(h). Veja o Problema 14 nos Exercícios 1.3.

Circuitos série � Considere o circuito série de laço único contendo um indutor, um resistor e um capacitor como mostra a Figura 1.21(a). A corrente em um circuito após o fechamento de uma chave é expressa por i(t); a carga em um capacitor no instante de tempo t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como indutância, capacitância e resistência, respectivamente, sendo geralmente constantes. De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a tensão E(t) imposta em um laço fechado tem que ser igual à soma das quedas de tensão no laço. A Figura 1.21(b) também mostra os símbolos e as fórmulas para as respectivas quedas de tensão em um indutor, um capa-citor e um resistor. Como a corrente i(t) está relacionada à carga q(t) no capacitor por i � dq/dt, pela adição das três quedas de tensão

e igualando-se a soma à tensão imposta obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

(11)

Examinaremos com detalhes uma equação diferencial análoga a (11) na Seção 3.8.

Queda de corpos � Na construção de um modelo matemático do movimento de um corpo que se move em um campo de força, muitas vezes inicia-se com a segunda lei de Newton do movimento. Recorde da física elementar que a primeira lei do movi-mento de Newton diz que um corpo irá permanecer em repouso ou continuará a se mover com uma velocidade constante a menos que uma força externa atue. Em cada caso, isto equivale a dizer que quando a soma das forças F � �Fk – isto é, a força líquida ou resultante – atuando no corpo é zero, então a aceleração a do corpo é zero. A segunda lei do movimento de Newton indica que quando a força líquida atuando em um corpo não for zero, então a força líquida será proporcional à sua aceleração a, ou mais precisamente, F � ma, onde m é a massa do corpo.

Suponha agora uma pedra lançada para cima de um telhado de um prédio ilus-trado na Figura 1.22. Qual é a posição s(t) da pedra relativa ao solo no instante de tempo t? A aceleração da pedra é a derivada segunda d2s/dt2. Se considerarmos que a direção para cima é positiva e que nenhuma outra força atua na pedra a não ser a força da gravidade, então a segunda lei de Newton nos dá

(12)

(b)

Indutor

didt

Li

Resistor

C

iR

i

Capacitor

q1C

LR

C

E(t)

(a) Circuito série LRC

resistência R: ohms (Ω)

queda de tensão: iR

capacitância C: farads (f)

queda de tensão:

indutância L: henrys (h)

queda de tensão: L

Figura 1.21 Corrente i(t) e carga q(t) são medidas em ampéres (A) e coulombs (C), respectivamente.

prédio

s0

pedra

v0

solo

s(t)

Figura 1.22 Posição da pedra medida a partir do nível do solo.


Em outras palavras, a força líquida é simplesmente o peso F � F1 � �W da pedra próxima à superfície do solo. Lembre-se que a magnitude do peso é W � mg, onde m é a massa do corpo e g é a aceleração em decorrência da gravidade. Utiliza-se o sinal menos em (12), pois o peso da pedra é uma força direcionada para baixo, a qual é oposta à direção positiva. Se a altura do prédio for s0 e a velocidade inicial da pedra for v0, então s é determinada a partir do problema de valor inicial de segunda ordem

(13)

Apesar de não termos enfatizado soluções das equações que temos construído, no-tamos que (13) pode ser resolvida pela integração da constante �g duas vezes em relação a t. As condições iniciais determinam as duas constantes de integração. Você deve reconhecer a solução de (13) a partir da física elementar como a fórmula

.

Queda de corpos e resistência do ar � Antes do famoso experimento de Galileu na Torre de Pisa, era crença geral que objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caiam com uma aceleração maior do que a dos objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma pena quando caem simultaneamente de uma mesma altura, caem com taxas diferentes, porém isto não decorre do fato da bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas se deve à resistência do ar. A força de resistência do ar foi ignorada no modelo apresentado em (13). Sob algumas circunstân-cias, um corpo de massa m em queda – como uma pena com baixa densidade e formato irregular – encontra uma resistência do ar proporcional à sua velocidade instantânea v. Se tomarmos, nesta circunstância, a direção positiva como sendo orientada para baixo, então a força líquida atuando sobre a massa é dada por F � F1 �F2 � mg � kv, onde o peso F1 � mg do corpo é uma força atuando na direção positiva e a resistência do ar F2 � �kv é uma força, denominada amortecimento viscoso, atuando na direção oposta ou para cima. Veja a Figura 1.23. Agora, como v está relacionada à aceleração a por a � dv/dt, a segunda lei de Newton se escreve F � ma � m dv/dt. Igualando a força líquida a esta forma da segunda lei de Newton, obtemos uma equação diferencial de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no instante de tempo t,

(14)

Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distância percor-rida pelo corpo no instante de tempo t a partir do seu ponto inicial de liberação, então v � ds/dt e a � dv/dt � d2s/dt2. Em termos de s, (14) é uma equação diferencial de segunda ordem

(15)

Uma corrente deslizante � Suponha uma corrente uniforme de comprimento L me-tros presa sobre uma lingüeta de metal ancorada em uma parede a uma altura acima do nível do solo. Vamos considerar que a lingüeta não tenha atrito e que a corrente pese r N/m. A Figura 1.24(a) ilustra a posição da corrente na qual ela permanece em equilí-brio; se fosse disposta um pouco para a direita ou para esquerda, a corrente escorregaria para fora da lingüeta. Suponha que a direção positiva seja para baixo, e considere que x(t) represente a distância que a extremidade direita da corrente percorreria no instante de tempo t. A posição de equilíbrio corresponde a x � 0. Na Figura 1.24(b), a corrente é deslocada uma quantidade x0 metros e é segurada na lingüeta até que ela seja liberada em um instante de tempo inicial que é designado como t � 0. Para a corrente em movi-mento, como indicado na Figura 1.24(c), temos as seguintes quantidades:

kv

mg

Direçãopositiva

Gravidade

Resistência do ar

Figura 1.23 Queda de um corpo de massa m.

L/2 L/2

L/2 � x

L/2 � x

(a) equilíbrio (c) movimento para t � 0

(b) corrente presa até t � 0

x � 0

x � x0 x (t)

Figura 1.24 Corrente deslizando em uma lingüeta sem atrito.


Como a � d2x/dt2, ma � F se torna

(16)

Cabos suspensos � Suponha que um cabo flexível, fio ou corda esteja suspenso entre dois suportes verticais. Exemplos físicos disso poderiam ser um de dois cabos sustentando o leito da estrada de uma ponte suspensa mostrada na Figura 1.25(a) ou um fio de telefone comprido e esticado entre dois postes como indicado na Figura 1.25(b). Nosso objetivo é construir um modelo matemático que descreva o formato que tal cabo assume.

Para começar, examinaremos somente uma parte ou elemento do cabo entre o seu ponto mais baixo P1 e qualquer ponto arbitrário P2. Desenhado em colorido na Figura 1.26, este elemento do cabo consiste em uma curva em um sistema de coor-denadas retangulares com o eixo y escolhido de modo a passar através do ponto mais baixo P1 na curva e o eixo x escolhido a unidades abaixo de P1. Três forças estão atuando no cabo: as tensões T1 e T2 no cabo que são tangentes ao cabo em P1 e P2, respectivamente, e a parcela W da carga vertical total entre os pontos P1 e P2. Seja T1 � |T1|, T2 � |T2| e W � |W| expressando as magnitudes destes vetores. Agora a tensão T2 é separada em componentes horizontal e vertical (quantidades escalares) T2cosu e T2senu. Em decorrência do equilíbrio estático, podemos escrever

T1 � T2 cos u e W � T2 sen u.

Dividindo a última equação pela primeira, eliminamos T2 e obtemos tg u � W/T1. Mas como dy/dx � tg u, temos

(17)

Esta equação diferencial simples de primeira ordem serve como um modelo tanto para o formato de um fio flexível como um fio telefônico suspenso sob o seu próprio peso, assim como o formato dos cabos que sustentam o leito da estrada de uma ponte suspensa. Retornaremos à Equação (17) nos Exercícios 2.2 e na Seção 3.10.

Observações

Cada exemplo nesta seção descreveu um sistema dinâmico: um sistema que se modi-fica ou se desenvolve com o fluxo do tempo t. Como o estudo de sistemas dinâmicos é um ramo da matemática atualmente em destaque, relacionaremos a terminologia desse campo à discussão corrente.

Em termos mais precisos, um sistema dinâmico consiste em um conjunto de va-riáveis dependentes com o tempo, denominadas variáveis de estado, junto com uma regra que nos permite determinar (sem ambigüidade) o estado do sistema (este pode ser estado passado, presente ou futuro) em termos de um estado prescrito em algum tempo t0. Sistemas dinâmicos são classificados como sistemas discretos no tempo ou sistemas contínuos no tempo. Neste curso, estaremos preocupados apenas com sistemas dinâmicos contínuos no tempo – sistemas nos quais todas as variáveis são definidas sobre uma escala contínua de tempo. A regra ou o modelo matemático em um sistema dinâmico contínuo no tempo é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. O estado do sistema em um instante de tempo t é o valor das variáveis de estado naquele instante de tempo; o estado do sistema especificado em um instante de tempo t0 consiste simplesmente nas condições iniciais que acompanham o modelo matemático. A solução do problema de valor inicial é referida como a respos-ta do sistema. Por exemplo, no caso anterior de decaimento radioativo, a regra é dA/dt � kA. Assim, se a quantidade de uma substância radioativa em algum tempo t0 for conhecida, por exemplo, A(t0) � A0, então, pela solução da regra, a resposta do siste-

(a) fios telefônicos

(b) ponte suspensa

Figura 1.25 Cabos suspensos entre suportes verticais.

y

x(x, 0)

(0, a)

fio

T1

T2T2 sen

P1

P2

w

θ

θT2 cos θ

Figura 1.26 Elemento de um cabo.


Dinâmica da população 1. Sob as mesmas considerações que fundamentam o modelo

em (1), determine uma equação diferencial que governe o crescimento da população P(t) de um país quando permite-se a imigração de indivíduos dentro do país a uma taxa cons-tante r � 0. Qual é a equação diferencial para a população P(t) do país quando permite-se a emigração de indivíduos a uma taxa constante r � 0?

2. O modelo de população indicado em (1) é falho ao não levar a morte em consideração; a taxa de crescimento é igual à taxa de nascimento. Em outro modelo de variação de po-pulação de uma comunidade, considera-se que a taxa com a qual a população varia é uma taxa líquida – isto é, a di-ferença entre a taxa de nascimentos e a taxa de mortes na comunidade. Determine um modelo para a população P(t) se tanto a taxa de nascimento como a taxa de morte são pro-porcionais à população existente no instante de tempo t.

3. Utilizando o conceito de taxa líquida introduzido no Proble-ma 2, determine uma equação diferencial que governe uma população P(t) considerando que a taxa de nascimento seja proporcional à população existente no instante de tempo t, porém que a taxa de morte seja proporcional ao quadrado da população existente no instante de tempo t.

4. Modifique o modelo no Problema 3 para a taxa líquida na qual a população P(t) de um determinado tipo de peixe va-rie, considerando-se também que os peixes sejam pescados a uma taxa constante h � 0.

Lei de Newton do resfriamento/aquecimento 5. Uma xícara de café se resfria de acordo com a lei de Newton

do resfriamento (3). Utilize os dados do gráfico de tempe-ratura T(t) na Figura 1.27 para estimar as constantes Tm, T0 e k no modelo da forma de um problema de valor inicial de primeira ordem

200

150

100

50

T

0 50 100 tmin

Figura 1.27 Curva de resfriamento do Problema 5.

6. A temperatura ambiente Tm em (3) poderia ser uma função do tempo t. Suponha que em um meio controlado artificial-mente, Tm(t), seja periódico com um período de 24 horas, como ilustrado na Figura 1.28. Projete um modelo matemá-tico para a temperatura T(t) de um corpo no interior deste ambiente.

100

120

80

60

40

20

0 12 24 36 48 t

Tm(t)

Meia-noite

Meio-dia

Meio-dia

Meia-noite

Meia-noite

Figura 1.28 Temperatura ambiente no Problema 6.

ma para t � t0 é determinada como sendo A(t) � A0e(t�t0) (veja a Seção 2.7). A res-

posta A(t) é a variável de estado único para este sistema. No caso da pedra atirada do telhado do prédio, a resposta do sistema, a solução da equação diferencial d2s/dt2 � �g sujeita ao estado inicial s(0) � s0, s¿(0) � v0 é a função , 0 t T, onde o símbolo T representa o instante de tempo no qual a pedra atinge o solo. As variáveis de estado são s(t) e s¿(t), as quais são, respectivamente, a posição vertical da pedra acima do solo e sua velocidade no tempo t. A aceleração s–(t) não é uma variável de estado, pois somente temos que saber a posição inicial e a velocidade inicial em um tempo t0 para determinar unicamente a posição da pedra s(t) e a velo-cidade s¿(t) � v(t) para qualquer tempo no intervalo t0 t T. A aceleração s–(t) � a(t) é, é claro, dada pela equação diferencial s–(t) � �g, 0 � t � T.

Um último ponto: nem todo sistema estudado neste texto é um sistema dinâmi-co. Examinaremos também alguns sistemas estáticos para os quais o modelo é uma equação diferencial.



Disseminação de uma doença/tecnologia 7. Suponha que um estudante com um vírus da gripe retorne

para um campus isolado de 1000 estudantes. Determine uma equação diferencial que governe o número de pessoas x(t) que contraíram a gripe considerando que a taxa com a qual a doença se dissemine seja proporcional ao número de interações entre o número de estudantes com a gripe e o nú-mero de estudantes que ainda não estiveram expostos a ela.

8. Em um instante de tempo t � 0, uma inovação tecnológi-ca é introduzida em uma comunidade com uma população fixa de n pessoas. Determine uma equação diferencial que governe o número de pessoas x(t) que tenham adotado a inovação em um instante de tempo t, considerando-se que a taxa com a qual a inovação se dissemina pela comunidade seja proporcional ao número de pessoas que a adotaram juntamente com o número de pessoas que não a adotaram.

Misturas 9. Suponha que um tanque grande de mistura tenha inicialmen-

te 300 litros de água na qual 50 kg de sal foram adicionados. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros/min, e quando a solução está bem misturada, é bombeada para fora à mesma taxa. Determine uma equação diferencial para a quantidade A(t) de sal no tanque no ins-tante de tempo t. O que é A(0)?

10. Suponha que um tanque grande de mistura tenha inicialmen-te 300 litros de água na qual 50 kg de sal foram adicionados. Água pura é bombeada para o tanque a uma taxa de 3 litros/min, e quando a solução está bem misturada, é bombeada para fora à uma taxa mais lenta, de 2 litros/mim. Se a con-centração da solução que entra for de 2 kg/litro, determine uma equação diferencial para a quantidade A(t) de sal no tanque no instante de tempo t.

11. Qual é a equação diferencial no Problema 10, considerando que a solução bem misturada seja bombeada para fora a uma taxa mais rápida de 3,5 litros/min?

12. Generalize o modelo dado em (8) na página 37 consideran-do que o tanque inicialmente contenha N0 litros de salmou-ra, rin e rout sejam as taxas de entrada e saída de salmoura, respectivamente (medidas em litros por minuto), cin seja a concentração do sal no fluxo de entrada, c(t) seja a concen-tração de sal no tanque e no fluxo de saída no instante de tempo t (medida em quilos de sal por litro), e A(t) seja a quantidade de sal no tanque no instante de tempo t.

Esvaziando um tanque 13. Suponha que água esteja vazando de um tanque através de

um buraco circular de área Ah em sua base. Quando água es-capa através do buraco, o atrito e a contração do fluxo próxi-mo ao buraco reduzem o volume de água deixando o tanque por segundo para , onde c (0� c �1) é uma cons-tante empírica. Determine uma equação diferencial para a altura h da água no tempo t para o tanque cúbico da Figura 1.29. O raio do buraco é de 2 m, g � 9,81 m/s2.

Aw

h10 m

buracocircular

Figura 1.29 Tanque cúbico do Problema 13.

14. O tanque cônico apresentado na Figura 1.30 perde água através de um buraco circular em sua base. Determine uma equação diferencial para a altura da água h no instante de tempo t. O raio do buraco é de 0,0508 m, g � 9,81 m/s2, e o fator de atrito / contração introduzido no Problema 13 é c � 0,6.

h6,096 m

Aw

2,438 m

buraco circular

Figura 1.30 Tanque cônico do Problema 14.

Circuitos série 15. Um circuito série é constituído por um resistor e um indutor

como ilustrado na Figura 1.31. Determine uma equação di-ferencial para a corrente i(t) considerando que a resistência seja R, a indutância L, e a tensão imposta E(t).

R

LE

Figura 1.31 Circuito série RL do Problema 15.

16. Um circuito série é constituído por um resistor e um capaci-tor como ilustrado na Figura 1.32. Determine uma equação diferencial para a carga q(t) no capacitor considerando que a resistência seja R, a capacitância C, e a tensão imposta E(t).

C

R

E

Figura 1.32 Circuito série RC do Problema 16.


Queda de corpos e resistência do ar 17. Em movimentos de alta velocidade no ar, como o salto livre

no ar mostrado na Figura 1.33 antes que o pára-quedas seja aberto, a resistência do ar é próxima a uma potência da velo-cidade instantânea v(t). Determine uma equação diferencial para a velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m, considerando que a resistência do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade instantânea.

mg

kv2

Figura 1.33 Resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade no Problema 17.

Segunda lei de Newton ePrincípio de Arquimedes 18. Um barril cilíndrico de s m de diâmetro e w kg de peso está

flutuando na água como indicado na Figura 1.34(a). Após uma depressão inicial, o barril exibe um movimento para cima e para baixo inclinado ao longo de uma linha vertical. Utilizan-do a Figura 1.34(b), determine uma equação diferencial para o deslocamento vertical y(t) considerando que a origem seja tomada como estando no eixo vertical da superfície da água quando o barril está em repouso. Aplique o Princípio de Ar-quimedes: a flutuação, ou força para cima da água no barril, é igual ao peso da água deslocada. Considere que a direção para baixo seja positiva, que a densidade da água seja de 1000 kg/m3, e que não exista resistência entre o barril e a água.

s/2

0

(a)

s/2

0

(b)

superfície y(t)

Figura 1.34 Movimento do barril flutuante no Problema 18.

Segunda lei de Newton e lei de Hooke 19. Após uma massa m ser conectada a uma mola, ela é esticada

s unidades e então atinge o repouso na posição de equilíbrio como apresentado na Figura 1.35(b). Após o sistema massa/mola ser colocado em movimento, considere que x(t) repre-senta a distância da massa além da posição de equilíbrio. Como indicado na Figura 1.35(c), admita que a direção para baixo seja positiva, que o movimento ocorra ao longo de

uma reta vertical através do centro de gravidade da massa, e que as únicas forças que atuam no sistema sejam o peso da massa e a força de restauração da mola esticada. Aplique a lei de Hooke: A força de restauração de uma mola é propor-cional ao seu alongamento total. Determine uma equação diferencial para o deslocamento x(t) no instante de tempo t.

m

m x = 0 s

(c)(b)

posição deequilíbrio

(a)

mola não-esticada

x (t) < 0

x (t) > 0

Figura 1.35 Sistema massa/mola do Problema 19.

20. No Problema 19, qual é a equação diferencial para o deslo-camento x(t) se o movimento ocorre em um meio que trans-mite uma força de amortecimento ao sistema massa/mola que é proporcional à velocidade instantânea da massa e atua em uma direção oposta àquela do movimento?

Segunda lei de Newton e massa variável

Quando a massa m de um corpo que se move por um campo de for-ça varia, a segunda lei de Newton assume uma outra forma: Se a força líquida atuando em um corpo não é zero, então a força líquida F é igual à taxa temporal de variação do momento do corpo. Isto é,

(18)

onde mv é o momento. Aplique esta formulação da segunda lei de Newton nos Problemas 21 e 22.

21. Uma corrente uniforme com 10 m de comprimento é amon-toada de forma livre no solo. Conforme indicado na Figura 1.36, uma extremidade da corrente é puxada verticalmente para cima por uma força constante de 5 N. A corrente pesa 1 N/m. Determine uma equação diferencial para a altura x(t) da extremidade acima do nível do solo no instante de tempo t. Admita que a direção positiva seja para cima.

forçapara cimade 5 N

x(t)

Figura 1.36 Corrente puxada para cima do Problema 21.

* Observe que quando m for constante, esta equação é igual a F � ma.


22. Uma corrente uniforme de comprimento L, medida em me-tros, é mantida verticalmente de modo que a extremidade inferior apenas encoste o chão, como ilustrado na Figura 1.37. A corrente pesa 2 N/m. A extremidade superior que está suspensa é liberada a partir do repouso em t � 0 e a cor-rente cai. Ignore a resistência do ar, considere que a direção positiva seja para baixo e que x(t) denote o comprimento da corrente no chão no instante de tempo t. Utilize o fato de que a força líquida F em (18) atuando na corrente no tempo t � 0 seja a constante 2L para mostrar que a equação dife-rencial para x(t) é

L

Figura 1.37 Corrente mantida verticalmente no Problema 22.

Segunda lei de Newton e alei da gravitação universal 23. Pela lei de Newton da gravitação universal, a aceleração a

de um corpo em queda livre, como o satélite mostrado na Fi-gura 1.38, caindo a uma grande distância rumo à superfície não é a constante g. Ao invés, a aceleração a é inversamente proporcional ao quadrado da distância a partir do centro da terra, a � kr2, onde k é a constante de proporcionalidade. Utilize o fato de que na superfície da Terra r � R e a � g para determinar k. Se a direção positiva for para cima, aplique a segunda lei de Newton e a sua lei universal da gravitação para determinar uma equação diferencial para a distância r.

satélite demassa m

R

Terra de massa M

rsuperfície

Figura 1.38 Satélite no Problema 23.

24. Suponha que um buraco seja perfurado através do centro da Terra e uma bola de boliche de massa m seja abandonada no buraco, como mostra a Figura 1.39. Construa um modelo matemático que descreva o movimento da bola. No tempo t, considere r como a distância a partir do centro da Terra para a massa m, M como a massa da Terra, Mr como a massa da parcela da Terra dentro de uma esfera de raio r, e d como a densidade constante da Terra.

m

R

r

superfície

Figura 1.39 Buraco através da Terra no Problema 24.

Modelos matemáticos variados 25. Teoria da aprendizagem Na teoria da aprendizagem, a

taxa com a qual um assunto é memorizado é considerada como sendo proporcional à quantidade a ser memorizada. Suponha que M se refira à quantidade total de um assunto a ser memorizado e A(t) seja a quantidade memorizada no tempo t. Determine uma equação diferencial para a quanti-dade A(t).

26. Tendência ao esquecimento No Problema 25, considere que a taxa com a qual um assunto é esquecido seja propor-cional à quantidade memorizada no tempo t. Determine uma equação diferencial para A(t) quando a tendência ao esque-cimento é levada em conta.

27. Infusão de uma droga Uma droga é injetada na corrente sanguínea de um paciente a uma taxa constante de r gramas por segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma taxa proporcional à quantidade x(t) de droga presente no instante de tempo t. Determine uma equação diferencial que governe a quantidade x(t).

28. Tractrix Uma pessoa P, partindo da origem, se move na direção do eixo x positivo, puxando um peso ao longo de uma curva C, denominada tractrix, como indicado na Figu-ra 1.40. O peso, inicialmente localizado no eixo y em (0, s), é puxado por uma corda de comprimento constante s, que é mantida tensionada durante o movimento. Determine uma equação diferencial para o caminho de movimento. Admita que a corda esteja sempre tangente a C.

y

y sC

xP

θ

(x, y)

(0, s)

Figura 1.40 Curva tractrix no Problema 28.


29. Superfície de reflexão Considere que quando a curva plana C mostrada na Figura 1.41 é girada sobre o eixo x, ela gera uma superfície de revolução com a propriedade de que todos os raios de luz L paralelos ao eixo x que atinjam a superfície sejam refletidos para um ponto único O (a origem). Utilize o fato de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de re-flexão para determinar uma equação diferencial que descre-va o formato da curva C. Tal curva C é importante em apli-cações que abrangem a construção de telescópios de antenas de satélites, faróis dianteiros de automóveis e coletores solares. [Dica: A inspeção da figura mostra que podemos escrever f � 2u. Por quê? Aplique agora uma identidade trigonométrica apropriada.]

C

θ

θ

L

Ox

ytangente

φ

P(x, y)

Figura 1.41 Superfície refletora no Problema 29.

Problemas para discussão 30. Releia o Problema 37 nos Exercícios 1.1 e calcule uma solu-

ção explícita P(t) para a equação (1). Determine uma família de soluções de um parâmetro para (1).

31. Releia a sentença que se segue a equação (3) e considere que Tm seja uma constante positiva. Discuta por que espera-ríamos k � 0 em (3) tanto para o caso de resfriamento como para o caso de aquecimento. Você pode começar interpre-tando, por exemplo, T(t) � Tm de uma maneira gráfica.

32. Releia a discussão associada à equação (8). Se considerar-mos que o tanque armazene inicialmente, por exemplo, 50 quilos de sal, isso nos leva a raciocinar que, como sal está sendo adicionado ao tanque continuamente para t � 0, A(t) deveria ser uma função crescente. Discuta como você deter-minaria a partir da ED, sem de fato resolvê-la, a quantidade de quilos de sal no tanque após um longo período de tempo.

33. Modelo de população A equação diferencial

, onde k é uma constante positiva, é um

modelo de população humana P(t) de uma determinada co-munidade. Discuta uma interpretação para a solução dessa equação. Em outras palavras, qual tipo de população você pensa que essa equação diferencial descreve?

34. Fluido em rotação Como indicado na Figura 1.42(a), um cilindro circular parcialmente preenchido com fluido é gira-do com uma velocidade angular constante v sobre um eixo y vertical em relação ao seu centro. O fluido em rotação é uma superfície de revolução S. Para identificar S, primeiro estabelecemos um sistema de coordenadas que consiste de um plano vertical determinado pelo eixo y e um eixo x de-

senhado perpendicular ao eixo y de modo que o ponto de interseção dos eixos (a origem) esteja posicionado no pon-to mais baixo na superfície S. Buscamos então uma função y � f(x), que representa a curva C de interseção da superfí-cie S e o plano de coordenada vertical. Seja o ponto P(x, y) a posição de uma partícula de massa m do fluido em rotação no plano coordenado. Veja a Figura 1.42(b).

(a) Em P, existe uma força de reação de magnitude F em decorrência de outras partículas do fluido, normal à su-perfície S. Pela segunda lei de Newton, a magnitude da força líquida atuando sobre a partícula é mv2x. O que é esta força? Utilize a Figura 1.42(b) para discutir a natu-reza e a origem das equações

F cos u � mg, F sen u � mv2x.

(b) Utilize o item (a) para determinar uma equação diferen-cial de primeira ordem que defina a função y � f(x).

θ

θ mg

x

y

P(x, y)

reta tangente àcurva C em P

curva C de interseçãodo plano xy e asuperfície de revolução

yω

P

)b()a(

m 2xω

Figura 1.42 Fluido em rotação do Problema 34.

35. Queda de corpos No Problema 23, considere r � R � s, onde s é a distância a partir da superfície da Terra até o corpo em queda. Em que a equação diferencial obtida no Problema 23 se torna quando s é muito pequena em relação a R?

36. Gotas de chuva continuam caindo Na meteorologia, o ter-mo virga se refere às gotas de chuva ou partículas de gelo em queda que se evaporam antes de atingir o solo. Consi-dere que uma gota de chuva típica tenha formato esférico. A partir de um determinado tempo, que podemos designar como t � 0, a gota de chuva de raio r0 cai de uma nuvem a partir do repouso e começa a evaporar.

(a) Caso se considere que uma gota de chuva se evapore de modo que seu formato permaneça esférico, então faz sentido admitir que a taxa na qual a gota de chuva se evapora, isto é, a taxa com a qual ela perde massa, seja proporcional à sua área de superfície. Mostre que esta última hipótese implica que a taxa na qual o raio r da gota de chuva decresça seja uma constante. Determine r(t). [Dica: Veja o Problema 47 nos Exercícios 1.1.]

(b) Considerando que a direção positiva seja para baixo, construa um modelo matemático para a velocidade v da queda da gota de chuva no instante de tempo t. Ignore a resistência do ar. [Dica: Veja a introdução dos Proble-mas 21 e 22.]

37. Deixe nevar O “problema do trator que retira neve” é um clássico e aparece em muitos livros de equações diferen-ciais, mas provavelmente se tornou famoso por Ralph Pal-mer Agnew:


“Um dia começou a nevar a uma taxa forte e constante. Um trator começou a trabalhar ao meio-dia, percorrendo 2 quilômetros na primeira hora e um quilômetro na segunda hora. A que horas começou nevar?”

Se possível, encontre o livro Differential Equations, Ralph Palmer Agnew, McGraw-Hill Book Co., e então discuta a construção e a solução do modelo matemático.

38. Releia esta seção e classifique cada modelo matemático como linear ou não-linear.

39. Dinâmica da população Considere que P¿(t) � 0,15 P(t) represente um modelo matemático para o crescimento de uma determinada cultura de células, onde P(t) é o tamanho

da cultura (medido em tamanho de células) no tempo t (me-dido em horas). Quão rápido é o crescimento da cultura no instante de tempo t quando o tamanho da cultura atinge 2 milhões de células?

40. Decaimento radioativo Considere que

A¿(t) = –0,0004332A(t)

represente um modelo matemático para o decaimento do rádio-226, onde A(t) é a quantidade de rádio (medida em gramas) restante no tempo t (medido em anos). Qual é a quantidade da amostra de rádio resta no instante de tempo t quando a amostra está decaindo a uma taxa de 0,002 gra-mas por ano?

Nos Problemas 1 e 2, preencha o espaço em branco com uma equação diferencial de primeira ordem linear que esteja livre do símbolo c1 e tenha a forma dy/dx � f(x, y). Os símbolos c1 e k representam constantes.

1.

___________________

2.

___________________

Nos Problemas 3 e 4, preencha o espaço em branco com uma equação diferencial de segunda ordem linear que esteja livre dos símbolos c1 e c2 e tenha a forma F(y, y–) � 0. Os símbolos c1, c2 e k representam constantes.

3.

___________________

4.

__________________

Nos Problemas 5 e 6, calcule y¿ e y– e então combine estas de-rivadas com y como uma equação diferencial de segunda or-dem linear que seja livre dos símbolos c1 e c2 e tenha a forma F(y, y¿, y–) � 0. Os símbolos c1 e c2 representam constantes.

5. y � c1ex � c2xex

6. y � c1ex cos x � c2e

x sen x

Nos Problemas 7-12, case cada uma das equações diferenciais dadas com uma ou mais dessas soluções:

(a) y � 0, (b) y � 2, (c) y � 2x, (d) y � 2x2.

7. xy¿ � 2y 8. y¿ � 2

9. y¿ � 2y � 4 10. xy¿ � y

11. y– � 9y � 18 12. xy– � y¿ � 0

Nos Problemas 13 e 14, determine por inspeção ao menos uma solução da equação diferencial indicada.

13. y– � y

14. y¿ � y(y � 3)

Nos Problemas 15 e 16, interprete cada enunciado como uma equação diferencial.

15. No gráfico de y � f(x), o coeficiente angular da reta tangen-te em um ponto P(x, y) é o quadrado da distância de P(x, y) à origem.

16. No gráfico de y � f(x), a taxa com a qual o coeficiente an-gular varia em relação a x em um ponto P(x, y) é o negativo da reta tangente em P(x, y).

17. (a) Defina o domínio da função y � x2/3.

(b) Defina o maior intervalo I de definição sobre o qual y � x2/3 é uma solução da equação diferencial 3xy¿ � 2y � 0.

18. (a) Verifique que a família de um parâmetro y2 � 2y � x2 � x � c é uma solução implícita da equação diferencial (2y � 2)y¿ � 2x �1.

(b) Determine um membro da família de um parâmetro no item (a) que satisfaça a condição inicial y(0) � 1.

(c) Utilize o seu resultado no item (b) para calcular uma função explícita y � f(x) que satisfaça y(0) � 1. Defi-na o domínio de f. y � f(x) é uma solução do proble-ma de valor inicial? Se sim, determine o seu intervalo I de definição; caso contrário, explique.

19. Dado que é uma solução da ED xy¿ � y � 2x,

determine x0 e o maior intervalo I para o qual y(x) é uma solução do PVI

xy¿ � y � 2x; y(x0) � 1.

20. Suponha que y(x) denote uma solução do problema de valor inicial y¿ � x2 � y2, y(1) � �1 e que y(x) tenha pelo menos uma derivada segunda em x � 1. Em alguma vizinhança de x � 1, utilize a ED para determinar se y(x) está crescendo ou decrescendo, e se o gráfico de y(x) é côncavo para cima ou para baixo.

21. Uma equação diferencial pode ter mais do que uma família de soluções.

CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 320.

Exercícios de Revisão 47

(a) Trace o gráfico de diferentes membros das famílias y � f1(x) � x2 � c1 e y � f2(x) � � x2 � c2.

(b) Verifique que y � f1(x) e y � f2(x) são duas soluções da equação diferencial de primeira ordem não-linear (y¿)2 � 4x2.

(c) Construa uma função definida por partes que seja solu-ção da ED não-linear no item (b), mas que não seja um membro das famílias de soluções do item (a).

22. Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da solução de y¿ � 6 � 5x3 que passa por (�1, 4)?

Nos Problemas 23-26, verifique que a função indicada é uma so-lução particular da equação diferencial dada. Indique um interva-lo de definição I para cada solução.

23. y– � y � 2 cos x � 2 sen x; y � x sen x � x cos x

24. y– � y sec x; y � x sen x � (cos x) ln(cos x)

25. x2y– � xy¿ � y � 0; y � sen(ln x)

26. x2y– � xy¿ � y � sec(ln x);y � cos(ln x) ln (cos(ln x)) � (ln x) sen(ln x)

27. O gráfico de uma solução de um problema de valor inicial de segunda ordem d2y/dx2 � f(x, y, y¿), y(2) � y0, y¿(2) � y1,

é apresentado na Figura 1.43. Utilize o gráfico para estimar os valores de y0 e y1.

y

x

5

–5

5

Figura 1.43 Gráfico do Problema 27.

28. Um tanque com a forma de um cilindro circular de raio 0,609 m e altura 3,048 m está sustentado em uma das ex-tremidades. Considerando que o tanque esteja inicialmente cheio de água, e que água vaze a partir de um buraco circu-lar de raio 0,0127 m na sua base, determine uma equação diferencial para a altura h da água no instante de tempo t. Ignore o atrito e a contração da água no buraco.

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Introdução às Equações Diferenciais