Apresentação Equações Diferenciais - Bernoulli

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Apresentação sobre como resolver equações diferenciais de Bernoulli. Mostra-se como determinar o Fator Integrante, apresentando-se um exemplo ao final.

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  • 1. Equaes Diferenciais Lineares Autor: Jos de Frana Bueno Plo: Santos

2. As equaes diferenciais Lineares Este conjunto de slides apresenta parte do contedo da disciplina Equaes Diferenciais Ordinrias.Esta a 6a. aula desta disciplina. 3. As equaes diferenciais Lineares

  • J estudamos o que so equaes diferenciais, o que so equaes diferenciais ordinrias, grau e ordem de uma equao diferencial.

4. As equaes diferenciais Lineares

  • Tambm j vimos algumas situaes reais representadas por modelos matemticos.
  • Alm disso, j estudamos equaes diferenciais separveis, homogneas e equaes diferenciais exatas e aplicamos a idia de fator integrante para resolver algumas equaes no-exatas.

5. As equaes diferenciais Lineares

  • Comecemos nosso estudo de Equaes Diferenciais Lineares com uma pergunta:
  • O que a LINEARIDADE na Matemtica?
  • Voc j estudou algum objeto matemtico que apresentava propriedades lineares? Pense um pouco. Tente lembrar.

6. As equaes diferenciais Lineares

  • Antes de prosseguir, tente efetuar algumas buscas na Internet ou nos livros de sua biblioteca sobre o que Linearidade.Exerccio: possvel encontramos objetos no Ensino Fundamental que apresentem propriedades lineares? Sugesto: busque associar com os nomes de alguns dos entes matemticos do Ensino Fundamental

7. As equaes diferenciais Lineares

  • Exemplos (do ensino fundamental):i) Sistemas de equaes Lineares ii) Funes Lineares
  • (de 1o. grau, com b = 0) iii) Matrizes No ensino superior, a operao de Integrao e a operao de Derivao tambm so operaes lineares

8. As equaes diferenciais Lineares

  • Dizemos que uma Equao Diferencial linear quando pode ser escrita na forma:i) A varivel dependente y e todas suas derivadas so do 1o. grau (a potncia de cada termo envolvendo y 1) ii) os coeficientes dependem apenas de x

9. As equaes diferenciais Lineares

  • Uma equao que no seja linear e dita no-linear.O exemplo mais simples de uma EDO linear :

10. As equaes diferenciais Lineares

  • Dividindo pelo coeficiente a1(x):
  • (1) Para resolver esta equao vamos supor nos prximos problemas que as funes P(x) e f(x) so contnuas.

11.

  • Fator de Integrao Vamos re-escrever (1) na formady + [P(x)y f(x)]dx = 0Como a equao linear, podemos encontrar uma funo u(x) tal que u(x) dy + u(x)[P(x)y f(x)] dx = 0(2) Seja uma Equao Diferencial Exata.

As equaes diferenciais Lineares 12.

  • Como estamos supondo que a equao acima seja exata, vale que:
  • Ento:
  • Voc sabe explicar esta ltima passagem?

As equaes diferenciais Lineares 13.

  • A ltima equao do slide anterior uma Equao Diferencial Separvel:Podemos determinar u(x):

As equaes diferenciais Lineares 14.

  • Ento(3) A funo (3) chamada fator de integrao.

As equaes diferenciais Lineares 15.

  • Multiplicamos a equao original pelo fator integrante:Podemos escrev-la como:

As equaes diferenciais Lineares 16.

  • Integramos esta ltima equao: Finalmente, a soluo da Equao Diferencial ser dada por:

As equaes diferenciais Lineares 17.

  • Exemplo: ResolvaResoluo: inicialmente escrevemos a equao como (2)

As equaes diferenciais Lineares 18.

  • Identificamos P(x) = - 4/x. Logo, o fator de integrao ser:Acima usamos que

As equaes diferenciais Lineares 19.

  • Multiplicando a equao (2) pelo fator integrante:Que, pode ser escrita como:

As equaes diferenciais Lineares 20.

  • Integrando-se por partes:Finalmente, a soluo da Equao diferencial ser:

As equaes diferenciais Lineares 21.

  • Referncia Bibliogrfica:1. Zill, Dennis e Cullen, Micheal. Equaes Diferenciais, Volume 1, pginas 68-71. Makron Books. 2001.

As equaes diferenciais Lineares