Equacao de Cauchy e suas variacoes

Matheus Secco

26 de Setembro de 2014

1 Introducao

Nosso objetivo nesta aula sera estudar a equacao de Cauchy, dada por f(x + y) = f(x) + f(y) e suasdiversas variacoes.

2 Quando o domnio e Q1. Seja f : R R tal que f(x + y) = f(x) + f(y) para todos x, y reais. Prove que:a) f(0) = 0

b) f e mpar

c) f(n) = nf(1) para todo n inteiro

d) f(nx) = nf(x) para todo n inteiro e x real

e) Conclua que f(q) = qf(1) para q racional

2. Determine todas as funcoes f : Q R tais que f(x + y2

) =f(x) + f(y)

2.

3. Determine todas as funcoes f, g, h : Q R tais que f(x + y) = g(x) + h(y).4. (Romenia 2006) Sejam r, s racionais. Encontre todas as funcoes f : Q Q tais que para todos

x, y racionais, vale quef(x + f(y)) = f(x + r) + y + s

5. (Balcanica 2003) Encontre todas as funcoes f : Q R que satisfazem as seguintes condicoes:a) f(1) + 1 > 0

b) f(x + y) xf(y) yf(x) = f(x)f(y) x y + xy para todos x, y racionais

c) f(x) = 2f(x + 1) + x + 2 para todo x racional

3 Quando o domnio e RInfelizmente, quando lidamos com funcoes de domnio real, nao e possvel garantir a priori que todas assolucoes da equacao de Cauchy sao da forma cx, onde c e constante. De fato, sem qualquer hipoteseadicional sobre f , e possvel construir exemplos de funcoes nao lineares (via Axioma da Escolha) quesatisfazem a equacao de Cauchy.

Por outro lado, em determinadas situacoes, e possvel garantir que uma funcao f que satisfaz aequacao de Cauchy deve ser linear. Veremos isto nos exerccios.

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1. Prove que Q e denso em R. Aqui, podemos pensar da seguinte forma: Q ser denso em R significaque dados dois reais a e b distintos, sempre existe um racional q tal que a < q < b.

2. Prove que f , que satisfaz a equacao de Cauchy, deve ser linear quando pelo menos uma dascondicoes a seguir for satisfeita:

a) f e monotona (crescente ou decrescente)

b) f e multiplicativa, ou seja, f(xy) = f(x)f(y)

c) f e limitada em um intervalo [a, b]

3. Seja f : (0,) R uma funcao tal que f(xy) = f(x)f(y) para todos x, y positivos. Suponha quef e crescente e que f(2) = 4. Determine todas as funcoes f com tais propriedades.

4. (Romenia 1997) Encontre todas as funcoes f : R (0,+) tais que para todos x, y reais, vale que

f(x2 + y2) = f(x2 y2) + f(2xy)

5. (IMO 1992) Encontre todas as funcoes f : R R tais que para todos x, y reais, vale que

f(x2 + f(y)) = y + (f(x))2

6. (Romenia 1998) Encontre todas as funcoes monotonas u : R R que possuem a propriedade deexistir uma funcao estritamente monotona f : R R tal que, para todos x, y reais, vale que

f(x + y) = f(x)u(x) + f(y)

7. (EUA 2012) Encontre todas as funcoes f : R R tais que para todos x, y reais, vale que

f(x + y2) = f(x) + |yf(y)|

8. (IMO 2002) Encontre todas as funcoes f : R R tais que para todos x, y, z, t reais, vale que

(f(x) + f(z)) (f(y) + f(t)) = f(xy zt) + f(xt + yz)

9. (India 2003) Encontre todas as funcoes f : R R tais que para todos x, y reais, vale que

f(x + y) + f(x)f(y) = f(x) + f(y) + f(xy)

10. (Ira 2008) Encontre todas as funcoes f : R R tais que para todos x, y reais, vale que

f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)

11. (Banco IMO 2007) Encontre todas as funcoes f : (0,+) (0,+) tais que

f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y)

para todos x, y reais positivos.

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