7/16/2019 Ficha Apoio transformações geométricas Módulo 2 - Funções polinomiais
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A2 - Funções Polinomiais10.º ano
Transformações geométricas nos gráficos das funções
Translação vertical do gráfico de uma função
Seja f uma função definida pela expressão analítica f ( x ) e c uma constante real não nula.
Seja g a função definida por.
c x f x g )()( .
O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f deslocando este c unidades na vertical.
• Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para cima.
• Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para baixo.
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Exemplo 1: Deslocação na vertical e contradomínio de uma função
Considere a função f cuja representação gráfica é a seguinte:
1.1. Indique o contradomínio da função f .
1.2. Indique o contradomínio da função h, sendo:
a) 1)()( x f xh b) 2)()( x f xh
1.3. Indique os valores reais que c pode tomar de modo que a função c x f x p )()( não tenha zeros.
Resolução:
1.1. D’ f = [-1, +[;
1.2. a) D’h = [0, +[; b) D’h = [-3, +[;
1.3. Qualquer valor de c pertencente ao intervalo ]1, +[.
Translação horizontal do gráfico de uma função
Seja f uma função definida pela expressão analítica f ( x ) e c uma constante real não nula.
Seja g a função definida por.
)()( c x f x g .
O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f deslocando este c unidades na horizontal.
• Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para a esquerda.
• Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para a direita.
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Exemplo 2: Deslocação na horizontal. Domínio de uma função
Considere a função f , de domínio [-1, +[, cuja representação gráfica é a seguinte:
2.1. Indique o domínio da função h, sendo )5()( x f xh .
2.2. Indique c de modo que a função )()( c x f x p tenha domínio +0.
Resolução:
2.1. Dh = [4, +[;
2.2. D p = ]-1-c, +[D p = +
0 -1-c = 0 c = 1.
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Translação horizontal e vertical do gráfico de uma função generalização
Considere-se as funções f e g , sendo ba x f x g )()( .
O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f adicionando a à variável independente e b àvariável dependente. O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f por um deslocamentohorizontal seguido de um deslocamento vertical, ou seja, efectuando uma translação associada ao vector
).,( bau
Exemplo 3: Deslocação horizontal e vertical
3.1. Descreva como pode obter uma representação gráfica da função:
A partir da função:
Confirme a sua resposta recorrendo à calculadora gráfica.
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3.2. As representações gráficas de h e g têm a mesma forma de representação gráfica da função f
definida por2
2)( x x f .
Escreva uma expressão analítica para as funções h e g.
Resolução:
3.1. )3(2)( x f x g Uma representação gráfica de g obtém-se fazendo um deslocamento da representação gráfica de f , nahorizontal, de 3 unidades para a direita, seguido de um deslocamento na vertical, de 2 unidades parabaixo.
3.2.
Expansão e contracção na vertical do gráfico de uma função
Considere-se c + \ {1}.
O gráfico da função g, sendo )()( xcf x g , que resulta da função f multiplicando por c a variável
dependente, obtém-se do gráfico de f expandindo ou contraindo na vertical, segundo o valor de c. Assim:
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Exemplo 4: Extensão e contracção na vertical do gráfico de uma função
Considere os gráficos A , B , C e D:
e as funções:
)(41 x f y ; )(22 x f y ; )3(3 x f y ; )(34 x f y ;
25
x f y ; )(
2
16 x f y ; 3)(7 x f y ; 1)(8 x f y .
Faça corresponder a cada gráfico uma das funções.
Resolução:
(A) )(2
16
x f y ; (B) )(22 x f y ; (C) )(34 x f y , (D) )(41 x f y
Expansão e contracção na horizontal do gráfico de uma função
Considere-se c + \ {1}.
O gráfico da função g, sendo )()( cx f x g , que resulta da função f multiplicando por c a variável
independente, obtém-se do gráfico de f contraindo-o ou expandindo-o na horizontal, segundo o valor de c.Assim:
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Exemplo 5: Expansão e contracção do gráfico de uma função
Descreva como pode obter o gráfico de g a partir de uma função f , sabendo que:
5.1.
x f x g 3
13)( ;
5.2. x f x g 43,0)( .
Experimente, com uma função adequada, as suas respostas.
Resolução:
5.1.
x f x g
3
13)(
A variável independente está multiplicada por
3
1.
Por tal, o gráfico de f expande (estica) na horizontal.A variável dependente está multiplicada por 3.Por tal, o gráfico de f expande (estica) na vertical.
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5.2. x f x g 43,0)(
A variável independente foi multiplicada por 4, um factor superior a 1.Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na horizontal.
A variável dependente foi multiplicada por um número do intervalo ]0,1[.Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na vertical.
Sendo f definida por x x y x f 3)(3
1
, os écrans representados ao lado
mostram os gráficos de f , g e h.
Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo Oy. Função par
Sejam:
A representação gráfica da função g obtém-se da representação gráfica de f por simetria relativamente aoeixo Oy.
Por vezes, quando se substitui x por x na expressão analítica que define a função, se verifica uma“reflexão” relativamente ao eixo Oy.
E se a representação gráfica da função f fosse simétrica em relação ao eixo Oy?
Neste caso haveria sobreposição de gráficos e a função seria designada por função par.
Exemplo 6: Função par
Mostre analiticamente e verifique graficamente que a função f definida por24
2)( x x x f é uma funçãopar.
A função f é uma função par se o gráfico de f é simétrico relativamente ao eixo Oy, ou seja,
)()( x f x f , para todo o x do domínio de f .
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Resolução:
Analiticamente
242)( x x x f
O domínio de f é .
Seja x um número real qualquer, então vem que:
)(2 2424)(2)()( x f x x x x x f
Então )()( x f x f para todo o x do domínio de f , logo, f é par.
Graficamente
Graficamente, verifica-se que o gráfico de f é simétrico relativamente aoeixo Oy, logo, f é par.
Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo Ox
Sejam:
O gráfico da função g é simétrico do gráfico de f relativamente ao eixo Ox.
Também se diz que o gráfico de )()( x f x g é a reflexão do gráfico de f relativamente ao eixo Ox.
Para qualquer função f , o ponto do gráfico )(, x f x em relação ao eixo Ox.
Observação: Note-se que aobservação dom gráfico deuma função permite concluirse uma função é ou não par.
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Exemplo 7: Transformação do gráfico de uma função
Descreva como pode obter a representação gráfica de g a partir da representação gráfica de f , se
)(4)( x f x g .
Dê um exemplo, particularizando para a função f , usando a calculadora gráfica.
Resolução:
)(4)1()(4)( x f x f x g
A representação gráfica de g obtém-se da representação gráfica de f mediante uma expansão vertical pelofactor 4, seguida de uma simetria relativamente ao eixo dos xx.
Por exemplo, sejam:
Simetria em relação à origem do referencial. Função ímpar
Se a função f é ímpar, qualquer ponto do gráfico )(, x f x é o simétrico relativamente à origem de outro
ponto do gráfico )(, x f x .
A função f é uma função ímpar se o gráfico de f é simétrico relativamente à origem do referencial, ou
seja, )()( x f x f , para todo o x do domínio de f .
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Para estudar a paridade de uma função, determina-se a expressão analítica de )( x f e compara-se com
a de )( x f .
Se, para todo o x do domínio de f :
• )()( x f x f , a função é par;
• )()( x f x f , a função é ímpar.
Se, para algum x do domínio de f :• )()( x f x f , a função não é par;
• )()( x f x f , a função não é ímpar.
Observação: uma função pode não ser par nem ímpar.
Exemplo 8: Será uma função par? E ímpar?
Estude a paridade da função:
Verifique com a calculadora gráfica.
Resolução:
x x x f 3
)(
)()()(3
x x x f
x x x f 3
)(
Logo, a função dada é uma função ímpar.
Com recurso à função Trace da calculadora verifica-se que há sobreposições dos dois gráficos.
)()( x f x f é o mesmo que )()( x f x f x x x f
3)(