Física Básica D
Paulo José Sena dos Santos
Florianópolis, 2009
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Catalogação na fonte: Eleonora Milano Falcão Vieira
S237fSantos, Paulo José Sena dos Física básica D / Paulo José Sena dos Santos. - Florianópolis : UFSC/ EAD/CED/CFM, 2009. 219p. ISBN 978-85-99379-26-4 1.Física. I. Título.
CDU 53
Sumário
Apresentação .................................................................... 9
1 Lei de Coulomb .............................................................11
1.1 Carga elétrica ........................................................................13
1.2 Condutores e isolantes .........................................................17
1.3 Lei de Coulomb .....................................................................19
Resumo ...................................................................................... 23
Bibliografia comentada ...............................................................26
2 O Campo Elétrico ......................................................... 27
2.1 Campo elétrico ......................................................................29
2.2 Campo elétrico produzido por uma carga pontual ............ 30
2.3 Campo elétrico devido a distribuições
contínuas de cargas ............................................................ 33
2.4 Linhas de campo elétrico .....................................................43
2.5 Movimento de partículas carregadas
em um campo elétrico uniforme .........................................45
2.6 Dipolo elétrico em um campo uniforme ............................. 46
Resumo ...................................................................................... 48
Bibliografia comentada ...............................................................52
3 Lei de Gauss ................................................................ 53
3.1 Fluxo ..................................................................................... 55
3.2 Fluxo elétrico ........................................................................ 56
3.3 Lei de Gauss ..........................................................................59
3.4 Aplicações da lei de Gauss a distribuições
simétricas de carga ............................................................. 64
3.5 Cargas e campos elétricos nas
superfícies condutoras .........................................................69
Resumo .......................................................................................79
Bibliografia comentada ...............................................................81
4 O potencial elétrico ...................................................... 83
4.1. Trabalho e energia potencial ............................................. 85
4.2. Diferença de potencial e potencial elétrico ....................... 86
4.3 Potencial elétrico de uma carga pontual ............................ 88
4.4 Potencial elétrico devido a distribuições
contínuas de carga .............................................................. 90
4.5 Superfícies eqüipotenciais ................................................... 96
4.6 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial ................ 96
4.7 Potencial elétrico de um condutor carregado ..................... 98
Resumo ...................................................................................... 99
Bibliografia Comentada ............................................................102
5 Capacitância .............................................................. 105
5.1 Capacitância ........................................................................107
5.2 Cálculos de capacitância ....................................................108
5.3 Associação de capacitores ................................................. 111
5.4 Energia armazenada em um capacitor .............................. 116
5.5 Dielétricos ........................................................................... 117
Resumo ..................................................................................... 119
Bibliografia comentada .............................................................122
6 Corrente elétrica e resistência ................................... 123
6.1 Corrente elétrica ..................................................................125
6.2 Resistência e leis de Ohm ...................................................128
6.3 Energia elétrica e potência .................................................130
6.4 Fonte de força eletromotriz (fonte fem ) ( ) ...................... 131
6.5 Associação de resistores ....................................................132
6.6. Leis de Kirchhoff ................................................................135
6.7 Circuitos RC .........................................................................138
Resumo .....................................................................................142
Bibliografia comentada .............................................................148
7 Campo magnético ...................................................... 149
7.1 Um pouco de história .......................................................... 151
7.2 O campo magnético ............................................................152
7.3 Movimento de uma partícula carregada
em um campo magnético ..................................................154
7.4 Aplicações do movimento de partículas
carregadas em campos magnéticos..................................156
7.4.3 Cíclotrons ..........................................................................158
7.5 Força magnética sobre um condutor de corrente .............160
7.6 Torque sobre uma espira de corrente
em um campo magnético uniforme .................................. 161
Resumo .....................................................................................163
Bibliografia comentada .............................................................167
8 Lei de Ampère ............................................................ 169
8.1 Lei de Biot-Savart ................................................................ 171
8.2 Força magnética sobre dois fios paralelos ......................... 176
8.3 Lei de Ampère .....................................................................178
8.4 Campo magnético de um solenóide ...................................179
Resumo ..................................................................................... 181
Bibliografia comentada .............................................................184
9 Lei de Faraday ............................................................ 185
9.1 Fluxo Magnético ..................................................................187
9.2 Lei de Faraday .....................................................................189
9.3 Aplicações das leis de Faraday ...........................................190
9.4 Lei de Lenz ..........................................................................193
9.5 Indutância ............................................................................194
9.6 Circuitos RL .........................................................................196
9.7 Energia armazenada em um campo magnético................199
Resumo .................................................................................... 200
Bibliografia comentada ............................................................ 204
10 Equações de Maxwell ............................................... 205
10.1 Introdução histórica ..........................................................207
10.2 Corrente de deslocamento de Maxwell ........................... 209
10.3 As equações de Maxwell .................................................. 210
10.4 Ondas eletromagnéticas ................................................... 210
Resumo ..................................................................................... 216
Bibliografia comentada ............................................................. 216
Referências ....................................................................219
Apresentação
Este livro foi escrito para a disciplina de Física Básica D, do curso de Licen-
ciatura a Distância em Física da Universidade Federal de Santa Catarina, que
tem duração de 90 horas-aula.
Conforme você poderá perceber, a presente obra procura, através de uma lin-
guagem acessível, apresentar um pouco da Teoria Eletromagnética, com um
grande número de exemplos resolvidos ao longo dos capítulos.
No capítulo 1 será apresentado um pouco da história do eletromagnetismo,
as propriedades das cargas elétricas e, ao final, a lei de Coulomb e algumas
aplicações.
A força elétrica, assim como a força gravitacional, é uma força de ação a dis-
tância. Desse modo, as definições feitas no estudo da gravitação podem ser
utilizadas no estudo da interação entre cargas elétricas. Assim, no capítulo 2
será definido o campo elétrico, que será calculado em distribuições pontuais e
contínuas de cargas. No final do capítulo discutiremos o movimento de cargas
pontuais e o comportamento de um dipolo elétrico em um campo elétrico.
No capítulo 3 será mostrada uma nova forma de cálculo do campo elétrico
em distribuições contínuas de cargas que apresentam um alto grau de sime-
tria, através da lei de Gauss.
No capítulo 4, através do trabalho realizado pela força elétrica e sua relação
com a energia potencial, serão definidos o potencial elétrico e a diferença de
potencial. Diversas aplicações, tais como cálculos de potencial em diversas
distribuições de cargas e uma nova forma de calcular o campo elétrico, serão
apresentadas. A discussão sobre o comportamento de um condutor em equi-
líbrio eletrostático será finalizada.
No capítulo 5 será discutida a capacitância (e os capacitores – dispositivos
que armazenam energia através do armazenamento de cargas).
No capítulo 6 serão apresentadas as definições de corrente elétrica e resis-
tência. Além de aplicações na resolução de inicialmente de circuitos elétricos
simples e circuitos que envolvam resistências e capacitores.
No capítulo 7 será discutida a interação entre cargas em movimento e um
campo magnético externo. Algumas aplicações tais como: filtro de velocida-
des, espectrômetro de massa e o ciclotron também serão apresentadas.
No capítulo 8 serão discutidas as leis de Biot-Savart e de Ampère.
No capítulo 9 será abordado o fenômeno da indução eletromagnética e a lei
de Faraday, que é fundamental no entendimento do funcionamento de mo-
tores e geradores.
Finalmente, no capítulo 10 serão apresentadas as equações de Maxwell, que
sintetizam as leis do eletromagnetismo. Através dessas equações, Maxwell
previu a existência de ondas eletromagnéticas, que mais tarde foram produ-
zidas em laboratório por Hertz.
Em virtude do desafio de estudar Física a distância, você deve estudar tanto
a teoria quanto os exemplos com bastante atenção. Os exercícios propostos
devem ser resolvidos e as dúvidas discutidas com o professor da disciplina,
com os tutores nos pólos e com seus colegas de curso.
Ao fim de cada capítulo também são apresentadas algumas referências. Mui-
tas delas já devem ser conhecidas de outras disciplinas; outras, principal-
mente as comentadas, apresentam uma conexão entre a teoria discutida e
alguns fenômenos naturais. Alguns autores discutem também a respeito da
história dessa apaixonante parte da Física Clássica.
Espero que você goste e aproveite bastante este livro.
Para finalizar, gostaria de agradecer ao Conselho Editorial pela revisão dessa
obra e a Rodrigo Machado, que em algumas discussões contribuiu bastante
para a feitura desse material.
O autor.
Lei de Coulomb1
13Lei de Coulomb
1 Lei de Coulomb
13
Com certeza você já está familiarizado com uma série de fenômenos que têm origem no comportamento de cargas elétricas. Alguns são naturais, como a incidência de raios em um dia de tempestade; outros são provocados, como o processo de carga em um gerador Van der Graff, presente em uma série de laboratórios e museus de ciências. Além disso, muitos aparelhos, em seu funcionamento, realizam a conversão da energia elétrica em outros tipos de energia.
Começaremos este capítulo enunciando algumas proprie-dades da carga elétrica, tais como conservação e quanti-zação. Nossa discussão continuará com a diferenciação entre condutores e isolantes, e os diversos processos de transferência de carga (também chamados processos de eletrização). Finalmente, terminaremos este capítulo enunciando a lei de Coulomb e aplicando-a à resolução de algumas situações-problema.
1.1 Carga elétrica
Várias experiências mostram a existência de forças entre corpos ele-tricamente carregados. Os gregos já observavam esses fenômenos por volta de 700 a.C. Eles descreveram que pedaços de âmbar, quando atritados, atraíam pequenos pedaços de palha e penas de animais.
Em 1600, William Gilbert, em seu livro De Magnete, afirmou que cor-pos feitos de outros materiais (como o enxofre ou o vidro, por exem-plo) também podiam ser eletrizados por atrito.
Pouco mais de cem anos após a publicação do tratado de Gilbert, em 1733, Charles du Fay mostrou que duas porções do mesmo material (âmbar por exemplo), ao serem eletrizadas por atrito com um tecido, se repeliam. Entretanto, o vidro, ao ser eletrizado por um tecido, atraía o âmbar. Esse fenômeno foi explicado considerando que existiam dois tipos de cargas denominados por du Fay de “vítrea” e “resinosa”. Mais
Elektron, em grego.
Charles François de Cisternay du Fay (1698 – 1739): químico francês especializado em eletricidade, mas também com trabalhos na botânica e sobre a propriedade óptica dos cristais. Morreu aos 41 anos de idade, em Paris, após uma breve enfermidade.
14
tarde, Benjamin Franklin chamou essas cargas de positiva e negativa, respectivamente.
Essa experiência e outras feitas mais tarde mostraram uma importan-te propriedade das cargas elétricas:
“Cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas de sinais contrários se atraem.”
1.1.1 Conservação da CargaOutra propriedade importante da carga elétrica é que:
“Em um sistema isolado a carga total é sempre conser-vada.”
Dessa forma, quando dois corpos neutros são esfregados entre si, não há criação de cargas, e sim a transferência de partículas negati-vamente carregadas de um corpo para outro. Um dos corpos ganha uma quantidade de carga negativa, enquanto o outro perde a mesma quantidade de carga, ficando positivamente carregado.
Para determinar qual o sinal das cargas adquiridas pelos corpos, de-ve-se recorrer à série triboelétrica. Um exemplo desse tipo pode visto abaixo, na tabela 1.1. Ao se esfregarem dois materiais da tabela, as partículas negativas serão transferidas do material mais acima para o material mais abaixo.
Série triboelétrica
(+) Extremidade positiva da série
Amianto
Vidro
Náilon
Alumínio
Papel
Plástico
Borracha de silicone
(-) Extremidade negativa da série
Tabela 1.1: Série triboelétrica.
Em grego, tribos significa fricção.
15Lei de Coulomb
Uma outra forma de se eletrizar corpos é através do contato. Nesse processo, os corpos são apenas colocados em contato, ocorrendo a transferência de cargas de um corpo para outro, conforme mostra a Figura 1.1.
Figura 1.1: Eletrização por contato.
Se dois condutores A e B , com cargas Aq e Bq , respectivamente, após o contato adquirirem cargas 'Aq e 'Bq , a conservação da carga implicará em:
' 'A B A Bq q q q+ = + .
Caso os corpos sejam idênticos:
2A Bq qq +
=
' 'A Bq q q= = .
1.1.2 Quantização da cargaA matéria é composta por átomos eletricamente neutros. Cada átomo possui um núcleo maciço que contém prótons (partículas de carga positiva) e nêutrons (partículas sem carga). Em volta do núcleo existe uma quantidade de elétrons (partículas de carga negativa) em núme-ro igual ao de prótons no núcleo. O próton possui uma carga e+ , enquanto o elétron possui uma massa cerca de 2000 vezes menor, porém uma carga igual a e− . Desse modo, e é a menor carga que podemos encontrar livre na natureza. Esse valor é chamado carga elementar. Toda carga encontrada na natureza é um múltiplo inteiro da carga elementar, assim:
16
19
, 1, 2, ...
1,6 10
q n e n
e C−
= ⋅ = ± ±
= ×
.
A carga elétrica, no Sistema Internacional de Unidades, é medida em coulombs (C ). Esse valor foi obtido através de experimentos.
Exemplo 1: Uma moeda de cobre ( 29Z = ) possui uma massa de 3 g . Qual é a carga elétrica total de todos os elétrons da moeda? (Massa molar do cobre 63,5 /g mol .)
Resolução:
Dicas para a resolução de problemas:1. Ler cuidadosamente, procurando entender o que se
pede.2. Ler e anotar os dados fornecidos.3. Fazer as figuras, localizando os elementos de carga,
corrente etc., e apontar os respectivos vetores.4. Comparar os dados anotados e o que se quer obter
com teoria descrita no capítulo.5. Substituir os valores dados nas respectivas fórmu-
las.
Sabemos que um mol de átomos de cobre possui 236,02 10 átomos× e 63,5 g . Desse modo, podemos escrever:
23
2322
6,02 10 63,5 3
3 6,02 10 2,84 1063,5
átomos gN átomos g
g átomosN átomosg
× − − − − − − − − −− − − − − − − − −
⋅ ×= = ×
.
Lembramos que esse número de átomos é referente a uma moeda de 3g de cobre. O número de elétrons em um átomo de cobre é 29 . Em N átomos, temos:
22 2329 2,84 10 8,24 10n elétrons= ⋅ × = × .
A carga total dos elétrons da moeda de cobre de 3 g é:
A principal experiência foi a do norte-americano Robert Andrews Mílikan (1868–1953), realizada
com minúsculas gotas de óleos eletrizadas
submetidas a um campo elétrico.
17Lei de Coulomb
23 19 58, 24 10 1,6 10 1,32 10q n e C C−= ⋅ = − × ⋅ × = − × .
Observamos que essa carga possui valor bastante elevado em relação à carga elétrica elementar.
1.2 Condutores e isolantes
Em 1729, Stephen Gray constatou que cargas elétricas podiam ser transmitidas através de diferentes materiais, os quais foram chama-dos de condutores, e tendiam a permanecer retidas em outros, chama-dos isolantes.
Hoje esses materiais são classificados de acordo com a habilidade das cargas de estarem, ou não, em movimento no interior do material. Desse modo:
• Condutores – são materiais nos quais as cargas elétri-cas se deslocam de maneira relativamente livre.• Isolantes – são materiais nos quais as cargas elétricas não se deslocam livremente.
Materiais como o vidro, a água destilada, a borracha, plásticos e gases em condições normais são isolantes. Quando uma barra de plástico, por exemplo, é carregada por atrito, apenas a área friccionada torna-se carregada. Já materiais como os metais, água contendo ácidos, bases ou sais em solução são condutores. Quando os metais são car-regados, por exemplo, as cargas distribuem-se por toda a superfície do material.
Existe ainda uma terceira classe de materiais, de propriedades in-termediárias entre as dos condutores e dos isolantes, denominados semicondutores. No interior desses materiais existem menos cargas deslocando-se do que em um condutor.
1.2.1 Carga por induçãoQuando um condutor é conectado à Terra por meio de um fio condu-tor, diz-se que ele está aterrado.
Considere uma esfera condutora não carregada (neutra) que esteja isolada (Figura 1.2 (a)). Aproxima-se uma haste isolante negativamente
Stephen Gray (1666–1736): físico inglês.
Esse é o mesmo princípio do aterramento utilizado em residências, onde se conecta toda a rede em uma haste fincada à Terra, objetivando escoamento de excesso de energia proveniente de sobretensões (relâmpagos, por exemplo). O termo terra é, às vezes, usado como sinônimo de referencial de um circuito, embora nesses casos não haja conexão direta ao solo.
18
carregada da esfera (Figura 1.2 (b)). A força de repulsão entre as cargas negativas provoca uma redistribuição das cargas no interior da esfera (polarização). Na região mais próxima da haste há uma concentração de cargas positivas, enquanto na região oposta há uma concentração de cargas negativas. Se o corpo for aterrado (Figura 1.2 (c)), alguns elétrons deixarão o corpo em direção à Terra. Se o fio for removido (Figura 1.2 (d) e 1.2 (e)), o corpo fica positivamente carregado.
Figura 1.2 (a): Esfera inicialmente neutra.
Figura 1.2 (b): A esfera inicialmente neutra é polarizada em virtude da aproximação de uma haste carregada negativamente.
Figura 1.2 (c): Quando a esfera é aterrada, parte das cargas negativas são transferi-das para a Terra.
Figuras 1.2 (d) e (e): Ao se retirar a ligação com a Terra, a esfera fica positivamente carregada.
A polarização de materiais elétricos é o acúmulo
de cargas, ou seja, você acumula cargas positivas
de um lado e negativas de outro, gerando um
campo elétrico. Já o termo polarizabilidade
representa à facilidade de distorção da
configuração eletrônica de uma espécie, quando
submetida a interação de um campo elétrico.
19Lei de Coulomb
Esse processo, onde a haste de borracha não entra em contato com a esfera, é chamado indução eletrostática. Esse efeito explica como um pente atritado com o seu cabelo atrai pedaços pequenos de papel (Figura 1.3) e como um balão que seja atritado com seu cabelo pode ficar aderido a uma parede, entre outros fenômenos.
Figura 1.3: Um pente carregado atrai pequenos pedaços de papel.
1.3 Lei de Coulomb
As forças elétricas de atração (ou repulsão) entre corpos carregados foram estudadas por Charles A. Coulomb, utilizando uma balança de torção (semelhante à utilizada por Cavendish para medir a atração gravitacional entre dois corpos). Um esquema da balança de torção pode ser visto na Figura 1.4.
Ele confirmou, a partir de suas experiências, em 1785, que a força elé-trica é proporcional ao valor das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância de separação ( r ) entre elas. Assim, pode-se escrever:
1 22e
q qF k
r⋅
= ⋅ ,
onde 9 2 29 10 /k Nm C= × é a constante eletrostática no vácuo. Essa constante pode ser escrita em termos da permissividade do vácuo
12 2 20 8,85 10 /C Nm −= ×
0
14
k
=⋅ ⋅
.
Charles Augustin de Coulomb (1736–1806): físico francês. Com um método experimental rigoroso e perspicaz, escreveu uma série de tratados sobre magnetismo e eletricidade. Em homenagem aos seus trabalhos, seu nome foi utilizado na definição de carga elétrica.
Fibra
q1q2
F
Figura 1.4: Balança de torção.
20
Deve-se lembrar que a força é uma grandeza vetorial, assim a força eletrostática exercida por 1q em 2q pode ser escrita da forma
121 2
122 ˆq q
F k rr
→ ⋅= ,
onde 12r é um vetor unitário orientado de 1q para 2q , como mostra a Figura 1.5 (a). A partir da terceira lei de Newton, concluímos que a força elétrica exercida pela carga 2q sobre a carga 1q tem mesmo mó-dulo, mesma direção e sentido contrário à força exercida pela carga 1q sobre a 2q 12 21( )F F= −
. Nas Figuras 1.5 (a) e (b), podemos observar a direção e o sentido das forças quando as cargas possuem mesmo sinal (repulsão) ou sinais contrários (atração).
Se compararmos a Lei de Coulomb com a Lei de Newton para o mó-dulo da força gravitacional entre duas partículas de massa 1m e 2m , separadas por uma distância r :
1 22
m mF Gr⋅
= ,
onde G é a constante gravitacional ( 11 2 26,67 10 /G Nm kg−= × ), vere-mos como são semelhantes.
Quando estão presentes mais de duas partículas carregadas, como na Figura 1.6, a força resultante sobre qualquer partícula é igual à soma vetorial das forças devido a todas das outras partículas (princípio da superposição):
3 13 23F F F= +
.
r
r
q
q
qF3
3
32
31
2
1
Figura 1.6: A força resultante sobre a carga 3q é a soma vetorial das forças exercidas
pelas cargas 1q e 2q .
F21
F12
(b)q1
q2
(a)F21
q1r12
q2
r
^
F12
Figura 1.5: Direção e sen-tido da força eletrostática entre corpos com cargas de (a) mesmo sinal e (b) sinais contrários.
21Lei de Coulomb
Exemplo 2: A Figura 1.7 mostra três partículas carregadas presas nas respectivas posições por forças que não são mostradas. Qual é a força resultante na carga 1q ? Dados: 1 1, 2q C= − , 2 3,7q C= ,
3 2,3q C= − , 12 15r cm= , 13 10r cm= e 32 = ° .
r
y
x
r13
q3
q1
12
q2
F12
F13
θ
θ
Figura 1.7: Exemplo 2.
Resolução: Na resolução desse exemplo podemos aplicar o princí-pio da superposição. Vamos começar calculando o módulo das forças que atuam sobre a carga 1q (os sinais foram levados em conta no mo-mento em que representamos as forças).
2 6 691 2
12 2 2 212
2 6 691 3
13 2 2 213
1,2 10 3,7 109 10 1,77(0,15 )
1,2 10 2,3 109 10 2,48(0,10 )
q q Nm C CF k Nr C m
q q Nm C CF k Nr C m
− −
− −
⋅ × ⋅ ×= = × =
⋅ × ⋅ ×= = × =
Para a obtenção do módulo da força resultante, devemos utilizar os componentes da força 13F . Portanto:
1 12 13 12 13
1 12 13 13
sen32 3,08
0 cos32 2,10
ox x x
oy y y
F F F F F N
F F F F N
= + = + ⋅ =
= + = − ⋅ = −
A partir desses componentes, obtemos o módulo da força resultante sobre a carga 1q :
2 21 1 1 3,73x yF F F N= + = ,
e a orientação da força 1F é 34− ° (Figura 1.7 (b)) com o eixo x .
22
r
34°
y
x
r13
q3
q1
12
q2
F12
F13
F1
θ
θ
Figura 1.7b: Exemplo 2.
Exemplo 3: Três partículas carregadas encontram-se ao longo do eixo
x , como na Figura 1.8. A partícula 1 15,0q C= está em 2,00x m= ,
enquanto a partícula com carga 2 6,00q C= está na origem. Onde deve ser colocada no eixo x uma partícula com carga negativa 3q , de maneira que a força resultante sobre ela seja nula?
F23 F13x
2,00 m
2,00 - xx
q2 q3 q1
Figura 1.8: Exemplo 3.
Resolução: Para que as forças exercidas pelas cargas 1q e 2q sobre 3q se anulem, devem ter sentidos opostos. Se a carga 3q for colocada à di-reita de 1q ou à esquerda de 2q , as forças terão o mesmo sentido (verifi-que com base no que foi discutido neste capítulo). Assim, 3q deverá ser colocada a uma distância x da origem (onde está colocada a carga 2q ). Conforme você dever ter visto em cursos anteriores, o módulo da força resultante nesse caso é igual à diferença dos módulos dos dois vetores:
1 3 2 33 13 23 13 23 2 20
(2,00 )q q q qF F F F F k k
x x⋅ ⋅
= − = ⇒ = ∴ =−
.
Como k e 3q são comuns aos dois termos, eles se anulam. Desse modo, o valor de x pode ser obtido.
23Lei de Coulomb
6 62 2
2 215 10 6 10 15 6 (4,00 4,00 ) (2,00 )
C C x x xx x
− −× ×= ∴ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ∴
−
29 24,0 24,0 0x x⋅ + ⋅ − = Resolvendo a equação de segundo grau acima, encontramos duas raí-zes. A positiva 0,775x m= e a negativa, que deve ser desprezada. Por que a raiz negativa deve ser desprezada nesse caso?
Resumo
Neste capítulo foi discutido que a carga elétrica é uma grandeza que apresenta as seguintes propriedades:
Em um sistema fechado a carga elétrica total do sistema é con-• servada.
Pode ser positiva ou negativa.•
Cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas de sinais • contrários se atraem.
A carga elétrica de um corpo é uma • grandeza quantizada (múltipla inteira da carga fundamental 191,6 10e C−= × ).
q n e= ⋅ .
As cargas elétricas podem ser transferidas de um corpo para outro por atrito, por contato ou por indução eletrostática. Nos processos de indução eletrostática e atrito, os corpos adquirem cargas de sinais opostos. Ao final da eletrização por contato, os corpos podem adquirir cargas de mesmo sinal.
A lei de atração (ou repulsão) entre corpos carregados eletricamente foi descoberta em 1785, por Charles Augustin Coulomb. Seus experi-mentos mostraram que:
A força é proporcional ao valor das cargas.•
A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância • de separação entre as cargas.
Quando uma grandeza física, nesse caso, a carga elétrica, pode ter somente valores discretos (múltiplos inteiros de um valor fundamental) em vez de qualquer valor, dizemos que é uma grandeza quantizada. Por exemplo, uma partícula carregada poderá assumir os valores de carga igual a ,
, ou , mas não poderá ter valores como .
24
Dessa forma:
1 22 ˆq qF k r
r⋅
=
,
onde k é a constante eletrostática do meio (no vácuo 9 2 29 10 /k Nm C= × ) e r é um vetor unitário na direção da reta que une as duas cargas.
A constante eletrostática pode ser escrita em função de uma outra constante, a permissividade do meio ( 0 )
0
14
k
= .
No vácuo (representada por 0ε ), a permissividade vale 12 2 28,85 10 /C Nm−× .
Exercícios
1) Calcule o número de elétrons existentes em um pequeno alfinete de prata eletricamente neutro que tem massa 10,0 g . A prata tem 47 elétrons por átomo e sua massa molar é 107,87 /g mol .
Resposta: 242,62 10× elétrons.
2) O elétron e o próton em um átomo de hidrogênio são separados, em média, por uma distância de aproximadamente 115,3 10 m−× . Encontre os valores da força eletrostática e da força gravitacional que as partícu-las exercem uma sobre a outra. Dados: 19| | | | 1,6 10próton elétronq q C−= = × ,
271,67 10prótonm kg−= × e 319,11 10elétronm kg−= × .
Respostas: 88, 2 10eF N−= × e 473,6 10gF N−= × .
3) Dois prótons em um núcleo atômico estão separados normalmen-te por uma distância de 152 10 m−× . A força elétrica de repulsão entre dois prótons é enorme, mas a força nuclear de atração é ainda maior, impedindo que o núcleo se desintegre. Qual é o valor da força elétri-ca de repulsão entre os dois prótons separados por uma distância de
152 10 m−× ?
Resposta: 57,5 N .
4) Duas cargas fixas de 1,0 C e 3,0 C− estão separadas por uma
25Lei de Coulomb
distância de 10cm . Onde deve ser colocada uma terceira carga, para que nenhuma força atue sobre ela?
Resposta: a 14cm da carga positiva e a 24cm da carga negativa.
5) Duas pequenas esferas estão positivamente carregadas. O valor total das duas cargas é 55,0 10 C−× . As esferas repelem-se com uma força de 1,0 N , quando estão separadas por uma distância de 2,0 m . Nessas condições, determine a carga em cada uma das esferas.
Resposta: 51, 2 10 C−× e 53,8 10 C−× .
6) Três cargas pontuais são colocadas nos vértices de um triângulo eqüilátero, como mostrado na Figura 1.9. Calcule a força elétrica re-sultante sobre a carga de 7,00 C .
Resposta: 0,872 N a 330° .
7) Duas pequenas esferas condutoras de massa m estão suspensas por fios de seda de comprimento L e possuem a mesma carga q , como é mostrado na figura 1.10. Considerando que o ângulo é tão pequeno que a tg possa ser substituída por sen :
(a) mostre que para essa aproximação no equilíbrio teremos:
1/32
02q Lx
m g
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
(b) Sendo 120L cm= , 10,0m g= e 5,00x cm= , quanto vale q ?
Resposta: 82, 4 10 C−± × .
Bibliografia comentada
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
Nessa obra o autor discute a lei de Coulomb, apresentando, ao final do
segundo capítulo, vários exercícios úteis para o nosso curso.
L L
x
θ θ
q q
Figura 1.10: Exercício 7.
2,00 µC
7,00 µC
0,500 m
- 4,00 µC
y
x60,0°
Figura 1.9: Exercício 6.
26
PIRES, A. S. T. A Evolução das Idéias da Física. São Paulo: Livraria da Física, 2008.
Nesse livro o autor apresenta um pouco da história do desenvolvimento
da Teoria Eletromagnética, dos antigos gregos até os experimentos
realizados com éter, que supostamente desempenharam algum papel
no desenvolvimento da Teoria da Relatividade, restrita anos mais tarde
por Einstein.
SERWAY, R. A. e JEWETT Jr., J. W. Princípios da Física. Vol. 3. São Pau-lo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
Nessa obra os autores propõem exercícios interessantes sobre a lei de
Coulomb.
O Campo Elétrico2
29O Campo Elétrico
2 O Campo Elétrico
29
No capítulo anterior, ao estudar sobre a lei de Coulomb, você deve ter percebido a similaridade entre essa lei e a lei da Gravitação Universal de Newton (ambas são leis que dependem do inverso do quadrado da distância).
Ao discutir a Gravitação, foi definido o campo gravitacio-nal g . Desse modo, iniciaremos o capítulo definindo o campo elétrico e calculando esse campo para uma carga pontual. Em seguida, utilizaremos o campo da carga pon-tual e suas propriedades para calcular o campo elétrico de distribuições contínuas de cargas. Discutiremos tam-bém as linhas de campo elétrico, que foram propostas por Michael Faraday, muito utilizadas para visualizar padrões de campo elétrico produzidos por distribuições de cargas. Finalmente, discutiremos os movimentos de uma carga pontual e de dipolo elétrico em regiões onde existem cam-pos elétricos.
2.1 Campo elétrico
O campo gravitacional ( g ) em um ponto foi definido anteriormente como a força gravitacional ( gF
), que age sobre uma partícula de mas-sa m, dividida pela massa da partícula:
.gFg
m=
.
De maneira similar, um campo elétrico em um ponto do espaço pode ser definido em termos da força elétrica que age em uma partícula de prova com carga 0q colocada nesse ponto (como existem dois tipos de carga, convenciona-se que uma partícula de prova tem sempre carga positiva). Essa carga de prova é pequena o bastante para não alterar a distribuição de carga responsável pelo campo elétrico.
O campo elétrico ( E
) em um ponto do espaço é definido como a força elétrica ( eF
), que age sobre uma partícula de prova, colocada nesse ponto, dividida pela carga da partícula de prova:
30
0
eFEq
=
.
No Sistema Internacional, o campo elétrico é medido em Newton por Coulomb ( /N C ).
2.2 Campo elétrico produzido por uma carga pontual
Considere uma partícula de prova 0q localizada a uma distância r de uma partícula de carga q (Figuras 2.1(a) e 2.1(b)). De acordo com a lei de Coulomb, a força exercida na partícula de prova pela carga q é:
02 ˆ.e
q qF k rr⋅
= ⋅
Conforme visto nas Figuras 1.5 (a) e (b) do capítulo anterior, se a carga q for positiva, a força sobre 0q apontará radialmente para fora a partir dela; se a carga q for negativa, a força sobre 0q apontará radialmente em direção a carga q .
O campo elétrico criado por q no ponto onde a carga de prova é co-locada é:
20
ˆ.eF qE E k rq r
= ⇒ = ⋅
Devido à definição do campo elétrico, se a carga q for positiva, o campo elétrico será também radial e apontará para fora a partir da carga. Se a carga q for negativa, o campo apontará em direção à car-ga (Figuras 2.1 (a) e (b)).
q
Eq0
Pr^ r
(a)
q
q0
Pr^ E
(b)
Figura 2.1: A direção e o sentido do campo elétrico produzido por uma carga q (a) positiva e (b) negativa a uma distância r da carga.
Se traçarmos uma circunferência centrada
na carga, o campo elétrico assumirá a
direção do raio dessa circunferência; por esse motivo o denominamos
radial
31O Campo Elétrico
Para calcularmos o campo elétrico em um ponto devido a uma dis-tribuição de cargas pontuais num ponto qualquer, primeiramente cal-culamos o campo elétrico produzido individualmente por cada carga nesse ponto e, então, realizamos a soma vetorial (princípio da super-posição).
1 2 3 ...E E E E= + + +
Exemplo 1: A Figura 2.2 mostra uma carga 1q de 1,5 Cµ e uma carga
2q de 2,3 Cµ . A primeira carga está na origem do eixo x e a segunda na posição x L= , onde 13L cm= . Em que ponto P ao longo do eixo x o campo elétrico é zero?
x
L
q1 E1 E2P q2
Figura 2.2: Exemplo 1
Resolução: Conforme discutido no capítulo anterior, o campo elétri-co resultante não pode ser nulo à esquerda de 1q nem à direita de 2q , pois nessas regiões os campos produzidos pelas cargas terão a mes-ma direção e o mesmo sentido. Desse modo, o campo será nulo em uma posição x à direita de 1q e à esquerda de 2q . Podemos escrever:
1 21 2 1 2 2 20
( )q qE E E E k kx x L
+ = ⇒ = ∴ =−
.
A constante k pode ser cancelada, pois aparece nos dois termos da equação. Assim:
6 62 2 2 2
2 2
2 2 2
1,5 10 C 2,3 10 C 1,5 (x 13) 2,3 x 1,5 (x 26 x 169) 2,3 x .x (x 13cm)
1,5 x 39 x 253,5 2,3 x 0,8 x 39 x 253,5 0
− −× ×= ∴ ⋅ − = ⋅ ∴ ⋅ − ⋅ + = ⋅
−
⋅ − ⋅ + = ⋅ ∴ ⋅ + ⋅ − =
Resolvendo a equação de segundo grau acima, encontramos duas raí-zes: uma positiva 5,8x cm= e outra negativa, que será descartada.
Faça uma análise e tente explicar o porquê do descarte da solução negativa.
32
Exemplo 2: Um dipolo elétrico é constituído por uma carga pontual q e por uma carga pontual q− separadas por uma distância 2a , como pode ser visto na Figura 2.3. Esse é um sistema importante, pois áto-mos e moléculas neutras comportam-se como um dipolo ao serem colocadas em um campo elétrico externo. Moléculas formadas atra-vés de ligações iônicas, como a molécula de cloreto de sódio ( NaCl ), formam dipolos permanentes.
Encontre o módulo do campo elétrico resultante devido ao dipo-a) lo no ponto P da figura.
Encontre o módulo do campo elétrico resultante considerando b) o ponto P muito distante do centro do dipolo (a uma distância y a>> ).
Resolução: Na Figura 2.3 podemos ver um esquema representando o dipolo elétrico. Nesse esquema pode-se ver também os campos pro-duzidos pelas cargas q (campo 1E
) e q− (campo 2E
).
P
E1
E2
E
y
q aa q-
yr
xθ
θ
θ
θ
Figura 2.3: Dipolo elétrico do exemplo 3.
O campo produzido pelas cargas têm módulo:1)
1 2 2 2 2q qE E k kr y a
= = =+
.
Ao decompor os campos, os componentes ao longo do eixo y
33O Campo Elétrico
se anulam. Assim, o campo resultante no ponto P é:
1 2 2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 3/22 cos 2 2 .( ) ( )x x
q q a q aE E E k k ky a y a y a y a
⋅= + = ⋅ θ = ⋅ ⋅ = ⋅
+ + + +
Para pontos onde 2) y a>> , podemos escrever 2 2 2y a y+ ≈ . As-sim:
3 32 2q a pE k ky y⋅
= ⋅ = ⋅ .
Na expressão acima, o produto p q a= ⋅ é o módulo do vetor momento de dipolo. Esse vetor aponta da carga positiva para a carga negativa.
Podemos ainda perceber que ao longo do eixo y o campo de
um dipolo varia com 3
1r
, enquanto o campo da carga punti-
forme varia com 2
1r
. Isso acontece porque nesses pontos os
campos elétricos produzidos pelas cargas do dipolo quase se
anulam.
2.3 Campo elétrico devido a distribuições contínuas de cargas
Para se calcular o campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas, utiliza-se o seguinte procedimento:
Dividimos a distribuição de cargas em elementos pequenos, • cada um com uma pequena carga dq ;
Calcula-se o campo elétrico devido a cada elemento (conside-• rando esse elemento como uma carga pontual);
Calcula-se o campo resultante mediante a soma vetorial dos • campos produzidos pelos elementos.
Exemplo 3: Um anel de raio a tem carga positiva uniforme, por uni-dade de comprimento, com uma carga total Q . Calcule o campo elé-trico em um ponto P no eixo do anel a uma distância x do seu centro (Figura 2.4 a).
34
1
dE²
2 dE¹(b)
dq
dEx
dE(a)
P
dE
x
a r
θ
θ
Figura 2.4 Calculo da Distribuição de Cargas em um anel.
Resolução: Conforme discutido acima, um elemento de carga dq produz no ponto P um campo elétrico dE
, de módulo:
2 2 2dq dqdE k kr x a
= ⋅ = ⋅+
.
Na Figura 2.4 (a), podemos observar que esse campo tem dois com-ponentes. O primeiro paralelo ao eixo . O segundo perpendicular: . Por simetria (Figura 2.4 (b)), o com-ponente perpendicular de qualquer elemento é cancelado em virtude do componente perpendicular do elemento de carga oposto. Desse modo, o módulo do campo resultante no ponto P é:
2 2 2 2 2 2 1/2cos( )x
dq dq xE dE k kx a x a x a
= = = ⋅+ + +∑ ∑ ∑ .
Tirando as constantes do somatório:
2 2 3/2( )xE k dq
x a= ⋅ ⋅
+ ∑ .
Nessa situação, ao somar os elementos de carga dq , encontramos a carga total Q do anel.
Observação: Em uma distribuição contínua de cargas, como o pre-sente caso, o somatório geralmente é feito através de técnicas de in-tegração. A soma acima poderia ser feita desta maneira:
35O Campo Elétrico
Definindo a densidade linear de cargas λ como a razão entre a carga e o comprimento da distribuição l :
Ql
λ = .
Dessa maneira, o elemento de carga dq pode ser escrito da forma:
dq dl= λ ⋅ ,
onde dl é um comprimento de um arco infinitesimal de raio a e ân-gulo d :
dl a d= ⋅ .
O comprimento da circunferência é encontrado através do somatório dos elementos de arco de 0 a 2π .
2
2 2 3/2 0
2
2 2 3/2 0
2
2 2 3/20
2 2 3/2
( )
( )
( )2
( )
xk dlx a
xk adx a
xk ax a
x akx a
+
+
+
=+
∫
∫,
onde:
2Q a= λ π .
E finalmente temos:
2 2 3/2( )Q xE k
x a⋅
= ⋅+
.
De acordo com esse resultado, podemos concluir que:
No centro do anel 1) .
Se o ponto 2) P estiver muito longe do centro do anel ( x a>> ):
2 2 3/2 32( ) Qx a x E k
x+ → ⇒ =
(campo produzido pela carga puntiforme) .
Você consegue explicar esse resultado?
36
Exemplo 4: Um disco circular de raio a está carregado com uma carga Q uniformemente distribuída ao longo de sua superfície. Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância D do centro (Figura 2.5)?
D
P
dEE
dρ
ρO
a
ρO
a
Figura 2.5: Disco uniformemente carregado.
Resolução: Olhando a figura, podemos pensar no disco como forma-do por anéis de largura infinitesimal d e raio , variando de 0 a a . Cada anel tem uma carga dq , uniformemente distribuída em sua superfície. Nesse tipo de situação, é conveniente definir a densidade superficial de carga σ (carga/área da superfície):
2dq dq dA ddA
= ∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
Do exemplo anterior, concluímos que o módulo do campo elétrico produzido pelo anel a uma distância D de seu centro ( dE ) é:
2 2 3/2 2 2 3/2
2( ) ( )
dq D d DdE k kD D
⋅ σ ⋅ ⋅π ⋅ρ ⋅ ρ ⋅= =
+ρ +ρ.
Como todas as contribuições têm a mesma direção, o campo elétrico resultante é obtido através do somatório dos campos produzidos pe-los anéis (raios variando de 0 a a ):
37O Campo Elétrico
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 1/ 20 00
2 2 2( ) ( ) ( )
aa ad D dE k k D k D
D D D
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ∫ ∫
Lembrando que:
0
14
k =⋅π⋅ε
.
Podemos escrever:
2 2 1/20
12 ( )
DED a
σ= − ⋅ε +
.
Se considerarmos um ponto muito próximo do disco ( a →∞ ):
0
2E σ=
⋅ε
(campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado)
Observações:
Se a carga sobre o plano infinito for positiva, o campo elétrico • para pontos acima da superfície tem direção vertical, sentido para cima. Ao passarmos para a parte de baixo, o campo elétri-co sofre uma descontinuidade, passando a apontar para baixo.
• No exemplo anterior, definimos a densidade superficial de carga (σ ). Podemos ainda definir a densidade volumétrica de carga (carga/volume) e a densidade linear de carga λ (carga/compri-mento).
Exemplo 5: Calcule o campo elétrico produzido por uma distribui-ção linear de cargas λ , de comprimento l , no ponto P localizado, perpendicularmente acima da distância média da distribuição. Veja Figura 2.6.
38
dEy
dEx
dE
0
y
P
xdx
dq = λ.dx
r = √ x² + y²
θ
ℓ2— ℓ
2—
θ
Figura 2.6: Exemplo 5.
Resolução: Cada elemento de carga à esquerda e à direita tem seu análogo e contribui de forma igual no ponto P . Portanto, as compo-nentes xdE se cancelam. Logo:
2cos ,ydqdE dE dE kr
= = .
Assim:
2 2cos cosydq dxdE k kr r
= =
/2
2/2cos
l
y l
dxE kr
−
= ∫
ou
/2
202 cos
l
ydxE kr
= ∫ ,
se observarmos, essa integral possui três variáveis x , r e . Deve-mos colocar tudo como função de uma variável só: ou x , ou .
/2
2 202 cos
( )l
ydxE k
y x =
+∫
. (2.1)
Da figura:
2 2cos y
y x =
+
.
39O Campo Elétrico
Logo:
/2
2 2 3/202
( )l
yydxE k
y x=
+∫
.
Podemos utilizar uma tabela de integrais para resolvê-la ou tentar simplificá-la, como:
2 2sen x
y x =
+
e
2 2tg . tg sec secx dxx y y dx dy d
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .
Também de cos :
22 2 2 2
2( ) seccos
yy x y
+ = = .
Logo, em (2.1):
2
2 2
sec2 cossecy
y dE ky
= ∫
.
Resta:
2 cosykE dy
= ∫ .
Observe que excluímos os limites, pois trocamos as variáveis. Assim:
para 0 0l = ⇒ = ° ;
para 12
ll = ⇒ = .
40
0
y
P
1θ
ℓ2
— ℓ2—
√ y² + ²ℓ 2—( )
Figura 2.7: Exemplo 5
Logo:
1
0
2 cosykE dy
= ∫
12 senykEy
=
1 1 22
2 2sen , sen
2
y
lkEy ly
= =
+
.
Logo:
12 2 2
2 1 ,2 1 [4 ]
2
yk lE Q ly y l
= =
+
.
Finalizando:
12 2 2
2
[4 ]y
kQEy y l
=+
.
41O Campo Elétrico
Exemplo 6: Para o mesmo enunciado do Exemplo 5, calcule agora o campo elétrico no ponto P da Figura 2.8:
dEy
dEx
dE
y
P
xdq = λ.dx
r = √ x² + y² ; r² = x² + y² θ
θ
ℓ
dx
Figura 2.8: Exemplo 6
Resolução: Note que no presente caso teremos que calcular também a componente xdE . A componente ydE possui a mesma expressão sem o fator 2:
1 1 2 2sen , seny
k lEy y l
= =+
.
Logo:
2 2,y
k lE Q ly y l
= =
+
.
A componente xdE :
2 2 20
2 2 3/20
sen , sen
( )
l
x
l
x
dx xE kr y x
xdxE kx y
= =+
=+
∫
∫
.
A presente integral pode ser diretamente resolvida, ou simplificada, como no problema anterior. Podemos resolver diretamente pela subs-tituição direta:
42
2 2 2u x y du xdx= + ⇒ = .
Logo:
32
3/20
12
12 2 2
0
1 12 2 2 22 2
12 2 2
12 2
1 112 ( )2
1 1 1 1
( ) ( )
1 1
( )
l
x
l
x
x
x
k du kE u duu
kE u kx y
E k ky yl y l y
E ky l y
−
−
= = ⇒
⇒ = = − ⇒− +
⇒ = − − = − ⇒
+ + ⇒ = −
+
∫ ∫
.
Ou simplificando, como no exemplo anterior:
y
P
r = √ ℓ² + y² θ1
ℓ
Figura 2.9: Exemplo 6
12
2 2
sec sensecx
y dE ky
= ∫
1 senxkE dy
= ∫
0
( cos ) 1xkEy
−
43O Campo Elétrico
1 1 2 2( cos 1), cosx
k yEy l y
= − + =+
2 2
1x
k yEy yl y = − + +
12 2 2
1 1
( )xE k
y l y = − +
.
2.4 Linhas de campo elétrico
Muitas vezes é conveniente visualizar o comportamento do campo elétrico através das linhas de campo (ou de força). É importante res-saltar a relação entre as linhas de campo e o vetor campo elétrico em uma determinada região:
O vetor campo elétrico em uma região do espaço é tangente às • linhas de campo nessa região;
O número de linhas de campo em uma região é proporcional ao • módulo do vetor campo elétrico nessa região.
Essas propriedades podem ser vistas na Figura 2.10. A densidade de linhas ao longo da superfície A é maior do que ao longo da super-fície B . Portanto, podemos concluir que o campo elétrico ao longo da superfície A tem módulo maior que o campo elétrico ao longo da superfície B .
AB
Figura 2.10: Linhas de campo através de duas superfícies A e B
44
Para cargas pontuais, podemos observar que em qualquer ponto pró-ximo a uma carga positiva, uma carga de prova será repelida e, como conseqüência, as linhas de campo divergem da carga positiva. Do mes-mo modo, em qualquer ponto próximo a uma carga negativa, uma carga de prova será atraída, e por esse motivo as linhas de campo convergem para uma carga negativa. Na Figura 2.11 podemos observar as linhas de campo produzidas por cargas puntiformes.
(b) (c)(a)
Figura 2.11: Linhas de campo produzidas por cargas (a) positiva e (b) negativa. (c) Pequenos filamentos de fibra suspensos em óleo se alinham com o campo elétrico.
Para um sistema de cargas pontuais, como mostradas nas Figuras 2.12 e 2.13, as linhas de campo saem das cargas positivas e chegam às cargas negativas. É importantíssimo ainda observar que duas ou mais linhas de campo não se cruzam em um ponto do espaço.
(a) (b)
Figura 2.12: (a) Linhas de campo em um dipolo elétrico. (b) Filamentos de fibra sus-pensos em óleo alinhados com o campo elétrico produzido por um dipolo elétrico.
45O Campo Elétrico
(a) (b)
Figura 2.13: (a) Linhas de campo produzidas por um par de cargas de mesmo sinal. (b) Filamentos de fibra suspensos em óleo alinhados com o campo produzido pelas
cargas.
2.5 Movimento de partículas carregadas em um campo elétrico uniforme
Um campo elétrico em uma região será uniforme quando seu módu-lo, direção e sentido continuarem os mesmos em todos os pontos da região. Quando uma partícula de carga q e massa m é colocada em um campo elétrico uniforme, a força elétrica sobre a carga é dada pela equação F q E= ⋅
. Se essa força for a resultante, a aceleração da partícula será:
eq ER F m a q E am⋅
= ∴ ⋅ = ⋅ ∴ =
.
Essa aceleração é constante, portanto a partícula estará em movimen-to retilíneo uniformemente variado. Se a partícula tiver carga positiva, a força elétrica sobre a carga terá o sentido do campo; se a carga for negativa, a força terá sentido contrário ao campo (Figura 2.14).
46
FE
FE
E
Figura 2.14: Cargas aceleradas em um campo elétrico uniforme.
Exemplo 7: Um elétron entra em uma região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo 200 /E N C= . Encontre o módulo da aceleração do elétron enquanto ele estiver no campo elétrico. A mas-sa do elétron é igual a 319,11 10 kg−× .
Resolução: Conforme discutido acima, a aceleração do elétron é:
1913 2
311,6 10 200 / 3,51 10 /
9,11 10q E C N Ca m sm kg
−
−⋅ × ⋅
= = = ××
.
2.6 Dipolo elétrico em um campo uniforme
Conforme discutido anteriormente, no Exemplo 2, embora os átomos e moléculas sejam eletricamente neutros, ambos são afetados por campos elétricos. Em algumas moléculas, denominadas polares, os centros de cargas positivas e negativas não coincidem. Essas molécu-las possuem um momento de dipolo permanente. Quando uma dessas moléculas é colocada em uma região onde existe um campo elétrico uniforme, como na Figura 2.15, não há uma força resultante sobre ela, mas um torque, que faz a molécula girar em torno de seu centro. Num campo elétrico não uniforme (Figura 2.16), a molécula sofre a ação de uma força resultante, em virtude da diferença do campo nas posições ocupadas pelos centros de cargas.
Como exemplo de molécula polar podemos
citar a água.
47O Campo Elétrico
L
E
F1
F2 q
q+
-
θ
Figura 2.15: Forças que atuam sobre os centros de cargas positiva e negativa em um dipolo elétrico imerso em um campo elétrico uniforme.
E
F2q
q+
-
F1
Figura 2.16: Forças que atuam sobre os centros de cargas positiva e negativa em um dipolo elétrico imerso em um campo elétrico não uniforme.
Na Figura 2.15 temos um dipolo imerso em um campo elétrico unifor-me. O vetor momento de dipolo ( )p forma um ângulo com o campo elétrico. As forças que atuam sobre as cargas que formam o dipolo são: 1F q E= ⋅
e 2F q E= − ⋅
. Como o campo é uniforme, as forças têm mesmo módulo, porém sentidos opostos, e desse modo a força resultante sobre o dipolo é nula. Entretanto, as forças atuam em ex-tremidades diferentes, ocasionando um torque responsável pelo giro do dipolo no sentido do alinhamento entre o momento de dipolo e o campo elétrico. Assim:
48
1 2 1 22 2L LF sen F sen q E L sen p E sen = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Onde p q L= ⋅
é o vetor momento de dipolo. Convenientemente, po-demos escrever o torque como o produto vetorial do momento de di-polo pelo campo elétrico
p Eτ = ×
.
Resumo
De maneira semelhante ao campo gravitacional, pode-se definir o campo elétrico produzido por uma carga q como:
0
eFEq
=
,
onde 0q é uma carga de prova colocada a uma distância r da carga pontual q . Desse modo, esse campo elétrico pode ser reescrito como:
2 ˆqE k rr
=
.
Na equação acima, r é o vetor unitário que possui a direção da reta que une a carga ao ponto onde se deseja determinar o campo.
Como conseqüência da definição de campo elétrico, observa-se que ele diverge para uma carga positiva e converge para uma carga negativa.
Para se determinar o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas pontuais, deve-se calcular o campo de carga isoladamente e depois somar esses campos (princípio da superposição):
1 2 3 ...E E E E= + + +
Um procedimento semelhante deve ser utilizado para calcular o cam-po elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Em primeiro lugar, divide-se essa distribuição em elementos de carga dq . Depois,
49O Campo Elétrico
calcula-se o campo devido a cada elemento. Finalmente, somam-se (utilizando o princípio da superposição) os campos desses elementos (geralmente esse somatório é transformado em uma integral).
Quando uma carga elétrica é abandonada em uma região onde existe um campo elétrico uniforme, ela é acelerada no sentido do campo se for positiva, ou em sentido contrário ao campo se for negativa. Se a atração gravitacional e as forças de resistência forem desprezadas, esse movimento será uniformemente variado.
Foi discutido o comportamento de um dipolo elétrico (sistema forma-do por duas cargas de mesmo módulo e sinais contrários separadas por uma distância d ) em um campo elétrico. O campo elétrico produ-zido por um dipolo a uma distância r de seu centro tem módulo:
32kpEr
= ,
onde p q d= ⋅ é o módulo do vetor momento de dipolo. Esse vetor tem direção sobre a reta que une as duas cargas do dipolo e aponta da carga positiva para a negativa.
Quando esse dipolo estiver em uma região onde existe um campo elétrico uniforme, o dipolo tende a se alinhar com o campo, ou seja, sofre um torque dado por:
p Eτ = ×
.
Exercícios
1)Uma carga de 4,0 Cµ está na origem. Qual é o módulo do campo elétrico sobre o eixo x em (a) 6x m= e (b) 10x m= ?
(Respostas: (a) 1000 /N C e (b) 360 /N C .)
2)A carga 1 6,0q nC= está sobre o eixo dos y em 3y cm= + , e a carga 2 6,0q nC= − está sobre o eixo dos y em 3y cm= − .
Qual é o módulo e a direção do campo elétrico sobre o eixo dos a) x em 4x cm= ?
50
Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme de b) 2 nC colocada sobre o eixo dos x em 4x cm= ?
(Respostas: (a) ˆ25900 /j N C− e (b) ˆ51800 /j N C− .) ( 91 1 10n nano −= = )
3)A haste de comprimento , da Figura 2.12, tem uma densidade linear de carga uniforme λ e uma carga total Q . Calcule o campo elétrico em um ponto P ao longo do eixo da haste, à distância a de uma das extremidades.
(Resposta: QE k
a ( a)=
⋅ +).
y
Pa
dxdq = λdx
x
x
ℓ
Figura 2.17: Exercício 3
4)Ao se calcular a aceleração de um elétron ou de outras partículas carregadas, a razão entre a carga e a massa (carga específica) da par-tícula é importante.
Calcule a) em
no caso de um elétron.
Qual é o módulo e a direção da aceleração de um elétron num b) campo elétrico uniforme de módulo 100 /N C ?
A mecânica não-relativística só pode ser usada se a velocidade c) escalar do elétron for significativamente menor que a velocida-de da luz c . Calcule o tempo necessário para que um elétron, partindo do repouso, num campo elétrico de módulo 100 /N C , atinja a velocidade de 0,01c .
Qual a distância percorrida pelo elétron no intervalo de tempo d) calculado?
51O Campo Elétrico
(Respostas: (a) 111,76 10 /C kg× , (b) 16 21,76 10 /m s× na mes-ma direção e em sentido contrário ao campo, (c) 0,17us e (d) 25,6 cm ).
5)Um dipolo, com momento 0,5e nm , está colocado num campo elétrico uniforme de intensidade 44 10 /N C× . Qual é o valor do tor-que sobre o dipolo quando
o dipolo está paralelo ao campo elétrico, a)
o dipolo está perpendicular ao campo elétrico e b)
o dipolo faz um ângulo de c) 30° com o campo elétrico?
6)Quatro cargas elétricas de módulos iguais estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado L , conforme mostra a figura 2.13. Mostre que o campo elétrico no ponto médio de um lado do quadrado está na direção do lado, apontando para a carga negativa, e tem mó-dulo E dado por:
28 51
25qE k
L
= −
.
- q
- q
+ q
+ q
Figura2.18: Exercício 6.
52
Bibliografia comentada
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física um Curso Universitário. Vol. 2. São Pau-lo: Edgard Blücher.
Nos capítulos 14 e 16 desse livro, os autores discutem a interação elétrica
e a lei de Gauss, apresentando uma grande variedade de exercícios.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
No terceiro capítulo dessa obra, o autor discute o vetor campo elétrico
e a lei de Gauss, apresentando diversos exercícios.
SERWAY, R. A.; JEWETT Jr., J. W. Princípios da Física. Vol. 3. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
Nessa obra, os autores propõem exercícios interessantes sobre campo
elétrico e a lei de Gauss.
Lei de Gauss3
55Lei de Gauss
3 Lei de Gauss
55
No capítulo anterior, ao calcular campos elétricos produ-zidos por distribuições contínuas de cargas, você deve ter percebido que em diversas situações esse tipo de cálculo não é simples de ser executado.
Nas situações que envolvem um alto grau de simetria (sis-temas esféricos, cilíndricos e planos), podemos fazer o cálculo do campo elétrico utilizando a lei de Gauss. Esse tipo de cálculo envolve a determinação do fluxo elétrico através de uma superfície.
No início deste capítulo definiremos fluxo elétrico e enun-ciaremos a lei de Gauss. Em seguida, aplicaremos a lei de Gauss a distribuições contínuas de cargas, resolven-do problemas que envolvam alto grau de simetria. Final-mente, discutiremos o comportamento de condutores em equilíbrio eletrostático.
3.1 Fluxo
Ao injetarmos tinta em um fluido em movimento, podemos observar as linhas de escoamento do líquido (Figura 3.1). Um efeito semelhante pode ser obtido com a fumaça no interior de um tubo de vento (Figura 3.2).
Essas linhas de corrente são os caminhos traçados por pequenos ele-mentos de fluido, e apresentam as seguintes propriedades:
O vetor velocidade é sempre tangente a uma linha de corrente;•
Duas linhas de corrente jamais se cruzam.•
Figura 3.1: Linhas de escoa-mento de um fluido em tor-no de um cilindro reveladas
por tinta colorida.
Figura 3.2: Linhas de escoamento reveladas por fumaça no interior de um
tubo de vento.
56
Perceba a similaridade entre as linhas de corrente e as linhas de cam-po discutidas no capítulo anterior.
Na Figura 3.3 podemos observar duas seções transversais de áreas
1A e 2A , por onde passam linhas de corrente. Durante um pequeno intervalo de tempo passará uma quantidade de fluido na superfície de área 1A . Se o fluido em questão for incompressível, a mesma quanti-dade de fluido passará pela superfície de área 2A . Desse modo, o fluxo ou vazão do fluido pode ser definido como o volume de fluido que escoa através de uma superfície de área A por unidade de tempo, portanto:
A vΦ = ⋅ ,
onde A é a área da superfície e v é a velocidade do fluido ao passar pela superfície.
B
C
A1
A2
Figura 3.3 Linhas de corrente através de duas superfícies de áreas 1A e 2A .
3.2 Fluxo elétrico
Na Figura 3.4 podemos ver uma superfície de área A colocada per-pendicularmente a um campo elétrico uniforme. Analogamente à hi-drodinâmica, podemos definir o fluxo elétrico através da superfície de área A como:
E AΦ = ⋅ ,
que, no Sistema Internacional, é medido em 2 /Nm C .
57Lei de Gauss
E
Área = A
Figura 3.4: Linhas de campo uniforme penetrando em uma superfície de área A colocada perpendicularmente ao campo.
Se a superfície não estiver colocada perpendicularmente ao campo, como na Figura 3.5, o número de linhas que cruzam essa superfície é o mesmo que cruza uma área projetada 'A . A partir da figura per-cebemos que as áreas estão relacionadas pela equação 'A A cos= ⋅ θ . Como o fluxo através da área A é o mesmo através da área 'A , pois o número de linhas de campo que cruzam a superfície é o mesmo, temos:
'E A E A cosΦ = ⋅ = ⋅ ⋅ θ .
θ
θ
EA' = A cos θ
ANormal
Figura 3.5: Linhas de campo para um campo elétrico uniforme através de uma área A que faz um ângulo θ em relação ao campo.
Da Figuras 3.4 e 3.5 concluímos que o fluxo será máximo quando a superfície for perpendicular ao campo, ou seja, quando a reta normal à superfície for paralela ao campo ( 0θ = ° ).
58
Em situações mais gerais, o vetor campo elétrico pode variar ao longo da superfície. Nesse caso, para calcularmos o fluxo através da super-fície, devemos dividir a superfície em diversos elementos (um deles pode ser visto na Figura 3.6), calcular o fluxo em cada um e somar os fluxos através das superfícies infinitesimais. Ao dividir a superfície da Figura 3.6 em um grande número de pequenos elementos de superfí-cie de área A∆ , o fluxo através de cada superfície é:
i i i i i iE A cos E A∆Φ = ⋅∆ ⋅ θ = ⋅∆
,
onde iA∆
é um vetor cujo módulo representa a área do elemento de superfície e a direção é perpendicular à superfície. Somando o fluxo em todos os elementos, encontramos o fluxo através da superfície.
0ii iA
i
lim E A E dA∆ →
Φ = ⋅∆ = ⋅∑ ∫
.
∆Ai
θi Ei
Figura 3.6: Campo elétrico faz um ângulo iθ com a normal à superfície de área iA∆ .
Finalmente, quando a superfície for uma superfície fechada, como a da figura 3.7, o fluxo através da superfície fechada pode ser calculado através da expressão:
, se // 0º nE dA E dA E dA cos E dA→ ⋅ = ⋅ =
,
onde nE é a componente de E
normal à superfície e o símbolo re-
presenta uma integral sobre uma superfície fechada.
Em se tratando de uma distribuição contínua, o
somatório é escrito na forma de uma integral.
59Lei de Gauss
31
32
1
E EE∆Ai
∆Ai
∆Aiθiθi
2
Figura 3.7: Uma superfície fechada em um campo elétrico. Os vetores iA∆
são normais à superfície e apontam para fora. Esse fluxo pode ser positivo (1), zero (2)
ou negativo (3).
3.3 Lei de Gauss
Agora vamos encontrar a relação entre o fluxo elétrico através de uma superfície fechada e a carga no interior da superfície. Essa relação é conhecida como lei de Gauss, e é bastante utilizada no cálculo do campo elétrico de distribuições contínuas de carga.
Na Figura 3.8 (a) podemos ver as linhas de campo através de duas superfícies, uma arbitrária e outra esférica, que englobam a carga. Como o número de linhas de campo que saem das duas superfícies é a mesma, o fluxo elétrico é o mesmo para as duas superfícies. Desse modo, é mais simples calcular o fluxo elétrico através da esfera de raio R , devido às condições de simetria da esfera. A esfera é mais simétri-ca que uma superfície arbitrária.
60
Q
(a)(b)
+ Q
R
++ Q
RR
dA
E
dAE //
Figura 3.8: (a) O número de linhas de campo que passam através das duas superfí-cies é o mesmo, portanto o fluxo elétrico através das superfícies é igual. (b) Desse modo, o fluxo elétrico pode ser facilmente calculado utilizando a superfície esférica.
O módulo do campo elétrico da carga Q que se encontra no centro da superfície gaussiana na figura 3.8(b) é:
2nQE kR
= .
O fluxo resultante através da superfície é:
.
O componente do campo elétrico na direção do vetor normal ao ele-mento de área dA pode ser retirado do somatório (da integral), pois tem módulo constante ao longo da superfície de raio R . A integral de dA ao longo da superfície corresponde à área da superfície, que para uma esfera de raio R , vale 24 R . O fluxo elétrico através da superfí-cie será, então:
22 4 4Qk R kQ
RΦ = π = π .
Lembrando que:
0
14
k =πε
.
61Lei de Gauss
A expressão para o fluxo pode ser reescrita da forma:
0
QΦ =
ε.
É importante lembrar que esse fluxo é independente da forma da superfície. Nesse caso, a escolha de uma superfície esférica ape-nas simplificou o cálculo. Assim, o fluxo é facilmente calculado em situações com um elevado grau de simetria. Esse resultado pode ser estendido a uma distribuição de carga qualquer, como a distribuição da Figura 3.9. Nessa situação, a carga que aparece na expressão para o fluxo é a carga líquida (ou total) no interior da superfície.
q1 q2q1 q2
q3
S
Figura 3.9: O fluxo elétrico através da superfície S depende apenas da carga líquida
( 1 2q q+ ) no interior da superfície.
Portanto:
“O fluxo elétrico através de uma superfície fechada é pro-porcional à carga líquida (total) no interior da superfície.”
O enunciado acima é conhecido como lei de Gauss, que pode ser es-crita formalmente como:
.
Exemplo 1: Na Figura 3.10 estão representadas três superfícies: S , 'S e ''S , que envolvem três cargas 1q , 2q e 3q . Determine o fluxo elétrico em cada superfície.
62
q1
q3
q2
S
S''
S'
Figura 3.10: Exemplo 1.
Resolução: A superfície S engloba a carga 1q , e desse modo, o fluxo elétrico através dessa superfície será:
1
0
qΦ =
ε.
A superfície 'S engloba as cargas 2q e 3q , e portanto, o fluxo através dessa superfície será:
2 3
0 0' totalq q q+
Φ = =ε ε
.
No interior da superfície ''S não há carga, assim: '' 0Φ = .
Exemplo 2: Um campo elétrico vale ˆE (200 N / C)i=
na região em que 0x > , e ˆE ( 200 N / C) i= −
na região em que 0x < . Uma superfí-cie cilíndrica imaginária com comprimento de 20cm e raio 5R cm= tem seu centro geométrico na origem e seu eixo, coincidente com o eixo x , de modo que uma de suas extremidades está em 10x cm= + e a outra em 10x cm= − (Figura 3.11). (a) Qual é o valor do fluxo elétrico que atravessa toda a superfície fechada definida pelo cilindro? (b) Qual é a carga resultante no interior da superfície fechada?
63Lei de Gauss
zn
E
y
x
n
n
E
A A
E
Figura 3.11: Exemplo 2.
Resolução: (a) Para resolver esse item, devemos calcular o fluxo no corpo e nas extremidades do cilindro. Com o objetivo de facilitar esse cálculo, vamos definir um vetor unitário ( n ) normal à superfície. Des-sa forma, o vetor A
pode ser escrito como ˆA n⋅ . O fluxo no corpo do cilindro é:
ˆ 90 0ocorpo E A E nA E A cosΦ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
.
Na extremidade direita o fluxo é:
22ˆ 0 200 (0,05 ) 1,57o
direitaN NmE A E nA E A cos mC C
Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅π ⋅ =
.
Na extremidade esquerda o fluxo é:
22ˆ 0 200 (0,05 ) 1,57o
esquerdaN NmE A E nA E A cos mC C
Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅π ⋅ =
.
O fluxo elétrico através da superfície é igual a:
23,14corpo direita esquerda
NmC
Φ = Φ +Φ +Φ = .
(b) Usando a lei de Gauss, podemos escrever:
2 212 11
0 20
8,85 10 3,14 2,78 10q C Nmq CCNm
− −Φ = ⇒ = ε ⋅Φ = × ⋅ = ×ε
.
64
3.4 Aplicações da lei de Gauss a distribuições simétricas de carga
A lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico atra-vés de qualquer superfície. Entretanto, conforme comentamos na se-ção anterior, o fluxo pode ser facilmente calculado em superfícies com um elevado grau de simetria. Por elevado grau de simetria podemos entender as simetrias esférica, plana e cilíndrica.
Nessa seção vamos aplicar a lei de Gauss para o cálculo do campo elétrico em algumas distribuições de carga. Para efetuarmos esse cál-culo, devemos primeiramente escolher uma superfície que englobará a distribuição. Essa superfície deve ser escolhida de forma a aprovei-tar a simetria da distribuição. Quando isto é observado, o vetor cam-po elétrico tem módulo constante ao longo da superfície e a direção do vetor unitário normal ( n ) à superfície. Portanto, o produto escalar entre o campo elétrico e o vetor normal será igual ao módulo do cam-po, que poderá sair da integral. E a resolução da integral será igual à área da superfície gaussiana.
Exemplo 3: Campo elétrico devido a uma carga pontual - Usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico devido a uma carga pontual q isolada.
Resolução: Conforme discutido anteriormente, devemos escolher uma superfície gaussiana com um elevado grau de simetria. Aqui es-colheremos uma superfície esférica de raio r , centrada na carga (Fi-gura 3.12).
Superfíciegaussiana
E
r
q+
r
qq+
dA
Figura 3.12: A superfície gaussiana é uma esfera de raio r centrada na carga.
O fluxo elétrico através da superfície é:
chamada superfície gaussiana
65Lei de Gauss
,
pois
// 0ºE dA E dA E dA cos→ ⋅ = ⋅
.
Como o campo elétrico tem módulo constante ao longo da superfí-cie:
,
que é o campo elétrico obtido no capítulo anterior, a partir da lei de Coulomb.
Exemplo 4: Uma distribuição de carga com simetria esférica - Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ e uma carga positiva total q . (a) Calcule a magni-tude do campo elétrico em um ponto fora da esfera. (b) Determine o módulo do campo elétrico em um ponto dentro da esfera.
Resolução: (a) Como o problema tem simetria esférica, a superfí-cie gaussiana escolhida será uma esfera de raio r ( r a> ), de mesmo centro que a esfera sólida, como mostra a Figura 3.13a. Resolvendo o problema da mesma forma que o exemplo 3, obtemos:
2qE kr
= .
Ou seja, o campo elétrico é equivalente ao de uma carga pontual.
(b) A superfície gaussiana será uma esfera de raio r ( r a< ) concên-trica à esfera sólida (Figura 3.13b). O volume da superfície gaussiana é menor que o volume da esfera. Desse modo, a carga contida no inte-rior da superfície gaussiana será:
34 3
internainterna
q q V rV
ρ = ⇒ = ρ = ρ π .
Em virtude da simetria, o campo elétrico tem módulo constante ao longo da superfície gaussiana, e a mesma direção e sentido do vetor
- Área da superfície da casca esférica.
66
normal à superfície. Dessa forma:
.
Da expressão encontrada acima, podemos concluir que no interior da esfera o campo elétrico varia linearmente com o raio r . O gráfico do campo elétrico em função da distância r pode ser visto na figura 3.14.
r
ar
a
(a) (b)
Esfera (superfície)gaussiana
Esfera (superfície)gaussiana
r
ar
Figura 3.13: Superfícies gaussianas (a) fora e (b) dentro da esfera sólida de raio a .
E
a
a r
EkeQr2=
Figura 3.14: O gráfico acima mostra o comportamento do campo elétrico em fun-ção da distância r .
Exemplo 5: Uma distribuição de carga com simetria cilíndrica - En-contre o campo elétrico a uma distância r de uma linha de carga positiva, de comprimento infinito, com uma densidade linear de carga λ constante (Figura 3.15).
67Lei de Gauss
Resolução: Em virtude da simetria do problema, o vetor campo elé-trico é perpendicular à linha carregada e orientado para fora. A sime-tria do problema é, portanto, cilíndrica. A superfície gaussiana esco-lhida será um cilindro de raio r e altura L , coaxial à linha carregada, como mostra a Figura 3.15.
+++
+++
r
E
dAℓ
Superfíciegaussiana
Figura 3.15: A linha infinita carregada envolvida pela superfície gaussiana.
A carga elétrica no interior da superfície gaussiana é:
.
O fluxo elétrico através da superfície é:
.
Como o módulo do campo elétrico é constante ao longo da superfície:
.
Nesse tipo de distribuição, o campo elétrico é inversamente propor-cional à distância r . Se a linha de carga não for infinita, a lei de Gauss não pode ser utilizada, pois o campo elétrico não será constante ao longo da superfície gaussiana.
68
Exemplo 6: Uma folha plana não condutora eletricamente carregada - Calcule o campo elétrico devido a um plano infinito não condutor, com carga positiva por unidade de área σ uniforme.
Resolução: Uma superfície plana pode ser considerada infinita quan-do estivermos calculando o campo elétrico em um ponto muito próxi-mo à superfície e ao centro do plano. Em virtude da simetria, o campo elétrico deve ser perpendicular à superfície do plano, como mostra a Figura 3.16. A superfície gaussiana escolhida será um pequeno cilindro de eixo perpendicular ao plano, cujas extremidades têm área A . Na superfície lateral o produto escalar é cos 0º 0E dA E dA⋅ = ⋅ ⋅ =
. Logo, só as tampas contribuem para o calculo do E total.
+ + +
++ +
+
+++
+ + +
+ + + + +
+ + + + + + +
++ ++ +
+ ++ ++ +
E A
E
Cilindrogaussiano
Superfíciegaussiana=
Figura 3.16: Direção e sentido do campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado.
A carga no interior da superfície gaussiana é dada por:
interiorinterior
q q AA
σ = ⇒ = σ .
O fluxo elétrico é:
.
Como o campo é constante ao longo das extremidades da superfície:
.
69Lei de Gauss
É importante lembrar que há fluxo elétrico nos dois lados da superfí-cie gaussiana. Por esse motivo, o resultado da integral é igual a 2A (devido às duas extremidades de área A ).
3.5 Cargas e campos elétricos nas superfícies condutoras
Um condutor possui um número grande de cargas que podem se mo-ver livremente em seu interior. Quando esse condutor é submetido a um campo elétrico externo, essas cargas passam a se mover de acordo com a orientação do campo. Para manter essas cargas nes-se movimento ordenado, é necessário uma fonte externa de energia, conforme será discutido no Capítulo 6.
Dessa forma, na ausência desse campo externo, o campo elétrico no interior do condutor é nulo. Diz-se, então, que o condutor está em equilíbrio eletrostático.
Suponha um condutor de forma qualquer, em equilíbrio eletrostático, como o da Figura 3.17, com uma carga q .
E
SuperfícieGaussiana
→
Figura 3.17: Condutor com uma carga q em equilíbrio eletrostático.
Como, por hipótese, o condutor está em equilíbrio eletrostático, não há carga no interior da superfície gaussiana da figura; portanto, essa carga tem de estar obrigatoriamente distribuída na superfície do condutor.
70
Pode-se ainda utilizar a lei de Gauss para calcular o valor do campo elétrico próximo à superfície desse condutor. Para isto, deve-se pegar uma superfície gaussiana que englobe uma parte da superfície, como mostra a Figura 3.18.
++
+ +
+
++
++
+
+
+ ++
+
nE = E1 + E2 = 0
E = E1 + E2 = nσε0—
σ
P
Figura 3.18: A superfície gaussiana (tracejada na figura) está englobando uma região na superfície do condutor.
Como calculado no Exemplo 6, o campo elétrico próximo à superfície do condutor tem módulo:
02E σ=
ε.
É importante lembrar que existe campo elétrico acima e abaixo da su-perfície do condutor. Entretanto, ao fazer a mesma análise na região oposta do condutor, aparecerá um campo, no interior do condutor, de mesma direção e sentido contrário. Portanto, no interior do condutor o campo resultante será nulo (o que comprova que o condutor está em equilíbrio eletrostático). Fora do condutor, os campos têm mesma direção e sentido; desse modo, o campo elétrico resultante fora do condutor tem módulo:
0 02
2E σ σ= ⋅ =
ε ε.
3.5.1 Exemplos de superfícies gaussianas para corpos com alta simetriaExemplo 1: Esfera dielétrica carregada com carga Q e raio da esfera R .
71Lei de Gauss
Superfície Gaussiana para • r R> :
E Ad//
+Q
Visão Esférica Visão Recorte Plano
r
R R
r
EdA
Er
R
dA
Figura 3.19: Superfície Gaussiana para esfera com r R> .
Superfície Gaussiana para • r R< :
E Ad//
+Q
Visão Esférica Visão Recorte Plano
r
R R
r
dA
EdA
Figura 3.20: Superfície Gaussiana para esfera com r R< .
Exemplo 2: Cilindro longo de raio R com carga total Q :
Superfície Gaussiana para • r R> :
E Ad//
R
r
E
dA
dAE
Rr
Rr
+Q
R
r
EdA
Figura 3.21: Superfície Gaussiana para cilindro com r R> .
72
Superfície Gaussiana para • r R< :
E Ad//
R
r
E
dA
dAE
R
r
EdA
+Q
Figura 3.22: Superfície Gaussiana para cilindro com r R< .
Exemplo 7: Uma esfera isolante oca de raios a e b tem uma den-sidade volumar de carga ρ constante. A carga total Q é distribuída uniformemente por todo o volume. Calcule o campo elétrico para: a) r b> , b) a r b< < e c) r a< .
b
a
Q
Figura 3.23: Dielétrico esférico oco.
Resolução: a) Para simetrias esféricas, a superfície gaussiana será uma casca esférica de raio ( )r r b> , conforme a figura abaixo:
ba
r
ba
rE
dA
SuperfícieGaussiana
Figura 3.24: Situação (a).
73Lei de Gauss
Utilizando a lei de Gauss:
.
Como:
⇒E / /dA E.dA= EdAcos0° = EdA
,
logo:
.
O módulo de E
é constante ao longo de toda superfície gaussiana, então E E=
pode ser levado para fora da integral; assim:
,
onde a integral sobre toda a superfície gaussiana resulta na superfície da casca esférica ( 24 rπ ). A carga líquida envolvida pela gaussiana é igual a Q . Logo:
20
Q 1E4 r
=πε
.
b) No interior do volume, a gaussiana será uma casca esférica entre a e b ; a r b< < :
b
a
r
a
rE
dA
SuperfícieGaussiana
Figura 3.25: Situação (b).
74
Utilizando a lei de Gauss:
.
Aqui novamente / /E dA
, então a integral do lado esquerdo é:
.
Devemos utilizar a carga líquida envolvida pela superfície gaussiana. Usamos:
'q V= ρ ,
onde 'V implica o volume envolvido pela gaussiana.
A densidade de carga ρ :
QV
ρ = ,
onde V implica o volume total da esfera sólida.
Logo:
3 34 ( )3
V b a= − .
Assim:3 3
3 3
(r - a )q = Q ,(b - a )
o que resulta em:
3 32
3 30
3 3
2 3 30
( )(4 )( )
( )4 ( )
Q r aE rb a
Q r aEr b a
−= ⇒
−
−⇒ =
−
.
Quando:
.
75Lei de Gauss
c) Para r a< , não há carga líquida na parte oca da esfera:
b
a
r
a
r
SuperfícieGaussiana
Figura 3.26: Situação (c).
,
0E =
o que corrobora o resultado do item b) para r a= .
Exemplo 8: Suponha duas placas paralelas longas (conforme figura
abaixo) com 2227,0 10 C
m−σ = × . Calcule o campo elétrico: a) à esquer-
da; b) à esquerda; c) entre elas.
E
(a) (b)
Figura 3.27 : Placas paralelas.
76
Resolução: Como o campo elétrico E
só é diferente de zero entre as placas, de acordo com o Exemplo 6:
.
Então, todo o fluxo do campo elétrico surge entre as placas.
Logo,
a) E = 0 ,
b) E = 0 ,
c) ou
117,91 10 NEC
−= × .
Exemplo 9: Dado um cilindro condutor muito longo, de comprimento l , circundado por uma casca cilíndrica também condutora, onde a cas-ca externa possui carga 2Q− e o cilindro interno possui carga Q+ . Calcule o campo elétrico para a) r a< , b) a r b< < e c) r b> .
b
ℓ
+Q
-2Q
a
Figura 3.28: Cilindros concêntricos.
Resolução: Como temos cargas diferentes nos cilindros interno e ex-terno e ambos são condutores, as cargas se distribuem como ilustra-do na figura abaixo:
77Lei de Gauss
b
ℓ
+Q-Q
-Q
a
Figura 3.29: Distribuição de cargas nos cilindros.
a) Para r a< , tomando como ponto de vista a frente do cilindro:
Superfície Gaussianab
a
r
Figura 3.30 : Situação (a).
Usando a lei de Gauss, temos:
.
Vemos que para r a< a carga líquida é zero então:
.
b) Para a r b< < , tomando como ponto de vista a frente do cilindro:
Superfície Gaussianab
a
r
Figura 3.31 : Situação (b).
78
Usando Gauss, temos:
/ / cos 0ºE dA E dA EdA EdA⇒ ⋅ = =
, 2cilindroA rl= π .
Logo:
.
Finalmente:
0
12
QEl r
= ⋅πε
.
c) Para r b> , tomando como ponto de vista a frente do cilindro:
Superfície Gaussiana
b
a
r
Figura 3.32 : Situação (c).
Note que para r b> a carga líquida é Q− . Logo, pela lei de Gauss:
,
logo:
.
Então temos:
0 0
1(2 )2
Q QE rl El r
π = ⇒ = ⋅ε πε
.
Note que nos itens a) e c) o valor do campo elétrico é igual, porém com sentidos trocados.
79Lei de Gauss
Resumo
Primeiramente foi feita uma breve recapitulação sobre o conceito de fluxo em hidrodinâmica. Depois, o fluxo de campo elétrico através de uma superfície de área A foi definido da forma:
ˆ cosE E nA EAΦ = ⋅ = θ
,
onde n é o vetor unitário normal (perpendicular à superfície de área A).
Se a superfície for fechada, o fluxo elétrico é calculado da forma:
.
A relação entre o fluxo elétrico e a carga no interior de uma superfície fechada dada pela lei de Gauss:
“O fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcio-
nal à carga líquida (total) no interior da superfície.”
Que pode ser escrita formalmente da forma:
.
Após algumas aplicações da lei de Gauss em cálculos de campo elétri-co com alto grau de simetria, foi iniciada a discussão sobre condutores em equilíbrio eletrostático, que será finalizada no próximo capítulo.
Exercícios
1) Consideremos um campo elétrico uniforme ˆ(2000 ) /E i N C=
.
Qual o fluxo desse campo elétrico através de um quadrado de a) lado 10cm , num plano paralelo ao plano yz ?
Qual o fluxo através do mesmo quadrado se a normal ao plano b) faz um ângulo de 30° com o eixo dos x ?
80
Respostas:
a) 220,0 /Nm C , e
b) 217,3 /Nm C .
2) Uma carga puntiforme 2q C= + µ situa-se no centro de uma esfe-ra com 0,5m de raio.
Determine a área da superfície da esfera.a)
Determine o módulo do campo elétrico nos pontos da superfície b) da esfera.
Qual é o fluxo do campo elétrico devido a uma carga puntiforme c) através da área da superfície da esfera?
A resposta ao item c) poderia ser mudada se a carga puntiforme d) fosse movimentada, de modo que ela continuasse interna à es-fera, porém não mais em seu centro?
Qual é o fluxo resultante através de um cubo com e) 1 m de lado que envolve a esfera?
Respostas:
a) 23,14m ;
b) 47,19 10 /N C× ;
c) 5 22, 26 10 /Nm C× ;
d) Não, e
e) 5 22, 26 10 /Nm C× .
3) Uma casca cilíndrica com paredes delgadas, de raio R e compri-mento infinito, tem uma densidade superficial de carga σ .
Mostre que o campo elétrico é nulo para a) r R< .
Mostre que para b) r R> o campo elétrico tem módulo:
0
1REr
σ=ε
.
81Lei de Gauss
4) Uma esfera isolante, com raio R , tem uma densidade volumar de carga proporcional à distância ao centro: Ar= , para r R≤ , onde A é uma constante e 0 = para r R> .
Calcule a carga total mediante o somatório das cargas em ca-a) madas de espessura dr e volume 24 r drπ .
Calcule o campo elétrico no interior e no exterior da distribui-b) ção de carga.
Respostas:
a) 4q AR= π , e
b) dentro, 2
04ArE =ε
; fora, 4
2 204
AR kqEr r
= =ε
.
5) Um cilindro infinitamente comprido, de raio R , tem uma densi-dade volumar de carga uniforme ρ . Mostre que o campo elétrico tem módulo:
2
0 0
1 , , 2 2RE para r R e E r para r R
r
= ≥ = ≤ .
6) Uma placa metálica descarregada tem faces quadradas de 12cm de lado. Ela é colocada em um campo elétrico externo perpendicular às suas faces. A carga total induzida em uma das faces é 1,2nC . Qual é o módulo do campo elétrico?
Resposta: 39, 42 10 /N C× .
Bibliografia comentada
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: um Curso Universitário. Vol. 2. São Pau-lo: Edgard Blücher, 1972.
Nos capítulos 14 e 16, os autores discutem a interação elétrica e a lei de
Gauss, apresentando uma grande variedade de exercícios.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
No terceiro capítulo dessa obra, o autor discute o vetor campo elétrico
e a lei de Gauss, apresentando diversos exercícios.
82
SERWAY, R. A.; JEWETT Jr., J. W. Princípios da Física. Vol. 3. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
Nessa obra os autores propõem exercícios interessantes sobre campo
elétrico e a lei de Gauss.
O potencial elétrico4
85O potencial elétrico
4 O potencial elétrico
85
Em Mecânica, você deve ter estudado o conceito de ener-gia potencial, através de situações que envolviam forças conservativas como a gravidade, ou a força exercida por uma mola. Você também utilizou a conservação da ener-gia mecânica na resolução de uma série de situações, em algumas das quais a aplicação das leis de Newton torna-se extremamente complicada.
Neste capítulo utilizaremos o conceito de energia no estu-do de fenômenos elétricos. Como a força elétrica também é uma força conservativa, podemos estudar os fenômenos da eletrostática através do comportamento da energia po-tencial elétrica. Esse conceito permite definir o potencial elétrico de um sistema e a diferença de potencial (d.d.p). Após a discussão dessas definições, calcularemos o po-tencial elétrico produzido por uma distribuição de cargas puntiformes e por distribuições contínuas de cargas. Defi-niremos e representaremos as superfícies eqüipotenciais, destacando o comportamento das linhas de campo através dessas superfícies. Discutiremos como calcular o campo elétrico através do potencial elétrico e, finalmente, tratare-mos do potencial elétrico em um condutor carregado.
4.1. Trabalho e energia potencial
Considere um corpo de massa m em queda livre, entre dois pontos i e
f , próximos à superfície da Terra (como mostra a Figura 4.1).
A conservação da energia mecânica implica (lembrando que durante a queda a força resultante é a força peso):
( )Mf Mi f f i i f i f iE E K U K U K K U U= ⇒ + = + ⇒ − = − −
K U∆ = −∆ .
m0
m0g
f
i
Figura 4.1: Corpo de massa m em queda livre entre dois
pontos i e f , próximos à superfície da Terra.
86
A última relação acima indica que um aumento na energia cinética representa uma redução na energia potencial e vice-versa. O teorema da energia cinética diz que:
R P ifK W W m g s∆ = = = ⋅ ⋅∆ ,
onde ifs∆ é o módulo do deslocamento da partícula entre a posição
inicial e final.
Dessa forma:
ifU m g s∆ = − ⋅ ⋅∆ .
É importante ressaltar que a relação acima vale para qualquer queda livre, quer a partícula esteja próxima à superfície da Terra (campo gra-vitacional g considerado constante), ou não ( g varia em módulo).
Outra característica importante da relação acima é que na natureza determina-se a diferença de energia potencial, ou seja, pode-se definir um ponto de energia potencial zero. No caso da energia potencial gra-vitacional, esse ponto é considerado o ponto mais baixo da trajetória. Desse modo, a energia potencial em relação ao ponto mais baixo da trajetória é:
U m g h= ⋅ ⋅ ,
onde h é a altura em relação a esse ponto.
4.2. Diferença de potencial e potencial elétrico
Quando uma carga pontual 0q é colocada em um campo elétrico, a
força elétrica na partícula é 0F q E=
. Para levar a carga da posição
i até a posição f , em uma região onde existe um campo elétrico não uniforme, como mostrado na Figura 4.2 ,o trabalho realizado pela força elétrica deve ser calculado dividindo-se a trajetória em diversos elementos de comprimento is∆ . O trabalho total realizado será:
0if i i i ii i
W F s q E s= ⋅∆ = ⋅∆∑ ∑
.
87O potencial elétrico
Considerando os elementos muito pequenos ( 0is∆ → ), a equação acima pode ser escrita da forma:
0
f
ifi
W q E ds= ⋅∫
.
Podemos definir uma quantidade que independe da carga, a diferença de potencial ifV∆ , entre os pontos i e f :
0
fif
if f i if f ii
WV V V V V V E ds
q∆ = − = − ⇒ ∆ = − = − ⋅∫
.
No Sistema Internacional a unidade de diferença de potencial é o volt (V ) ( /joule coulomb ).
Podemos definir uma nova unidade de energia: o elé-tron-volt ( ). Um elétron-volt é a energia cinética
ganha por uma partícula com carga , acelerada por uma diferença de potencial de um volt, ou seja, .
.
Exemplo 1: Determine a diferença de potencial entre dois pontos i e f , separados por uma distância d , em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E
, conforme mostra a Figura 4.3 a seguir.
cos 0f f f
o
i i i
V E ds E ds E ds E d∆ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − = − ⋅∫ ∫ ∫
A diferença de energia potencial entre os pontos i e f é obtida a partir da relação:
. .UV U q E dq∆
∆ = ⇒ ∆ = − .
+
E
q0E
q0
i
f
ds
Figura 4.2: Carga 0q em mo-vimento em uma região onde
existe um campo elétrico não-uniforme. As linhas de
campo podem ser observadas na figura.
88
d
f
q0
q0E
E
Figura 4.3 Partícula carregada em movimento em um campo elétrico uniforme.
Pelo resultado acima, se 0 0q U> → ∆ < . Isso significa que, quando uma carga positiva se desloca no sentido do campo elétrico, a energia potencial do sistema campo-carga diminui, ou seja, a energia cinética da partícula aumenta. Se 0 0q U< → ∆ > , a energia potencial do sis-tema campo-carga diminui, quando a partícula se move em sentido contrário ao campo.
Conforme discutido na Seção 4.1 deste capítulo, podemos escolher um local conveniente como ponto de energia potencial nula. No caso da energia potencial elétrica, normalmente escolhemos esse ponto, denominado terra, em um ponto muito distante do sistema (no infini-to). Dessa forma, se i →∞ , 0V∞ = , e portanto:
. .f f
V V V E ds V E ds∞∞ ∞
∆ = − = − ⇒ = −∫ ∫
(potencial elétrico).
4.3 Potencial elétrico de uma carga pontual
Considere uma carga isolada q . Lembre que essa carga é uma fonte de campo elétrico que está direcionado radialmente para fora da car-ga. O campo elétrico devido à carga pontual é dado por:
89O potencial elétrico
2ˆqE k r
r=
,
onde r é um vetor unitário dirigido da carga para o campo. A grande-za E ds⋅
pode ser expressa como:
2 2ˆq qE ds k r ds k ds cos
r r⋅ = ⋅ = ⋅
,
onde é o ângulo entre os vetores ds e E
e, por conseguinte, en-tre os vetores r e ds (conforme mostra a Figura 4.4). Desse modo, ds cos dr⋅ = . A diferença de potencial entre os pontos A e B da figura é:
2
1 1B B
A A
r r
B A B AB Ar r
qV V E ds k dr V V kqr r r
− = − ⋅ = − ⇒ − = −
∫ ∫
.
dr dsθ
B
A
q
r
r
rB
rA ^
Figura 4.4: Partícula carregada em movimento entre dois pontos A e B próximos
a uma carga q . A diferença de potencial entre esses dois pontos depende das dis-
tâncias Ar e Br dos pontos à carga.
Considerando Ar →∞ , o potencial elétrico devido a uma carga pon-tual a qualquer distância r da carga é:
qV kr
= .
90
Para duas ou mais cargas pontuais, o potencial elétrico resultante é a soma dos potenciais produzidos pelas diferentes cargas:
nn
V V=∑ .
4.4 Potencial elétrico devido a distribuições contínuas de carga
O potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga pode ser calculado dividindo-se a distribuição em diversos elementos de cargas dq , cada um produzindo em um ponto P qualquer um poten-cial dado por:
dqdV kr
= ,
onde r é a distância do elemento de carga ao ponto P . O potencial é então calculado mediante o somatório dos potenciais produzidos pelos elementos de carga. Muitas vezes, esse somatório transforma-se em uma integral.
Outra maneira de se determinar o potencial elétrico de uma distri-buição contínua de carga é através do campo elétrico produzido pela distribuição (ver potencial produzido por uma carga pontual).
Exemplo 2: Encontre o potencial elétrico em um ponto P situado no eixo de um anel uniformemente carregado de raio a e carga total q . O plano do anel é perpendicular ao eixo x , como pode ser visto na Figura 4.5.
Resolução: Considere P como estando a uma distância x do anel, como na figura. O elemento de carga está a uma distância 2 2r x a= + do ponto P . Dessa forma, o potencial no ponto V é:
2 2 2 2 2 2
1 dq dq qV k k k dq V kr x a x a x a
= = = ⋅ ⇒ =+ + +∫ ∫ ∫ .
91O potencial elétrico
dq
a
x
x2 + a2
P
Figura 4.5: Um anel uniformemente carregado de raio a , cujo plano é perpendicu-
lar ao eixo x . Os elementos de carga dq estão eqüidistantes ao ponto P .
Exemplo 3: Uma esfera isolante de raio R tem uma carga total q , que está uniformemente distribuída pelo volume da esfera, como mos-tra a Figura 4.7. (a) Encontre o potencial elétrico em um ponto fora da esfera, ou seja, para r B> . (b) Encontre o potencial para um ponto dentro da esfera, ou seja, r R< .
Resolução: Pela lei de Gauss, o campo elétrico fora de uma distribui-ção de carga esfericamente simétrica é:
2
qE kr
= ,
onde o campo diverge se a carga for positiva. Para obter o potencial em um ponto exterior, como o ponto B da figura, resolve-se a integral:
2 , r r r
B rq qV E ds E dr k dr k
rr∞ ∞ ∞
= − ⋅ = − = − =∫ ∫ ∫
para r R> .
O campo elétrico no interior de uma esfera uniformemente carregada é:
303
qE r k rR
= = .
A diferença de potencial entre um ponto D no interior do condutor e um ponto C na superfície do condutor é:
2 23 3 ( )
2
r r
D C rR R
q kqV V E dr k r dr R rR R
− = − = = −∫ ∫ .
92
Substituindo:
CqV kR
= .
E resolvendo para DV , encontra-se:
2
232Dkq rVR R
= −
.
Para r R= , a expressão do potencial é igual à expressão para CV . O grá-fico do potencial em função da distância r pode ser visto na Figura 4.6.
V
R
V0
V0 =
=VD
VB =V
0
r
23
2R3keQ
2R)(3 -
keQ
rkeQ
r2
R2
Figura 4.7: O gráfico acima mostra como o potencial varia em função da distância
ao centro de uma esfera de raio R uniformemente carregada.
Exemplo 4: Dada uma esfera dielétrica oca (Figura 4.8), de raios a e b , com carga Q+ distribuída uniformemente em seu volume, calcule o potencial para: a) r b> e b) a r b< < . Supor 0V = no infinito.
+Qa
b
Figura 4.8: Esfera Dielétrica.
Q
R
D
r
CB
Figura 4.6: Esfera de raio R uniformemente carregada. O potencial elétrico será cal-culado em um ponto B fora da esfera e em um ponto D dentro da esfera.
93O potencial elétrico
Resolução: a) r b>
a rf
bds dr
V = 0
i
i
E
aa rb
Figura 4.9: Situação (a).
, 180f
f ii
V V E ds E ds E ds cos E ds− = − ⋅ = ° = −∫
.
Como:
ds dr E ds E dr= − ⇒ − = .
Logo,
,r
fV E dr∞
= −∫
o campo elétrico para r b>
20
14
QEr
= ⋅ .
Portanto,
22
0 0
0 0
4 4
1 14 4
r r
f f
r
f f
Q dr QV V r drr
Q QV Vr r
−
∞ ∞
∞
= − ⋅ ⇒ = − ⇒
= − − ⇒ = ⋅
∫ ∫
.
94
b) a r b< <
ar f
bds dr
V = 0= — —4ε0
Q 1r²E1
i
i
E→aa
r f
b
Figura 4.10: Situação (b).
1 2
b r
f ib
V V E dr E dr∞
− = − −∫ ∫ .
Temos que calcular 2E dentro da esfera. Use a Lei de Gauss e veja que você obterá:
3
2 3 3 3 3 204 ( ) ( ).
Q r aEb a b a r
= − − −
.
Logo, teremos:
3
2 3 3 3 3 20 0 0
14 4 ( ) 4 ( )
b r r
fb b
Q Q r Q a drV dr drr b a b a r ∞
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒− −∫ ∫ ∫
2 3
3 3 3 30 0 0
1 1 14 4 ( ) 2 4 ( )
r r
fbb
Q Q r QaVb b a b a r
⇒ = ⋅ − ⋅ + − ⇒ − − 2 2 3
3 3 3 30 0 0
1 1 1 14 4 ( ) 2 2 4 ( )f
Q Q r b QaVb b a b a r b
⇒ = − − + − + ⇒ − − 2 2 3
3 3 3 30
1 14 ( ) 2 2 ( )f
Q r b a b rVb b a b a rb
− + ⇒ = − − + ⇒ − − 3 3 2 2 3 3
3 304 ( ) 2f
Q b a r b a r baVb a b rb
− − −⇒ = + ⇒ −
3 3 3 3
3 30
2 2 2 24 ( ) 2f
Q b r a r r b b r r bVb a br
− − + + −⇒ = ⇒ −
2 3 2 3
3 30
2 24 ( ) 2f
Q b r r b r aVb a r
− + −⇒ = ⇒ −
2 3 3
3 30
3 2 .4 ( ) 2f
Q b r r aVb a r
−⇒ = −
95O potencial elétrico
Note que é uma expressão um pouco mais complicada. Se:
3 3
3 30
2 24 ( ) 2f
Q b ar b Vb a b
−→ ⇒ = −
.
Portanto,
0
14f
QVb
= .
Exemplo 5: Seja uma barra dielétrica de comprimento l e carga distri-buída uniformemente ao longo do seu comprimento (Figura 4.11) .Cal-cule o potencial elétrico no ponto P .
ℓ
ℓ r xa+ +=ℓ a xr + -=
x0
r
dx a P
Figura 4.11: Barra dielétrica carregada.
0
1 ,4
dqV dq dxr
= = ⇒∫
0 0
14 ( )
l dxVl a x
⇒ = ⇒
+ −∫
0 04 ( )
l dxVl a x
⇒ = ⇒+ −∫
04duVu
⇒ − ⇒∫
0 0
( )4
l
V lnu
⇒ = − ⇒
0
[ ( ) ( )]4
V ln l a l ln l a
⇒ = − + − + + ⇒
04l aV ln
a
+ ⇒ =
.
96
4.5 Superfícies eqüipotenciais
Uma superfície eqüipotencial é a superfície formada por pontos que estão a um mesmo potencial. As superfícies eqüipotenciais podem ser utilizadas para representar o campo elétrico em uma região.
Uma vez que todos os pontos em uma superfície eqüipotencial estão a um mesmo potencial, nenhum trabalho é realizado pela força elétrica para levar a carga de um ponto para a outro ao longo da superfície.
As superfícies eqüipotenciais para uma carga pontual ou distribui-ções esfericamente simétricas são esferas concêntricas, como pode ser visto na Figura 4.12. Em uma região onde existe um campo uni-forme, as superfícies eqüipotenciais são planos perpendiculares ao campo. Pode-se ver também na figura as superfícies eqüipotenciais produzidas por um dipolo elétrico (Figura 4.13).
Ainda pode-se observar nas figuras que o campo elétrico é sempre perpendicular a uma superfície eqüipotencial.
Figura 4.13: Superfícies eqüipotenciais produzidas por um dipolo elétrico.
4.6 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial
Até o momento foi discutido como calcular o potencial elétrico atra-vés do campo elétrico. Nesta seção será mostrado como determinar o campo a partir do potencial.
Figura 4.12: Superfícies eqüi-potenciais de uma carga pun-tiforme. Observe que as linhas de campo, e portanto, o vetor campo elétrico são perpendi-culares a essas superfícies.
97O potencial elétrico
A Figura 4.14 mostra uma série de superfícies eqüipotenciais ( nS ). A diferença de potencial entre um par de superfícies eqüipotenciais é dV . A figura mostra ainda o campo elétrico em um ponto P , onde existe uma carga de prova 0q .
f
s1
s2
s3
dV
s4
E→
iif(I)
(II)
Figura 4.14: Série de Superfícies Eqüipotenciais. Trajetória (I): na mesma superfície,
0V∆ = . Trajetória (II): em diferentes superfícies, 0V∆ ≠ .
Suponha que essa carga sofra um deslocamento ds , de uma superfí-cie eqüipotencial para outra adjacente (ver Figura 4.2 neste capítulo). O trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova é:
0W q dV= − .
Pode-se mostrar que o trabalho realizado pela força elétrica é:
0eW F ds q E ds cos= ⋅ =
.
Assim:
0 0dVq E ds cos q dV E cosds
= − ⇒ = − .
Entretanto, E cos é o componente de E
na direção de s . A equação acima pode ser escrita na forma de uma derivada parcial se V depen-de de mais de uma variável.
sVEs
∂= −
∂.
98
4.7 Potencial elétrico de um condutor carregado
Conforme discutido no capítulo anterior, se um condutor estiver em equilíbrio eletrostático (campo nulo em seu interior), a carga líquida deve se distribuir em sua superfície. O vetor campo elétrico próximo à superfície do condutor tem módulo:
0
E
= .
E é perpendicular à superfície do condutor.
Uma vez que isto acontece, a diferença de potencial entre dois pontos A e B na superfície do condutor da Figura 4.15 é:
90 0B B
B A B AA A
V V E ds E ds cos V V− = − ⋅ = − ° = ⇒ =∫ ∫
.
O potencial elétrico é constante na superfície do condutor. Como o campo dentro do condutor é nulo, o potencial elétrico dentro do con-dutor é constante e igual ao potencial na superfície. Esse resultado também é válido para um condutor em equilíbrio eletrostático com uma cavidade sem cargas em seu interior. Por esse motivo, durante uma tempestade com raios, o lugar mais seguro é no interior de um veículo, pois mesmo que um raio atinja o carro, devido ao equilíbrio eletrostático as cargas devem ficar na superfície do veículo.
Quando uma carga líquida se encontra em um condutor esférico, ela se distribui uniformemente ao longo da superfície do condutor. Se o condutor tiver uma forma qualquer, como mostra a figura, a densidade de carga não é uniforme. Para se determinar como a carga se distribui, considere um modelo simplificado onde duas esferas de raios diferen-tes estão ligadas por um fio condutor, como mostra a Figura 4.16.
Nesse caso, os condutores devem estar a um mesmo potencial. Assim:
1 2 1 11 2
1 2 2 2
q q q rV V k kr r q r
= ⇒ = ⇒ = .
Da relação acima, pode-se concluir que a esfera maior tem maior car-ga. A razão entre as densidades de carga das esferas é:
22 2
2 2 2 1 12
11 1 2 22
1
4
4
qr q r r
q q r rr
= = ⋅ = .
EA
B
Figura 4.15: Um condutor de forma arbitrária com excesso de carga positiva. Confor-me foi mostrado, o campo elétrico é perpendicular à sua superfície. A concentração de cargas é maior na região de menor raio.
q1
r1
r2
q2
Figura 4.16: Modelo formado por duas esferas ligadas por um fio condutor, para simu-lar um condutor de forma arbitrária. Será mostrado que a concentração de cargas será maior na região de menor raio.
99O potencial elétrico
Ou seja, a densidade de carga na esfera de raio menor é maior do que na esfera de raio maior. Portanto, o campo elétrico devido a um con-dutor carregado é maior nas regiões onde o raio de curvatura é menor e é menor nas regiões com maior raio de curvatura.
Resumo
No início do capítulo foi mostrado que o trabalho realizado pela força elétrica sobre uma partícula carregada em uma região onde existe um campo elétrico E
é:
W qE ds= ⋅
.
A diferença de potencial entre dois pontos i e f nessa região foi de-finida como:
fif if
ifi
U WV E ds
q q∆
∆ = = − = − ⋅∫
.
O potencial elétrico em relação a um ponto no infinito (ponto de po-tencial nulo) é determinado da forma:
f
V E ds∞
= − ⋅∫
.
Para uma carga puntiforme, foi mostrado que:
qV kr
= .
Para calcular o potencial devido a uma distribuição contínua de car-ga, deve-se dividir a distribuição em elementos de carga dq , calcular o potencial produzido por cada uma e finalmente somar esses poten-ciais. Uma outra forma é fazer esse cálculo através do campo elétrico produzido pela distribuição. Os exemplos 2 e 3, feitos ao longo deste capítulo, ilustram como esse cálculo pode ser feito.
Os componentes do campo elétrico podem ser determinados a partir do potencial através da relação:
sVEs
∂= −
∂.
100
No final deste capítulo foi mostrado que o potencial na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático é constante. Esse potencial tem o mesmo valor no interior do condutor, mesmo que este possua uma cavidade.
Para condutores arbitrários, a concentração de carga será maior na região de menor raio.
Exercícios
1) Um campo elétrico uniforme de 2000 /N C está na direção x . Uma carga puntiforme 3q C= , inicialmente em repouso na origem, é solta no campo.
Qual é a energia cinética da carga quando está em a) 4x m= ?
Qual é a variação de energia potencial da carga de b) 0x = a 4x m= ?
Qual a diferença de potencial c) (4 ) (0)V m V− ?
Respostas:
a) 0,024 J ;
b) 0,024 J− e
c) 8000V− .
2) Um campo elétrico uniforme está na direção dos x negativos. Os pontos a e b estão sobre o eixo dos x , a em 2x m= e 6b m= .
A diferença de potencial a) b aV V− é positiva ou negativa?
Se o módulo da diferença de potencial for b) 510 V , qual é o módu-lo do campo elétrico?
3) Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre os pontos de descarga é cerca de 910 V e a quantidade de carga transferida é cerca de 30C .
101O potencial elétrico
Quanta energia é liberada? a)
Se toda a energia que foi liberada pudesse ser utilizada para b) acelerar um carro de 1000kg a partir do repouso, qual seria a sua velocidade final?
Que quantidade de gelo a c) 0 C° seria possível derreter se toda a energia liberada pudesse ser utilizada para este fim? O calor de fusão do gelo é 53,3 10 J× .
Respostas:
a) 103 10 J× ;
b) 7750 /m s e
c) 49 10 kg× .
4) Quatro cargas puntiformes de 2 C estão nos vértices de um quadrado de lado 4m . Calcule o potencial no centro do quadrado (relativamente ao potencial nulo no infinito) se
todas as cargas são positivas; a)
três cargas são positivas e uma é negativa; e b)
duas cargas são positivas e duas cargas são negativas. c)
Respostas:
a) 25400V ,
b) 12700V e
c) 0 .
5) Os pontos A , B e C estão nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado 3m . Cargas positivas e iguais a 2 C estão em A e em B .
Qual é o potencial no ponto a) C ?
Qual o trabalho necessário para se trazer uma carga positiva de b) 5 C do infinito até o ponto C se as outras cargas estiverem fixas?
102
Respostas:
a) 12000V e
b) 0,060 J .
6) Duas superfícies esféricas condutoras concêntricas têm cargas iguais e opostas. A esfera interna tem raio a e carga q+ ; a esfera externa tem raio b e carga q− . Calcule a diferença de potencial entre as duas superfícies esféricas b aV V− .
Resposta: ( )kq b aab− .
7) O potencial para um ponto axial de um disco carregado é:
2 2
0
( )2
V z R z
= + −.
Mostre que o campo elétrico para pontos axiais tem módulo:
2 20
12
zEz R
= −
+ .
Bibliografia Comentada
CHAVES, A . Física. Vol. 2. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Edi-tores, 2001.
No capítulo 16, intitulado Energia Eletrostática, o autor discute a energia
total de uma carga obtida a partir da soma das partes da mesma
(ou auto-energia eletrostática), o raio clássico do elétron e a energia
armazenada no campo elétrico – que será determinada no capítulo 5
deste livro.
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON R. B.; SANDS, M. Lições de Física. Vol. 2. Porto Alegre: Bookman, 2008.
No capítulo 9 desse livro, os autores discutem a eletricidade na atmosfera,
apresentando uma belíssima explicação sobre os relâmpagos.
103O potencial elétrico
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
No capítulo 4 desse livro, o autor apresenta as equações da eletrostática
em forma local (utilizando os conceitos de rotacional e divergente).
Além disso, mostra a descontinuidade que aparece ao tratar o problema
do potencial de uma dupla camada.
Capacitância5
107Capacitância
5 Capacitância
107
Os capacitores são dispositivos que armazenam cargas. Esses dispositivos podem ser encontrados em sintoni-zadores de freqüência em receptores de rádio, filtros em fontes de alimentação, dispositivos de armazenamento de energia (flashs, por exemplo), entre outras aplicações.
Iniciaremos este capítulo definindo capacitância e calcu-lando a capacitância de alguns sistemas importantes (ca-pacitor de placas paralelas, cilíndricos, esféricos e esfera isolada). Enunciaremos as propriedades das associações de capacitores em série e em paralelo, aplicando-as à re-solução de problemas. Finalmente, explicaremos o com-portamento de um material isolante (denominado dielétri-co) colocado entre as placas de um capacitor.
5.1 Capacitância
Considere dois condutores, de qualquer formato, que têm uma dife-rença de potencial V∆ entre eles. Esse sistema é denominado capa-citor. A diferença de potencial entre os condutores é proporcional à carga armazenada no condutor. A capacitância (C ) desse capacitor é a constante de proporcionalidade entre a carga armazenada e o módulo da . .d d p no capacitor:
qCV
=∆
.
Por definição, a capacitância é sempre uma grandeza positiva, medida no SI em coulomb por volt, que é denominada farad (F). Um farad é uma unidade muito grande; assim, na prática, os dispositivos têm ca-pacitâncias variando de microfarads ( 610 F− ) a picofarads ( 1210 F− ).
Cargas e nos condutores.
Apesar de ser em homenagem a Michael Faraday (1791- 1867), não se deve confundir o Farad com Faraday (Uma antiga medida de carga elétrica).
108
5.2 Cálculos de capacitância
Como a capacitância é constante para um determinado capacitor, mostraremos que ela depende da geometria dos condutores.
5.2.1 Capacitor de placas paralelasUm capacitor de placas paralelas consiste em duas placas paralelas de área igual a A separadas por uma distância d , como mostra a Figura 5.1.
- Q
Área = Ad
+ Q
Figura 5.1: Capacitor de placas planas paralelas de área A separadas por uma dis-tância d .
Uma placa tem carga q , a outra, carga q− . O módulo da carga por unidade de área é:
qA
σ = .
Se as placas estiverem muito próximas, adotamos um modelo simpli-ficado, no qual o campo elétrico entre as placas é uniforme, de módu-lo, pela lei de Gauss:
0 0
qEA
= = .
A . .d d p entre as placas do capacitor de placas paralelas tem módulo:
0
qV E d dA
∆ = ⋅ = ⋅ .
A capacitância é:
0
0
Aq qC Cq dV dA
= = ⇒ =⋅∆
.
109Capacitância
Como podemos perceber, a capacitância depende apenas da área das placas e da distância de separação, ou seja, depende da geometria do sistema.
5.2.2 Capacitor cilíndricoConsiste em dois cilindros concêntricos de raios a e b , com cargas q e q− armazenadas, como mostra a Figura 5.2. Se supusermos que o comprimento é muito maior que os raios a e b , podemos desprezar os efeitos das bordas do capacitor. Nesse caso, o campo é perpendicu-lar ao eixo dos cilindros e confinado à região entre eles. Esse campo elétrico tem módulo, usando a lei de Gauss:
2E kr
= ,
onde a densidade linear de carga é:
q
= .
E a diferença de potencial:
2 2 2 lnb b b
a a a
dr bV E ds k dr k kr r a
∆ = − ⋅ = − = − = − ∫ ∫ ∫ .
A capacitância é:
2 ln 2 ln
q qC Cq b bV k k
a a
= = ⇒ =∆
.
Que depende somente da geometria (dos raios e do comprimento) dos condutores.
ℓ
ab
Figura 5.2: Capacitor formado por dois cilindros coaxiais de raios a eb .
110
5.2.3 Capacitor esféricoFormado por duas esferas concêntricas de raios a e b , como mostra a Figura 5.3. Adotando a mesma simplificação dos itens anteriores, o campo elétrico entre as esferas tem módulo. Novamente utilizando a lei de Gauss, temos:
2qE kr
= .
A diferença de potencial entre as esferas é:
21 1
b b
a a
dr b aV E ds kq kq kqa b a br
− ∆ = − ⋅ = − = − = ⋅ ∫ ∫
.
A capacitância é:
( ) q q a bC C
b aV k b akqa b
⋅= = ⇒ =
−∆ − ⋅
.
Superfíciegaussiana
Q -Qa
b
r
Figura 5.3: Capacitor formado por duas esferas concêntricas de raios a e b .
5.2.4 Esfera isoladaÉ o caso anterior limite, onde b b a b→∞ ⇒ − → . Nessa situação,
a b aC Ck b k⋅
= ⇒ =⋅
.
111Capacitância
Exemplo 1: As placas de um capacitor de placas paralelas estão se-paradas pela distância 1,0d mm= . Qual deverá ser a área das placas para que sua capacitância seja igual a 1,0 F ?
Resolução: Conforme visto no item 5.2.1 desta seção, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é:
0ACd
= .
Assim:
38 2
120
1,0 1 10 1,1 108,85 10 /
Cd F mA mF m
−−
−⋅ ⋅
= = = ⋅⋅
.
Exemplo 2: Determine a capacitância da Terra como se ela fosse uma esfera condutora isolada de raio igual a 6370 km .
Resolução: A capacitância de uma esfera isolada é:
aCk
= ,
onde a é o raio da esfera e k é a constante eletrostática. Portanto:
64
96,37 10 7,1 109 10 /
mC Fm F
−⋅= = ⋅
⋅.
5.3 Associação de capacitores
Dois ou mais capacitores freqüentemente são combinados em circui-tos. Ao se representar um circuito, utiliza-se uma representação pic-tórica, onde um capacitor e uma bateria são representados conforme indica a Figura 5.4 abaixo. Nesses primeiros circuitos simples, os ca-pacitores podem ser associados em série ou em paralelo.
Símbolode capacitor
Símbolode bateria – +
Figura 5.4: Representações de um capacitor e de uma bateria em um circuito.
As associações de capacitores são freqüentemente utilizadas em indústrias na construção dos chamados Bancos de capacitores.
112
5.3.1 Associação de capacitores em paraleloNa associação em paralelo, esquematizada na Figura 5.5, os termi-nais esquerdos dos capacitores estão conectados por um fio condu-tor ao terminal positivo da bateria e, conseqüentemente, estão a um mesmo potencial. Os terminais direitos dos capacitores estão ligados através de um fio condutor ao terminal negativo da bateria, e dessa forma esses terminais também estão a um mesmo potencial. Portan-to, pode-se concluir que:
• A diferença de potencial nos capacitores é a mesma.• A carga total armazenada é a soma das cargas arma-zenadas nos capacitores.
Dessa forma:
1 2Tq q q= + .
Lembrando que:
qC q C VV
= ⇒ = ∆∆
.
Pode-se escrever:
1 2Tq C V C V= ∆ + ∆ .
Os capacitores da associação podem ser substituídos pelo equivalen-te ( eqC ):
1 2 T eq eqq C V C C C= ∆ ⇒ = + .
A capacitância equivalente de uma associação de capa-citores em paralelo pode ser determinada através da
soma das capacitâncias dos capacitores da associação.
113Capacitância
∆V1 = ∆V2 = ∆VC1
C2
∆V
Q1
Q2
+ –
Figura 5.5: Capacitores associados em paralelo. Note que os terminais do lado direi-to e do lado esquerdo dos capacitores estão ligados aos mesmos pólos da bateria.
5.3.2 Associação de capacitores em sérieEm uma associação em série, o terminal de um capacitor está conec-tado ao terminal do capacitor adjacente, como mostra a Figura 5.6. Os terminais, esquerdo e direito, extremos da associação, estão ligados aos pólos de uma bateria. Nesse tipo de associação:
• A carga armazenada nos capacitores é a mesma.• A diferença de potencial na bateria é igual à soma das diferenças de potencial nos capacitores.
Portanto:
1 2V V V∆ = ∆ + ∆ .
Lembrando mais uma vez que:
q qC VV C
= ⇒ ∆ =∆
.
Pode-se escrever:
1 2
q qVC C
∆ = + .
114
De maneira análoga à associação em série, pode-se substituir os ca-pacitores da associação pelo equivalente ( eqC ):
1 2
1 1 1 eq eq
qVC C C C
∆ = ⇒ = + .
O inverso da capacitância equivalente em uma asso-ciação em série corresponde à soma dos inversos
das capacitâncias dos capacitores da associação.
Q1 = Q2 = Q
∆V1 ∆V2
C1 C2
∆V
+ –
Figura 5.6: Dois capacitores ligados em série.
Exemplo 3: (a) Determine a capacitância equivalente da combinação
mostrada na Figura 5.7(a). Suponha que 1 12,0C F= , 2 5,3C F= e
3 4,5C F= . (b) Uma diferença de potencial de 12,5V é aplicada aos terminais da figura. Determine a carga armazenada no capacitor 1C .
Resolução: (a) Da figura, podemos perceber que os capacitores 1C e
2C estão em paralelo. A capacitância equivalente dessa associação é:
12 1 2 17,3C C C F= + = .
Os capacitores 12C e 3C estão em série. A capacitância equivalente total é:
12 3
1 1 1 3,57eqeq
C FC C C
= + ⇒ = .
115Capacitância
(b) A carga total armazenada no capacitor equivalente é:
3,57 12,5 44,6eqq C V F V C = ⋅∆ = ⋅ = .
Esse capacitor equivalente está substituindo os capacitores da Figura 5.7(b), que por estarem em série, armazenam a mesma carga (igual a do equivalente). Desse modo, a . .d d p no capacitor 12C será:
1212
44,6 2,5817,3
q CV VC F
∆ = = = .
O capacitor 12C substitui dois capacitores em paralelo. Logo, 1C e 2C têm a mêsma . . .d d p A carga armazenada em 1C será:
1 1 1 12 2,58 31q C V F V C = ⋅∆ = ⋅ = .
C1 C2
C3
C12
C3
(a)
(b)
Figura 5.7: (a) Associação de capacitores do exemplo 3. Os capacitores 1C e 2C
estão em paralelo. (b) O equivalente da associação em paralelo 12C está em série
com 3C .
116
5.4 Energia armazenada em um capacitor
Conforme comentado no início do capítulo, um capacitor é um dis-positivo que armazena cargas, ao ser submetido a uma diferença de potencial. Nesta seção será mostrado que o capacitor na verdade ar-mazena energia.
Vamos analisar o processo de carga de um capacitor. Suponha que em um dado momento uma carga 'q tenha sido transferida de uma placa para outra. A diferença de potencial 'V∆ , existente entre as pla-
cas nesse momento, é 'q
C. Para aumentar a carga nas placas de 'dq ,
será necessário realizar um trabalho dado por:
'' ' 'qdW V dq dqC
= ∆ = .
O trabalho realizado para carregar completamente o capacitor será:
2
0
' '2
qq qW W dqC C
= = =∫ ∫ .
Esse trabalho é armazenado sob forma de energia potencial (U ). Logo, a energia armazenada pelo capacitor é:
2
2qUC
= .
Lembrando que a capacitância é a razão entre a carga armazenada no capacitor e a diferença de potencial, a relação acima pode ser re-escrita das formas:
21 12 2
U q V C V= ∆ = ∆ .
O resultado acima pode ser aplicado a qualquer capacitor, indepen-dente de sua geometria. Apesar da energia armazenada aumentar, à medida que C e V∆ aumentam, na prática a energia (ou carga) máxima que pode ser armazenada é limitada. Isto acontece porque para valores grandes de V∆ , ocorre uma descarga elétrica entre as placas (por esse motivo, nos capacitores está indicado a diferença de potencial máxima de operação).
Essa energia armazenada em um capacitor está armazenada no cam-po elétrico entre as placas. Para um capacitor de placas paralelas, a diferença de potencial entre as placas é V E d∆ = ⋅ . Além disso, a
117Capacitância
capacitância entre as placas é 0 ACd
= . A energia armazenada nesse capacitor é:
2 20 0
1 1( ) ( )2 2
AU Ed Ad Ed
= = .
A energia por unidade de volume (u ), denominada densidade de ener-gia, é:
20
1 2
Uu u EAd
= ⇒ = .
Apesar da expressão para a densidade de energia ter sido determina-da para um capacitor de placas paralelas, ela é válida para qualquer capacitor.
5.5 Dielétricos
Um dielétrico é um material não condutor colocado entre as placas de um capacitor para servir de meio de separação mecânica entre as placas. Michael Faraday observou que ao preencher completamente um capacitor com um dielétrico, de constante dielétrica , sua ca-pacitância aumenta pelo mesmo fator. A Tabela 5.1 abaixo mostra os valores das constantes dielétricas para diversos materiais.
Material Constante dielétrica ( )
Vácuo 1
Ar (1 atm ) 1,00054
Polistireno 2,6
Papel 3,5
Óleo de transformador 4,5
Pirex 4,7
Mica 5,4
Porcelana 6,5
Silício 12
118
Germânio 16
Etanol 25
Água ( 20 C° ) 80,4
Água ( 25 C° ) 78,5
Cerâmica 130
Tabela 5.1 – Alguns valores de constantes dielétricas medidas à temperatura am-biente.
A nova capacitância, na presença de um dielétrico, é:
arC C= .
Para entender esse aumento no valor da capacitância, podemos ob-servar as moléculas polarizadas de um dielétrico em orientações ale-atórias na ausência de um campo elétrico (ver Figura 5.8a). Ao se colocar o dielétrico entre as placas de um capacitor carregado, ele ficará polarizado (Figura 5.8b). As placas criam um campo elétrico 0E
, enquanto que no interior do dielétrico aparece um campo elétrico in-duzido indE
em sentido contrário, como pode ser visto na Figura 5.8c. O campo elétrico resultante é menor que o campo elétrico na ausên-cia do dielétrico, e desse modo a carga nas placas é armazenada com uma diferença de potencial menor e a capacitância aumenta.
+ –
E0
(b)(a)
(c)+
+
–
–
E0
Eind
Figura 5.8: (a) Os momentos de dipolo das moléculas de um dielétrico estão com-pletamente desalinhados. (b) Ao inserir o dielétrico entre as placas de um capacitor carregado, estes momentos de dipolo se alinham, levando a polarização do dielé-trico. (c) Desse modo, aparece no interior do dielétrico um campo elétrico induzido que é contrário ao campo elétrico original entre as placas.
119Capacitância
Resumo
Neste capítulo vimos que um capacitor é formado por dois condutores ligados a uma d.d.p. V∆ . Quando isto é feito, os condutores armaze-nam cargas de mesmo módulo e sinais contrários. Surge, então, um campo elétrico entre as placas. Nesse campo há energia armazenada. A capacitância C desse sistema é:
qCV
=∆
.
Como a capacitância é a constante de proporcionalidade entre a carga e a diferença de potencial, ela depende apenas da geometria do sis-tema. Para comprovar essa afirmação, calculamos a capacitância de diversos sistemas: capacitor de placas paralelas, capacitor cilíndrico, capacitor esférico e de uma esfera isolada.
Vimos ainda que os capacitores em um circuito podem ser associados em série e em paralelo. Nas associações em série, a carga armaze-nada nos capacitores é a mesma, enquanto em uma associação em paralelo a d.d.p. nos capacitores é igual.
Finalmente foi discutido o que acontece quando colocamos um mate-rial dielétrico entre as placas. Esse material funciona como um meio de separação mecânica entre as placas. Porém, a inclusão desse ma-terial permite que possa se aplicar uma diferença de potencial maior entre as placas, aumentando a capacitância por um fator . Assim, a capacitância na presença do dielétrico será:
arC C= ⋅ .
Exercícios
1) Um eletrômetro é um aparelho utilizado para medir carga elétrica. Uma carga de valor desconhecido é colocada sobre as placas de um capacitor e a diferença de potencial é medida. Que carga mínima pode ser medida por um eletrômetro com capacitância de 50 pF e uma sensibilidade à voltagem de 0,15V .
Resposta: 7,5 pC .
120
2) Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio igual a 8,2cm e separação de 1,3mm .
Determine a sua capacitância. a)
Se aplicarmos uma diferença de potencial de b) 120V , qual será o valor da carga que surgirá sobre as placas?
Respostas:
144 pFa)
17,3nCb)
3) Determine, na Figura 5.9, a capacitância equivalente da associa-ção. Considere 1 10C F= , 2 5,0C F= e 3 4,0C F= .
Resposta: 3,16 F .
C1 C2
C3
V
Figura 5.9: Exercício 3.
4) Calcule, no dispositivo esquematizado na figura 5.10,
a capacitância equivalente, a)
a carga armazenada em cada capacitor e b)
a energia total armazenada. c)
Respostas:
a) 0,242 F ,
b) 2,42 C no capacitor de 0,30 F , 1,94 C no capacitor de 1,0 F e 0,484 C no capacitor de 0,25 F
c) 12,1 J .
121Capacitância
10V
0,30 μF
1,0 μF 0,25 μF
Figura 5.10: Exercício 4.
5) Calcule, no dispositivo que aparece na figura 5.11
a capacitância equivalente entre os terminais, a)
a carga armazenada em cada capacitor e b)
a energia armazenada quando a diferença de potencial entre os c) terminais é 200V .
Respostas:
a) 15,2 F ,
b) 12 2400q C= , 15 4 632q q C= =
c) 0,303 J .
15 μF
4 μF
12 μF
Figura 5.11: Exercício 5.
6) Um capacitor de placas paralelas tem capacitância arC e a se-paração d . Duas chapas de dielétrico, de constantes 1 e 2 , cada
qual com a espessura 2d e com mesma área, estão inseridas entre
as placas, conforme mostra a Figura 5.12. Mostre que a capacitância é dada por:
1 2
1 2
2arC C
=
+.
122
A
K1K2
d/2d/2
Figura 5.12: Exercício 6.
7) Um capacitor de placas planas paralelas está preenchido por dois dielétricos de mesmas dimensões, conforme mostra a Figura 5.13.
Mostre que a capacitância aumenta por um fator 1 2
2 +
.
A
K1 K2d
Figura 5.13: Exercício 7.
Bibliografia comentada
CHAVES, A . Física. Vol. 2. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Edi-tores, 2001.
O autor discute, no capítulo sobre capacitores, a força de atração entre
as placas de um condutor.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
O autor discute, no capítulo 5, a energia própria de uma carga
puntiforme, além de trazer uma excelente discussão sobre a polarização
em um dielétrico.
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON R. B.; SANDS, M. Lições de Física. Vol. 2. Porto Alegre: Bookman, 2008.
Ao longo do capítulo 8, o autor apresenta discussões sobre a energia
eletrostática, abordando a energia em capacitores, cristais iônicos e
núcleos atômicos. Nos capítulos 10 e 11 é feita uma discussão sobre
dielétricos.
Corrente elétrica e resistência6
125Corrente elétrica e resistência
6 Corrente elétrica e resistência
125
Até esse momento nossa discussão sobre os fenômenos elétricos ficou restrita a sistemas onde as cargas permane-ciam em repouso ou à eletrostática. A partir deste capítulo discutiremos sistemas onde as cargas estão em movimen-to. O fluxo de cargas em movimento em alguma região do espaço, chamado corrente elétrica, ou simplesmente corrente, possui diversas aplicações práticas. Em muitas delas o fluxo aparece no interior de um condutor, entre-tanto existem correntes fora de um condutor (o movimen-to das partículas carregadas no interior de um acelerador de partículas também é uma corrente).
Iniciaremos este capítulo definindo corrente elétrica, ex-plicando como ela aparece no interior de um condutor e definindo resistência elétrica. Utilizaremos as leis de Ohm no cálculo de resistências elétricas e discutiremos a fun-ção de uma resistência em um circuito. Discutiremos as propriedades das associações de resistores em série e em paralelo, utilizando essas propriedades a resolução de cir-cuitos simples. Por fim, utilizaremos as leis de conserva-ção da carga e de conservação da energia na resolução de circuitos um pouco mais complexos.
6.1 Corrente elétrica
Considere um condutor formado por uma rede regular de átomos que contêm elétrons livres, ou elétrons de condução. Na ausência de cam-po elétrico, esses elétrons se deslocam em direções aleatórias com velocidades médias da ordem de 610 /m s . Esses elétrons podem co-lidir com outros elétrons ou com os íons da rede. Esse movimento é semelhante ao movimento das moléculas de um gás (por esse motivo, o sistema é conhecido como gás de elétrons).
126
Figura 6.1: Colisões dos elétrons livres com os átomos da rede cristalina no interior de um condutor.
Ao submeter o condutor a uma diferença de potencial ( V∆ ), apare-cerá dentro deste um campo elétrico E
. Esses elétrons de condução passam a se mover ordenadamente, e pode-se dizer que existe, então, uma corrente.
Portanto, suponha uma superfície de área A no interior do condutor:
q
A
∆tvd
vd
P
Figura 6.2: Carga elétrica em movimento ordenado no interior de um condutor.
A corrente elétrica ( i ) é a taxa que a carga flui através dessa superfí-cie:
qit
=∆
.
No SI, a unidade de corrente é coulomb por segundo, que é denomi-nada ampère ( A ).
Apesar de no interior do condutor os elétrons estarem em movimento, define-se o sentido da corrente elétrica como o sentido do movimento dos portadores de carga positiva. Já nos gases ou em soluções eletro-líticas, as cargas positivas e negativas estão em movimento.
127Corrente elétrica e resistência
O volume do elemento do condutor da Figura 6.2 é:
dV A s A v t= ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ ,
onde dv é a velocidade de migração (velocidade média) das partícu-las no interior do condutor. Se n representa o número de portadores de carga por unidade de volume, a carga q que passa através desse elemento em um intervalo de tempo t∆ é:
d dq n V e n A v t e i n A v e= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∆ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ .
Exemplo 1: Qual a velocidade de migração dos elétrons num fio de co-bre calibre 14 (de raio 0,0814cm ), no qual há uma corrente de 1A ?
Resolução: A massa molar do cobre é 63,5 /g mol . Considerando que cada átomo de cobre possui um elétron livre, a densidade de elé-trons livres pode ser determinada através da forma:
23 322 36,02 10 / 8,92 / 8,46 10 /
63,5 /átomos mol g cmn átomos cm
g mol× ⋅
= = × .
Na relação acima, 236,02 10× é o número de Avogadro e 38,92 /g cm é a densidade do cobre. A área desse condutor é 2r ⋅ ; portanto, a velocidade de migração será:
322 2 19
1 3,55 10 /8,46 10 (0,0814) 1,6 10d d
ii n A v e v cm sn A e
−−= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = = ≈ ×
⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ ×
Esse cálculo mostra como as velocidades de migração são extrema-mente pequenas.
Pode-se ainda definir a densidade de corrente ( j ) no condutor, como a corrente por unidade de área:
ijA
= .
No SI, essa grandeza é medida em ampère por metro ao quadrado (2/A m ).
Também conhecida com “velocidade de deriva”.
128
6.2 Resistência e leis de Ohm
Quando uma diferença de potencial é aplicada a um condutor me-tálico, aparecerá uma corrente no condutor. Se aumentarmos essa diferença de potencial, aumentará o campo elétrico no interior do condutor, aumentará a força sobre as partículas e, conseqüentemen-te, a corrente também aumentará. Define-se a resistência ( R ) de um condutor como a razão entre a diferença de potencial e a corrente:
VRi∆
= .
A resistência é medida, no SI, em volt por ampère, que é denominada ohm (Ω ).
Para muitos materiais (incluindo metais), a corrente é diretamente proporcional à diferença de potencial, ou seja, a resistência é constan-te. Esse comportamento foi observado por Georg Simon Ohm, sendo então conhecido como primeira lei de Ohm.
É importante ressaltar que essa lei não é uma lei fundamental (como a lei de Coulomb), que apenas descreve o comportamento de alguns materiais. Os materiais e dispositivos que possuem esse comporta-mento são chamados ôhmicos, enquanto aqueles em que a diferença de potencial e a corrente não são diretamente proporcionais são de-nominados não-ôhmicos.
Uma vez que a resistência é a razão entre a diferença de potencial e a corrente, ela independe dessas quantidades. A resistência de um condutor é:
Proporcional ao comprimento • ( ) do condutor.
Inversamente proporcional à área da seção reta (• A ) do condu-tor.
Dependente do material.•
Assim,
RA
= ⋅
,
onde é a resistividade do material (medida em ohms-metro ( mΩ )). Essa grandeza depende de vários fatores, entre eles a temperatura.
Georg Simon Ohm (1789 – 1854): físico e matemático
alemão. Apesar de enunciar a denominada
Lei de Ohm em 1827, esta permaneceu desconhecida até 1841, quando recebeu
a medalha Copley da Royal Britânica. Somente
após esse reconhecimento, um pouco antes de sua morte, Ohm conseguiu
um emprego estável como professor na Universidade
de Munique.
129Corrente elétrica e resistência
Para a maioria dos metais:
0 0[1 ( )]T T = + − .
Na equação acima, 0 é a resistividade a uma temperatura de refe-rência (geralmente 20 C° ) e é o coeficiente de temperatura de re-sistividade. Na tabela abaixo são listados os valores da resistividade (a 20 C° ) e do coeficiente de temperatura para alguns materiais.
Material Resistividade ( mΩ )Coeficiente de
temperatura ( 1C−° )
Prata 81,59 10−× 33,8 10−×
Cobre 81,7 10−× 33,9 10−×
Ouro 82, 44 10−× 33, 4 10−×
Alumínio 82,82 10−× 33,9 10−×
Tungstênio 85,6 10−× 34,5 10−×
Ferro 810 10−× 35,0 10−×
Platina 811 10−× 33,92 10−×
Chumbo 822 10−× 33,9 10−×
Nicromo 61,50 10−× 30, 4 10−×
Carbono 53,5 10−× 30,5 10−− ×
Germânio 0,46 348 10−− ×
Silício 640 375 10−− ×
Vidro 10 1410 10−
Borracha dura 13~ 10Enxofre 1510Quartzo (fundido) 1675 10×
Tabela 6.1: Valores de resistividade e do coeficiente de temperatura para alguns materiais.
Exemplo 2: Calcule a resistência por unidade de comprimento em um fio de nicromo, calibre 22, que tenha um raio de 0,321mm . Se
Nicromo é o nome dado a diversas ligas baseadas em (Níquel) e (Cromo), utilizadas na produção de fios para fabricação de resistências elétricas.
130
uma diferença de potencial de 10V for mantida em 1,0 m de fio de mesmo material, qual será a corrente no fio?
Resolução: A área da seção reta desse fio é:
2 3 2 7 2(0,321 10 ) 3,24 10A r m − −= ⋅ = ⋅ × = × .
A resistividade do nicromo pode ser encontrada na Tabela 6.1. A resis-tência por unidade de comprimento será:
6
71,5 10 4,6
3,24 10R
A m −
−× Ω
= = =×
.
Do resultado acima, pode-se concluir que um metro de fio tem uma resistência de 4,6Ω . Desse modo, ao aplicar uma diferença de poten-cial de 10V nesse condutor, a corrente será:
10 2,24,6
Vi AR∆
= = = .
6.3 Energia elétrica e potência
Como discutido no início deste capítulo, os elétrons em movimento no interior de um condutor colidem com os átomos da rede do metal. Nessas colisões, parte de sua energia é transferida para esses átomos, aumentando a sua vibração. Em conseqüência, ocorre um aumento na temperatura do condutor.
Portanto, parte do trabalho realizado pela força elétrica sobre os elé-trons é transformado em energia interna no condutor.
Considere o circuito da Figura 6.3, formado por uma bateria e um re-sistor. Quando as cargas vão da região de menor potencial (− ) para a de maior potencial (+ ), há um aumento de energia q V⋅∆ . Entretanto, ao passar pelo resistor, as cargas perdem essa energia em virtude das colisões com os átomos da rede do resistor. A energia de vibração desses átomos aumenta e macroscopicamente percebe-se o aumento da temperatura do resistor.
A taxa de transferência da energia para o resistor, denominada potên-cia dissipada, é:
131Corrente elétrica e resistência
U q VP P V it t
∆ ⋅∆= = ⇒ = ∆ ⋅
∆ ∆ .
Lembrando que:
V R i∆ = ⋅ .
A expressão para a potência dissipada pode ser reescrita ou em fun-ção da corrente, ou em função da diferença de potencial.
2P R i= ⋅ e 2VP
R∆
= .
R
Ia
d
c
b
ε
Figura 6.3: Circuito simples formado por um resistor e uma bateria ( V ∆ = ).
6.4 Fonte de força eletromotriz (fonte fem) ( )
Uma fonte de força eletromotriz (ou fonte fem ) é um dispositivo que aumenta a energia potencial de um circuito mantendo uma diferença de potencial entre dois pontos do circuito. Baterias, pilhas e geradores são exemplos de fontes fem.
Considere, mais uma vez, o circuito da Figura 6.3. A diferença de po-tencial para baterias reais não corresponde à diferença de potencial da fonte fem ( ), pois dispositivos reais possuem uma pequena resistên-cia interna ( r ). Portanto, a diferença de potencial da bateria ( V∆ ) é:
V r i∆ = − ⋅ .
Ao multiplicar a equação acima pela corrente i no circuito:
2V i i r i∆ ⋅ = ⋅ − ⋅ .
Ou seja, a potência fornecida ao circuito corresponde à potência for-necida pela fonte fem descontada da potência dissipada pela resistên-cia interna.
132
6.5 Associação de resistores
Quando as resistências estão ligadas extremidade a extremidade (ver Figura 6.4), elas estão em série.
R2R1
Ia b c
Figura 6.4: Dois resistores associados em série.
Ao ligar a associação em uma bateria, surge uma corrente no circuito. É importante observar que a corrente é a mesma em todas as resis-tências da associação, e portanto a soma das diferenças de potencial nas resistências será igual à diferença de potencial no circuito:
1 2 1 2V V V R i R i∆ = ∆ + ∆ = ⋅ + ⋅ .
Muitas vezes é conveniente trabalhar com a resistência equivalente (eqR ), onde
eqV R i∆ = ⋅ .
Desse modo:
1 2 1 2 eq eqR i R i R i R R R⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ = + .
Em uma associação em série, a resistência equiva-lente corresponde à soma das resistências da asso-ciação.
Na associação em paralelo, as extremidades das resistências estão li-gadas ao mesmo ponto (Figura 6.5). Portanto, a diferença de potencial é igual em todos os resistores da associação.
Esse tipo de ligação é utilizada em circuitos com lâmpadas como, por exemplo, de uma residência. Você pode
explicar o porquê?
133Corrente elétrica e resistência
R2
R1
I1I
2I
I
a b
Figura 6.5: Dois resistores associados em paralelo.
Ao submeter a associação a uma diferença de potencial, aparece uma corrente i no circuito. Quando as cargas atingem o ponto a , denomi-nado nó, a corrente é dividida em duas partes 1i e 2i . A conservação da carga implica:
1 2i i i= +
Assim:
1 2
V ViR R∆ ∆
= + .
Substituindo a associação pela resistência equivalente, pode-se es-crever:
1 2 1 2
1 1 1 eq eq
V V VR R R R R R∆ ∆ ∆
= + ⇒ = + .
Ou seja:
O inverso da resistência equivalente, em uma asso-ciação em paralelo, é igual à soma dos inversos das resistências da associação.
Exemplo 3: Calcule, no circuito que aparece na Figura 6.6(a), a cor-rente total no circuito.
Ia
b
6V
2Ω12Ω 6Ω
Figura 6.6(a): Exemplo 3.
134
Resolução: Na figura temos dois resistores de 6Ω e 12Ω associados em paralelo. A resistência equivalente dessa associação é:
1 1 1 46 12 eq
eqR
R= + ⇒ = Ω .
A Figura 6.6(b) mostra como o circuito fica ao substituir a associação pela resistência equivalente:
I
6V
2Ω4ΩReq=
Figura 6.6(b): A associação em paralelo é substituída pelo resistor de 4Ω .
O circuito passa a ser formado por dois resistores em série. A resis-tência equivalente do circuito será igual a 6Ω . Logo, a corrente total será:
6 6 1 .eqV R i i i A∆ = ⋅ ∴ = ⋅ ⇒ = .
Exercício 4: Calcule a resistência equivalente entre os pontos a e b para a associação de resistores da Figura 6.7(a).
4Ω
24Ω
12Ω
ba
5Ω
Figura 6.7(a): Associação de resistores do Exemplo 4.
Resolução: A associação acima é um exemplo de associação mis-ta. Nesse caso, as associações devem ser resolvidas até que todos os resistores equivalentes fiquem em série ou em paralelo. Na figura acima os resistores de 4Ω e de 12Ω estão em paralelo. A resistência equivalente dessa pequena associação será:
1 1 1 34 12 eq
eqR
R= + ⇒ = Ω .
135Corrente elétrica e resistência
Substituindo os resistores pelo equivalente, a associação fica:
3Ω
24Ω
ba
5Ω
Figura 6.7(b): Os resistores de 4Ω e 12Ω (em paralelo na figura 6.6(a)) são substi-
tuídos pelo de 3Ω (equivalente).
Os dois resistores do ramo de baixo (5Ω e 3Ω ) estão em série. O re-sistor equivalente dessa associação é 8Ω . Ao final da associação, os resistores de 24Ω e 8Ω estarão em paralelo. A resistência equivalen-te total do circuito será:
1 1 1 624 8 eq
eq
RR
= + ⇒ = Ω .
6.6. Leis de Kirchhoff
Na seção anterior foi visto que circuitos simples podem ser analisa-dos através das regras para as associações em série e paralelo, onde ao término de sua aplicação, o circuito é reduzido a uma resistência equivalente.
Circuitos mais complexos, como aqueles que apresentam capacitores e resistores, devem ser analisados através das regras de Kirchhoff:
A soma das correntes que chegam a um nó do • circuito é igual à soma das correntes que saem do nó (lei dos nós).A soma das diferenças de potencial em todos os • elementos de uma malha fechada do circuito é igual a zero (lei das malhas).
É importante observar que essas leis são equivalentes à lei de conser-vação da carga e à lei de conservação da energia, respectivamente.
136
Para resolver um circuito usando as leis de Kirchhoff, primeiramente deve-se escolher um sentido para a corrente. De acordo com o sentido dessa corrente, adota-se a seguinte convenção de sinais:
Se um resistor for atravessado do ponto • para o ponto , a diferença de potencial no resistor será
. (Figura 6.8(a)).Se um resistor for atravessado no sentido oposto • da corrente (do ponto para o ponto ), a diferen-ça de potencial será (Figura 6.8(b)).Se uma fonte • fem for atravessada por uma cor-rente do terminal ( ) para o terminal ( ), a dife-rença de potencial será (Figura 6.8(c)).Se uma corrente atravessa uma fonte • fem do ter-minal ( ) para o terminal ( ), a diferença de po-tencial será (Figura 6.8(d)).
ΔV = -IR
Ia b
(a)
(b)
ΔV = +IR
Ia b
(c)
ΔV = +ε
εa b
(d)
ΔV = -ε
εa b
Figura 6.8: Convenção de sinais adotada nas leis de Kirchhoff.
137Corrente elétrica e resistência
Exemplo 5: Determine a corrente no circuito da Figura 6.9.
I = 0,5 A
12V
0V
4V
1Ω
1Ω
4Ω
5Ω
5Ω
a
g
b
c
d
ef
Figura 6.9: Exemplo 5.
Resolução: Ao resolver um problema usando as leis de Kirchhoff, primeiro deve-se escolher um sentido para a circulação da corrente. Na figura foi considerada percorrendo o circuito no sentido horário e o ponto f é considerado o ponto de potencial nulo. Logo, a corrente, ao ir do ponto f para o ponto g , vai do terminal (− ) para o terminal (+ ), e portanto 12fgV V∆ = . Entre os pontos g e a , a e b , e, b e c , as diferenças de potencial são: 1gaV i∆ = − ⋅ , 5abV i∆ = − ⋅ e 5bcV i∆ = − ⋅ . Analisando os pontos c e d , a corrente entra no terminal (+ ) e sai no terminal (− ); assim, 4cdV V∆ = − . Entre os pontos d e e , e, e e f :
1deV i∆ = − ⋅ e 4efV i∆ = − ⋅ . Aplicando a lei das malhas:
0
12 1 5 5 4 1 4 0 0,5fg ga ab bc cd de efV V V V V V V
i i i i i i A
∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ =
− ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ = ⇒ =.
Exemplo 6: Calcule a corrente em cada parte do cir-cuito da Figura 6.10.
Resolução: O circuito da figura é um circuito de múl-tiplas malhas (nesse caso, três malhas: abcda , befcb e abefcda ). O ponto b é um nó, desse modo pode-se escrever (lei dos nós):
1 2i i i= + .
12Ω 1Ω
1Ω
6Ω
b ea
c fd
18V 12V
I 2I
1I
Figura 6.10: Exemplo 6
138
A análise da malha abcda leva à equação:
1 118 12 6 0 2 3i i i i− ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ + = .
A análise da malha abefcda leva à equação:
2 2 2 218 12 1 12 1 0 12 2 30 6 15i i i i i i i− ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + =
Resolvendo o sistema de equações: 1 22 , i 1 e 3i A A i A= = − = . A cor-rente 1i tem sinal negativo, indicando que o sentido é de c para b .
6.7 Circuitos RC
Considere o circuito em série mostrado na Figura 6.11 (a), onde há uma bateria, um resistor R , um capacitor C (inicialmente descarre-gado) e uma chave S (quando a chave estiver aberta 0i = ). Se a chave for fechada no instante 0t = , uma corrente aparece no circuito, e o capacitor começa a carregar. O valor máximo da carga no capacitor dependerá da fem da bateria. Quando o capacitor estiver totalmente carregado, a corrente no circuito será nula, pois as placas do capaci-tor estarão completamente carregadas e não aceitarão mais cargas. Nesse momento a corrente será interrompida.
Resistor
Chave
Bateria
Capacitor
(a)
R R
I- q
+ qC
S S
(b) t < 0 (c) t > 0
εε
Figura 6.11: (a) Circuito formado por uma bateria, um capacitor, um resistor e uma chave S. (b) Quando a chave S estiver aberta, a corrente no circuito será nula. (c) Quando a chave for fechada, aparecerá uma corrente i no circuito e o capacitor começará a carregar.
139Corrente elétrica e resistência
Analisando o circuito através das leis de Kirchhoff, pode-se escrever:
0
0
C RV Vq R iC
+ ∆ + ∆ =
− − ⋅ = .
Lembrando que, num intervalo de tempo muito pequeno ( 0t∆ → ):
dqidt
= .
Pode-se escrever:
0 0
0
1
( ) 1 1
Q t
t tRC RC
dq q C qdt R RC RC
dq dtq C RC
dq dtq C RC
Q C tlnC RC
Q t C e Q e
− −
−= − =
= −−
= −−
− = − −
= − = −
∫ ∫
,
onde 0Q C = ⋅ é a carga máxima no capacitor.
A corrente pode ser encontrada diferenciando-se a equação para a carga no capacitor:
0
t tRC RCdQi e i e
dt R − −
= = = ,
onde 0i R
= é a corrente no circuito no momento em que a chave é
ligada ( 0t = ).
Os gráficos da carga e da corrente no processo de carga do capacitor podem ser vistos na Figura 6.12. A grandeza RC que aparece na expo-nencial das equações para a carga no capacitor e a corrente no circui-to é a constante de tempo capacitiva ( ) do circuito. Essa constante representa o intervalo de tempo durante o qual a corrente diminui a
1e
de seu valor inicial.
140
t
q
(a)
τ = RC
τ
Cε0,632
(b)τ t
I
I0
I0
εI0 = R
0,368
Figura 6.12: Os gráficos acima mostram como variam (a) a carga e (b) a corrente durante o processo de carga de um capacitor.
Agora considere o circuito da Figura 6.13, formado por um capacitor C carregado (com uma carga inicial 0Q ), um resistor R e uma chave S .
(a)t < 0
(b)t > 0
R- Q
+ QC
S
R- q
+ qC
S
I
Figura 6.13: (a) Com a chave S aberta, não há corrente no circuito. Em (b) a chave é fechada, aparece uma corrente ( i ) no circuito enquanto o capacitor se descarrega.
Quando a chave S for fechada ( 0t = ), o capacitor começa a se des-carregar através do resistor.
141Corrente elétrica e resistência
Usando a lei das malhas, pode-se escrever:
0 0
00
0
( )
Q t
Q
tRC
q R iC
qR iC
dq qRdt C
dq dtq RC
dq dtq RC
Q tln Q t Q eQ RC
−
− − ⋅ =
⋅ = −
⋅ = −
= −
= −
= − ⇒ =
∫ ∫
.
A corrente pode ser encontrada diferenciando-se a equação acima:
0 ( )t
RCdQi i t i edt
−= ⇒ = − ,
onde 0Qi
RC= − é a corrente inicial no circuito. Pode-se perceber que,
no processo de descarga de um capacitor, a carga armazenada e a corrente no circuito decrescem exponencialmente.
Exemplo 7: Uma bateria de 6V e resistência interna desprezível é usada para carregar um capacitor de 2 F através de um resistor de 100Ω . Calcule a corrente inicial, a carga final e o tempo necessário para se ter 90% da carga final.
Resolução: A corrente inicial 0i é:
06 0,006
100i A
R
= = = .
A carga final no capacitor 0Q é:
0 6 2 12Q C C = = × = .
O tempo necessário para que o capacitor atinja 90% de sua carga final é:
142
0 0
0 0
0,9 1 0,9 1
0,9 1 (0,1) 2,3
460 .
t tRC RC
tRC
Q Q Q e e
tQ Q Q e lnRC
t s
− −
−
= = − ⇒ = −
= = − ⇒ ⇒ − = −
=
.
Resumo
Neste capítulo foi discutido que no interior dos condutores existem elétrons livres que estão em movimento desordenado. Para ordenar esse movimento, é necessário um campo elétrico, que será produzido devido a uma diferença de potencial nas extremidades do condutor.
Esse movimento ordenado de cargas é chamado de corrente elétrica ( i ), que pode ser calculada através da relação:
qit
=∆
.
Quanto maior for o valor da diferença de potencial, maior será o valor da corrente elétrica no condutor. Pode-se, então definir a resistência ( R ) do condutor como a razão entre a diferença de potencial e a cor-rente elétrica:
VRi∆
= .
A resistência do condutor é proporcional ao comprimento do condu-tor, inversamente proporcional à área da seção reta do condutor e dependente do material. Portanto:
RA= ,
onde é a resistividade do material. A resistividade do material de-pende da temperatura, através da relação:
[ ]0 01 ( )T T = + − .
Na equação acima 0 é a resistividade a 20 C° e é o coeficiente de temperatura.
143Corrente elétrica e resistência
Quando um campo elétrico aparece no interior do condutor, ordenan-do o movimento dos elétrons, aumenta o número de colisões entre os elétrons e os átomos da rede, aumentando a energia interna do con-dutor. A taxa de transferência de energia dos elétrons para o condutor (potência dissipada) é:
22 VP V i P R i P
R∆
= ∆ ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = .
Foi discutido ainda que, em uma associação em série, a corrente que passa por todas as resistências é a mesma. A resistência equivalente da associação é a soma das resistências da associação:
1 2 ...eqR R R= + +
Já na associação em paralelo, todas as resistências estão à mesma di-ferença de potencial e, portanto, o inverso da resistência equivalente corresponde à soma dos inversos das resistências da associação:
1 2
1 1 1 ...eqR R R= + + .
Na resolução de circuitos mais complexos, torna-se necessária a apli-cação das leis de Kirchhoff (as leis das malhas e dos nós), que são as leis de conservação da energia e da carga.
Ao aplicar as leis de Kirchhoff a circuitos RC, pode-se mostrar que, durante o processo de carga do capacitor, a carga e a corrente no cir-cuito podem ser determinadas pelas equações:
0 0( ) 1 e t t
RC RCQ t Q e i i e− −
= − =
.
onde 0Q C= é a carga final no capacitor e 0i R
= é a corrente ini-
cial no circuito. Já durante o processo de descarga, a dependência da carga e da corrente em relação ao tempo podem ser determinadas através das equações:
0( )t
RCQ t Q e−
= e 0
tRCi i e
−= .
Nos processos de carga e descarga do capacitor, o produto RC é a constante de tempo ( ) do circuito.
144
Exercícios
1)Um fio condutor é percorrido por uma corrente constante de 2,0 A .
Qual a quantidade de carga que passa por um ponto no fio con-a) dutor durante 5,0 min ?
Se a corrente for devida a um fluxo de elétrons, quantos elétrons b) passam por um certo ponto, durante esse intervalo de tempo?
Respostas: (a) 600C e (b) 213,75 10 elétrons× .
2)Uma carga q+ desloca-se num círculo de raio r com a velocidade v .
Exprima a freqüência a) f em que a carga passa por um ponto, em termos de r e v .
Mostre que a corrente média é b) qf e exprima-a em termos de v e r .
Respostas: (a) 2
vfr
= e (b) 2qvi
r= .
3)Um fio condutor de 10m e resistência 0, 2Ω é percorrido por uma corrente de 5 A .
Qual a queda de potencial no fio? a)
Qual o módulo do campo elétrico no fio? b)
Respostas: (a) 1,0V e (b) 0,10 /N C .
4)Um condutor de tungstênio tem 50cm de comprimento e seção reta quadrada com 1,0 mm de aresta.
Qual a sua resistência a a) 20 C° ?
Qual a sua resistência a b) 40 C° ?
Respostas: (a) 22,75 10−× Ω e (b) 23,0 10−× Ω .
5)Um calefator de 1kW é projetado para operar a 220V .
145Corrente elétrica e resistência
Qual a sua resistência e a corrente com que opera? a)
Qual a potência desse resistor operando a b) 110V ?
Respostas: (a) 48,4Ω ; 4,55 A e (b) 250W .
6)Sendo $0,3952R por quilowatt-hora o custo da energia,
Quanto se gasta para operar uma torradeira elétrica durante a) 4min , sendo 11Ω a sua resistência, ligada a 110V ?
Quanto custa a operação de um calefator de b) 5,0Ω ligado a 110V , durante 8h ?
Respostas: (a) R$ 0,03 e (b) $7,65R .
7)Uma bateria com fem de 12V tem uma voltagem entre os ter-minais de 11,4V quando fornece uma corrente de 20 A ao motor de arranque de um carro. Qual a resistência interna r da bateria?
Resposta: 0,03Ω
8)a) Calcule a resistência equivalente entre os pontos a e b das Figuras 6.14 e 6.15.
b) Calcule a corrente em cada resistor (em cada circuito) quando a . .d d p entre os postos a e b for 12V .
Respostas: (a) 1,0Ω ; 3,6Ω e (b) circuito da figura 6.14 – 2 6i AΩ = ,
3 4i AΩ = , 6 2i AΩ = ; circuito da figura 6.15 – 2 1,33i AΩ = ,
6 2i AΩ = , 7 1,33i AΩ = .
3Ω
2Ω
ba
6Ω
7Ω2Ωba
6Ω
Figuras 6.14 e 6.15: Exercício 8.
146
9)Calcule a resistência equivalente da associação da Figura 6.16.
(Resposta: 5Ω )
4Ω
a b
10Ω
10Ω10Ω
10Ω
5Ω
5Ω
Figura 6.16: Exercício 9.
10)No circuito que aparece na Figura 6.17, as baterias têm resistên-cia interna desprezível. Determine a corrente em cada resistor.
Respostas: 4 0,667i AΩ = , 6 1,56i AΩ = e 3 0,889i AΩ = .
4Ω
6Ω
3Ωa
b
12V 12V
Figura 6.17: Exercício 10.
11)Determine, no circuito da Figura 6.18, a corrente elétrica em cada resistor.
(Respostas: 2A para a direita através dos resistores de 1Ω e 2Ω , 1A para baixo através do segundo resistor de 2Ω e 1A para baixo através do resistor de 6Ω ).
147Corrente elétrica e resistência
1Ω 2Ω
6Ω2Ω
4V
4V
8V
Figura 6.18: Exercício 11.
12)Um capacitor de 6 F está inicialmente carregado a 100V e depois é ligado a um resistor de 500Ω .
Qual a carga inicial do capacitor? a)
Qual a corrente inicial, logo depois de o capacitor ser ligado ao b) resistor?
Qual a constante de tempo desse circuito? c)
Qual deve ser a carga nesse capacitor depois de d) 6ms ?
Respostas: (a) 600 C , (b) 0,2 A , (c) 3ms e (d) 81,2 C .
148
Bibliografia comentada
CHAVES, A . Física. Vol. 2. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Edi-tores, 2001.
O autor discute, no capítulo 20, o modelo de Drude para a condução
elétrica em metais e introduz uma discussão sobre a condutividade
segundo a física quântica.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
No capítulo 6, o autor apresenta as propriedades ondulatórias dos
elétrons e discute a condutividade em semicondutores.
Campo magnético7
151Campo magnético
7 Campo magnético
151
Os campos magnéticos produzidos por ímãs e eletroímãs possuem um grande número de aplicações: levantamento de cargas pesadas, funcionamento de motores, alto-falan-tes e medidores, armazenamento de dados em computa-dores, modificação da trajetória de partículas carregadas no interior de aceleradores de partículas, entre outros, apenas para citar alguns exemplos.
A investigação do magnetismo mostra que os fenômenos magnéticos e elétricos não podem ser dissociados (partí-culas carregadas em movimento são afetadas por/e pro-duzem campos magnéticos).
Abriremos este capítulo discutindo a relação entre força magnética e campo magnético sobre uma partícula car-regada. Discutiremos algumas aplicações do movimento de uma partícula carregada em campos magnéticos. Es-tudaremos a força magnética sobre um condutor de cor-rente e uma espira de corrente em um campo magnético uniforme.
7.1 Um pouco de história
Segundo diversos historiadores, os chineses, por volta de 1000 a.C, sabiam que uma agulha de magnetita ( 3 4Fe O ) podia se orientar na di-reção norte-sul. Relatos semelhantes, feitos na Grécia Antiga, indicam que pedras desse mesmo material atraíam pedaços de ferro.
Em 1269, Pierre de Maricourt mapeou as direções apontadas por uma agulha, quando colocada em vários pontos na superfície de um ímã esférico natural. As direções dessas linhas circundavam a esfera e passavam através de dois pontos diametralmente opostos, denomi-nados pólos. Outras experiências mostraram que qualquer ímã, inde-
Filósofo e cientista francês, Pierre Le Pélerin (ou Petrus Peregrinus) nasceu em Maricourt e escreveu, em 1929, o tratado De magnet.
152
pendentemente de sua forma, possue esses pólos – mais tarde chama-dos norte e sul, em virtude do comportamento de um ímã próximo à superfície da Terra.
William Gilbert, em 1600, em seu tratado De magnete, magneticisque corporibus, et de magno magnete tellure (Sobre o Magnetismo, Corpos magnéticos e o Grande Ímã Terra), propõe que a própria Terra compor-ta-se como um grande ímã.
Cerca de 150 anos mais tarde, John Michell, utilizando uma balança de torção, mostrou que os pólos exercem forças atrativas e repulsivas entre si, e que essas forças variam com o inverso do quadrado da dis-tância de separação entre os ímãs.
Apesar da semelhança entre as forças elétrica e magnética (ambas dependem do inverso do quadrado da distância), a carga elétrica pode ser encontrada isolada, enquanto os pólos de um ímã são sempre en-contrados aos pares.
A relação entre eletricidade e magnetismo foi encontrada em 1819, quando Oersted, preparando uma demonstração para uma aula, des-cobriu que uma corrente elétrica em um fio desviava a agulha de uma bússola próxima.
Pouco tempo mais tarde, André Marie Ampère, entre outros resul-tados, mostrou a interação magnética entre dois fios transportando correntes paralelas. Ele também sugeriu que correntes microscópicas circulares eram responsáveis por todos os fenômenos magnéticos.
Em torno de 1820, Michael Faraday na Inglaterra, e Joseph Henry, nos Estados Unidos, mostraram, independentemente, que uma corrente elétrica podia ser produzida através do movimento de um ímã próxi-mo a um circuito ou alternado-se a corrente em um circuito próximo.
Anos depois, James Clerk Maxwell mostrou teoricamente que um campo elétrico variável produz um campo magnético.
7.2 O campo magnético
O campo elétrico foi definido no Capítulo 2 da seguinte forma:
eFEq
=
.
Filósofo, geólogo e cientista natural inglês,
teve como característica em sua obra a abrangência,
englobando a Astronomia, Geologia, Óptica e
Gravitação. Foi dele a primeira hipótese de
existência de buracos negrosno espaço, em 1783.
Apesar de ser médico, o inglês William Gilbert
realizou durante sua vida diversos estudos sobre
eletricidade e magnetismo.
153Campo magnético
Se existisse uma carga magnética (monopólo magnético), definiría-
mos o campo magnético ( B
) da mesma maneira.
Para encontrarmos o módulo, a direção e o sentido do campo magné-tico em um ponto, lançamos uma carga de prova em uma região onde existe um campo magnético, e determinamos a força que age sobre essa carga. Os resultados da experiência mostram que:
• a força magnética é proporcional à carga de prova e à velocidade da partícula;• o módulo e a direção da força magnética sobre a partí-cula de prova dependem das direções do vetor velocida-de e do vetor campo magnético;• quando uma partícula desloca-se paralelamente ao campo magnético, a força magnética sobre a carga é nula;• quando o campo elétrico faz um ângulo com o cam-po magnético, a força magnética age em uma direção perpendicular ao plano formado por e .• o valor da força magnética é proporcional a ;a força magnética sobre uma carga negativa tem sentido oposto à força magnética que age sobre uma carga posi-tiva que se desloca na mesma direção.
Desse modo, podemos escrever:
BF qvBsen=
ou da forma vetorial:
BF qv B= ×
.
A unidade, no SI, de campo magnético é o tesla (T ), onde:
1 1 NsTCm
= .
A direção e o sentido do vetor BF
podem ser determinados a partir da regra da mão direita (Figura 7.1).
Em alguns livros você encontra a regra da mão esquerda, válida para cargas negativas.
θ
v
B
FB
FB
(a) (b)
θ
v
B
θ
v
B
FB
FB
(a) (b)
θ
v
B
Figura 7.1: Regra da mão di-reita para cargas (a) positiva
e (b) negativa. A direção e o sentido da força para uma carga positiva é aquela para
onde o polegar aponta. Para uma carga negativa,
usa-se a regra como a carga fosse positiva, invertendo o
sentido da força ao final.
154
O fato de determinarmos a força magnética através de um produto vetorial torna necessário trabalhar em três dimensões. Desse modo, precisamos traçar vetores que apontam para a direita ou esquerda, para cima ou para baixo, ou ainda para dentro ou fora do plano, e as-sim podemos representar os vetores que saem do plano por um ponto (Figura 7.2 (a)) e os que entram através de um X (Figura 7.2 (b)).
Exemplo 1: Um próton se desloca com velocidade ˆˆ ˆ(2 4 ) /v i j k m s= − +
em uma região na qual o campo magnético é ˆˆ ˆ( 2 3 )B i j k T= + −
. De-termine a força magnética que essa carga experimenta.
Resolução:
19
18 18 18
ˆˆ ˆ
1,6 10 det 2 4 11 2 3
ˆˆ ˆ(1,6 10 1,12 10 1,28 10 )
B
i j kF qv B
i j k N
−
− − −
= × = × ⋅ − ⇒ −
⇒ × + × + ×
.
7.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo magnético
Vamos considerar uma partícula de massa m e carga q em movimen-to, com velocidade v perpendicular a um campo magnético uniforme B
, como mostra a Figura 7.3.
v
v
vq
q
q
rFB
FB
Bpd
FB
Figura 7.3: Quando a velocidade de uma partícula é perpendicular ao campo mag-nético uniforme, a partícula carregada fica em movimento circular uniforme.
B para dentro da página:
(b)
B para fora da página:
(a)
Figura 7.2: (a) As linhas de campo magnético saindo do papel são indicadas por pontos, que representam as pontas das flechas. (b) As linhas de campo magnético entrando em um ponto são indicadas por X, que representam as penas das flechas.
155Campo magnético
Como a força magnética é perpendicular aos vetores velocidade e campo magnético, a partícula executará um movimento circular uni-forme (MCU), onde:
B cF F=
.B cF m a=
2
.cvF mr
=
2
90 ,v mvqvBsen m rr qB
° = ⇒ =
onde r é o raio da trajetória da partícula. A freqüência angular ω do movimento (também chamada freqüência de cíclotron) é:
v qBr m
= ⇒ =.
A freqüência ( f ) e o período (T ) podem ser determinados a partir das relações:
22qBf f
m
= ⇒ =
1 2 mT Tf qB
= ⇒ = .
Esses resultados mostram que tanto a freqüência quanto o período independem da velocidade de translação da partícula e do raio da órbita.
Se a velocidade fizer um ângulo diferente de 90° com o campo mag-nético (Figura 7.4), a trajetória será em forma de hélice. Lembrando que o vetor velocidade tem dois componentes, um paralelo //v e outro perpendicular v⊥ ao campo, podemos utilizar as relações anteriores, substituindo //v por v⊥ . A distância percorrida pela partícula durante o movimento de translação será:
s v t∆ = ∆
.
156
+q
z
y
Trajetóriahelicoidal
x
B
Figura 7.4: Quando a velocidade tem um componente paralelo ao campo magnéti-co, a partícula carregada se move em uma trajetória helicoidal.
Exemplo 2: Um próton de massa 271,67 10 kg−× e carga 191,6 10 C−× se move em um círculo de raio 21cm perpendicular a um campo magnético de 0, 4T . Determine: (a) o período do movimento e (b) a velocidade do próton.
Resolução: (a) O período do movimento pode ser determinado a par-tir da equação:
277
19
2 2 1,67 10 1,64 101,6 10 0,4
mT sqB −
−−
⋅ ×= = = ×
× ⋅ .
(b) A velocidade do próton é:
196
270,21 1,6 10 0,4 8,05 10 /
1,67 10mvr v m sqB
−
−⋅ × ⋅
= ⇒ = = ×× .
7.4 Aplicações do movimento de partículas carregadas em campos magnéticos
7.4.1 Filtro de velocidadesEm muitos experimentos é necessário que as partículas carregadas se movam com a mesma velocidade. Isto pode ser feito através de uma combinação de campos elétrico e magnético perpendiculares (ou cruzados), como mostra a Figura 7.5. As partículas carregadas, ao passar nessa região, irão sofrer a ação de forças elétrica e magnética. Quando os campos são colocados de forma que as partículas estejam em MRU, temos:
B eF FEqvB qE vB
=
= ⇒ = .
157Campo magnético
Bpd
E
qv
q
qE
B
v
Abertura
Fonte
Figura 7.5: Um filtro de velocidades é formado por campos elétrico e magnético uni-formes e perpendiculares. Quando a resultante sobre a carga for nula, a velocidade
da partícula é:EvB
= .
7.4.2 Espectrômetro de massaEsse aparelho separa íons de acordo com a razão entre a massa e a car-ga. Em um espectrômetro de massa de Baindridge (Figura 7.6), um feixe de íons atravessa um filtro de velocidades e, então, entra em uma se-gunda região, onde existe um campo magnético 0B
, que tem a mesma direção do campo magnético B
do filtro. Os íons se deslocam em um semicírculo de raio r antes de atingir uma chapa fotográfica em P .
Lembrando que o raio da trajetória das partículas no interior do es-pectrômetro é:
0
mvrqB
= ,
e que a velocidade das partículas que passam pelo filtro é:
EvB
= ,
podemos escrever (lembrando que nesse caso a força magnética, bF
, é a força centrípeta, cF
):
0 0 rB rB Bm mq v q E= ⇒ = .
Dessa forma, a razão mq
pode ser determinada através dos valores do
raio da trajetória e dos campos 0B , B e E .
158
Filtro de velocidades
Chapa fotográfica
rP
Bpd
B0, pd
E q v
Figura 7.6: Esquema de um espectrômetro de massa. As partículas, após passarem por um filtro de velocidades, entram em um campo magnético uniforme, incidindo em uma chapa fotográfica.
7.4.3 Cíclotrons
Um cíclotron pode acelerar partículas carregadas até altas velocida-des. Essas partículas bombardeiam núcleos atômicos, produzindo reações de interesse. Esses aceleradores também são utilizados em hospitais para diagnóstico e tratamento.
Na Figura 7.7, é mostrado o esquema de um cíclotron. As cargas des-locam-se dentro de duas peças semicirculares chamadas dês. Uma di-ferença de potencial de alta freqüência é aplicada aos dês e um campo magnético uniforme é aplicado perpendicularmente a eles. Um íon positivo ( P ), liberado próximo ao centro do ímã, desloca-se em uma trajetória semicircular de um dos dês, e atinge a separação entre as
duas peças em um tempo 2T
(onde T é o tempo necessário para dar
uma volta completa em um dos dês). A freqüência da diferença de po-tencial é tal que ela se inverte durante o tempo que a partícula percor-re um dê. A energia cinética da partícula aumenta por uma quantidade q V∆ . Como houve um aumento no valor da velocidade da partícula, também haverá um aumento no raio da trajetória. Após um intervalo
de tempo 2T
, a partícula recebe um novo “impulso” e ocorre um novo
aumento de sua energia cinética, e isto se repete a cada intervalo 2T
.
Você pode encontrar mais informações sobre
aceleradores utilizados em tratamentos e diagnósticos na página <www.fsc.ufsc.
br/~canzian>.
159Campo magnético
Quando o raio da partícula é próximo ao raio dos dês, a partícula sai com uma velocidade v , dada por:
DqBrvm
= ,
onde Dr é o raio dos dês.
D1
D2
P
A partícula sai aqui
Pólo norte do ímã
ΔV alternado
B
Figura 7.7: Esquema de um cíclotron, que consiste de uma fonte de íons P , que entram em duas seções ocas, chamadas dês, onde são aceleradas através de uma diferença de potencial alternada. As partículas são postas em movimento circular
em virtude de um campo magnético uniforme.
Exemplo 3: Um ciclotron para acelerar prótons possui um campo magnético de 1,5T e um raio máximo de 0,5m . (a) Qual a freqüência do ciclotron? (b) Qual é a energia cinética dos prótons quando eles emergem?
Resolução: (a) A freqüência do ciclotron é:
.
(b) A energia cinética dos prótons emergentes é:
22 192 27 12
271 1 1 0,5 1,6 10 1,51,67 10 4,31 102 2 2 1,67 10
rqBK mv m Jm
−− −
−
× × × = = = × × = × ×
Lembrando que 191 1,6 10eV J−= × :
72,69 10 26,9K eV MeV= × = .
160
7.5 Força magnética sobre um condutor de corrente
Uma corrente elétrica em um condutor é formada pelo movimento “ordenado” de elétrons no interior do condutor. Esses elétrons, quan-do passam por uma região onde existe um campo magnético, podem sofrer a ação de uma força magnética BF
. Desse modo, aparecerá no fio uma força magnética devido à soma das forças magnéticas sobre as cargas.
Considere um fio condutor (com uma corrente i ) colocado entre as faces de um ímã (Figura 7.8). A região do fio que está no campo mag-nético tem comprimento e área de seção reta A. Para simplificar, considere as cargas em movimento uniforme com uma velocidade de migração ( )dv (vista no capítulo anterior). A força magnética sobre cada portador de carga é:
B dF qv B= ×
.
O número de portadores de carga no segmento ( N ) é:
N nA= ,
onde n é o número de portadores de carga por unidade de volume. Assim, a força resultante sobre o fio é:
( ) ( )B d dF N qv B nA qv B= × = ×
.
Lembrando que a intensidade da corrente no fio é di nqv A= , pode-se escrever:
BF i B= ×
.
Na expressão acima,
é um vetor no sentido da corrente, de módulo .
Se o fio tiver uma forma arbitrária, como mostra a Figura 7.9, a força magnética sobre um elemento do fio de comprimento ds é:
BdF ids B= ×
.
S
N
Figura 7.8: No fio condu-tor percorrido por uma corrente i entre as faces de um ímã, aparecerá uma força magnética sobre o fio, provocando uma deflexão.
I
dsB
Figura 7.9: Uma corrente i passa em um elemento de fio ds , que está imerso em uma região onde existe um campo magnético.
θ
z
y
xi
ℓ
B
Figura 7.10: Exemplo 4.
161Campo magnético
A força total é obtida através do somatório das forças BdF
ao longo do comprimento do fio entre dois pontos aleatórios a e b . Portanto,
b
Ba
F i ds B= ×∫
.
Exemplo 4: Em um segmento de fio com 3mm de comprimento pas-sa uma corrente de 3 A no sentido x+ . O fio se encontra em repouso em um campo magnético de módulo 0,02T , que está no plano xy e faz um ângulo de 30° com a direção x+ . Qual é o módulo da força magnética exercida sobre o segmento de fio?
Resolução: o módulo da força magnética é dado por:
.
7.6 Torque sobre uma espira de corrente em um campo magnético uniforme
Considere uma espira retangular conduzindo uma corrente i na pre-sença de um campo magnético uniforme, como mostra a Figura 7.11. As forças magnéticas sobre os lados 1 e 3 são nulas, pois o campo magnético tem a direção da corrente i . Desse modo, 0ds B× =
. Po-rém, as forças magnéticas nos lados 2 e 4 não são nulas, pois a cor-rente está orientada perpendicularmente ao campo. O valor dessas forças é:
2 4F F iaB= = .
Essas forças produzem um torque sobre a espira, dado por:
,
onde A é a área da espira.
162
I
B
(a)a
bFigura 7.11: Corrente i em uma espira de área A , que está imersa em um campo magnético.
Se o campo magnético formar um ângulo θ com o plano da espira:
iABsen iA Bτ = θ⇒ τ = ×
.
O vetor A
é um vetor perpendicular ao plano da espira, conforme mostra a Figura 7.12. O produto iA
é denominado momento de dipolo magnético da espira:
iAµ =
,
medido no SI em 2 2( )ampère metro Am− . Esse vetor tem direção e sentido indicados através da regra da mão direita (Figura 7.12). O tor-que pode ser expresso da forma:
Bτ = µ×
.
Se em vez de uma espira tivermos uma bobina (formada por N espi-ras), o momento de dipolo será:
NiA=
.
Motores elétricos em geral são compostos por bobinas postas a girar em campos magnéticos. O torque sobre essas bobinas é utilizado para girar uma haste, que movimenta um dispositivo mecânico acoplado a um eixo que passa pela origem O .
163Campo magnético
θθA
F2
F4
OB
senθb2
b2
Figura 7.12: Na figura o vetor A
é perpendicular ao plano da espira.
Exemplo 5: Uma espira circular com raio 2cm possui 10 voltas de fio, e por ela passa uma corrente de 3 A . O eixo da espira faz um ân-gulo de 30° com um campo magnético de 0,8T . Encontre o módulo do torque sobre a espira.
Resolução: o módulo do torque sobre a espira é:
2 210 3 (0,02) 0,8 30 1,51 10Bsen NiABsen sen Nm −= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ° = ×
Resumo
Neste capítulo foi comentada um pouco da história do magnetismo, desde a observação de alguns fenômenos naturais por chineses e gre-gos, em cerca de 1000 . .AC , até a previsão da produção de campos magnéticos através de campos elétricos, feita por Maxwell no final do século XIX .
Foi discutido ainda que a força magnética que atua sobre um • fio tem algumas características e que, desse modo, podemos escrever:
BF qvBsen= ,
ou da forma vetorial:
BF qv B= ×
.
A
I
μ
Figura 7.13: Regra da mão direita para a determinação
da direção e sentido do vetor momento de dipolo.
Os dedos da mão direita circulam a espira no sentido
da corrente, enquanto o polegar aponta a direção e
o sentido do vetor
.
164
Quando uma partícula está em movimento com velocidade v em uma região onde existe um campo magnético uniforme B
perpendicular à direção do movimento, o movimento será circular e uniforme. Algu-mas aplicações desse movimento são: o espectrômetro de massa e o ciclotron.
As experiências mostraram que um fio percorrido por uma corrente ( i ) interage com o campo magnético, e dessa forma ocorre uma deflexão no fio. A força magnética sobre esse fio pode ser calculada através da relação:
BF i B= ×
.
Finalmente, foi visto que uma espira percorrida por uma corrente ( i ) sofre um torque quando está colocada em um campo magnético. Esse é o princípio de funcionamento dos motores e geradores elétricos.
Exercícios
1) Uma carga 3,64q nC= − se move com uma velocidade
6 ˆ2,75 10 /i m s× . Encontre a força sobre a carga se o campo magné-
tico é: (a) ˆ0,38B j=
T e (b) ˆ ˆ(0,75 0,75 )B i j T= +
.
Respostas:
a) 3 ˆ3,80 10 k N−− × e
b) 3 ˆ7,51 10 k N−− × .
2) Um segmento de fio reto de 2m de comprimento faz um ângulo de 30° com um campo magnético uniforme de 0,37T . Encontre o módulo da força sobre o fio se por ele passa uma corrente de 2,6 A .
Resposta: 0,962 N .
3) Um fio horizontal com comprimento de 25cm e 50 g , reto e ho-rizontal, está ligado a uma fonte de tensão por conectores leves e flexíveis. Um campo magnético de 1,33T horizontal é perpendicular ao fio. Encontre a corrente necessária para fazer o fio flutuar; isto é,
165Campo magnético
determine a corrente necessária para que a força magnética equilibre o peso do fio.
Resposta: 1,48 A .
4) Um próton se move em uma órbita circular com raio de 65cm perpendicular a um campo magnético uniforme de módulo 0,75T . (a) Qual é o período desse movimento? (b) Encontre a velocidade do próton. (c) Encontre a energia cinética do próton.
Respostas:
a) 88,74 10 s−× ,
b) 74,62 10 /m s× e
c) 11,4 MeV .
5) Um elétron parte do Sol, e com uma velocidade 71 10 /m s× entra no campo magnético da Terra acima do Equador, onde sua intensida-de é 74 10 T−× . O elétron descreve uma órbita quase circular, exceto por um desvio ao longo da direção do campo magnético da Terra, que irá levar o elétron direto para o pólo norte.
Qual é o raio do movimento circular?a)
Qual é o raio do movimento circular próximo ao pólo norte, b) onde o campo magnético é 52 10 T−× ?
Respostas:
a) 142m e
b) 2,84 m .
6) Um feixe de partículas com velocidade v entra em uma região com um campo magnético uniforme B
, que faz um pequeno ângulo q com v .
Mostre que após a partícula se mover uma distância 2 m v cosqB
,
medida ao longo da direção de B
, a velocidade da partícula está na mesma direção em que estava quando entrou no campo magnético.
Um seletor de velocidade tem um campo magnético de módulo 0,28T perpendicular a um campo magnético de módulo 54,6 10 /N C× .
166
Qual deve ser a velocidade de uma partícula para que ela passe a) sem ser defletida?
Quanta energia devem ter prótons e elétrons para passar sem b) serem defletidos? (Respostas: (a) 61,64 10 /m s× , (b) 14,0 keV e 7,66eV ).
7) Um cíclotron para acelerar prótons tem um campo magnético de 1,4T e um raio de 0,7 m .
Qual é a freqüência do cíclotron?a)
Encontre a máxima energia dos prótons quando eles emergem.b)
Respostas:
a) 72,13 10 Hz× e
b) 46,0 MeV .
8) Um pequeno enrolamento circular com 20 voltas de fio repousa em um campo magnético uniforme de 0,5T , de tal modo que a normal ao plano do enrolamento faz um ângulo de 60° com a direção de B
. O raio do enrolamento é de 4cm , e por ele passa uma corrente de 3 A .
Qual é o módulo do momento magnético do enrolamento?a)
Qual é o módulo do torque exercido sobre o enrolamento?b)
Respostas:
a) 20,302 Am e
b) 0,131Nm .
167Campo magnético
Bibliografia comentada
CHAVES, A . Física. Vol. 2. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Edi-tores, 2001.
No capítulo 21, o autor discute o efeito Hall, que aparece quando
uma placa retangular transportando uma corrente elétrica paralela a
uma de suas arestas é posicionada com as faces normais a um campo
magnético. O autor analisa também como os efeitos quânticos alteram
o efeito Hall, dando origem ao chamado efeito Hall quântico.
Lei de Ampère8
171Lei de Ampère
8 Lei de Ampère
171
As observações mais antigas sobre fenômenos magné-ticos foram feitas através de ímãs naturais, até que em 1820, Christian Oersted descobriu que uma agulha de uma bússola era desviada por uma corrente elétrica. A partir desse momento, as propriedades do magnetismo associadas a correntes elétricas passaram a ser estudadas por muitos pesquisadores. Pouco tempo mais tarde, Jean Baptiste Biot e Félix Savart anunciaram os resultados das medições de forças nas proximidades de um fio condu-tor comprido percorrido por uma corrente. Depois, André Marie Ampère estendeu essas experiências e mostrou que elementos de corrente sofrem uma força na presença de campos magnéticos.
Começaremos este capítulo discutindo as observações de Biot e Savart. Mostraremos a força magnética que atua sobre dois fios paralelos percorridos por correntes. Enun-ciaremos a lei de Ampère, aplicando essas leis no cálculo de campos magnéticos de alguns sistemas.
8.1 Lei de Biot-Savart
Conforme discutido no capítulo anterior, Oersted descobriu que a cor-rente elétrica em um fio desvia a agulha de uma bússola. Isto mostra que uma corrente elétrica funciona como uma fonte de campo magnético.
No início do século XIX, Jean Baptiste Biot e Felix Savart, a partir da investigação sobre a força magnética em um condutor percorrido por uma corrente, chegaram à expressão para o campo magnético em um ponto do espaço.
Uma vez que não existe uma “corrente pontual”, vamos considerar em nossa análise um elemento do fio de comprimento ds , percorrido por uma corrente ( i ), como mostra a Figura 8.1. O campo magnético dB
produzido em um ponto P apresenta as seguintes propriedades:
O dinamarquês Hans Christian Oersted publicou, em 1812, um trabalho denominado Pesquisa sobre a Identidade das Forças Elétricas e Químicas, onde apresentou a hipótese de os fenômenos magnéticos estarem relacionados com os fenômenos elétricos.
172
• O campo magnético é perpendicular ao elemento de comprimento .• O campo magnético é perpendicular à reta que liga o elemento ao ponto .• O campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância ( ) entre o elemento do fio e o ponto .• O módulo do campo magnético é proporcional à cor-rente e ao comprimento do elemento ( ).• A intensidade do campo magnético é proporcional a
, onde é o ângulo entre os vetores e .
dBpd
dB
ds
pf P
r
P’
Ir^θ
Figura 8.1: Elemento de fio ds percorrido por uma corrente i . No ponto P , o campo magnético sai do plano do papel, enquanto que no ponto 'P , o campo entra no plano da folha.
As observações podem ser sintetizadas na equação:
02
ˆ4
ids rdBr
×
=
,
que é conhecida como lei de Biot-Savart. Na expressão acima, 0 é uma constante chamada permeabilidade do vácuo ( 74 10 /Tm A= × ).
A lei de Biot-Savart permite determinar o campo magnético produzi-do por elementos de corrente. Para determinar o campo magnético produzido por um condutor, deve-se somar as contribuições de todos os componentes.
É importante ainda ressaltar as similaridades entre as leis de Biot-Savart e Coulomb:
173Lei de Ampère
Os campos são inversamente proporcionais ao quadrado da • distância.
O campo elétrico é proporcional ao elemento de carga • dq , enquan-to o campo magnético é proporcional ao elemento de corrente.
Porém, as duas expressões também apresentam uma diferença, pois o campo elétrico é radial (ou seja, tem a direção da reta que liga o elemento de carga ao ponto), enquanto o campo magnético é perpen-dicular à reta que liga o elemento de corrente ao ponto.
Ao colocarmos limalha de ferro em torno de um condutor retilíneo per-corrido por uma corrente, podemos observar que as linhas de campo magnético formam círculos em torno do fio, como pode ser visto na Figura 8.2. Desse modo, podemos determinar a direção e o sentido do campo magnético através da regra da mão direita (Figura 8.3).
Figura 8.2: Linhas de campo magnético produzidas por um condutor percorrido por uma corrente i .
a
I
Figura 8.3: Regra da mão direita para determinação da direção e do sentido do campo magnético produzido por um condutor retilíneo. O polegar aponta no senti-do da corrente, enquanto os dedos da mão indicam a direção e o sentido do campo
(tangente à circunferência de raio a ).
174
Exemplo 1: A Figura 8.4 mostra um condutor retilíneo comprido per-corrido por uma corrente. Determine o campo magnético B
no ponto P da figura.
Resolução:
xx
ry
y
Φθ
I dl = I dxiI
P
Figura 8.4: Condutor retilíneo percorrido por uma corrente.
Um elemento de corrente id aparece realçado na figura. O vetor r aponta para o ponto P . A direção do campo magnético, devido a esse elemento, é para frente da folha de papel, conforme se determina pela direção de id r×
. O campo devido a esse elemento de corrente é:
024
idxdB senr
= .
Os ângulos e são suplementares ( 180 + = ° ), e portanto sen sen = . Como e são complementares ( 90 + = ° ), então sen cos = e sen sen cos = = . Portanto, temos:
024
idx cosdBr
= ,
onde e são ângulos registrados na figura. Para somar sobre to-
dos os elementos de corrente, precisamos relacionar as variáveis , r e x . Temos:
x y tan= .
Então 2 2
22
r rdx y sec d y d dy y
= = =
, onde se usou rsecy
= .
Substituindo essa expressão de dx na equação para o campo devido ao elemento de corrente, temos:
0
4idB cos dy
= .
175Lei de Ampère
Vamos calcular a contribuição dos elementos que ficam à direita do ponto 0x = . Somamos esses elementos efetuando a integração desde
0 = até 1 = . Temos, para essa contribuição:
1 0 01 10 4 4
i iB cos d seny y
= =∫ .
Analogamente, a contribuição dos elementos à esquerda do ponto 0x = é:
02 24
iB seny
= .
Temos, então, para o campo magnético devido ao fio:
02 1 2( )
4iB sen seny
= + .
O resultado para um fio muito comprido se obtém da equação acima, fazendo 1 2 90 = = ° :
0
2iBy
= .
Exemplo 2: Considere uma espira de raio R percorrida por uma corrente, como mostra a Figura 8.5. Determine o campo magnético em um ponto sobre o eixo que passa pelo centro da espira.
Resolução:
x
r θ
θ
R
I dl
dBx
dB dB
Figura 8.5: No ponto indicado na figura, o campo magnético tem dois componen-tes. Em virtude da simetria, o componente perpendicular ao eixo é cancelado. O
campo resultante é paralelo ao eixo que passa pelo centro da espira.
176
Nessa posição, id
está na frente do papel e é perpendicular ao vetor
r , que está no plano do papel. O campo magnético devido a esse ele-mento está na direção que aparece na figura. O campo dB
é perpen-dicular a r , e em virtude de ser perpendicular a id
, deve estar no plano da folha de papel, conforme a figura. O módulo de dB
é:
0 02 2 2
ˆ
4 4
id r iddBr x R
×µ µ= =
π π +
.
Quando efetuamos a soma sobre os elementos de corrente na espira, as componentes de dB
perpendiculares ao eixo da espira têm soma nula, e apenas as componentes paralelas ao eixo contribuem para a resultante. Da figura:
02 2 3/22 2 4 ( )x
idR RdB dBsen dBx Rx R
= = =++
.
Uma vez que nem x nem R varia quando somamos todos os elemen-tos da espira, essa soma dá simplesmente :
20
2 2 3/ 22 ( )xiRB
x R
=+
.
Um caso especial importante é o do campo magnético no centro da espira, que se encontra fazendo 0x = :
0
2iB
R
= .
A grandes distâncias da espira, x é muito maior que R , então:
20 0
3 3
2 ( )2 2i RB
x x
→ = ,
onde 2( )i R = é o momento magnético da espira. Observe a seme-lhança entre a expressão acima e a obtida para o campo magnético produzido por um dipolo elétrico a uma distância grande do centro (Capítulo 2).
8.2 Força magnética sobre dois fios paralelos
No capítulo anterior vimos que a força magnética que atua sobre um fio percorrido por uma corrente em uma região onde existe um campo magnético externo é:
BF i B= ×
.
177Lei de Ampère
Uma vez que uma corrente produz um campo magnético, se dois fios percorridos por uma corrente estiverem paralelos, eles interagem através da força magnética.
Para determinarmos essa força, vamos considerar dois fios conduto-res paralelos, com correntes 1i e 2i , separados por uma distância a (Figura 8.6). Vamos supor ainda que essa distância é muito maior que os raios dos fios, de modo que eles serão desprezados. Cada um dos fios produzirá um campo magnético, que pode ser determinado atra-vés da lei de Biot-Savart. Por exemplo, o campo magnético produzido pelo fio 2 será:
0 22 2
iBa
= .
A força magnética que atuará no fio 1 em virtude do campo produzido pelo fio 2 é:
0 2 0 1 21 2 1 1 2 190 90
2 2i i iF i B sen i F i B sen i Fa a
= ° = = ° = ⇒ =
.
A regra da mão direita mostra que essa força “aponta” do fio 1 para o fio 2. Lembrando da terceira lei de Newton, podemos concluir que sobre o fio 2 aparecerá uma força de mesmo módulo direção e senti-do contrário, portanto dois condutores paralelos percorridos por uma corrente de mesmo sentido se atraem, enquanto dois condutores per-corridos por correntes de sentidos contrários se repelem.
I²
²I¹B
1
2
ℓ
a
aF¹
Figura 8.6: Dois fios condutores paralelos com correntes 1i e 2i , separados por uma distância a . Na figura o fio 1 é atraído para o fio 2.
178
8.3 Lei de Ampère
Conforme discutido no Capítulo 4, o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de uma superfície eqüipotencial é nulo. Portanto, para movermos uma carga ao longo de uma curva fechada o trabalho realizado será nulo, ou seja, o campo eletrostático é conservativo. Desse modo:
.
Se considerarmos um fio condutor percorrido por uma corrente, o ve-tor campo magnético B
é sempre tangente à curva. Então, o produto B d⋅
é sempre positivo se a trajetória for percorrida no sentido das linhas de campo. Como os vetores B
e d
são paralelos, a soma será:
.
A expressão acima é conhecida como lei de Ampère, onde i é denomi-nada corrente líquida.
Essa lei vale para qualquer curva C , desde que as correntes sejam constantes. Como a lei de Gauss, essa lei é útil no cálculo de campos magnéticos em situações de alto grau de simetria.
Exemplo 3: Um fio condutor comprido, de raio a, suporta uma cor-rente i que está uniformemente distribuída por toda a seção reta do
fio, com uma densidade de corrente 2
ija
= (Figura 8.7(b)). Calcule o
campo magnético no interior e no exterior do fio.
Resolução: Considere um círculo de raio r concêntrico ao eixo do condutor. Espera-se que B
seja tangente à circunferência do círculo, como no caso de um fio condutor fino. Em virtude da simetria, o mó-dulo de B
é constante sobre a circunferência. Portanto:
.
A corrente que atravessa a curva depende de r ser maior ou menor que o raio do condutor. Com r maior que a , a corrente total ( i ) passa pela área limitada por C . Desse modo:
179Lei de Ampère
.
0
2iBr
=
r a> (Figura 8.7(a)).
A corrente que passa no interior do condutor (Figura 8.7(b))é:
22 2
2 2
i rr j r ia a
= = .
Portanto,
e
02
2iB r r a
a
= <
Figura 8.7(b)).
ra
ra
(a) (b)
i
Figura 8.7: Exemplo 3.
8.4 Campo magnético de um solenóide
Um fio condutor enrolado ao modo de uma hélice, como a Figura 8.8, é um solenóide, e é usado para conseguir-se um campo magnético uniforme e intenso em uma pequena região do espaço.
I I
Figura 8.8: Um fio condutor enrolado em forma de hélice é um solenóide.
180
Um solenóide tem o mesmo papel de um capacitor na eletrostática: provocar um campo intenso e uniforme. Para um solenóide, o campo magnético é o de N espiras colocadas lado a lado. A Figura 8.9 mos-tra as linhas de campo magnético entre duas espiras. Entre as espiras, próximo ao eixo, essas linhas se adicionam. Já entre as espiras, mas a distâncias maiores que seus raios, essas linhas tendem a se cancelar. A Figura 8.10 mostra as linhas de campo para um solenóide. Podemos observar que no interior do solenóide as linhas de campo são apro-ximadamente paralelas e muito densas, enquanto fora essas linhas são pouco densas. Observamos também que elas convergem em uma extremidade e divergem na outra.
Em virtude da distribuição das linhas de campo, podemos usar a lei de Ampère para calcular o campo magnético para um solenóide. Seja um solenóide de raio r , comprimento e N espiras de fio condutor percorrido por uma corrente i . O campo magnético será:
,
onde Nn =
é o número de espiras por unidade de comprimento.
Figura 8.9: Linhas de campo magnético em duas espiras.
B
I
I
Figura 8.10: Linhas de campo produzidas por um solenóide. Note que o campo é mais intenso no interior do solenóide (maior número de linhas).
181Lei de Ampère
Resumo
Vimos que um campo magnético produzido por um elemento de fio condutor percorrido por uma corrente i pode ser determinado através da lei de Biot-Savart:
02
ˆ4
ids rdBr
×
=
.
Utilizamos essa lei para calcularmos o campo magnético em algumas situações.
Vimos ainda que um fio percorrido por uma corrente pode interagir com um outro fio onde passa uma outra corrente. A força de interação é:
0 1 2
2i iFa
=
.
Se as correntes têm mesmo sentido, os fios se atraem; se têm sentidos contrários, os fios se repelem.
Em situações com altíssimo grau de simetria, o campo magnético pode ser determinado através da lei de Ampère:
.
Exercícios
1) Um pequeno elemento de corrente id , com ˆ2d k mm=
e 2i A= , está centrado na origem. Calcule o campo magnético dB
nos seguin-tes pontos:
no eixo dos a) x , em 3x m= ,
no eixo b) x , em 6x m= − ,
no eixo c) z , em 3z m= e (d) no eixo dos y , em 3y m= .
Respostas:
a) 11 ˆ4, 44 10 j T−× ,
182
b) 11 ˆ1,11 10 j T−− × ,
c) 0 e
d) 11 ˆ4, 44 10 i T−− × .
2) Considere uma espira circular de raio R com a corrente i . Mostre, pela lei de Biot-Savart, que o campo magnético no centro da espira, devido a cada segmento de elemento d , tem módulo:
024
iddBR
=
.
3) Um fio de comprimento L conduz uma corrente i . Calcule o cam-po magnético B no centro quando
o fio está dobrado na forma de um quadrado a) 4L
e
o fio forma uma circunferência de círculo de comprimento b) L .
Qual das duas formas provoca maior c) B ?
Respostas:
a) 032 2 i4 L
µπ
,
b) 0 il
e
o quadrado.c)
4) Dois fios paralelos, compridos e retilíneos, estão separados por 10cm e conduzem correntes de valor i . Os fios repelem-se mutuamen-te, com uma força por unidade de comprimento igual a 94 10 /N m−× .
As correntes são paralelas ou antiparalelas? a)
Calcular b) i .
Respostas:
antiparalelo e a)
b) 44,7 mA .
183Lei de Ampère
5) Na figura 8.11, uma corrente tem 10 A e passa da frente para o ver-so do papel; a outra corrente tem 10 A e passa do verso para a frente do papel. Cada uma das curvas é uma circunferência de círculo.
Calcule a) em cada uma das curvas.
Qual a curva – se houver alguma – que pode ser usada para cal-b) cular-se B
num ponto qualquer e provocado pelas correntes?
Respostas:
a) 010 para 1C , 0 para 2C e 010− para 3C e
não em virtude da ausência de simetria.b)
C3
C1
C2
Figura 8.11: Exercício 5.
6) Um fio de 0,5cm de raio conduz uma corrente de 100 A distribuí-da uniformemente sobre a seção reta. Calcule B
a a) 0,1cm do fio,
na superfície do fio e b)
num ponto externo a c) 0,2cm da superfície.
Respostas:
a) 48 10 T−× ,
b) 34 10 T−× e
c) 32,86 10 T−× .
184
7) Um solenóide tem comprimento de 25cm , raio de 1cm , 400 espi-ras e uma corrente de 3 A . Calcule
a) B no eixo e no centro do solenóide,
o momento magnético do solenóide e b)
o valor aproximado de c) B sobre o eixo a 2m de uma extremi-dade.
Respostas:
a) 36,03 10 T−× ,
b) 20,377 Am e
c) 97,9 10−× com aproximação do pólo puntiforme.
Bibliografia comentada
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON R. B.; SANDS, M. Lições de Física. Vol. 2. Porto Alegre: Bookman, 2008.
No capítulo 13 desse livro, os autores apresentam a força de Lorentz (força
eletromagnética total sobre uma carga) e uma discussão interessante
sobre a relatividade dos campos magnéticos e elétricos.
Lei de Faraday9
187Lei de Faraday
9 Lei de Faraday
187
Até este momento discutimos os campos magnéticos pro-duzidos por cargas em movimento e os campos elétricos produzidos por cargas em repouso. Entretanto, experi-mentos realizados por Michael Faraday e Joseph Henry, mostraram que campos magnéticos variáveis induzem correntes elétricas (ou seja, produzem campos elétricos no interior de um condutor). Os resultados destas experi-ências levaram a lei da indução de Faraday.
Este capítulo será iniciado através da definição de fluxo magnético e a lei de Faraday será enunciada e aplicada a algumas situações. Enunciaremos a lei de Lenz e defini-remos indutância. Discutiremos um tipo de circuito mais complexo, o circuito RL, e mostraremos que a energia pode é armazenada em um campo magnético (de manei-ra análoga ao armazenamento de energia em um campo elétrico discutida no capítulo 5).
9.1 Fluxo Magnético
O fluxo de campo magnético através de uma superfície define-se de maneira semelhante ao fluxo de campo elétrico (Capítulo 3). Seja dA um elemento de área de uma superfície e n o vetor unitário normal ao elemento, o fluxo de campo magnético m é:
ˆm B ndA = ⋅∫
.
Se a superfície for um plano com área A e se o campo magnético B
for constante em módulo e em direção sobre a superfície, fazendo um ângulo com o vetor unitário normal, o fluxo é:
cosm BA = .
188
A unidade de fluxo do campo magnético é o weber (Wb ).
Exemplo 1: Calcule o fluxo magnético através de uma bobina (sole-nóide) comprido, com espiras muito juntas, de comprimento , área de seção reta A e número de espiras N , com corrente i .
Resolução: Como o campo magnético no interior do solenóide é pra-ticamente constante, no centro temos:
0 0NB ni i = =
.
A área total é NA , pois são N espiras de área A . Como o campo magnético é perpendicular à área da espira, o vetor normal é paralelo ao campo. O fluxo será:
20 0m
NBA iNA n Ai = = =
,
onde Nn =
é o número de espiras por unidade de área e A é o vo-
lume no interior da espira preenchido pelo campo.
As linhas de campo magnético diferem das linhas de campo elétrico, pois as linhas de campo magnético são contínuas e não têm princípio ou fim (Figuras 9.1(a) e 9.1(b)). Assim, em qualquer superfície fechada, o número de linhas de campo que entram deve ser igual ao que sai, ou seja, o fluxo magnético é nulo. Isto ocorre pois jamais foi encontrado um monopólo magnético (carga magnética isolada).
SuperfícieS N
(a)
189Lei de Faraday
Superfície
(b)
Figura 9.1: (a) Linhas de campo magnético em um ímã. Observe que o número de linhas de campo que passam através da superfície é igual ao número de linhas que
sai, por isso o fluxo magnético é nulo. (b) Entretanto, para um dipolo elétrico, o fluxo não é nulo, pois as linhas de campo saem da superfície (a carga em seu interior
não é nula)
9.2 Lei de Faraday
A observação de que campos magnéticos variáveis induzem corren-tes elétricas foi descoberta por Michael Faraday, em 1830, e simulta-neamente por Joseph Henry. Se os terminais de uma bobina forem ligados a um galvanômetro, ao aproximarmos e afastarmos um ímã da bobina, a agulha do galvanômetro sofrerá um desvio, indicando um aparecimento de corrente.
Isto acontece porque, ao movermos o ímã próximo à bobina, o fluxo de campo magnético sofre uma variação. Essa variação induz uma força eletromotriz no circuito, e assim:
mddt
= − .
O sinal negativo indica que o sentido da força eletromotriz induzida é oposto ao sentido da taxa de variação do fluxo magnético.
De maneira diferente ao discutido anteriormente, essa força eletro-motriz induzida está distribuída por todo o circuito (diferentemente do que acontece quando temos uma bateria). Como essa fem injeta energia no circuito, ela não é conservativa. Desse modo, podemos escrever:
Michael Faraday (1791 -1867) foi um físico e químico britânico. Faraday foi principalmente um experimentalista. Ele ficou conhecido como o “melhor experimentalista na história da ciência”, embora não conhecesse matemática avançada, como cálculo. Tanto suas contribuições para a ciência quanto o impacto delas no mundo são certamente grandes: suas descobertas científicas cobrem áreas significativas das modernas física e química. espaço vazio entre linhas.
Joseph Henry (1797 – 1878): cientista norte-americano, descobriu, independentemente de Faraday, o fenômeno da indução eletromagnética. Após a sua morte, a unidade de indutância ou resistência indutiva no Sistema Internacional (SI) foi batizada de Henry, em reconhecimento ao seu trabalho.
O galvanômetro é um aparelho que mede a corrente elétrica através de seu efeito magnético, e é o “coração” dos aparelhos analógicos de medida de corrente e de tensão que são utilizados em laboratórios.
190
.
9.3 Aplicações das leis de Faraday
a) Força eletromotriz de movimentoA Figura 9.2 mostra uma barra condutora que escorrega sobre dois trilhos condutores ligados a um resistor. Um campo magnético uni-forme está dirigido para o plano da folha de papel. Como o fluxo mag-nético é variável (a área aumenta à medida que a barra se desloca), existe uma força eletromotriz induzida no circuito. Seja a separação entre os trilhos e x a distância entre a barra e a extremidade esquerda no circuito. O fluxo magnético é:
m BA B x = = .
A força eletromotriz induzida nesse circuito é:
md dxB B vdt dt
= − = − = −
.
a
b
ℓB
vIR
Figura 9.2: Uma barra condutora em movimento sobre dois trilhos
Exemplo 2: A Figura 9.3 mostra uma barra de comprimento l que se desloca com velocidade escalar constante v ao longo de trilhos con-dutores horizontais. Nesse caso, o campo magnético no qual a barra se move é não uniforme, pois é produzido por uma corrente i que per-corre um fio longo e paralelo aos trilhos. Suponha que 8,00 /v m s= ,
20,00a mm= , 20,00L cm= e 50i A= . Calcule a fem induzida na barra.
191Lei de Faraday
i
B vr
dA=xdr L
a
i1
i1 corrente induzidana espira
Figura 9.3: Uma barra condutora em movimento sobre dois trilhos em um campo magnético não uniforme
O campo magnético produzido pelo fio condutor:
0
2iBr
=
.
O fluxo ao longo da espira será:
10
10
10
0
2
2
ln2
1ln2
a
B Ba
a
aa
a
id B dA B dA x drr
ix drr
i x r
i axa
+
+
+
= ⇒ = ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
+ ⇒
∫ ∫
∫
.
Usando a lei de Faraday para obter a ( )fem ,
0 01 1ln ln .2 2
B i id dx a avdt dt a a
+ + = = ⇒
7(4 10 / )(50 )(8,0 / ) 2 20ln2 2
T m A A m s
−× + =
51,91 10 V −= × .
Força eletromotriz induzida ( ) na espira.
192
b) Ímãs em movimentoA Figura 9.4 mostra um ímã se deslocando no sentido de uma espira que tem uma resistência R . Como o campo magnético da barra está dirigido para a direita, a aproximação do ímã aumenta o fluxo mag-nético no interior da espira. A corrente induzida na espira está na direção em que aparece um fluxo oposto à indução.
Na Figura 9.5 o ímã está em repouso e a espira afasta-se dele. Nesse caso, a corrente aparece de modo a manter o fluxo no interior da es-pira.
INSv B
Figura 9.4: Quando uma barra imantada se aproxima de uma espira, o fluxo magné-tico varia. Aparece na espira uma corrente induzida, produzindo um fluxo oposto
v
I
m
NS NS
Figura 9.5: Se a espira se afasta do ímã, aparecerá uma corrente para manter cons-tante o fluxo magnético na espira
c) Dois circuitos adjacentesNa Figura 9.6(a) podemos ver dois circuitos adjacentes. Ao se fechar a chave no circuito 1 (Figura 9.6(b)), a corrente demora um intervalo curto de tempo para atingir seu valor máximo. O fluxo magnético no circuito 2 se altera, aparecendo uma corrente induzida no sentido da figura. A partir do momento em que a corrente no circuito atinge seu valor máximo, tornando-se constante, não haverá mais variação do fluxo magnético e, portanto, corrente induzida no circuito 2. Ao se abrir a chave no circuito 1 (Figura 9.6(c)), a corrente diminuirá até atingir o valor nulo. Durante esse curto intervalo de tempo, o fluxo magnético no circuito 2 irá variar e a corrente induzida voltará a apa-
193Lei de Faraday
recer. Essa corrente induzida persistirá até a corrente no circuito 2 tornar-se nula.
1 2
ε S+
1R1
R2
(a)
R1
R2
ε S+
1
B crescendo
(b)
I induzida2
I crescendo1
R1
R2
(c)
ε S+
1
B decrescendo
I induzida2
I decrescendo1
Figura 9.6: (a) Dois circuitos adjacentes. Ao se fechar a chave no circuito 1 (b), aparecerá uma corrente induzida no circuito 2. Quando a chave 1 for aberta (c), a
redução no valor da corrente induzirá uma corrente no circuito 2
9.4 Lei de Lenz
A direção da fem induzida e da corrente podem ser determinadas por um enunciado geral, conhecido como lei de Lenz:
A induzida e a corrente estão na direção em que se opõem à modificação que as provoca.
No exemplo da barra que se desloca sobre os trilhos (item (a) da seção anterior), aparecerá uma corrente na barra, que se opõe à modificação do fluxo. Assim, uma força magnética mF
aparecerá no sentido contrá-rio ao movimento da barra. Se a barra desloca-se para a direita (Figura 9.7), com velocidade constante, essa força apontará para a esquerda.
ℓB
vIR
I
Fm
Figura 9.7: Quando a barra se mover para a direita, aparecerá uma força magnética em sentido contrário
194
9.5 Indutância
Considere um circuito que consiste de uma chave, um resistor e uma fonte fem , como na Figura 9.8. Quando a chave é fechada, a corrente
não salta de zero para seu valor máximo R . À medida que a corrente
aumenta com o tempo, o fluxo magnético no circuito também aumen-ta. Esse aumento no fluxo induz uma fem no circuito, que se opõe à variação no fluxo magnético resultante. O campo elétrico induzido no fio é contrário ao sentido da corrente (lei de Lenz) e isto acarretará um aumento na corrente. Esse efeito é chamado auto-indutância. A fem estabelecida, nesse caso, é chamada fem auto-induzida.
ε
I
I
B
S
R
Figura 9.8: Quando a chave for fechada, aparecerá no circuito uma corrente. Como essa corrente não atinge seu valor máximo instantaneamente, aparecerá uma fem induzida no circuito (auto-indutância)
Essa fem auto-induzida é proporcional à taxa de variação da corren-te. Para uma bobina (solenóide) com N espiras, podemos escrever:
mL
d diN Ldt dt
= − = − ,
onde L é uma constante de proporcionalidade, chamada de indutân-cia da bobina, que depende das características geométricas da bobina. A partir da expressão acima, a indutância da bobina pode ser escrita da forma:
/m LNL
i di dt
= = − .
A unidade, no SI, de indutância é volt-segundo por ampère, denomi-nada henry ( H ).
195Lei de Faraday
Exemplo 3: Encontre a indutância de um solenóide uniformemente enrolado que tem N espiras e comprimento . Considere que seja longo comparado com o raio e que o núcleo do solenóide esteja cheio de ar.
Resolução: O campo magnético no interior do solenóide pode ser considerado uniforme e igual a:
0NB i=
.
O fluxo magnético através da espira é:
0mNABA i = =
,
onde A é a área da seção transversal do solenóide. A indutância será dada por:
20mN N AL
i
= =
.
Exemplo 4: Calcule a indutância de um solenóide de 25,0cm de comprimento e área de seção transversal 24,00cm , que contém 300 espiras. Calcule a fem auto-induzida no solenóide descrito se a cor-rente através dele estiver diminuindo à taxa de 50,0 /A s .
A indutância do solenóide pode ser calculada através da expressão encontrada no exemplo anterior:
2 4 27 4
2(300 )(4 10 )(4 10 / ) 1,81 10
25,0 10mL Tm A H
m
−−
−×
= × = ×× .
A fem auto-induzida será:
4 31,81 10 ( 50,0) 9,05 10LdiL Vdt
− −= − = − × − = × .
196
9.6 Circuitos RL
Um circuito que contenha uma bobina tem uma auto-indutância que impede que a corrente aumente ou diminua instantaneamente. O ele-mento que cumpre essa função (fornecer indutância) em um circuito é chamado indutor. Sempre consideraremos a auto-indutância do cir-cuito desprezível.
Considere o circuito da Figura 9.9 formado por uma bateria de resistên-cia interna desprezível, um resistor, um indutor e duas chaves. Se, num instante 0t = , a chave 1S for fechada, a corrente começará a aumen-tar e o indutor produz uma fem que se opõe ao aumento da corrente.
+
LR a
S2
S1
b
ε
Figura 9.9: Circuito RL
Aplicando a lei das malhas ao circuito:
0diiR Ldt
− − = .
A equação diferencial acima tem como resultado:
/ /( ) (1 ) (1 )Rt L ti t e eR R
− −= − = − ,
onde LR
= é a constante de tempo do circuito. Essa constante é o
tempo que leva para a corrente alcançar 0,632 do seu valor final R .
Tomando a primeira derivada temporal da equação acima, obtemos:
/tdi edt L
−= .
197Lei de Faraday
Dessa equação, observamos que a taxa de aumento da corrente é máxima no instante 0t s= , e decai exponencialmente, à medida que t aumenta. O comportamento da corrente e da taxa de aumento da corrente podem ser vistas nas Figuras 9.10 e 9.11.
0,632 ε_R
ε_R
t
I
τ=L/R
Figura 9.10: O comportamento da corrente que aparece no circuito da Figura 9.9 com a chave 1S fechada
ε/L
dI__dt
t
Figura 9.11: O comportamento da taxa de aumento da corrente que aparece no circuito da Figura 9.9 com a chave 1S fechada
Se na Figura 9.9 abrirmos a chave 1S e fecharmos a chave 2S , teremos um circuito sem bateria. Aplicando a lei das malhas, temos:
0diiR Ldt
+ = .
A solução da equação diferencial acima é:
/ /0( ) t ti t e i e
R − −= =
.
198
Na equação acima, 0i R
= corresponde à corrente máxima do circuito
quando a chave 1S está fechada e 2S aberta.
O gráfico da corrente em função do tempo pode ser visto na Figura 9.12. Através dele, podemos perceber que além de a corrente diminuir
ao longo do tempo, a taxa de redução ( didt
) é sempre negativa, ou seja,
LdiLdt
= −
é positiva (o ponto a na Figura 9.8 está a um potencial
maior que o ponto b ).
I
t
ε/R
Figura 9.12: O comportamento da corrente que aparece no circuito da figura 9.8 com a chave 1S aberta e a chave 2S fechada
Exemplo 5: Considere o circuito RL da figura 9.13.
Encontre a constante de tempo do circuito. a)
A chave da figura é fechada no instante b) 0t = . Calcule a corrente no circuito em 2,00t ms= .
S
12,0 V 6,00Ω
30,0 mH
Figura 9.13: Exemplo 4
199Lei de Faraday
Resolução:
(a) A constante de tempo é:
3330,0 10 5,00 10
6,00L sR
−
−×= = = ×
.
(b) No instante 2,00t ms= :
/ 0,40012,0(1 ) (1 ) 0,6596,00
ti e e AR
− −= − = − = .
9.7 Energia armazenada em um campo magnético
A fem induzida por um indutor impede que a corrente apareça ins-tantaneamente. Desse modo, parte da energia fornecida pela bateria é dissipada no resistor e a energia restante é armazenada no indutor. Na seção anterior, vimos que no circuito da Figura 9.9 com a chave 1S fechada (e 2S aberta) a lei das malhas fornece:
diiR Ldt
= + .
Multiplicando os termos por i :
2 dii i R Lidt
= + .
A taxa de fornecimento de energia da bateria é i , a taxa de energia dissipada no resistor é 2i R , enquanto a taxa de energia transferida ao indutor é:
mdU diLidt dt
= .
A energia total armazenada no indutor em qualquer instante é:
2
0 0
1 2
mU i
m m mU dU Lidi U Li= = ⇒ =∫ ∫
.
200
Se a indutância no solenóide for 20L n A= e o campo magnético no
interior do solenóide for 0B ni= , e substituindo na expressão para a energia armazenada no indutor encontrada acima:
2 22
00 0
12 2m
B BU n A An
= =
.
A densidade de energia (energia por unidade de volume) é:
2
02mU Bu
A = =
.
Embora a equação acima tenha sido deduzida para o caso especial de um solenóide, ela é válida para qualquer região do espaço onde exista um campo magnético.
Resumo
Começamos o capítulo definindo o fluxo de campo magnético:
m ˆB ndA = ⋅∫
.
Se esse fluxo magnético varia com o tempo nas proximidades de uma espira ou de um solenóide, ou ainda de um circuito aparece uma força eletromotriz induzida, dada por:
.
A expressão acima é conhecida como lei de Faraday. O sinal negativo indica que a força eletromotriz induzida ( ) é contrária à variação do fluxo (lei de Lenz).
Ao ligarmos um circuito, a corrente não aparece instantaneamente. Essa variação na corrente provoca uma alteração no fluxo magnético no circuito, e portanto, uma força eletromotriz induzida. Esse efeito é chamado auto-indutância. Nesse caso, a força eletromotriz induzida é proporcional à taxa de variação da corrente:
mL
d diN Ldt dt
= − = − .
201Lei de Faraday
Na expressão acima, a constante de proporcionalidade é chamada in-dutância.
Num circuito, a bobina tem a função de impedir que a corrente au-mente ou diminua instantaneamente. Esse dispositivo é chamado in-dutor, e armazena energia. Essa energia pode ser determinada através da expressão:
212mU Li= .
Exercícios
1) Um campo magnético uniforme, de módulo 0, 2T , é paralelo ao eixo dos x . Uma bobina quadrada, de 5cm de lado, com uma só es-pira, faz um ângulo com o eixo dos z . Calcule o fluxo magnéti-co através da bobina quando (a) 0 = ° , (b) 30 = ° , (c) 60 = ° e (d)
90 = ° .
2)Uma barra, com 30cm de comprimento, desloca-se a 8 /m s num plano perpendicular a um campo magnético de 0,05T . A velocidade da barra é perpendicular à direção de seu eixo. Calcule:
a força magnética que atua sobre um elétron da barra, a)
o módulo do campo eletrostático na barra e b)
a diferença de potencial entre as extremidades da barra. c)
Respostas: (a) 206, 4 10 N−× , (b) 0,40 /V m e (c) 0,12V .
3)Uma bobina de 100 espiras tem raio igual a 4,0cm e resistência 25Ω . A que taxa deve um campo magnético que lhe for perpendicular variar de modo a provocar uma corrente de 4,0 A na bobina?
Resposta: 199 /T s .
4)Uma bobina, com auto-indutância de 8,0 H , é percorrida por uma corrente de 3 A , que tem uma taxa de variação de 200 /A s . Calcule:
o fluxo através da bobina e a)
a b) fem induzida na bobina.
Respostas: (a) 24Wb e (b) 1600V− .
202
5)Um solenóide tem o comprimento de 25cm , raio de 1cm , 400 espiras e uma corrente de 3 A. Calcule:
o campo magnético a) B no eixo e no centro do solenóide,
o fluxo através do solenóide, admitindo que b) B seja uniforme,
a auto-indutância do solenóide e c)
a força eletromotriz induzida no solenóide quando a corrente se d) altera à taxa de 150 /A s .
Respostas: (a) 36,03 10 T−× , (b) 47,58 10 Wb−× , (c) 42,53 10 H−× e (d) 23,79 10 V−× .
6)No circuito da figura (23.26), 12,0V = , 3,0R = Ω e 0,6L H= . A chave 1S é fechada no instante 0t = . No instante 0,5t s= , calcule:
a taxa em que a bateria fornece energia, a)
a taxa do aquecimento Joule e b)
a taxa em que a energia é armazenada no indutor. c)
Respostas: (a) 44,06W , (b) 40,44W e (c) 3,62W .
7)Uma bobina com auto-indutância 2,0 H e resistência 12,0Ω , está ligada a uma bateria de 24,0V e resistência interna desprezível.
Qual é a corrente final? a)
Qual é a energia acumulada no indutor quando a corrente final b) for atingida?
Respostas: (a) 2,0 A e (b) 4,0 J .
8)Uma bateria de 12,0V é conectada a um circuito em série que contém um resistor de 10,0Ω e um indutor de 2,00 H . Quanto tempo levará para a corrente alcançar
a) 50,0% e
b) 90,0% de seu valor final?
Respostas: (a) 0,139 s e (b) 0,461s .
203Lei de Faraday
9) Considere o circuito da figura 9.13, tomando 6,00V = , 8,00L mH= e 4,00R = Ω .
Qual é a constante de tempo do circuito? a)
Calcule a corrente no circuito b) 250 s depois que a chave é fe-chada.
Qual é o valor da corrente no estado estacionário final? c)
Quanto tempo leva a corrente para alcançar d) 80,0% de seu valor máximo?
L
S
R
ε
Figura 9.14: Exercício 9
Respostas: (a) 2,00 ms , (b) 0,176 A , (c) 1,50 A e (d) 3,22ms .
Bibliografia comentada
CRUZ, F. F. S. Faraday & Maxwell - Luz Sobre os Campos. 1. ed. Odys-seus, 2005.
Nesse livro, uma ficção que se passa em uma cidade no interior do
Brasil, o autor discute as principais contribuições de Faraday ao estudo
do eletromagnetismo.
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON R. B.; SANDS, M. Lições de Física. Vol.2. Porto Alegre: Bookman, 2008.
No capítulo 16 dessa obra, os autores discutem em profundidade as
corrente induzidas, através do funcionamento de motores, geradores
e transformadores.
204
SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de Física. Vol. 3. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
Nesse livro, no capítulo 23, é apresentado um texto sobre o segundo
modelo principal para veículos de levitação magnética (SED), além de
diversos exercícios interessantes.
Equações de Maxwell10
207Equações de Maxwell
10 Equações de Maxwell
207
James Clerk Maxwell, entre diversas contribuições impor-tantes na Física, sintetizou em quatro equações as princi-pais leis do eletromagnetismo. Essas equações são conhe-cidas como as equações de Maxwell.
Iniciaremos este capítulo descrevendo como Maxwell en-controu e corrigiu um erro na lei de Ampère, através da introdução da corrente de deslocamento. Apresentaremos as equações de Maxwell, em sua forma integral. Final-mente, mostraremos como as equações de Maxwell po-dem ser utilizadas para mostrar o comportamento de uma onda eletromagnética.
10.1 Introdução histórica
James Clerk Maxwell, considerado por muitos o maior físico mate-mático desde Newton, criou a Teoria Eletromagnética da Luz, fundou juntamente com Boltzmann a Mecânica Estatística, executou uma série de experimentos relativos à visão das cores e tirou as primeiras fotografias coloridas.
A Teoria Eletromagnética da Luz proposta por Maxwell se baseava nos trabalhos realizados por Michael Faraday e William Thomson. As contribuições teóricas de Faraday estavam principalmente nas idéias a respeito das linhas de força elétrica e magnética. As contribuições mais importantes de Thomson relacionavam as linhas de força às te-orias já existentes da eletricidade e da magnetostática. A partir dos trabalhos desses pesquisadores, Maxwell introduziu novos conceitos, como o potencial vetor, a densidade de energia do campo e a corrente de deslocamento.
Na primeira parte do artigo “A Respeito das Linhas de Força de Fara-day”, publicado entre 1855 e 1856, Maxwell apresenta a analogia pro-posta por Thomson entre as linhas de força elétrica e as correntes em
Ludwig Boltzmann (1844–1906): físico austríaco que trabalhou na Mecânica Estatística utilizando a Probabilidade para descrever como as propriedades dos átomos determinam as propriedades da matéria. Em particular, o seu trabalho relaciona-se com a segunda lei da Termodinâmica, que ele derivou dos princípios da Mecânica, em 1890.
William Thomson — ou Lord Kelvin (1824–1907): físico e matemático irlandês, teve contribuições em diversas áreas. Seu nome foi designado à escala do zero absoluto, ou seja, a escala Kelvin.
208
um fluido incompressível. Essa analogia é utilizada para interpretar muitas das observações de Faraday. Nesse mesmo artigo, apresenta um grupo de equações que descrevem as relações entre os campo elétricos e magnéticos e as cargas e correntes responsáveis por es-ses campos. Mais tarde essas equações deram origem às equações de Maxwell.
Em um segundo artigo, intitulado “Sobre as Linhas de Forças Físi-cas”, publicado em quatro partes entre 1861 e 1862, aparece o modelo dos vórtices moleculares proposto para o campo magnético, utilizado para explicar as tensões a que estavam submetidas as linhas de força no modelo de Faraday.
Ao tentar explicar os fenômenos estáticos com auxílio desse modelo, ele supôs que o meio fosse elástico. Nesse caso, as forças magnéticas seriam causadas pela rotação do meio e as forças elétricas por sua distorção elástica. Como todo meio elástico é capaz de transmitir on-das, a velocidade dessas ondas dependeria apenas da relação entre as forças elétricas e magnéticas. Quando calculou essa relação utili-zando valores experimentais obtidos por G. Kohhausch e W. Weber, em 1856, descobriu que a velocidade de propagação era igual à velo-cidade da luz.
Depois dessa descoberta, Maxwell descartou o modelo, formulando um sistema de equações a partir do qual deduziu que as ondas eletro-magnéticas se propagavam no espaço com a velocidade da luz. Essa teoria foi publicada em dois artigos, o primeiro em 1865 e o segundo em 1868, e em sua forma mais geral, no “Tratado de Eletricidade e Magnetismo”, publicado em 1873.
Nesse artigo, as principais leis experimentais da eletricidade e do magnetismo (leis de Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampère e Faraday) foram sintetizadas em quatro equações, conhecidas como equações de Maxwell, que têm no Eletromagnetismo Clássico o mesmo papel que as leis de Newton têm para a Mecânica Clássica.
As ondas eletromagnéticas, previstas por Maxwell, que têm origem em cargas aceleradas, foram produzidas em laboratório por Heinrich Hertz em 1887.
209Equações de Maxwell
10.2 Corrente de deslocamento de Maxwell
A lei de Ampère, discutida no Capítulo 8, relaciona a integral de linha em torno do campo magnético em uma curva fechada com a corrente que passa através da superfície que tem essa curva como limite.
.
Essa equação apresenta uma falha, encontrada por Maxwell. A Figura 10.1 mostra duas superfícies, 1S e 2S , limitadas pela mesma curva C , que circula um fio percorrido por uma corrente. A corrente através da superfície 1S é i , mas não há corrente através da superfície 2S , que está entre as placas de um capacitor.
QE
S2S1
- Q
I I
Figura 10.1: A corrente que passa nos fios não passa através das placas de um
capacitor. Portanto, a corrente passa através da superfície 1S , mas não através da
superfície 2S . A corrente de deslocamento, proposta por Maxwell, passará através
da superfície 2S .
Maxwell mostrou que essa lei pode ser generalizada se, ao invés de uma corrente i , for considerada uma corrente i mais uma corrente de deslocamento di , definida como:
0e
ddidt
= ,
onde e é o fluxo elétrico através da mesma superfície limitada pela curva C . A forma generalizada da lei de Ampère é:
.
210
10.3 As equações de Maxwell
Conforme comentado no início deste capítulo, as principais leis do eletromagnetismo foram sintetizadas em quatro equações, conheci-das como as equações de Maxwell:
.
Essa primeira equação corresponde à lei de Gauss: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro da superfície dividida por 0 .
.
A equação acima é conhecida como a lei de Gauss para o magnetis-mo: o fluxo magnético através de uma superfície fechada é nulo (em virtude a inexistência de monopólos magnéticos).
.
Essa equação corresponde à lei de Faraday: a integral de linha em tor-no de qualquer trajetória fechada (força eletromotriz) é igual à taxa de variação do fluxo magnético através de qualquer superfície limitada por essa trajetória.
.
A equação anterior é a forma generalizada da lei de Ampère: a integral de linha do campo magnético em torno de qualquer trajetória fechada é determinada pela corrente resultante e pela taxa de variação do flu-xo elétrico através de qualquer superfície limitada por essa trajetória.
10.4 Ondas eletromagnéticas
As equações discutidas no item anterior descrevem o comportamen-to dos campos elétricos e magnéticos. Com essas equações, pode-se mostrar que campos elétricos e magnéticos dependentes do tempo satisfazem uma equação de onda.
Conhecida como lei de Ampère-Maxwell
211Equações de Maxwell
Imagine que uma fonte de ondas eletromagnéticas é tal que uma onda irradiada de qualquer posição do plano yz se propaga na direção x , como mostra a figura 10.2, e que todas as ondas emitidas estão em fase.
EE
BB
cc
z
y
x
Figura 10.2: Uma onda eletromagnética se propagando a uma velocidade c na direção x positiva. Na figura pode-se ver os campo elétrico ao longo do eixo y e o
campo magnético ao longo do eixo z em dois instantes distintos.
As propriedades das ondas eletromagnéticas podem ser deduzidas a partir das equações de Maxwell. Suponha que a onda eletromagnética está se deslocando na direção x , com o campo elétrico E
na direção y positiva e o campo magnético B
na direção z positiva.
Considere o retângulo de largura dx e altura , localizado no plano xy mostrado na figura 10.3. Para aplicar a lei de Faraday:
.
B
E
dx
Eℓ
dE+
x
y
z
Figura 10.3: Uma onda deslocando-se na direção x+ atravessa um retângulo que se
localiza no plano xy . Nessa situação, o campo elétrico varia de E
para E dE+
.
212
Primeiro, calcula-se a integral de linha de E ds⋅
ao redor desse triân-gulo. As contribuições da parte superior e da parte inferior são nulas, pois o campo elétrico é perpendicular ao elemento ds . Desse modo:
90 0oE ds E ds cos⋅ = ⋅ ⋅ =
. O campo elétrico no lado direito do retân-gulo pode ser expresso como:
constante( , ) ( , ) ( , )
t
dE EE x dx t E x t dx E x t dxdx x
∂+ ≈ + = +
∂.
A integral de linha sobre esse retângulo é, aproximadamente:
.
Como o campo magnético está na direção z , o fluxo magnético atra-vés do retângulo de área dx⋅ é: B B dxΦ = (aqui supõe-se que o elemento dx é muito pequeno comparado ao comprimento da onda eletromagnética). Fazendo a derivada temporal do fluxo magnético:
constante
B
x
d dB Bdx dxdt dt tΦ ∂
= =∂
.
Portanto, a lei de Faraday nos fornece:
E B E Bdx dxx t x t
∂ ∂ ∂ ∂ = − ⇒ = − ∂ ∂ ∂ ∂ .
Pode-se derivar uma segunda equação começando com a quarta equação de Maxwell no vácuo.
.
Nesse caso, calcula-se a integral de linha B ds⋅
ao redor de um retân-gulo que se localiza no plano xz , que tem a largura dx e o compri-mento , como mostra a Figura 10.4.
213Equações de Maxwell
B
E
ℓ
B dB+
dx
z
y
x
Figura 10.4: Uma onda deslocando-se na direção x+ atravessa um retângulo que se
localiza no plano xz . Nessa situação, o campo elétrico varia de B
para B dB+
.
Ao resolver a integral, encontra-se:
.
O fluxo elétrico através do retângulo é E E dxΦ = . Diferenciando esse fluxo em relação ao tempo:
Ed E dxdt dtΦ ∂ =
.
Desse modo:
0 0 0 0 B E B Edx dxx t x t
∂ ∂ ∂ ∂ − = ⇒ = − ∂ ∂ ∂ ∂
.
Finalmente, pode-se escrever:
2 2 2
0 0 0 02 2 2 E B B E E Ex t t x t tx x t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − = − − ⇒ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
.
A equação acima tem a forma de uma equação de onda linear. Da mesma maneira, pode-se mostrar que:
2 2
0 02 2B B
x t
∂ ∂=
∂ ∂.
Tente fazer essa demostração.
214
Essas ondas se deslocam com velocidade:
8
0 0
1 3 10 /c m s
= ≈ × .
As soluções mais simples para as equações de onda obtidas para os campos elétricos e magnéticos dependentes do tempo têm a forma:
cos( )cos( )
máx
máx
E E kx tB B kx t
= −
= − .
Nas soluções acima, máxE e máxB são os valores máximos dos cam-
pos, 2k
= é o número de onda e 2 f = é a freqüência angular.
Como os campo elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação, as ondas eletromagnéticas são ondas trans-versais. Um esquema dessas ondas pode ser visto na Figura 10.5.
B
E
c
Figura 10.5: Representação de uma onda eletromagnética senoidal se propagando ao longo do eixo x com velocidade c .
Exemplo 1: Uma longa barra cilíndrica condutora de raio R está centrada ao longo do eixo x , como mostra a Figura 10.6. A barra pos-sui um corte muito fino em x b= . Uma corrente i , dada por i kt= , percorre a barra, e a constante k é de proporcionalidade. Para 0t = , as faces no corte em x b= estão sem carga:
Determine o módulo da carga nessas faces em função do tempo.a)
Use a lei de Gauss para calcular b) E
no intervalo entre as faces.
Use a equação de Ampère-Maxwell para calcular c) B
entre as faces.
215Equações de Maxwell
Compare as respostas do item c) com d) ( )B r na barra para r R≤ .
Resolução:
Em a) x b= , 2
0 0
12
t t
i kt q i dt kt dt kt= ⇒ = ⇒ ⇒∫ ∫ .
i i
x
r ≤ R
b
Figura 10.6: Barra cilíndrica com um corte fino em x b= .
Vamos separar bem as duas faces e usar a Lei de Gauss:b)
Usando a Lei de Gauss no corte:
.
Vem:
22
20
, , ,Q rE A A r Q Carga Líquida Q qR
= = → =
.
Então temos:
2 22
2 2 20 0 0
1 ( )2
r q ktE r q E E r nocorteR R R
= ⇒ = ⇒ = →
.
xrR
A
EA=ρJA-EA=-ρJAFigura 10.7: Detalhe da barra cilíndrica do item b.
A equação de Ampère Maxwell no corte (onde não tem condutor):c)
.
216
Como:
222 0 0
02 2 20 0
2 ( )2 2
E ktr ktrd dE d ktA r rB B rdt dt dt R R R
= = ⇒ = ⇒ =
.
Na barra:
2
0 22 rrB iR
=
.
0 02 2( )
2 2ir ktrB B rR R
= ⇒ = .
Resumo
Neste capítulo foi mostrado como Maxwell percebeu uma falha e cor-rigiu a lei de Ampère, introduzindo uma corrente de deslocamento a expressão.
Depois, as equações que descrevem o Eletromagnetismo Clássico (que correspondem às principais leis discutidas neste livro), chama-das equações de Maxwell, são apresentadas em sua forma integral.
Além disso, foi mostrado, através das equações de Maxwell, que as ondas eletromagnéticas são ondas transversais, que se propagam no vácuo com velocidade aproximadamente igual a 83 10 /m s× .
Bibliografia comentada
ASSIS, A. K. T. Teorias de Ação à Distância – Uma Tradução Comentada de um Texto de James Clerk Maxwell. Revista da SBHC, no 7, páginas 53–76, 1992.
Nesse texto o autor apresenta uma tradução comentada do último
capítulo da obra mais comentada de Maxwell: A Treatise on Electricity and
Magnetism, onde é apresentada uma outra visão do eletromagnetismo,
desenvolvida na Alemanha, baseada em uma teoria de ação à
distância.
B
Figura 10.8: Representação do campo magnético.
217Equações de Maxwell
CRUZ, F. F. S. Faraday & Maxwell - Luz Sobre os Campos. 1 ed. Odys-seus, 2005.
Nesse livro, uma ficção que se passa em uma cidade no interior do
Brasil, o autor discute as principais contribuições de Maxwell ao estudo
do eletromagnetismo.
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON R. B.; SANDS, M. Lições de Física. Vol. 2. Porto Alegre: Bookman, 2008.
No capítulo 18 dessa obra, os autores apresentam e exploram as
equações de Maxwell em notação diferencial. Nesse mesmo capítulo é
feita uma discussão sobre a corrente de deslocamento.
219219
Referências
TIPLER, P. A.. Física. Vol. 2A. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de Física. Vol. 3. Rio de Ja-neiro: LTC, 1996.
SEARS, F.W. Física. Vol. 3. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999.
ALONSO, M.; FINN, E.J. Física: um curso universitário. Vol. 2. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
NUSSENVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.
CHAVES, A. S. Física. Vol. 2. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Editores, 2001.
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