CEFET-MG - Formulário de Transferência de Calor Nº1: CONDUÇÃO – Bibliografia: Incropera, F P, “Fundamentos da Transf. de Calor e de Massa”, Cap 1, 2, 3, 4 e 5; 5ªEd
Elaborado pelo Prof. Frederico Romagnoli Silveira Lima em janeiro de 2007.
Capítulo 1: Introdução CONDUÇÃO: Lei de Fourier:
dxdTq k
Aq x
x −==′′ ou xTkqx ∆
∆=′′
CONVECÇÃO: Lei do Resfriamento de Newton:
( ) ∞∞ >−= TTTThq "ssconv
Valores típicos de h (W/m²K) Convecção livre gases 2-25 Convecção livre líquidos 50-1000 Convecção forçada gases 25-250 Convecção forçada líquidos 100-20000 Convecção mudança de fase 2500-100000 RADIAÇÃO: Poder emissivo de um corpo negro:
284" W/m1067,5 −×== σσTE 4sup KCN
Poder emissivo de um corpo real: 4" TE εσ= emissividade: sup 10 ≤≤ ε
Irradiação: absortividade: GGabs α= 10 ≤≤ α Troca líquida por radiação:
( ) ( )GEq ε="vizCNrad TT α−sup αε =
( ) ( )vizrvizrad TThTTq −=−= sup44
sup" εσ
Coef de transf. de calor por radiação: ( )( )22
supsup vizvizr TTTTh = εσ −− EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA:
&&&& =−+ acsge EEEE
),( radiaçãoouconveçcãoconduçãoEe&
)( energiadeconversãoEg& Ex: VIRIP ee == 2
),( radiaçãoouconveçcãoconduçãoEs&
Taxa de energia acumulada:
dtTVcddU )(ρ
dtE p
ac ==& V: volume
Volume cilindro: LrV 2π=
Volume esfera: 3
34 rV π=
Capítulo 3: Condução Unidimensional (1D) em Regime Permanente (RP)ou Regime Estacionário Resistência térmica por condução em objetos: Planos Cilíndricos Esféricos
kALR condt =, ( )
Lkrr /lnR condt π212
, = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
21,
114
1rrk
R condt π
Resistência térmica por convecção em objetos: Planos Cilíndricos Esféricos
hAR convt
1, =
rLhR convt π2
1, =
hrR convt 2, 4
1π
=
Resistência térmica por radiaçãoAh
Rr
radt1
, =
Circuito térmico: ∑∆
=tR
Tq ou TUAq ∆=
Coef. Global de transferência de calor: AR
Ut∑
=1
Raio crítico de isolamento: hkrcritico =
Capítulo 2: Introdução à Condução:
Difusividade térmica: pc
kρ
α = Expansão em Série de Taylor: dxx
qqq xxdxx ∂
∂+=+
Eq. da Difusão de Calor – Coordenadas Cartesianas: tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂ ρ&
Algumas soluções para a eq. da Difusão de Calor: • ( ) 21 CxCxT += (Placa plana, condução 1D, RP, propriedades constantes, geração de calor nula)
• ( ) 212
2CxCx
kqxT ++−=&
(Placa plana, condução 1D, RP, propriedades constantes)
Eq. da Difusão de Calor – Coordenadas Cilíndricas:tTcq
zTk
zTk
rrTkr
rr p ∂∂
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂ ρ
φφ&
211
Algumas soluções para a eq. da Difusão de Calor: • ( ) ( ) 21 ln CrCrT += (Sist. radiais, condução 1D, R. P., propriedades constantes, geração de calor nula)
• ( ) ( ) 212 ln
4CrCr
kqrT ++−=&
(Sistemas radiais, condução 1D, R. P., propriedades constantes)
CEFET-MG - Formulário de Transferência de Calor Nº1: CONDUÇÃO – Bibliografia: Incropera, F P, “Fundamentos da Transf. de Calor e de Massa”, Cap 1, 2, 3, 4 e 5; 5ªEd
Capítulo 3: Condução Unidimensional (1D) em Regim
ALETAS de seção reta constante: (2
2 hPTd−− ∞TT
kAdx SR
( ) ( ) ∞−= TxTxθ ( ) ( ) ∞−== TTb 00θθ (θ
M hP
Equa) c(xbθ
θ
b) e(xbθ
θ
c) t(xbθ
θ
d) c(
b
xθθ
Efe
Res
Efic
Efic
N: n
Taxa total de transf. de calor BBbaat hAhANq θθη += ( ) baf
ttNAhAq θη ⎥
⎤⎢⎡
−−= 11
Re
) 01 =
2cLtα
∞−TtT )(
∞−TtT )(
)
Aproximação da Equação da Difusão de Calor Bidimensional por Diferenças Finitas –
Ca ApFin⎛⎜⎜⎝ ∂∂
tA ⎦⎣
sistência térmica total de um conjunto de aletas: agt
bgt hAq
Rη
θ 1, ==
Método Implícito
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆−
=∆
−++
∆
−+≈⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=∂∂
+∂∂ ++
−++
++−
++
tTT
y
TTT
x
TTTtT
yT
xT P
nmP
nmP
nmp
nmp
nmp
nmp
nmp
nm
nm
,1
,2
,1
1,1
1,2
1,
1,1
1,1
,2
2
2
2 1221αα
Equações em diferenças finitas com ∆x= ∆y (nodo interior)
( ) ( ) pnm
pnm
pnm
pnm
pnm
pnm TTTTTFoTFo ,1
11,
11,
1,1
1,1
1,41 +
+−
++
+−
++
+ =+++−+ , ( )2x
tFo∆
∆=α
Método do Balanço de Energia: Ex: ACge EEE &&& =+ cba TTT •••
( ) ( )t
TTxyxCxyxq
xTT
zykxTT
zykp
bP
bp
pb
pc
pb
pa
∆−
∆⋅∆⋅∆=∆⋅∆⋅∆+∆−
∆⋅∆+∆−
∆⋅∆+++++ 11111
))(())(( ρ&
pítulo 4: Condução Bidimensional de Calor em Regime estacionário roximação da Equação da Difusão de Calor Bidimensional por Diferenças itas
( ) ( )2,1,1,
2,,1,1
,2
2
2
2 22y
TTT
x
TTTyT
xT nmnmnmnmnmnm
nm∆
−++
∆
−+≈⎟
⎟⎠
⎞
∂∂
+ −+−+
Elaborado pelo Prof. Frederico Romagnoli Silveira Lima em janeiro de 2007.
e Permanente (RP)
) 0=
) mxmx eCeCx −+= 21
perímetro
de calor em aletas
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mLsenhmkhmL
mLmkhmLsenhM/cosh
cosh/++
=
( )mLM tanh=
( ) ( )[ ]( )mLsenh
mLM bL θθ /cosh −=
M=
térmica da base: bSR
bt hAR
,,
1=
LP.=
Bat ANAA += ( )at
ag A
NA ηη −−= 11
Capítulo 4: (Continuação) Equações em diferenças finitas com ∆x= ∆y 04 =−+++ TTTTTa) Nodo interior: ,,1,11,1, −+−+ nmnmnmnmnm
b) Nodo em um vértice interno com convecção
( ) ( ) 03222 ,1,,11,,1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∆xh ∆+−++++ ∞−++− nmnmnmnmnm T
kxhT
kTTTT
c) Nodo em uma superfície plana com convecção
( ) 02222 ,1,1,,1 =⎟⎠
⎞⎛ ∆∆ xhxh⎜⎝
+−+++ ∞−+− nmnmnmnm Tk
Tk
TTT
d) Nodo em um vértice externo com convecção
( ) 0122 ,,11, =⎟⎠
⎞⎛ ∆∆ xhxh⎜⎝
+−++ ∞−− nmnmnm Tk
Tk
TT
e) Nodo em uma superfície plana com fluxo calor
( ) 042 ''∆xq2 ,1,1,,1 =−+++ −+− nmnmnmnm Tk
TTT
Método do Balanço de Energia: 0=+ ge EE && (4
1),()( ⋅∆⋅∆+∑ → yxqq
inmi &
Capítulo 5: Condução Transiente
Método da Capacitância Global: Biot: 1,0≤=k
hLBi C Fourier: Fo =
a) Convecção: acs EE && =− ( )[ ] ( ) ∞>∂∂
=−− ∞ TtTtTcTtThA pS ρ =t )(θ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−−
=∞
∞ tVc
hATTTtTt
pii ρθθ supexp)()( ou ( )FoBi
TTTtTt
ii⋅−=
−−
=∞
∞ exp)()(θθ
b) Convecção e geração de calor:
( )[ ]acsG EEE &&& =− ( ) ∞>∂∂
=+−− ∞ TtTtTcqTtThA pS ρ& =t )(θ
0=−+ badtd θθ ( )
( )( )( ) ( at
abTTabTtT
ababt
ii−=
−−−−
=−−
∞
∞ exp)()(θθ
bSRhPkA θ⋅= SRkA
m =2 P:
ações para a distribuição de temperatura e taxaonvecção na extremidade: ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )mLsenhmkhmLxLmsenhmkhxLm
/cosh/
+−+−
=cosh qa
xtremidade adiabática ) ( )[ ]
( )mLxLm
cosh−
=cosh qa
emperatura especificada: ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )mLsenhxLmsenhmxsenhbL −+
=θθ / qa
omprimento infinito ) mxe−= qa
tividade:bbSR
aa hA
qθ
ε,
= ou bt
ata R
R
,
,=ε
istência térmica da aleta: a
bat q
R θ=, Resistência
iência de uma aleta: ba
aaa hA
qqq
θη ==
max Aa
iência global da superfície: bt
ttg hA
qqq
θη ==
max
úmero de aletas; AB: área da base
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