CEFET-MG - Formulário de Transferência de Calor Nº1: CONDUÇÃO – Bibliografia: Incropera, F P, “Fundamentos da Transf. de Calor e de Massa”, Cap 1, 2, 3, 4 e 5; 5ªEd

Elaborado pelo Prof. Frederico Romagnoli Silveira Lima em janeiro de 2007.

Capítulo 1: Introdução CONDUÇÃO: Lei de Fourier:

dxdTq k

Aq x

x −==′′ ou xTkqx ∆

∆=′′

CONVECÇÃO: Lei do Resfriamento de Newton:

( ) ∞∞ >−= TTTThq "ssconv

Valores típicos de h (W/m²K) Convecção livre gases 2-25 Convecção livre líquidos 50-1000 Convecção forçada gases 25-250 Convecção forçada líquidos 100-20000 Convecção mudança de fase 2500-100000 RADIAÇÃO: Poder emissivo de um corpo negro:

284" W/m1067,5 −×== σσTE 4sup KCN

Poder emissivo de um corpo real: 4" TE εσ= emissividade: sup 10 ≤≤ ε

Irradiação: absortividade: GGabs α= 10 ≤≤ α Troca líquida por radiação:

( ) ( )GEq ε="vizCNrad TT α−sup αε =

( ) ( )vizrvizrad TThTTq −=−= sup44

sup" εσ

Coef de transf. de calor por radiação: ( )( )22

supsup vizvizr TTTTh = εσ −− EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA:

&&&& =−+ acsge EEEE

),( radiaçãoouconveçcãoconduçãoEe&

)( energiadeconversãoEg& Ex: VIRIP ee == 2

),( radiaçãoouconveçcãoconduçãoEs&

Taxa de energia acumulada:

dtTVcddU )(ρ

dtE p

ac ==& V: volume

Volume cilindro: LrV 2π=

Volume esfera: 3

34 rV π=

Capítulo 3: Condução Unidimensional (1D) em Regime Permanente (RP)ou Regime Estacionário Resistência térmica por condução em objetos: Planos Cilíndricos Esféricos

kALR condt =, ( )

Lkrr /lnR condt π212

, = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

21,

114

1rrk

R condt π

Resistência térmica por convecção em objetos: Planos Cilíndricos Esféricos

hAR convt

1, =

rLhR convt π2

1, =

hrR convt 2, 4

1π

=

Resistência térmica por radiaçãoAh

Rr

radt1

, =

Circuito térmico: ∑∆

=tR

Tq ou TUAq ∆=

Coef. Global de transferência de calor: AR

Ut∑

=1

Raio crítico de isolamento: hkrcritico =

Capítulo 2: Introdução à Condução:

Difusividade térmica: pc

kρ

α = Expansão em Série de Taylor: dxx

qqq xxdxx ∂

∂+=+

Eq. da Difusão de Calor – Coordenadas Cartesianas: tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ ρ&

Algumas soluções para a eq. da Difusão de Calor: • ( ) 21 CxCxT += (Placa plana, condução 1D, RP, propriedades constantes, geração de calor nula)

• ( ) 212

2CxCx

kqxT ++−=&

(Placa plana, condução 1D, RP, propriedades constantes)

Eq. da Difusão de Calor – Coordenadas Cilíndricas:tTcq

zTk

zTk

rrTkr

rr p ∂∂

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂ ρ

φφ&

211

Algumas soluções para a eq. da Difusão de Calor: • ( ) ( ) 21 ln CrCrT += (Sist. radiais, condução 1D, R. P., propriedades constantes, geração de calor nula)

• ( ) ( ) 212 ln

4CrCr

kqrT ++−=&

(Sistemas radiais, condução 1D, R. P., propriedades constantes)

CEFET-MG - Formulário de Transferência de Calor Nº1: CONDUÇÃO – Bibliografia: Incropera, F P, “Fundamentos da Transf. de Calor e de Massa”, Cap 1, 2, 3, 4 e 5; 5ªEd

Capítulo 3: Condução Unidimensional (1D) em Regim

ALETAS de seção reta constante: (2

2 hPTd−− ∞TT

kAdx SR

( ) ( ) ∞−= TxTxθ ( ) ( ) ∞−== TTb 00θθ (θ

M hP

Equa) c(xbθ

θ

b) e(xbθ

θ

c) t(xbθ

θ

d) c(

b

xθθ

Efe

Res

Efic

Efic

N: n

Taxa total de transf. de calor BBbaat hAhANq θθη += ( ) baf

ttNAhAq θη ⎥

⎤⎢⎡

−−= 11

Re

) 01 =

2cLtα

∞−TtT )(

∞−TtT )(

)

Aproximação da Equação da Difusão de Calor Bidimensional por Diferenças Finitas –

Ca ApFin⎛⎜⎜⎝ ∂∂

tA ⎦⎣

sistência térmica total de um conjunto de aletas: agt

bgt hAq

Rη

θ 1, ==

Método Implícito

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆−

=∆

−++

∆

−+≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=∂∂

+∂∂ ++

−++

++−

++

tTT

y

TTT

x

TTTtT

yT

xT P

nmP

nmP

nmp

nmp

nmp

nmp

nmp

nm

nm

,1

,2

,1

1,1

1,2

1,

1,1

1,1

,2

2

2

2 1221αα

Equações em diferenças finitas com ∆x= ∆y (nodo interior)

( ) ( ) pnm

pnm

pnm

pnm

pnm

pnm TTTTTFoTFo ,1

11,

11,

1,1

1,1

1,41 +

+−

++

+−

++

+ =+++−+ , ( )2x

tFo∆

∆=α

Método do Balanço de Energia: Ex: ACge EEE &&& =+ cba TTT •••

( ) ( )t

TTxyxCxyxq

xTT

zykxTT

zykp

bP

bp

pb

pc

pb

pa

∆−

∆⋅∆⋅∆=∆⋅∆⋅∆+∆−

∆⋅∆+∆−

∆⋅∆+++++ 11111

))(())(( ρ&

pítulo 4: Condução Bidimensional de Calor em Regime estacionário roximação da Equação da Difusão de Calor Bidimensional por Diferenças itas

( ) ( )2,1,1,

2,,1,1

,2

2

2

2 22y

TTT

x

TTTyT

xT nmnmnmnmnmnm

nm∆

−++

∆

−+≈⎟

⎟⎠

⎞

∂∂

+ −+−+

Elaborado pelo Prof. Frederico Romagnoli Silveira Lima em janeiro de 2007.

e Permanente (RP)

) 0=

) mxmx eCeCx −+= 21

perímetro

de calor em aletas

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mLsenhmkhmL

mLmkhmLsenhM/cosh

cosh/++

=

( )mLM tanh=

( ) ( )[ ]( )mLsenh

mLM bL θθ /cosh −=

M=

térmica da base: bSR

bt hAR

,,

1=

LP.=

Bat ANAA += ( )at

ag A

NA ηη −−= 11

Capítulo 4: (Continuação) Equações em diferenças finitas com ∆x= ∆y 04 =−+++ TTTTTa) Nodo interior: ,,1,11,1, −+−+ nmnmnmnmnm

b) Nodo em um vértice interno com convecção

( ) ( ) 03222 ,1,,11,,1 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆xh ∆+−++++ ∞−++− nmnmnmnmnm T

kxhT

kTTTT

c) Nodo em uma superfície plana com convecção

( ) 02222 ,1,1,,1 =⎟⎠

⎞⎛ ∆∆ xhxh⎜⎝

+−+++ ∞−+− nmnmnmnm Tk

Tk

TTT

d) Nodo em um vértice externo com convecção

( ) 0122 ,,11, =⎟⎠

⎞⎛ ∆∆ xhxh⎜⎝

+−++ ∞−− nmnmnm Tk

Tk

TT

e) Nodo em uma superfície plana com fluxo calor

( ) 042 ''∆xq2 ,1,1,,1 =−+++ −+− nmnmnmnm Tk

TTT

Método do Balanço de Energia: 0=+ ge EE && (4

1),()( ⋅∆⋅∆+∑ → yxqq

inmi &

Capítulo 5: Condução Transiente

Método da Capacitância Global: Biot: 1,0≤=k

hLBi C Fourier: Fo =

a) Convecção: acs EE && =− ( )[ ] ( ) ∞>∂∂

=−− ∞ TtTtTcTtThA pS ρ =t )(θ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−

=∞

∞ tVc

hATTTtTt

pii ρθθ supexp)()( ou ( )FoBi

TTTtTt

ii⋅−=

−−

=∞

∞ exp)()(θθ

b) Convecção e geração de calor:

( )[ ]acsG EEE &&& =− ( ) ∞>∂∂

=+−− ∞ TtTtTcqTtThA pS ρ& =t )(θ

0=−+ badtd θθ ( )

( )( )( ) ( at

abTTabTtT

ababt

ii−=

−−−−

=−−

∞

∞ exp)()(θθ

bSRhPkA θ⋅= SRkA

m =2 P:

ações para a distribuição de temperatura e taxaonvecção na extremidade: ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )mLsenhmkhmLxLmsenhmkhxLm

/cosh/

+−+−

=cosh qa

xtremidade adiabática ) ( )[ ]

( )mLxLm

cosh−

=cosh qa

emperatura especificada: ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )mLsenhxLmsenhmxsenhbL −+

=θθ / qa

omprimento infinito ) mxe−= qa

tividade:bbSR

aa hA

qθ

ε,

= ou bt

ata R

R

,

,=ε

istência térmica da aleta: a

bat q

R θ=, Resistência

iência de uma aleta: ba

aaa hA

qqq

θη ==

max Aa

iência global da superfície: bt

ttg hA

qqq

θη ==

max

úmero de aletas; AB: área da base