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Funes vetoriais

I) Funes vetoriais a valores reais:

I = intervalo da reta real denominada domnio da funovetorial f = {conjunto de todos os valores possveis de t,para os quais todas as componentes esto definidas}

(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t n21=

r

a

rnRRI:f

Imagem f : conjunto de vetores!assi particular:

"#emplo $: defina o domnio e a ima%em da funo vetorial a se%uir:

(t))f(t),f(t),(f(t)f t 321

3

=

r

a

rRRI:f

)()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II=

)1-tt),-ln(41),(sin(t(t)f t

3

++= r

a

r

RRI:f
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)sin(t),-t-4

11,((t)f t 2

3

+=

t

RRI:f

ra

r

"#emplo &.- 'efina o domnio e a ima%em da funo vetorial a

(e%uir

esposta: 'om*f)={,+-pi,.pi/,+&pi,pi/,+0,pi/}

!urva espacial: dada uma funo vetorial

1al que f$*t), f&*t),fn*t) so funes reais continuas no domnio da

funo vetorial f "nto o conjunto V de pontos do espao .tais que#$ = f$*t), #& = f&*t),#. = f.*t),#n = fn*t)*2) 3e t variando no domnio de f 4 c5amado de curva espacial 6s

equaes *2) so denominadas equaes param4tricas deV

(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t n21=

r

a

rnRRI:f
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!urvas no espao tridimensional .

7uando uma partcula se movimenta no espao ., ela descreve

uma curva r(t) denominada trajet8ria

))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t

],[

321

3

tztytx

RbaI:r

==

=

a

Exemplo: seja a funo vetorial definida no espao R3

Esta funo define uma curva no espao R3, denominadade helicide.

)),sin(),cos(()( vttatatf =r
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usando Maple> restart; #helicoide

> with(plots):> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box,labels=[x,y,z], thickness=2);
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9ma curva plana 4 um conjunto r de pares ordenadosde reais * f*t), %*t) ), em que f*t) e %*t) so funesreais contnuas em um intervalo I

r =*#,;) curva no plano &

x = f(t) equao

I

t f

% restart; #cicloide

> with(plots):> v:=2:w:=1:R:=2:> plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi],scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]);

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci

cloide.htm
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Funes vetoriais: representao grfica

Importante: A parametrizao define uma orientao na curva
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>imite de funes vetoriais

'efinio: (ejam uma funo vetorial que defineuma curva no espao ., tal quer*t)=*#*t),;*t),?*t)) = #*t) i@ ;*t)j @ ?*t) k,

>o%o, di?emos que r tem limite L a medida que t seapro#ima a to e escrevemos assim:

)(trr

'esde que os limites das funes componentes e#istam

302010

3210

lz(t)lim,ly(t)lim,lx(t)lim

),l,l,(lLr(t)lim

===

==

tttttt

tt

=

|)(|||0

t0,0

,)(limO0tt

Ltrtt

tal que

sesomenteexiste seLtr

o

rr

rDefinio formal :
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Exemplo 1 (eja a funo , demonstrar

que :

Exemplo ! (eja a funo ,demonstra que :

),1()( 2 tttr +=r

)0,1()(lim 0 == Ltrtrr

)1,,()( 2 += tettr tr

)1,1,0()(lim 0 == Ltrtrr

9ma funo vetorial r(t) serA contnua em um ponto t=t0, do seudomnio se

L,))(z),(y),((x)(rc)

existe)()

existeL(t)rlim)

0000

0

0

==

=

tttt

trb

a tt

r

r

r
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Exemplo 2. Verifique se a funo vetorial abaixo contnua

Exemplo 1. Verifique se contnua em

ktjtittrrrr

r )cos()sin()( ++=

)(trr

4/=tContinuidade de funes vetoriais.

para .=
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'erivada de uma funo vetorial

'efinio: (eja uma funo vetorial, ela 4 derivAvel outem derivada, se as derivadas das componentes #*t),;*t),?*t)esto Bem definidas para todo t do domnio de

),dt

dz,

dt

dy,

dt

dx(

(t)r-)(trlim)(')(

0 =

+===

h

h

dt

rdtrtr t

rrrr&r

)(trv

)(trv

nterpreta o geom tr ca a er va a e umafuno vetorial&

(eja r(t) o vetor posio de uma partcula em

movimento no espao . 6 funo 4 avelocidade da partcula e 4 um vetor tan%ente Ctrajet8ria espacial descrita pela partcula *para cada

instante do tempo t)

)(tr&r
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>
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Regras de derivao

Seja u,v funes vetoriais de varivel real t; a e b sonmeros reais, e f(t),g(t) so funes reais de varivel real t.

,)()]([

.2

,

)()()]()([

.1

dt

tuda

dt

tuad

dt

tvd

dt

tud

dt

tvtud

=

+=

+

rr

rr

rrrr

vetorial

,)()())](([

.6

,)(

)()()()]()([

.5

,)(

)()()()]()([

.4

,)()(.3

produto

escalarproduto

dt

tdf

df

fud

dt

tfud

dt

tvd

tutvdt

tud

dt

tvtud

dt

tvdtutv

dt

tud

dt

tvtud

dttftvdtdt

=

+=

+=

+=

o

rr

rrr

rrr

r

orr

o

rro

r

r
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"#erccios

Exerc'cio 1& 'etermine a velocidade v*t) e a acelerao a*t)de uma partcula que descreva a se%uinte curva *trajet8ria)r*t)=*&t, E.t&,.t@-)m

Exerc'cio ! (eja uma partcula pontual que se%ue umatrajet8ria dada pela curva, definida assim:

2: RI

Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vt(t)t: =

, , s o cons an es = , = , v = = a) 'etermine a posio, velocidade e acelerao no instantet=0s, e t=.H&B) 'etermine a equao da reta tan%ente a curva J noinstante t=.H&Exerc'cio 'emonstre a propriedade - e K da re%ra dederivao
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Inte%ral de uma funo vetorial(eja f*t) =*#*t),;*t),?*t)) uma funo vetorial, definio:

se as componentes de f so inte%rAveis soBre I=+a,B/,ento

ktzjtyitxdttf

b

a

b

a

b

a

b

a

))(())(())(()( ++=

Ipartiodetn

abtttrdttr i

ni

i

in

b

a,,)(lim)(

1

== =

=

rr

"#emplo: !alcular a inte%ral da funof*t)= **cos* t))&, t.@&t@$),

"omprimento #e arco para curva% li%a%

7uando uma partcula percorre uma determinada1rajet8ria no espao, ela descreve uma curva, o comprimentodesta curva entre dois instantes dado t0 e t$ se denomina

comprimento de arco
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Comprimento de arco 22 dydxdl +=

Definio: O comprimento L de uma curva lisar(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t [a,b]

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxL

b

a

)()()( 222 ++=
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Comprimento de arcoSe

ento a formula do comprimento de arco fica

),,()(')( zyx vvvtrtrdt

rdv ====

r&rr

dttrdtvL

bb

|)('||| ==

Exemplo: Determine o comprimento de arcoda ciclide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi

0 & t
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F9LMNO !OPo%o : O comprimento de arco de uma curva arBitrAria nodepende da parametri?ao

dt

dt

dsds=
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ds|||

)(

|

1

0

1

0 ==

st

t ds

rddt

dt

trdL

+, comprimento #e arco #e uma curva entre #oi% ponto%

invariante pela reparametri-ao.Exerc'cio%

1& estude a continuidade da funo vetorial

t = &t&sin t ,&&cos t no ponto t=&H! 'etermine o limite da funo vetorialf*t)=*&t.,-t&,.t@-) quando t se apro#ima a t0=$'o e#erccio anterior determine fQ*t) para todo t R qual 4 o Sn%ulo que forma o vetor f *t) como o vetor f*t) noinstante t-'etermine a funo comprimento de arco s*t) para acicl8ide do e#erccio &
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TRAJETRIA DE UMA PARTCULA EM CAMPOSELTRICOS E MAGNTICOS

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
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/ovimento #e uma part'cula no e%pao 0

a2emo% que 1T.T,||

===v

V

V

VT

0. =TTd Analisemos a velocidade de uma partcula

vTtV .)( = Derivando esta equao temos

ds

Td2vTaa t += Definamos : ||

ds

TdK=
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Curvatura K

N

ds

Td

ds

Td

ds

TdK

rrr

|||,| ==Sendo vetor unitrioN

r

0.temos0,T.T == TTd

derr

k

1=

, considerando o radio de curvatura

Finalmente N2

vTaa t +=

sLogo deve ser ortogonal a , seu vetor unitrio tambmds

Tdr

Tr

0. =NT

rr
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Acelerao instantneaa

dt

dv

a T =Acelerao tangencial

va cpta =

Sempre orientada parte cncavaDa trajetria.

Suponhamos que : )(srr r= , definamos ds

rdr

=

),,(ds

dz

ds

dy

ds

dx=
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1)()()(|| 222 =++=dsdz

dsdy

dsdx

Logo rrT

2 rr

|ds||)(||| 2=== dsdsdsK

2

2

22

2

22

2

2

)()()(ds

zd

ds

yd

ds

xdK ++=

Logo, em forma explicita
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Triedro de Frenet-Serret

TNB = Vetor binormal

Exerccios

1.- Provar que

2.- Provar que

3.- Provar que

1|| =B

v

Va

V

Vaa T

.

||

.==

3

||

v

aVk

=
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Exerccios.. Continua

4.- Em relao ciclide estudada no comeo

a) Determine o vetor T, N,B para a ciclide no instantet=3pi/2.b) Determine a acelerao tangencial e a acelerao

.

t=3pi/2c) Determine a curvatura k(t) para todo instante deTempo.c) Interprete seus resultados.5.- demonstre que no casso de uma circunfernciade radio a, a curvatura K em qualquer ponto dacircunferncia sempre a mesma e 1/a.
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Exerccios.. Continua

6.- Seja uma partcula descrevendo uma helicider(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espao R3

a) Determine a velocidade e a acelerao instantneapara todo instante t.b) Determine o vetor unitrio tangente T, para todo

.

c) Determine a equao da reta tangente a helicide noInstante t=pi/4.d) Determine a funo comprimento de arco s(t) em

funo do tempo t.e) Determine a acelerao tangencial e a acelerao

centrpeta para todo instante t. Particularize parat=pi/4.
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Exerccios.. Continua

f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.

http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm

http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htmhttp://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/
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Equao de um plano.

Seja um plano M imerso no espao euclidiano R3 onde

n um vetor perpendicular ao plano M, entoconhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence aoplano P, podemos determinar a equao algbrica queobedece todos os ontos x z do lano M.

Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano(ou todo vetor contido no plano), perpendicular aovetor normal n.

dado n=(a,b,c)

0. =PPn o (O produto escalar entre n e P0P nulo)

Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M
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Equao de um plano.

0=+++ dczbyax

Onde a constante d pode se achar avaliando a

equao em qualquer ponto que pertence ao plano.
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r

C

Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) perpendicularao vector (n) normal ao plano

A

Jos Maria

Plano_08
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D

Perpendicularidade entre rectas e planos

o vector director da recta (s) colinear

com o vector (n) normal ao plano

n

AC

Jos Maria

Plano_09
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n

Paralelismo entre dois planos

os vectores normais aos planos ( n e p )so colineares

p

Jos Maria

Plano_10
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n

Paralelismo entre dois planos

os vectores normais aos planos ( n e p )so colineares

p

Jos Maria

Plano_10
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Interseo de dois planos

1= 1, 1, 1n2=(a2,b2,c2)

||||

.)cos(

21

21

nn

nn=

21211121. ccbbaann ++=
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Exerccios.

Exerccio 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xylocalizada a uma distancia c da origem de coordenadas.

Determine a equao deste plano.Exerccio 2.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)ao plano M com equao x+y+z=6

.-

M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,a) Determine o ngulo entre estes planosb) Determine a equao da reta proveniente da

interseo dos dois planos.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclid

eana.htm

Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana