Upload
diogo-sacramento
View
213
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
1/37
Funes vetoriais
I) Funes vetoriais a valores reais:
I = intervalo da reta real denominada domnio da funovetorial f = {conjunto de todos os valores possveis de t,para os quais todas as componentes esto definidas}
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t n21=
r
a
rnRRI:f
Imagem f : conjunto de vetores!assi particular:
"#emplo $: defina o domnio e a ima%em da funo vetorial a se%uir:
(t))f(t),f(t),(f(t)f t 321
3
=
r
a
rRRI:f
)()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II=
)1-tt),-ln(41),(sin(t(t)f t
3
++= r
a
r
RRI:f
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
2/37
)sin(t),-t-4
11,((t)f t 2
3
+=
t
RRI:f
ra
r
"#emplo &.- 'efina o domnio e a ima%em da funo vetorial a
(e%uir
esposta: 'om*f)={,+-pi,.pi/,+&pi,pi/,+0,pi/}
!urva espacial: dada uma funo vetorial
1al que f$*t), f&*t),fn*t) so funes reais continuas no domnio da
funo vetorial f "nto o conjunto V de pontos do espao .tais que#$ = f$*t), #& = f&*t),#. = f.*t),#n = fn*t)*2) 3e t variando no domnio de f 4 c5amado de curva espacial 6s
equaes *2) so denominadas equaes param4tricas deV
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t n21=
r
a
rnRRI:f
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
3/37
!urvas no espao tridimensional .
7uando uma partcula se movimenta no espao ., ela descreve
uma curva r(t) denominada trajet8ria
))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t
],[
321
3
tztytx
RbaI:r
==
=
a
Exemplo: seja a funo vetorial definida no espao R3
Esta funo define uma curva no espao R3, denominadade helicide.
)),sin(),cos(()( vttatatf =r
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
4/37
usando Maple> restart; #helicoide
> with(plots):> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box,labels=[x,y,z], thickness=2);
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
5/37
9ma curva plana 4 um conjunto r de pares ordenadosde reais * f*t), %*t) ), em que f*t) e %*t) so funesreais contnuas em um intervalo I
r =*#,;) curva no plano &
x = f(t) equao
I
t f
% restart; #cicloide
> with(plots):> v:=2:w:=1:R:=2:> plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi],scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]);
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci
cloide.htm
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
7/37
Funes vetoriais: representao grfica
Importante: A parametrizao define uma orientao na curva
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
8/37
>imite de funes vetoriais
'efinio: (ejam uma funo vetorial que defineuma curva no espao ., tal quer*t)=*#*t),;*t),?*t)) = #*t) i@ ;*t)j @ ?*t) k,
>o%o, di?emos que r tem limite L a medida que t seapro#ima a to e escrevemos assim:
)(trr
'esde que os limites das funes componentes e#istam
302010
3210
lz(t)lim,ly(t)lim,lx(t)lim
),l,l,(lLr(t)lim
===
==
tttttt
tt
=
|)(|||0
t0,0
,)(limO0tt
Ltrtt
tal que
sesomenteexiste seLtr
o
rr
rDefinio formal :
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
9/37
Exemplo 1 (eja a funo , demonstrar
que :
Exemplo ! (eja a funo ,demonstra que :
),1()( 2 tttr +=r
)0,1()(lim 0 == Ltrtrr
)1,,()( 2 += tettr tr
)1,1,0()(lim 0 == Ltrtrr
9ma funo vetorial r(t) serA contnua em um ponto t=t0, do seudomnio se
L,))(z),(y),((x)(rc)
existe)()
existeL(t)rlim)
0000
0
0
==
=
tttt
trb
a tt
r
r
r
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
10/37
Exemplo 2. Verifique se a funo vetorial abaixo contnua
Exemplo 1. Verifique se contnua em
ktjtittrrrr
r )cos()sin()( ++=
)(trr
4/=tContinuidade de funes vetoriais.
para .=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
11/37
'erivada de uma funo vetorial
'efinio: (eja uma funo vetorial, ela 4 derivAvel outem derivada, se as derivadas das componentes #*t),;*t),?*t)esto Bem definidas para todo t do domnio de
),dt
dz,
dt
dy,
dt
dx(
(t)r-)(trlim)(')(
0 =
+===
h
h
dt
rdtrtr t
rrrr&r
)(trv
)(trv
nterpreta o geom tr ca a er va a e umafuno vetorial&
(eja r(t) o vetor posio de uma partcula em
movimento no espao . 6 funo 4 avelocidade da partcula e 4 um vetor tan%ente Ctrajet8ria espacial descrita pela partcula *para cada
instante do tempo t)
)(tr&r
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
12/37
>
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
13/37
Regras de derivao
Seja u,v funes vetoriais de varivel real t; a e b sonmeros reais, e f(t),g(t) so funes reais de varivel real t.
,)()]([
.2
,
)()()]()([
.1
dt
tuda
dt
tuad
dt
tvd
dt
tud
dt
tvtud
=
+=
+
rr
rr
rrrr
vetorial
,)()())](([
.6
,)(
)()()()]()([
.5
,)(
)()()()]()([
.4
,)()(.3
produto
escalarproduto
dt
tdf
df
fud
dt
tfud
dt
tvd
tutvdt
tud
dt
tvtud
dt
tvdtutv
dt
tud
dt
tvtud
dttftvdtdt
=
+=
+=
+=
o
rr
rrr
rrr
r
orr
o
rro
r
r
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
14/37
"#erccios
Exerc'cio 1& 'etermine a velocidade v*t) e a acelerao a*t)de uma partcula que descreva a se%uinte curva *trajet8ria)r*t)=*&t, E.t&,.t@-)m
Exerc'cio ! (eja uma partcula pontual que se%ue umatrajet8ria dada pela curva, definida assim:
2: RI
Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vt(t)t: =
, , s o cons an es = , = , v = = a) 'etermine a posio, velocidade e acelerao no instantet=0s, e t=.H&B) 'etermine a equao da reta tan%ente a curva J noinstante t=.H&Exerc'cio 'emonstre a propriedade - e K da re%ra dederivao
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
15/37
Inte%ral de uma funo vetorial(eja f*t) =*#*t),;*t),?*t)) uma funo vetorial, definio:
se as componentes de f so inte%rAveis soBre I=+a,B/,ento
ktzjtyitxdttf
b
a
b
a
b
a
b
a
))(())(())(()( ++=
Ipartiodetn
abtttrdttr i
ni
i
in
b
a,,)(lim)(
1
== =
=
rr
"#emplo: !alcular a inte%ral da funof*t)= **cos* t))&, t.@&t@$),
"omprimento #e arco para curva% li%a%
7uando uma partcula percorre uma determinada1rajet8ria no espao, ela descreve uma curva, o comprimentodesta curva entre dois instantes dado t0 e t$ se denomina
comprimento de arco
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
16/37
Comprimento de arco 22 dydxdl +=
Definio: O comprimento L de uma curva lisar(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t [a,b]
dtdt
dz
dt
dy
dt
dxL
b
a
)()()( 222 ++=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
17/37
Comprimento de arcoSe
ento a formula do comprimento de arco fica
),,()(')( zyx vvvtrtrdt
rdv ====
r&rr
dttrdtvL
bb
|)('||| ==
Exemplo: Determine o comprimento de arcoda ciclide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi
0 & t
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
18/37
F9LMNO !OPo%o : O comprimento de arco de uma curva arBitrAria nodepende da parametri?ao
dt
dt
dsds=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
19/37
ds|||
)(
|
1
0
1
0 ==
st
t ds
rddt
dt
trdL
+, comprimento #e arco #e uma curva entre #oi% ponto%
invariante pela reparametri-ao.Exerc'cio%
1& estude a continuidade da funo vetorial
t = &t&sin t ,&&cos t no ponto t=&H! 'etermine o limite da funo vetorialf*t)=*&t.,-t&,.t@-) quando t se apro#ima a t0=$'o e#erccio anterior determine fQ*t) para todo t R qual 4 o Sn%ulo que forma o vetor f *t) como o vetor f*t) noinstante t-'etermine a funo comprimento de arco s*t) para acicl8ide do e#erccio &
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
20/37
TRAJETRIA DE UMA PARTCULA EM CAMPOSELTRICOS E MAGNTICOS
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
21/37
/ovimento #e uma part'cula no e%pao 0
a2emo% que 1T.T,||
===v
V
V
VT
0. =TTd Analisemos a velocidade de uma partcula
vTtV .)( = Derivando esta equao temos
ds
Td2vTaa t += Definamos : ||
ds
TdK=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
22/37
Curvatura K
N
ds
Td
ds
Td
ds
TdK
rrr
|||,| ==Sendo vetor unitrioN
r
0.temos0,T.T == TTd
derr
k
1=
, considerando o radio de curvatura
Finalmente N2
vTaa t +=
sLogo deve ser ortogonal a , seu vetor unitrio tambmds
Tdr
Tr
0. =NT
rr
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
23/37
Acelerao instantneaa
dt
dv
a T =Acelerao tangencial
va cpta =
Sempre orientada parte cncavaDa trajetria.
Suponhamos que : )(srr r= , definamos ds
rdr
=
),,(ds
dz
ds
dy
ds
dx=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
24/37
1)()()(|| 222 =++=dsdz
dsdy
dsdx
Logo rrT
2 rr
|ds||)(||| 2=== dsdsdsK
2
2
22
2
22
2
2
)()()(ds
zd
ds
yd
ds
xdK ++=
Logo, em forma explicita
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
25/37
Triedro de Frenet-Serret
TNB = Vetor binormal
Exerccios
1.- Provar que
2.- Provar que
3.- Provar que
1|| =B
v
Va
V
Vaa T
.
||
.==
3
||
v
aVk
=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
26/37
Exerccios.. Continua
4.- Em relao ciclide estudada no comeo
a) Determine o vetor T, N,B para a ciclide no instantet=3pi/2.b) Determine a acelerao tangencial e a acelerao
.
t=3pi/2c) Determine a curvatura k(t) para todo instante deTempo.c) Interprete seus resultados.5.- demonstre que no casso de uma circunfernciade radio a, a curvatura K em qualquer ponto dacircunferncia sempre a mesma e 1/a.
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
27/37
Exerccios.. Continua
6.- Seja uma partcula descrevendo uma helicider(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espao R3
a) Determine a velocidade e a acelerao instantneapara todo instante t.b) Determine o vetor unitrio tangente T, para todo
.
c) Determine a equao da reta tangente a helicide noInstante t=pi/4.d) Determine a funo comprimento de arco s(t) em
funo do tempo t.e) Determine a acelerao tangencial e a acelerao
centrpeta para todo instante t. Particularize parat=pi/4.
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
28/37
Exerccios.. Continua
f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htmhttp://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
29/37
Equao de um plano.
Seja um plano M imerso no espao euclidiano R3 onde
n um vetor perpendicular ao plano M, entoconhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence aoplano P, podemos determinar a equao algbrica queobedece todos os ontos x z do lano M.
Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano(ou todo vetor contido no plano), perpendicular aovetor normal n.
dado n=(a,b,c)
0. =PPn o (O produto escalar entre n e P0P nulo)
Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
30/37
Equao de um plano.
0=+++ dczbyax
Onde a constante d pode se achar avaliando a
equao em qualquer ponto que pertence ao plano.
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
31/37
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
32/37
r
C
Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) perpendicularao vector (n) normal ao plano
A
Jos Maria
Plano_08
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
33/37
D
Perpendicularidade entre rectas e planos
o vector director da recta (s) colinear
com o vector (n) normal ao plano
n
AC
Jos Maria
Plano_09
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
34/37
n
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p )so colineares
p
Jos Maria
Plano_10
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
35/37
n
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p )so colineares
p
Jos Maria
Plano_10
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
36/37
Interseo de dois planos
1= 1, 1, 1n2=(a2,b2,c2)
||||
.)cos(
21
21
nn
nn=
21211121. ccbbaann ++=
7/25/2019 funcoesvetorias.pdf
37/37
Exerccios.
Exerccio 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xylocalizada a uma distancia c da origem de coordenadas.
Determine a equao deste plano.Exerccio 2.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)ao plano M com equao x+y+z=6
.-
M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,a) Determine o ngulo entre estes planosb) Determine a equao da reta proveniente da
interseo dos dois planos.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclid
eana.htm
Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana