Geometria do txi

Comparao entre a distncia de Manhattan e a distncia Eucli-diana.

A Geometria do txi, considerada por Hermann Min-kowski no sculo XIX, uma forma de geometria em quea usual mtrica da geometria euclidiana substituda poruma nova mtrica em que a distncia entre dois pontos a soma das diferenas absolutas de suas coordenadas.Amtrica do txi tambm conhecida como distnciaL1, ou distncia de Manhattan, com variaes corres-pondentes no nome da geometria. O ltimo nome faz alu-so ao formato quadriculado da maior parte das ruas nailha de Manhattan. Tal congurao faz com que a me-nor distncia a ser percorrida por um carro que vai de umponto a outro na cidade tenha como valor aquele nmerofornecido pela mtrica L1.

1 Descrio formalA taxi-distncia entre dois pontos em um espao eucli-diano com sistema de coordenadas cartesianas xado asoma dos comprimentos das projees do segmento dereta que liga os pontos sobre os eixos coordenados. Porexemplo, no plano, a taxi-distancia entre o ponto P1 comcoordenadas (x1, y1) e o ponto P2 em (x2, y2) |x1 - x2|+ |y1 - y2|.A taxi-distncia depende da rotao do sistema de coor-denadas, mas no depende de sua reexo em torno deum eixo ou suas translaes. A geometria do taxi satis-faz todos os Axiomas de Hilbert exceto o axioma lado-

ngulo-lado, como se pode ver ao gerar dois tringulos,cada um com duas faces e um ngulo sendo o mesmo, eainda assim sem ser congruntes.Um circunferncia um conjunto de pontos com umadistncia xa, chamada de raio, at um ponto chamadocentro. Na geometria do txi, a distncia determinadapor uma mtrica diferente da Euclidiana geometria, ea forma das circunferncias tambm mudam. As txi-circunferncias so quadrados com os lados orientadossegundo um ngulo de 45 dos eixos coordenados. A ima-gem da direita exemplica porque isso verdade, mos-trando em vermelho o conjunto de todos os pontos comuma distncia xa de um centro, que aparece em azul.Conforme o tamanho das quadras de uma cidade dimi-nuem, os pontos tornam-se mais numerosos e vo for-mando um quadrado rotacionado em uma geometria dotxi contnua. Enquanto cada face deve ter comprimento2r usando uma mtrica Euclidiana, onde r o raio dacircunferncia, seu comprimento na geometria do txi 2r. Assim, o comprimento da circunferncia 8r. Aequao implcita que representa a taxi-circunfercia uni-tria |x| + |y| = 1 em coordenadas cartesianas e r = 1 /(|sin| + |cos|) em coordenadas polares.Uma circunferncia de raio r para a distncia deChebyshev (mtrica L) sobre o plano tambm umquadrado com lados medindo 2r, paralelos aos eixos co-ordenados, ento a distncia de Chebyshev planar podeser vista como equivalente por rotao e escalamento distncia do txi planar. No entanto, esta equivalnciaentre as mtricas L1 e L no se generaliza para dimen-ses maiores.Sempre que cada par em uma coleo dessas circunfe-rncias tem uma interseo no vazia, existe um pontode interseo para todos os elementos da coleo; ento,a distncia de Manhattan forma um espao mtrico inje-tivo.

2 Ver tambm

Distncia

Espao normado

Mtrica

1

2 3 REFERNCIAS GERAIS

Exemplos de circunferncias discretas e contnuas na geometriado taxi.

3 Referncias gerais

Barroso, M.M. A.Amatemtica na limpeza urbana:trajetria tima de um caminho de lixo. Caxambu,SBMAC, 1998.

Brandley, M., Square circles, Pentagon, Fall, 1970,p. 8-15.

Brisbin, Ruth and Paul Artola, Taxicab trigonome-try, Pi Mu Epsilon Journal, 8 (1985) 89-95.

Byrkit, R., Taxicab geometry: A Non-Euclidean ge-ometry of lattice points, Math. Teacher, 64 (1971)418-422.

Gardner, M., The Last Recreations, Springer-Verlag,1997. ISBN 9780387258270

Golland, L. Karl Menger and taxicab geometry,MathematicsMagazine, vol. 63, 1990. No. 5 (Dec.,1990), pp. 326-327 (o artigo consiste de 2 pginas).Mathematical Association of America.

Iny, David, Taxicab geometry: another look at conicsections, Pi Mu Epsilon Journal, 7 (1984) 645-647.

Krause, Eugene F. Taxicab Geometry: An Adven-ture in Non-Euclidean Geometry. Dover. New York,1986. ISBN 0-486-25202-7.

Laatsch, R., Pyramidal sections in taxicab geometry,Math. Magazine, 55 (1982) 205-212.

Lima, E. L. Espaos mtricos. Rio de Janeiro,IMPA, 2003. ISBN 8524401583

Martin, George Edward. The Foundations of Ge-ometry and the Non-Euclidean Plane, Intext, Edu-cational Publishers, NY. Springer: 1982. ISBN0387906940

Mertens, L., A fourth dimensional look into taxi-cab geometry, J. of Undergraduate Mathematics, 19(1987) 29-33.

Miranda, D. F. Geometria Txi, uma mtrica paraos espaos geogrcos e urbanos uma anlise explo-ratria. Dissertao de Mestrado em Tratamentoda Informao Espacial, Belo Horizonte, PUC-MG,1999.

Miranda, Dimas Felipe de. Barroso, Lenidas Con-ceio. Abreu, Joo Francisco de. GeometriaTaxi: Uma Geometria No Euclidiana Descompli-cada. 2005. III - EEMOP.

Moser, Joseph M. Kramer, Fred. Lines and para-bolas in taxicab geometry, Pi Mu Epsilon Journal, 7(1982) 441-448.

Reynolds, Barbara E. Taxicab geometry, Pi Mu Ep-silon Journal, 7 (1980) 77-88.

Schattschneider, D., The taxicab group, Amer.Math. Monthly, 91 (1984 423-428.

Sheid, F., Square circles, Math. Teacher 54 (1961)307-312.

3 Sowell, Katye O. Taxicab geometry: A new slant.Mathematics Magazine, 62 (1989) 238-248.

Wallen, L. J. Kepler, the taxicab metric and beyond;as isoperimetric primer. The College MathematicsJournal, vol. 26, no 3, 1995.

Wanderley, Augusto J. M. Carneiro, Jos Paulo Q.Wagner, Eduardo. Como Melhorar a Vida de umCasal Usando Geometria No-Euclidiana. Revistado Professor de Matemtica , nmero 50.

4 Ligaes externas Distncia de Manhattan - por Paul E. Black (em in-gls).

City Block Distance, por Kardi Teknomo city-block metric no PlanetMath Eric W. Weisstein, Taxicab Metric at MathWorld. Dicionrio de Algoritmos e estruturas de dadosNIST.

Taxicab Geometry Bibliography - Algumas refern-cias de possvel interesse.

4 5 FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENAS DE TEXTO E IMAGEM

5 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem5.1 Texto

Geometria do txi Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria%20do%20t%C3%A1xi?oldid=37414051 Contribuidores: Alexg, Lije-Bot, He7d3r, JAnDbot, TXiKiBoT, VolkovBot, SieBot, Luckas-bot, Rjbot, Alph Bot, EmausBot, KLBot2, pico e Annimo: 3

5.2 Imagens Ficheiro:Manhattan_distance.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Manhattan_distance.svg Licena: Pu-

blic domain Contribuidores: Created by User:Psychonaut with XFig Artista original: User:Psychonaut Ficheiro:TaxicabGeometryCircle.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/TaxicabGeometryCircle.svg Li-

cena: Public domain Contribuidores: Obra do prprio Artista original: Qef, based on public domain bitmapped image by Schaefer

5.3 Licena Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Descrio formal Ver tambm Referncias gerais Ligaes externas Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagemTextoImagensLicena