www.sinmec.ufsc.br
computational fluid dynamics lab
federal university of santa catarina
Métodos numéricos em escoamentos multifásicos
Emilio E. Paladino
Objetivos da aula
1. Entender as diferentes abordagens para a modelagem de
escoamentos multifásicos
2. Introduzir alguns conceitos fundamentais do método dos
Volumes Finitos, aplicado a escoamentos multifásicos
3. Entender os fundamentos dos acoplamentos físicos e
matemáticos entre as equações governantes, e como
resolvê-los
4. Introduzir os conceitos gerais dos algoritmos de captura de
interfaces e cálculo de curvatura
Os conceitos serão apresentados de forma introdutória,
para serem aprofundados em cursos ou leituras posteriores
Considerações Iniciais
• A ambição dos engenheiros e pesquisadores por
modelos cada vez mais sofisticados, cresce
proporcionalmente a capacidade dos computadores
• A “simulação direta” de escoamentos bifásicos tem
suscitado o interesse dos pesquisadores e, em alguns
casos, é utilizada para validar modelos baseados em
médias
• Entretanto, são estes últimos os mais utilizados ainda
hoje para problemas em aplicações industriais e,
portanto, abordaremos também a sua solução
Abordagens para escoamentos bifásicos
• Escala Domínio vs. Escala de interface
Modelos baseados
em medias
Captura de Interface
1
~ 1
I
D
I
D
d
D
d
D
Considerações Iniciais
• Simulação “direta”* vs. Modelo de dois fluidos
0.00%
0.05%
0.10%
0.15%
0.20%
0.25%
0.30%
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
R [m]
Fra
çã
o V
olu
mé
tric
a (
%)
Numerico (Presente Trabalho)
Agulha de prova (Serizawa (1975))
U
* Em geral, não inclui todas as escalas turbulentas
http://www.nd.edu/~gtryggvaFront cover of “Computational Methods for Multiphase Flow” Prosperetti -Tryggvasson
Equações Governantes
• Equações locais instantâneas
0i i it
U
ii i i i i it
U U U T f
( )ii i i i i ì i i iE Et
U q U T f U
Condições de contorno nas fronteiras do domínio e nas interfaces
Equações Governantes
• Condições na interface
IV
i I iVU n
iU
Fase i
Fase j
ii iT t n
jj iT t n
Interface in
i j F t t
I
ˆ2 In
j iq n
i iq n
ii
i
X
X
n
Tensão/
Energia Mecânica
Calor/
Difusão
Massa/
Convecção
iτ
1
0PN
i i I i
i
U V n 1
2PN
ii i i I i i i I
i
U U V n T n n F
1
PN
ii i i I i i i i i I
i
E
U V n q n T U n V F
Equações Governantes
• As “condições e salto” representam, matematicamente, as
condições e contorno na interface
• Para o caso de escoamentos de duas fases sem mudança
de fase, se reduzem a (fluidos newtonianos),
1 2 IV U U
2 12 1 2 12 2 2( ) ( )( )p p n D n n D n
2 12 12 2( ) ( ) I τ D n τ D n
2 1 2p p Eq. Laplace, para fluido estático
2 12 1
u u
y y
Ex. Escoamento estratificado
Bal. Normal
Bal. Tangencial
Equações Governantes
• Os balanços na interface somente podem ser
realizados em uma “fronteira do domínio de cálculo”
Na prática, a única abordagem que resolve as equações locais instantâneas, é utilizando malhas coincidentes com a interface (interface fitted grids)
Equações Governantes
• Modelo de dois fluidos
1 if fase
,0 em outro caso
i
iX t
rr0i
I i
XX
t
V
i i
i i i i i
i i i ii i i i i i i i i i
i i i i ii i i i i i i i i i I i
X Xt
X XX X
t t
X X XX X X
t t t
U
U U
U U V
Transporte convectivo Transporte convectivo apenas na fase i, através da interface
PORÉM definido para TODO o volume de controle
i i i
i i i i i i i I i
XX X
t
U U V
i i i i i iX X X F F F
Função indicadora de fase
Equações Governantes
• Modelo de dois fluidos
– Equações válidas em todo o domínio
i i i i i I i ijXt
U U V
ii i i i i i i i i i i i
ii i k i i i I i
X X X p X Xt
p X X X
U U U T f
T U U V
Note que o Xi é nulo em todo o domínio exceto na interface e, é normal a mesma
Xi=0
Xi=1
Volume de controle
Equações Governantes
• Decomposição de Reynolds e equações
médias
W
iX i
i
X
X
i iX i i
i i
X
X
i i i i i i i I i ijXt
U U V
( )T
i ii i i i i i i i i i i i
ii i k i i i I i
ji j ij ii
pt
p X X X
U U U T T f
T U U V
U UM
Aparecem como temos fonte!
Equações Governantes
• Modelo de dois Fluidos
i i i i i ij
jt
U
ieff T
i i i i i i i i i i i i
U
ij j i ji i ij i
j j
p St
C
UU U U U U
U U U U
i
i i i i i i i
eff
i i i i ij j i ji j ij i
t
D S C
U
Eq. de transporte genérica. Muito útil para implementação numérica!
Equações Governantes
• Modelo Homogêneo e captura de interfaces
1i
0i
0 1i
m jU U
m iU U
Fase i
Fase j
eff T
m m m m m m St
UU U U U U F
1 1 2 2 1 1 2 2;m m
Resolve as equações médias do escoamento!
Equações Governantes
• No modelo de dois Fluidos o desafio, do ponto de vista
numérico, é resolver o sistema de equações acoplado
– Acoplamentos físicos fortes implicam em acoplamentos
numéricos, que requerem tratamento especial, para preservar
a robustez do método
• A solução de problemas de interface de larga escala, ou
mesmo de pequena escala, na chamada “simulação direta”
implica, essencialmente, na solução de um problema
“monofásico”, porém, o desafio é a captura precisa da
posição da interface e reconstrução da forma da mesma
Fundamentos do MVF
• O Método dos Volumes Finitos
– Conservativo
• Fisicamente consistente com o tipo de problema resolvido
Eqs. de transporte
• Permite a verificação da conservatividade em qualquer malha
– Forte apelo físico
• Extremamente importante em problemas complexos como
escoamento multifasicos, uma vez que permite o incorporar
facilmente modelos de fechamento, sempre com base na
física do problema
Fundamentos do MVF
• Tipos de Malhas e Volumes de controle
Posição dos nós MAIS conectividades
Fonte: C.R. Maliska “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 2ª Ed., LTC, 2004.
Fundamentos do MVF
• Construção dos volumes de controle em métodos
vertex center
– Método das medianas
1234 - Elemento Quandrangular
235 - Elemento Triangular
Fonte: C.R. Maliska “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 2ª Ed., LTC, 2004.
piAD
P
pipi pi
L LA AD D
pi pi
G GA AD D
Fundamentos do MVF
• Integração da equação de conservação genérica, para uma
mistura bifásica em um volume finito qualquer
Área de passagem da fase “G”No Modelo de dois Fluidos é a área do escoamento MÉDIO
ˆi i i i i i i i i i ipip
piVC SC
dV dA m U U n
Fundamentos do MVF
• Para o transporte de i temos0
0 0 0
Fluxo Difusivo de Termo fonte apenas na fase atravessando a area da fase
ˆ
ˆ
|
| i
PiPi
i i iP i i iPi i i i pi
pi
i
eff
i i pi i
pi
ij jP i
i ii
MM
V VA
tm
A S V
C
D D D
D
D D
U n
n
Termo fonte proveniente da interaçao entre fases
P ji jP ij iPV VD D
Necessárias funções de interpolação
int 1...
int 1...
|
|
i pi i K N
i pi i K N
f
f
Válida para qualquer tipo de Volume Finito !
Fundamentos do MVF
• Precisamos agora, definir o método a ser utilizado para
identificar como serão realizadas as interpolações
• Consideraremos aqui o MVF baseado em elementos.
Algumas vantagens deste são:
– Conservativo (é um Método de Volumes Finitos!)
– Possibilidade de utilizar malhas não-estruturadas
Tratamento de geometrias complexas
– Facilidade para calcular gradientes e divergentes em
qualquer local, a partir dos valores nodais
Fundamentos do MVF
Nó
Elemento
s
t
Volume de Controle
x
x
Fluxos SVC1
SVC2SVC4
SVC3
s
t
Pontos de integração
3
4
2
1
3
4
2
1
s=1
s
t3
4
2
1
s=-1
t=-1
t=1
x
y
Considerando as coordenadas locais s e t, teremos uma transformação de coordenadas como,
( , )
( , )
s s x y
t t x y
assim,
( , )k K
k
N s t
1
2
3
4
1( , ) (1 )(1 )
4
1( , ) (1 )(1 )
4
1( , ) (1 )(1 )
4
1( , ) (1 )(1 )
4
N s t s t
N s t s t
N s t s t
N s t s t
Fundamentos do MVF
• A funções de forma, podem ser utilizadas para o
mapeamento( , ) X
( , ) Y
k k K
k
k k K
k
x N s t
y N s t
( , )
( , )
i ii K
k
i ii K
k
N s t
x x
N s t
y y
i i i
i i i
N N y N yJ
x s t t s
N N x N xJ
y t s s t
( , ) ( , )i k i K
k
s t N s t
Fundamentos do MVF
• A tendência atual é utilizar esquemas Skew
(orientados)
2
ip U O
D D
ip U
x
2
3
1
4
U
ip
J
U
J
x
ipU J
ip
2
CDS U Jip
UDS
ip U
CDS
ip
UDSip
É necessário avaliar,U : Ponderação pela massa ou funções de forma/ : Funções de forma
Forma geral utilizado na maioria dos esquemas
Fundamentos do MVF
• Interpolação dos termos convectivos
– Devem-se tomar cuidados especiais devido a sua natureza
parabólica
– Utilizar as funções de forma,
é equivalente a um esquema
de diferenças centradas
( , ) ( , )i k i K
k
s t N s t
W
E
x
XW
UDSip W
CDS
ip
UDSip
Xip XE
2
CDS E Wip
Fundamentos do MVF
• De forma geral, esquemas de 1ª ordem introduzem difusão
numérica, “espalhando” os gradientes, enquanto esquemas
de segunda ordem introduzem oscilações numéricas
• Assim, os esforços no desenvolvimento de esquemas de
interpolação têm sido no sentido de captura adequadamente
os gradientes, procurando limitar as oscilações
• É claro que ambos os efeitos têm origem nos erros de
interpolação refinando a malha tendem a diminuir
• Nos métodos de captura de interfaces baseados em
“funções de interpolação compressivas”, cuidados
maiores deve ser tomados
Fundamentos do MVF
• Substituindo as funções e interpolação, tem-se
00i i i i iP
P iP NB i NB P iP C iP iP
NB
ij jP iP ji jP ij iP
MA A S S V
t
C V V
D D
D D
Termo fonte linearizado. Depende apenas de i
Termo fonte referente a transferência interfacial. Depende de i e j
,[ ][ ] ji iB ANa forma matricial,
Sistema a ser resolvido de forma ITERATIVA
Acoplamentos e Solução do Sistema
• O que é um sistema acoplado (exemplo ODEs)
1 11 1
2 22 2
, ex. 2
, ex. 5
dy dyf y x xy
dx dx
dy dyf y x xy
dx dx
1 11 2 1 2
2 22 1 2 1
, , ex. 2
, , ex. 5
dy dyf y y x xy y
dx dx
dy dyf y y x xy y
dx dx
Desacoplado, as equações podem ser resolvidas independentemente
Acoplado, deve ser resolvido como um sistema
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Considerando as equações de transporte de para
um sistema bifásico (fases i e j)
i i iBase BaseP iP NB i NB ij jP iPA A C V B D
j j jBase Base
P jP NB j NB ji iP jPA A C V B D
Acoplamento Interfacial
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Considerando a solução implícita para a equação da fase i
– Os problemas de instabilidade surgem pelo fato da solução do sistema linear ser iterativa
– Em qualquer solver iterativo, ganha-se robustez aumentando Aii e diminuindo Bi
0 0
* * * *
[ ]
[ ][ ]
i i i
i
i
P P iP NB i NB
NB
iP iPC iP ij jP iP ji jP ij iP
j
iiA
A S A
MS V C V V
t
D D D
D
B
A
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Um primeiro passo, direto, seria,
• Não resolve a dependência de B com
0 0
* *
[ ( )]
[ ][ ]
i i i
i
i
P P ij ij iP NB i NB
NB
iP iPC iP ij jP ji jP
j
j
iiA
A S C A
MS V C V V
t
D D D
D
B
A
*[ ][ ] [ ]ji B A
*[ ][ ] [ ]ij B A
Iterações necessárias
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Uma solução seria resolver o sistema de equações
em forma acoplada
1 11
2 2 2
11 12 1
2 21 1
1 1
221 1 22 2
2 2
2 2
PP
NB NBKP
NB NB
NBK NBK
P PP NB NBK
NB NB
NBK NBK
BA A CA
B
B
C A A A B
B
B
INC NOS PN N N
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Partial Elimination Algorithm (PEA)
jij ji iBase BaseBase Base
P iP P jP NB i NB NB j NBA A A A B B
i i iBase BaseP iP NB i NB ij jP iPA A C V B D
j j jBase Base
P jP NB j NB ji iP jPA A C V B D
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Partial Elimination Algorithm (PEA)
* *
ji i i
j
j jii i
j
BaseijBase BaseiP i NBP P P NBBase
P
BaseijBase Basei NB j NBNB NBBase
P
ModifiP
Modifj
C VA A A A
A
A
C VB A B A B
A
B
D
D
* *
j j ji
i
jj ji i
i
Base Baseij BasejP j NBP P P NBBase
P
Base Baseij Basei NB j NBNB NBBase
P
ModifiP
Modifj
C VA A A A
A
A
C VB A B A B
A
B
D
D
Karema, H. & Lo, S., (1999), Efficiency of interphase coupling algorithms in fluidized bed conditions, Computers & Fluids, Vol. 28, pp 323-360
111
22 2
*11 11312
2 *22321 2
*1 2 3
P
P
NPNP NP
P P P PP
BasePN NB NBP
P BaseNP NB NB
BaseN N N P NB N NBN P
C A BCCD
CCC D A B
C C C D A B
Acoplamentos e Solução do Sistema
• SINCE – Generalização do PEA para N fases1 1 1
2 2
1 1 12 2 13 3 1
2 2 21 1 23 3 2
1 2 ( 1) ( 1)
P p
i
P P
N N NP P P
P P P P P P P P P
Base
P NB NB P P P N N P
Base
P NB NB P P N N P
Base
P N NB N NB N N P N N P N N N P
D A B C C C
D A B C C C
D A B C C C
1
P
i
i
NP Base
P ij
j
D A C
Tratamento implícito do acoplamento interfacial, porém explícito das contribuições dos volumes vizinhos
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Acoplamento entre a pressão e a velocidade
– O sistema a ser resolvido
0
0 0
ˆ |
PiP i
i i i ii i i pi ji ij
pi
i ip
MM
V VA
tm
D D D
D U n
i i iU Base U U BaseN UP iP NB i NB i ij jP iPA A p V C V B D D U U U U
0 0
* *
i i i
ii
U Base U U
P P P
UU Base iP iPC iP ji jP ij iP
j
A A S
MB S V V
t
D DD U
U U
Tratamento explícito devido a assimetria
Pressão compartilhada pelas fases
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Equações discretizadas e avanço das Incógnitas
0
0 0
ˆ |
PiP i
i i i ii i i pi ji ij
pi
i ip
MM
V VA
tm
D D D
D U n
1 1
0
1 1 21P
P P NB NB
MA A
t
D
1 1
1
1 1 1
12 2 1
U Base U NP P NB NB
U BaseUP P
A A p V
C V B
D
D
U U
U U
2 2
2
2 2 2
21 1 2
U Base U NP P NB NB
U BaseUP P
A A p V
C V B
D
D
U U
U U
2 2
0
2 2 12P
P P NB NB
MA A
t
D
1
2
1U
2U
?p
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Equações discretizadas e avanço das Incógnitas
– Conservação da massa “fase primaria”
– Conservação da massa da mistura (mais robusto (?))
1i
i
2
?p
0 0
ˆ 0|P P
P
iP iP iP iP
N N
i i i pi
N pi
V V
At
D D
D D
U n
1 1
0
1 1 21P
P P NB NB
MA A
t
D
Acoplamentos e Solução do Sistema
• A filosofia por trás dos métodos “pressure-based ”
(necessários em escoamentos com fraca
compressibilidade) é criar uma equação para a
pressão (ou correção da mesma), a partir da
equação da conservação da massa
• Como se assume que a pressão é a mesma para
todas as fases, abordagens similares são adotadas
para o caso multifásico
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Pressão e conservação da massa
– Consideremos um problema 1D
Wp
Pp
Ep
wu eu
Pp
0 e wu u U
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Equação para a correção da pressão
* * *
_______________________________________________________________
j i i
j i i
U Base U U BaseN UP iP NB i NB i ij jP iP
U Base U U BaseN UP iP NB i NB i ij jP iP
A A p V C V B
A A p V C V B
D D
D D
U U U U
U U U U
*1
j
NiP iP iU Base
P
p VA
DU U
*1
j
NiP iP iU Base U
P ij
p VA C
D
U U
Desprezando
*iNB i NB U U
ou,
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Equação para a correção da pressão
– Somando as equações da conservação da massa para
todas as fases,0 0
ˆ 0|P P
P
iP iP iP iP
N N
i i i pi
N pi
V V
At
D D
D D
U n
*
j
N NNodali i ip Uip ip
ip
VP P
A
D U U
* 01
P
p pP P NB NB iip P P
N pi
A p A p M Mt
D
U
Interpolação de Rhie-Chow
Pode ser expressa a partir das velocidade nodais
Função dos valores nodais
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Equação para a pressão
– Isola-se a velocidade da equação da QM
– Substituindo na conservação da massa global (uma
interpolação adequada deve ser considerada para obter as
velocidade no ips)
* *1i i
j
U U BaseN UiP NB i NB i i ij jPU Base U
P ij
A p V C V BA C
D D
U U U
01ˆ
P
p pP P NB NB i Nodal P P
N pi
A p A p M Mt
D
U
* *1ˆ i i
j
U U BaseUiP NB i NB ij jPU Base U
P ij
A C V BA C
D
U U U
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Algoritmo (IPSA, IPSA–C etc. )
1. A partir de um campo de pressões estimado, resolver a equação da conservação da
quantidade de movimento para todas as fases.
Neste ponto, deverá ser resolvido o acoplamento entre as fases, podendo ser em forma
explícita ou utilizando os métodos SINCE ou PEA
2. Resolver ou corrigir o campo de pressões da mistura, através de uma equação
criada a partir da equação da conservação da massa global.
3. Corrigir as velocidades a partir dos campos de pressão corrigidos
Corrigir as velocidades nas fases (interpolação de Rhie-Chow)
Ou calcular as pseudo-velocidade nas faces
4. Calcular os campos de fração volumétrica das fases. Retornar ao item 1 e iterar até
convergência
5. Resolver outros campos como temperaturas, concentração etc., com os respectivos
acoplamentos interfaciais
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Solução Acoplada
– Uma equação para a pressão é obtida, deixando as velocidades
ativas, na iteração atual
1 2
1 2
1 2
1 2 12 1 21 1
U Up pP P P P P P NB NB
U U U U MNB NB NB NB
A p A A A p
A A C C B
U U
U U U U
1 1 1
1
2 2 21
1 2
1 1
11 12
22 21
1 1
1 ...
2 ...
1 ...
U U UUpP NB U
U U UUUpP NB
U U p p pP P P NB
NBP
QM A A C A B
BQM C A A A
BpMT p A A A A
BM A A
UU
UU
Acoplamentos e Solução do Sistema
• Quando temos um sistema de equações diferenciais,
diferentes “níveis de implicitude” podem ser considerados
• A escolha dependerá da física do problema, que estará
refletida na magnitude relativa dos diferentes termos das
equações
• Em problemas de escoamento multifásico, teremos dois
acoplamentos importantes
– Pressão-velocidade (qualquer problema de escoamento)
– Interfacial
• O melhor tratamento é resolver todas as equações em um
único sistema, porém solvers robustos são necessários
(multigrid, por exemplo)
• Principais abordagens
Captura de Interfaces
Fasei
Fase j
Fase i
Fase j
Fase i
Fase j
Marcadores na interface
(Acompanhamento
Lagrangeano)
Malha adaptada a interface Marcadores ou
função indicadora no
volume (MAC, VOF)
• Marcadores Lagrangeanos na interface
– A posição da interface é acompanhada a partir de marcadores, considerando
que é advectada pela velocidade do fluido
– O escoamento é resolvido considerando um modelo “homogêneo”, isto é, um escoamento monofásico, onde as propriedades do “fluido” são avaliadas como,
Captura de Interfaces
0 |t t
I I It
r dtD
r U
( , ) (1 ( , ))i jI t I t r r
(Unverdi & Tryggvason(1992))
Captura de Interfaces
• É introduzida um espessura artificial na interface
2 m m m
m
I I D s
D r r n
x
I
r representa a posição onde é avaliado o gradiente, e rm
representa a posição do centróide do elemento da malha
superficial na interface. O somatório sobre todos os
elementos m indica que a função D é integrada
numericamente, ao longo de toda a interface.
Captura de Interfaces
• Métodos baseados em volumes
– Capturam a interface implicitamente a partir da posição dos fluidos
– Harlow e Welch (1965) MarkerAnd-Cell, MAC Primeira abordagem para
escoamento com superfície livre
VOF Versão Euleriana do MAC
MACPartículas sem massa são acompanhadas em um dos fluidos
Captura de Interfaces
• Volume of Fluid – VOF
– Consiste em resolver a equação
• Pode ter um termo fonte se houver transferência de massa
– A posição da interface é determinada implicitamente,
– Como já comentado, o problema está na função de interpolação
0ii i
t
U
x
i
x
i
(1 )i i i j
Captura de Interfaces
• A advecção da fração volumétrica nas faces dos VC
pode ser realizada a partir de duas abordagens:
– Métodos de reconstrução geométrica Avaliam o fluxo
volumétrico nas faces dos VC a partir de uma reconstrução
local da interface por formas simples (PLIC Linhas retas)
– Métodos compressivos Utilizam função de interpolação
“compressivas” para advecção da fração volumétrica
• Esquema do estêncil ao longo de uma linha de fluxo
Apud: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC
Captura de Interfaces
• VOF – Funções de interpolação
– Donnor-acceptor
• O fluxo de massa é
• Considerando disponibilidade
• E limitação do “downwind”
1min max , ,
fD Dpi A
f f f
C
C C C
i i i pi im u A D
Volume de fluido “f” que atravessa a face em Dt
f
u tC
x
DD
fase 1
(1 ) (1 ) fase 2
f f D D D
f f D D D
C V V
C V V
f A Porém limitado pela quantidade max. que pode ser fornecida por “D”, assim,
Fonte: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC
Captura de Interfaces
• VOF – Funções de interpolação
– Funções Normalizadas (NVFs)
– Considerando o volume a montante da célula “donor”, com
subindice “U”
– Toda fc. de interpolação pode ser enquadrada neste esquema. Ex:
U
A U
Captura de Interfaces
• VOF – Funções de interpolação
– Hyper-C
– O valor normalizado da fração volumétrica na fronteira é dado por,
– Esquema extremamente compressivo que resultara em um
“degrau” na fr. vol., para qualquer orientação da interface
(inclusive quando praticamente paralela a face do VC)
Captura de Interfaces
• VOF – Funções de interpolação
– CICSAM - Compressive Interface Capturing Scheme for
Arbitrary Meshes
– Combina “Ultimate QUICKEST”
que é um método “UPWIND de alta ordem” porém não
suficientemente “compressivo” para esta aplicação, com Hyper-C
para obter,
(1 )f f f HC f f UQ
Captura de Interfaces
• VOF – Funções de interpolação– CICSAM - Compressive Interface Capturing Scheme for
Arbitrary Meshes (Cont.)
onde df é o vetor que conecta os centros de D e A
– Ou seja, pondera pela direção local da interface em relação a face do VC
– Note que prevalece o Hyper-C enquanto a interface esta mais próxima da perpendicularidade com as faces
1
cos 2 1min ,1 , onde cos
2
f f D
f f
f D
f
f
d
d
(1 )f f f HC f f UQ
Captura de Interfaces
• Ex. 1 – Rotação de disco com fenda
Fonte: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC
Captura de Interfaces
• Ex. 2 – Gota sujeita a cisalhamento
Fonte: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC
Captura de Interfaces
• VOF – Reconstrução geométrica da interface
– Procuram recuperar a forma da interface, através de uma
reconstrução geométrica
Distribuição original PLIC (Young (1982)) FLAIR (Ashgriz & Poo (1992))
I n r ˆ ˆk kI i K K
k k
N N
x y
n i j
Por exemplo
In
Calculado a partir da quantidade de fluido no volume de controle
Pouca precisão! Em malhas cartesianas podem ser utilizado esquemas mais precisos. Grande dificuldade para malha não estruturadas
Captura de Interfaces
• Polígonos genéricos considerado para o cálculo de
Grande dificuldade em malha não estruturadas
Captura de Interfaces
• Fluxo de massa nas faces (ponto de integração) após a
reconstrução
Advecção por componentes. Precisa utilizar método “split”, para conservar massa
Advecção ao longo da linha de fluxoMAiorcomplexidade geometrica
Calculo da curvatura
• Em sistemas discretos é necessário distribuir esta força,
matematicamente definida sobre uma superfície, ao longo de
um volume
• No método Continum Surface Force – CSF, a força de tensão
superficial pode ser calculada como,
• Melhoras são necessárias, principalmente, em função da
aparição de “correntes parasíticas”
σf n
nonde,
Calculo da curvatura
• A curvatura pode ser avaliada através de,
– Métodos de diferenciação direta, ex. utilizando o teorema da
divergência no contexto do MVF,
ou outros métodos de diferenças finitas (ex. aprox. calculadas no
PLIC)
– Aproximação por mínimos quadrados
Função a ser minimizada
Calculo da curvatura
• Convolução
– Pode ser aplicada juntamente com qualquer método
– Procura “suavizar” de forma controlada os gradientes, de
forma a
Calculo da curvatura
• Propriedades do Kernel de convolução
1. O kernel deve possuir Ω finito;
2. O kernel deve decrescer monoticamente a medida que se
distância de seu centro de aplicação;
3. O kernel deve ser suave e três vezes continuamente
diferençável;
4. O kernel deve colapsar a uma função do tipo Delta Dirac a
medida que Ω 0.
Calculo da curvatura
• Efeito da convolução no campo de fração volumétrica,
para diferentes comprimentos de convolução
Fonte: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC
Calculo da curvatura
• Efeito do Kernel e do comprimento de convolução no erro da
curvatura e nas correntes parasíticas, utilizando o método
CELESTE (Denner (2013))
Fonte: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC
Captura de Interfaces
• Level-set– Resolve-se uma equação de
transporte para uma função “distancia até a interface”
– A função Heaviside é usada para avaliar as propriedades da “mistura”
– Não é conservativo, pois não é variável transportada
0mt
U
( , ) 1 ( , )i jH t H t r r
x
H
Abordagem Lagrangeana
• Partículas dispersas são acompanhadas nas suas trajetórias
• Do ponto de vista da solução numérica, termos fonte importantes
aparecem na equação para fase continua, quando o acoplamento é
de duas vias, que devem ser adequadamente tratados
2
3
1
4 rP
01P D P P
P
tm
D U M U
0t t
P P Pt
r dtD
r U
Abordagem Lagrangeana
• Abordagem Lagrangeana
– Acompanha as trajetórias das partículas
– Principal aplicação em sistemas gás líquido é sprays e aerosóis
PU
ContU
PF
pm
zy
x
Pr
21
8
PP D C D c D D
dm d C U U U U
dt
UM
Em acoplamento de duas vias, MD entrará como um termo fonte nas equações de conservação da fase contínua
P DD P C P L
dT dmm c d Nu T T h
dt dt
Comentários Finais
• MVF Baseado em balanços de propriedades transportadas, neste
caso, para um sistema bifásico
• Acoplamentos importantes
– Pressão-Velocidade
– Interfacial Modelo de dois fluidos
– Podem se tratados com diferentes “níveis de implicitude”, dependendo da física
do fenômeno
• Acompanhamento de interfaces
– Diferentes abordagens (Lagrangeanas / Eulerianas)
– Importância da função de interpolação, na captura implícita (VOF, Level-set)
– Métodos de reconstrução de interfaces podem ser de implementação
complicada em malhas não estruturadas
– Calculo da curvatura: Convolução necessária. Métodos dos mínimos
quadrados tem sido bem sucedidos.