Modelagem de Escoamentos Multifásicos Prof. Fernando de A. França Depto. de Engenharia de Petróleo, sala CE 302

INTRODUÇÃO

Falar sobre engenharia de petróleo, especificamente o que se refere à produção e

transporte de óleo e gás, é falar, muitas vezes, sobre escoamentos multifásicos. Quando se

produz óleo de um poço de petróleo, quase sempre esta produção é bifásica, pois as frações

mais leves de hidrocarbonetos ou já se dissociaram (gás livre) ou se dissociarão à medida

em que o óleo escoa através do poço e sua pressão diminui. O mesmo pode-se dizer da

produção de gás: há frações pesadas de hidrocarbonetos que se mantêm na fase líquida, ou

se liquefazem à medida em que a temperatura do gás produzido se reduz ao escoar através

do poço, ou ainda se condensam à medida em que há uma redução de pressão no sistema.

Para complicar mais ainda, o que a natureza nos dá é efetivamente um escoamento

multifásico, pois é usual que poços de óleo e gás produzam água e, em certa medida,

também areia proveniente da formação rochosa.

Neste curso estaremos concentrados no estudo de fenômenos e processos nos quais o

escoamento bifásico é dominante na produção de óleo e gás (isto é, os efeitos dominantes

são, via de regra, ditados pelo escoamento bifásico gás-líquido). Ele, por sí só, já é muito

mais complicado que o escoamento monofásico de líquido ou gás, e prescindiremos da

“mãozinha” complicadora da Mãe Natureza, isto é, a presença de mais que duas fases no

escoamento. Entretanto, é importante ressaltar que a abordagem do Modelo de Dois Fluidos

é genérica, e pode ser ampliada para escoamentos bifásicos gás-sólido, líquido-sólidos,

desde que equações constitutivas apropriadas sejam utilizadas, e mesmo para escoamento

multifásicos, isto é, três ou mais fases, desde que certos procedimentos de dedução sejam

aplicados de forma mais genérica.

Escoamentos simultâneos de gás e líquido - escoamentos bifásicos gás-líquido - estão

presentes não somente na produção de petróleo, mas em inúmeros processos de interesse da

engenharia. Pode-se citar:

- produção e transporte de óleo e gás na indústria do petróleo;

- torres de extração de líquidos, destiladores e outros processos da indústria química;

- escoamentos em equipamentos de refrigeração (condensadores, evaporadores,

torres de resfriamento);

- misturadores siderúrgicos ( um gá inerte, argônio, por exemplo, usado para misturar

componentes e o líquido, o aço fundente);

- bombeio de água por processo de elevação por ar ("gas-lift pump");

- escoamentos em plantas de potência;

- escoamentos em reatores nucleares em situação de emergência, entre outros.

O escoamento multifásico é um fenômeno cuja análise é mais complexa que a

aplicada ao escoamento monofásico, quando processos correlatos são analisados. Os

motivos são variados:

1- Inicialmente, a presença de mais de uma fase no escoamento, exigindo um número

adicional de equações para o fechamento ("closure") dos modelos matemáticos que

expressam o fenômeno físico;

2- No escoamento multifásico geralmente há uma distribuição espacial das fases, a

qual não é conhecida "a-priori". Ademais, a distribuição espacial das fases não deixa de ser

um fenômeno de difícil quantificação. Em muitos casos a interface gás-líquido que separa

as fases tem forma complicada, além de apresentar movimento aleatório;

3- Ademais, há mudanças de padrões de escoamento (a distribuição espacial das fases

determina padrões de escoamento) que dependem de características físicas e operacionais

do sistema. Estes padrões (algumas vezes também denominados de "regimes do

escoamento bifásico”) por sua vez alteram e/ou determinam os fenômenos de transferência

interfacial, isto é, os processos de transferência de massa, de quantidade de movimento e

energia entre as fases;

4- E, mais, na medida em que há grande influência do escoamento de cada uma das

fases no escoamento da outra, a realidade mostra que as variáveis locais (referentes a uma

posição espacial) de cada fase, como a velocidade, a pressão, etc, podem flutuar no tempo

com amplitude considerável. Consequentemente, definir, ou calcular ou mesmo medir o

valor médio de uma variável em escoamento bifásico, requer procedimentos mais

complexos que aqueles aplicados às variáveis de escoamentos monofásicos

A título introdutório, vou formular, em procedimento muito simplificado, as equações de

Conservação da Massa e da Quantidade de Movimento para ambos, o escoamento

monofásico e o escoamento bifásico, para ilustrar os três primeiros aspectos mencionados.

As Equações Básicas e o Escoamento de Duas Fases

Seja um escoamento monofásico (gás ou líquido) ou bifásico (gás + líquido), em uma

tubulação genérica, como representado na figuras seguinte. Considere a aplicação das

Equações de Conservação da Massa e Conservação da Quantidade de Movimento

("Momentum") a um volume de controle delimitado pelas seções transversais 1 e 2 e pela

parede interna da tubulação.

A- Conservação da Massa

Sejam VL e VG as velocidades dos escoamentos de líquido e gás nesta tubulação

(quando o escoamento monofásico for considerado, só uma das fases existe). Sejam ρL e ρG

as densidades das fases, tidas como substâncias isotrópicas em A, a área da seção

transversal, e A1 e A2 as áreas de entrada e saída, respectivamente. Nossa análise

simplificada será realizada para escoamentos unidimensionais, apesar de haver uma

distribuição das velocidades locais nas seções de entrada e saída, 1 e 2, veja figura seguinte.

As equações para o escoamento unidimensional monofásico e bifásico serão escritas:

1 - Escoamento monofásico

=⊄=== ρρ AVAV 2221 11W massa de fluxo &

1

2

z

z'

β

φ

1

2

VG

VL

VG

VL

onde ξ é o símbolo que indica o valor médio da propriedade genérica ξξξξ na seção

transversal ao escoamento.

Solução: conhecidos ρ, A1 e A2, mede-se W& e obtém-se-se as velocidades do

escoamento monofásico (líquido, no caso) em 1 e 2, V1 e V2 . Para que se recupere a

informação sobre a distribuição da velocidade na seção transversal, é necessário o

conhecimento da sua função de distribuição (parabólica, para escoamento laminar, ou perfil

de potência 1/7, para o escoamento turbulento).

2 - Escoamento bifásico (gás + líquido), sem transferência de massa

( ) ( ) =⊄=== ρρ AVAVW LLLLLL 21L líquido de massa de fluxo &

( ) ( ) =⊄=== ρρ AVAVW GGGGGG 21G gás de massa de fluxo &

onde AG e AL são as áreas ocupadas pelo gás e pelo líquido na seção tranversal,

respectivamente, e VG e VL são as velocidades médias do gás e do líquido na seção

transversal ao escoamento, obtidas de

∫==

dAA

1VV kL,Gk

Relação entre as áreas: se AG é uma fração da área transversal da tubulação, A, pode-

se escrever:

AAG α= , e ( )A1AL α−= ,

sendo a variável αααα denominada de "fração de vazio".

As equações para o líquido e o gás podem ser reescritas como

( )[ ]α−ρ= 1AVW LL 1L&

[ ]αρ= AVW GG 1G&

Solução: conhecidos ρL, ρG e A, e medidos WL& e WG

& , teremos duas equações e

três incógnitas: V 1G , V 1L e αααα1. O mesmo procedimento é aplicado à seção transversal 2.

Note, mais ainda, que para recuperar os valores locais das velocidades, e não somente os

valores médios, as respectivas funções de distribuição deverão ser conhecidas.

Temos então as seguintes possibilidades para resolver o escoamento,

matematicamente representado pelo sistema de equações:

1 – fazer, a priori, VV 1L1G = (razão de deslizamento - "slip ratio" -, unitário

1/ VV 1L1G = ), característica do que se denomina de “escoamento homogêneo”. Se tal

modelo é assumido, pode-se escrever:

( ) ( )

α

α

ρ

ρ

α

α

ρ

ρ −=

−=

1

1

G

L

1

1

1G

1L

G

L

G

L 11

V

V

W

W

&

&

Obtém-se então uma solução para α1, V 1G e V 1L . Os escoamentos que têm o "slip

ratio" unitário geralmente são idealizações e não acontecem na realidade. Veja o que ocorre

em um copo de cerveja, logo após você enchê-lo: o gás dissolvido na solução aquosa (e

alcoólica) de malte, de uma forma quase homogênea em relação à cerveja (líquido)

dissocia-se e sobe através do meio líquido. Observe que quanto menores são as bolhas,

menor é a sua velocidade de ascenção. Bolhas maiores sobem mais rápido. Se o líquido

também estivesse em escoamento, as bolhas também estariam se deslocando em relação ao

líquido da mesma forma: as menores com menor velocidade relativa, as maiores com maior

velocidade relativa. Assim, o escoamento de cerveja (e de muitas e muitas outras

combinações de fluidos em inúmeros sistemas práticos) não pode ser considerado um

escoamento verdadeiramente homogêneo (as bolhas podem se formar homogeneamente

distribuídas em relação à cerveja, mas a velocidade das fases não é a mesma, e isso tira uma

das características de homogeneidade do meio bifásico, que requer a distribuição espacial

uniforme das fases e homogeneidade do campo de velocidade das fases). De fato, a razão de

deslizamento é uma função complexa de inúmeras variáveis, como dimensões e

características geométricas do sistema (diâmetro da tubulação onde ocorre o escoamento,

sua inclinação com a horizontal, etc), características operacionais (velocidade e pressão do

escoamento, forma de dispersão de uma fase na outra), propriedades dos fluidos, e mesmo

da fração de vazio αααα e da distribuição espacial das fases.

2 - ( )xn,...,4x,3x,2x,1xf/ VV LG = , isto é, o “slip ratio” é uma função complexa de

grande número de variáveis, função esta a determinar (experimentalmente, analiticamente,

etc).

B - Conservação da Quantidade de Movimento

Forças superficiais atuando no VC, vetores velocidade e campo gravitacional

1 - Escoamento Monofásico

Forças provenientes da ação de:

Pressão:

∆

∂

∂

∆

∂

∂+−

∆

∂

∂+− z

z

Az

z

pz

z

ppApAp 11111

Cisalhamento:

- φ∆πτ coszDHW

Gravidade:

β∆πρ− zsen4

gD

2H

Assim, a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento é escrita em termos

diferenciais (usando a Equação de Conservação da Massa, dividindo todos os termos por

A∆z, e fazendo ∆z→0):

z

A

z

V

A

Wsengcos

4

z

p

A

pC

D 1

1V

H

W

∂

∂+

∂

∂+βρ+φ=

∂

∂−

τ &

p1

p2=p1+(dp/dz)dzττττw

V1

V2

ττττw

g

z

z'

g

∆∆∆∆z

Na equação anterior DH é o diâmetro hidráulico da tubulação, o ângulo φφφφ determina a

forma da tubulação, o ângulo ββββ é a inclinação do eixo de simetria da tubulação em relação à

horizontal, CV é o coeficiente de distribuição davelocidade, o qual leva em conta sua

distribuição na seção tranversal do escoamento e V é a velocidade média do escoamento

nesta seção transversal. O coeficiente de distribuição da velocidade surge quando se faz a

média dos termos da equação na seção tranversal, para determinar a equação

unidimensional: como a média do produto da velocidade em ∫ ρA

VVdAA

1 não é igual ao

produto de valores médios, Vρ V , surge o coeficiente de distribuição:

AVV

VVdAC A

V ρρ= ∫

Os termos que constituem a perda de carga total, zp

∂∂

são, respectivamente, a perda

de carga por atrito, a perda de carga gravitacional, a perda de carga por aceleração e, neste

caso particular, a perda de carga pela variação da área transversal da tubulação (o último

termo à direita do sinal de igualdade). A solução para esta equação é obtida recorrendo-se à

equação da conservação da massa. Por exemplo, neste caso de A variável, se o fluido é

incompressível podemos escrever

0z

AV

z

VA =

∂

∂+

∂

∂

Se o fluxo de massa e a geometria da tubulação são conhecidos, pode-se calcular

dV/dz. No caso do escoamento de um fluido compressível, necessita-se de uma equação de

estado adicional. Ainda, é necessária uma equação constitutiva para τW. Assim, seja

V2

W2

1f ρ=τ

Onde o f é obtido de correlação (diagrama de Moddy, p. exemplo, ou a correlação de

Blasius para tubo liso, etc).

Desta forma chega-se à solução de zp

∂∂

, dados W, ρ, A, g, φ, θ e a função

distribuição da velocidade na seção transversal do escoamento (e uma equação de estado ρ

= ρ(p,T) e também a temperatura T se o fluido é compressível). Da mesma forma como

fizemos anteriormente, pode-se assumir um modelo: por exemplo: distribuição uniforme da

velocidade na seção transversal, o que implica em CV = 1, fluido incompressível, etc, etc.

2 - Escoamento bifásico

Uma solução simplificada seria dada por

( ) ( )( ) ( ) ( )VWVWVWVWpp G GL L 1G GL L 2LzW21ZsengA1ZDA &&&& ++ρρτ −=θ∆α−+α−∆π−−

onde considerou-se que as pressões e velocidades são são uniformes nas seções 1 e 2 (note

então que não teremos o termo de covariância Cv no termo de aceleração). Ademais, que a

tubulação tem diâmetro constante (φ=0), que as fases também estão uniformemente

distribuídas na seção transversal, e que τW é a tensão cisalhante na parede que resulta do

escoamento da mistura bifásica. Em termos diferenciais chega-se a:

( )( ) ( )( )

α+

α−∂

∂+θ∆α−+α+=

∂

∂−

ρρ

−

+ρρ

τ

G

2

L

2GL

2

LGW xx1

A

WW1z

senZgA1D

4

z

p &&

sendo o título, x, definido por

WW

WW

LG

GG

Wx

&&

&&&

& +==

Notar que a solução para a perda de carga desta equação já razoavelmente

simplificada, quando comparada com a de um escoamento monofásico, é muito mais

complicada. Observe o termo da aceleração. No caso geral, o processo de transferência de

massa entre as fases deve ser conhecido, isto é, necessita-se de uma equação constitutiva

para expressar a variação do título com a posição. Há a necessidade ainda de uma equação

para a fração de vazio e de uma equação de estado para a densidade. Seja agora um caso

simples: não há mudança de fase no escoamento (x=⊄), o gás pode ser considerado como

incompressível e o escoamento está desenvolvido (α=⊄). O termo de aceleração se anula e

a solução de

∂

dzp

depende de equações para τW e α.

Suponha que τW possa ser calculada por equação similar à utilizada em escoamentos

monofásicos. O problema se transfere então para a determinação do fator de atrito f e da

pressão dinâmina (1/2ρV2). Referem-se a uma das fases em escoamento ou à mistura? Sob

que condições operacionais e configurações físicas do sistema? E a fração de vazio, α?

Suponha que a distribuição espacial das fases seja tal, etc, etc...

De uma maneira geral, o efeito físico resultante de um escoamento bifásico, quando

comparado a um escoamento monofásico operacionalmente similar, é o incremento dos

processos de transferência. E isto se reflete nos modelos matemáticos através dos termos

mais complexos nas equações de conservação de massa, quantidade de movimento e

energia. As figuras abaixo são ilustrativas destes efeitos.

Na Figura 1, é positiva a variação da taxa de incremento do coeficiente de

transferência de massa, para uma dada variação do número de Reynolds do gás, à medida

em que adiciona-se líquido ao escoamento (aumento do número de Reynolds do líquido).

Na figura seguinte é claro o aumento do gradiente total de pressão (atrito mais

gravitacional mais aceleração) à medida em que o conteúdo de gás aumenta no escoamento,

para uma dada vazão de líquido, ou vice-versa (implicando, inclusive, na mudança de

padrão de escoamento). Evidentemente, há um claro aumento no gradiente de pressão em

relação ao de um escoamento monofásico.

A última figura ilustra um processo de transferência de calor em um escoamento

vertical ascendente de ar e água, em termos do coeficiente de película bifásico, htp, versus a

razão entre as vazões volumétricas de ar e água, jg/jl. Neste caso, a menos de uma pequena

faixa de condições operacionais nas menores vazões de líquido, o coeficiente de película

cresce à medida em que aumenta a concentração volumétrica de ar no escoamento. Também

aquí observa-se a diferença entre os coeficientes associados aos vários padrões de

escoamento vertical ascendente.

Coeficiente de transferência de massa (escala relativa) de um escoamento bifásico gás-

líquido gas versus número de Reynolds do gás, tendo como parâmetro o número de

Reynolds do líquido, de Kafesjian, 1961.

Gradiente de pressão versus vazão de ar, tendo a vazão de água como parâmetro, em um

escoamento horizontal, do livro de Gouvier e Aziz, Flow Of Complex Mixtures in Pipes

(veja a lista de referências)

Transferência de calor em escoamento vertical ascendente de ar e água,

do livro do Collier, Convective Boiling and Condensation (veja a lista de referências).

Sugestão de exercícios:

1- Formular a Equação de Conservação Unidimensional da Quantidade de

Movimento do escoamento bifásico, passo a passo, preservando as complexidades inerentes

ao fato de que a tubulação pode ser genérica, com área de seção transversal crescente, que a

velocidade das fases tem uma distribuição na seção transversal, que as fases podem não ser

uniformemente distribuídas na seção transversal e que as pressões do líquido e do gás

podem ser diferentes.

2- Utilizando o gráfico do gradiente de pressão total retirado do livro de Gouvier e

Aziz, calcular o gradiente de pressão por atrito em um escoamento de água e ar horizontal

que tem por velocidades superficiais do líquido e do gás: jL = 0,3 ft/sec e jG = 3,0 ft/sec

(G&A usam VSL VSG para nomear a velocidade superficial de líquido e gás,

respectivamente).

Desprezar o gradiente de pressão por aceleração. Lembrar que a velocidade superficial, jk, é

a vazão da fase (k = L ou G) dividida pela área da seção transversal da tubulação. O diâmetro

da tubulação está dado na legenda do gráfico, 1,026 inch pipe.