Métodos numéricos em escoamentos multifásicos - ABCMeventos.abcm.org.br/jem2017/content/uploads/2017/03/apres_EBEM... · • No modelo de dois Fluidos o desafio, do ponto de vista

www.sinmec.ufsc.br

computational fluid dynamics lab

federal university of santa catarina

Métodos numéricos em escoamentos multifásicos

Emilio E. Paladino

Objetivos da aula

1. Entender as diferentes abordagens para a modelagem de

escoamentos multifásicos

2. Introduzir alguns conceitos fundamentais do método dos

Volumes Finitos, aplicado a escoamentos multifásicos

3. Entender os fundamentos dos acoplamentos físicos e

matemáticos entre as equações governantes, e como

resolvê-los

4. Introduzir os conceitos gerais dos algoritmos de captura de

interfaces e cálculo de curvatura

Os conceitos serão apresentados de forma introdutória,

para serem aprofundados em cursos ou leituras posteriores

Considerações Iniciais

• A ambição dos engenheiros e pesquisadores por

modelos cada vez mais sofisticados, cresce

proporcionalmente a capacidade dos computadores

• A “simulação direta” de escoamentos bifásicos tem

suscitado o interesse dos pesquisadores e, em alguns

casos, é utilizada para validar modelos baseados em

médias

• Entretanto, são estes últimos os mais utilizados ainda

hoje para problemas em aplicações industriais e,

portanto, abordaremos também a sua solução

Abordagens para escoamentos bifásicos

• Escala Domínio vs. Escala de interface

Modelos baseados

em medias

Captura de Interface

1

~ 1

I

D

I

D

d

D

d

D

Considerações Iniciais

• Simulação “direta”* vs. Modelo de dois fluidos

0.00%

0.05%

0.10%

0.15%

0.20%

0.25%

0.30%

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

R [m]

Fra

çã

o V

olu

mé

tric

a (

%)

Numerico (Presente Trabalho)

Agulha de prova (Serizawa (1975))

U

* Em geral, não inclui todas as escalas turbulentas

http://www.nd.edu/~gtryggvaFront cover of “Computational Methods for Multiphase Flow” Prosperetti -Tryggvasson

http://www.nd.edu/~gtryggva

Equações Governantes

• Equações locais instantâneas

0i i it

U

ii i i i i it

U U U T f

( )ii i i i i ì i i iE Et

U q U T f U

Condições de contorno nas fronteiras do domínio e nas interfaces


• Condições na interface

IV

i I iVU n

iU

Fase i

Fase j

ii iT t n

jj iT t n

Interface in

i j F t t

I

ˆ2 In

j iq n

i iq n

ii

i

X

X

n

Tensão/

Energia Mecânica

Calor/

Difusão

Massa/

Convecção

iτ

1

0PN

i i I i

i

U V n 1

2PN

ii i i I i i i I

i

U U V n T n n F

1

PN

ii i i I i i i i i I

i

E

U V n q n T U n V F


• As “condições e salto” representam, matematicamente, as

condições e contorno na interface

• Para o caso de escoamentos de duas fases sem mudança

de fase, se reduzem a (fluidos newtonianos),

1 2 IV U U

2 12 1 2 12 2 2( ) ( )( )p p n D n n D n

2 12 12 2( ) ( ) I τ D n τ D n

2 1 2p p Eq. Laplace, para fluido estático

2 12 1

u u

y y

Ex. Escoamento estratificado

Bal. Normal

Bal. Tangencial


• Os balanços na interface somente podem ser

realizados em uma “fronteira do domínio de cálculo”

Na prática, a única abordagem que resolve as equações locais instantâneas, é utilizando malhas coincidentes com a interface (interface fitted grids)


• Modelo de dois fluidos

1 if fase

,0 em outro caso

i

iX t

rr0i

I i

XX

t

V

i i

i i i i i

i i i ii i i i i i i i i i

i i i i ii i i i i i i i i i I i

X Xt

X XX X

t t

X X XX X X

t t t

U

U U

U U V

Transporte convectivo Transporte convectivo apenas na fase i, através da interface

PORÉM definido para TODO o volume de controle

i i i

i i i i i i i I i

XX X

t

U U V

i i i i i iX X X F F F

Função indicadora de fase


• Modelo de dois fluidos

– Equações válidas em todo o domínio

i i i i i I i ijXt

U U V

ii i i i i i i i i i i i

ii i k i i i I i

X X X p X Xt

p X X X

U U U T f

T U U V

Note que o Xi é nulo em todo o domínio exceto na interface e, é normal a mesma

Xi=0

Xi=1

Volume de controle


• Decomposição de Reynolds e equações

médias

W

iX i

i

X

X

i iX i i

i i

X

X

i i i i i i i I i ijXt

U U V

( )T

i ii i i i i i i i i i i i

ii i k i i i I i

ji j ij ii

pt

p X X X

U U U T T f

T U U V

U UM

Aparecem como temos fonte!


• Modelo de dois Fluidos

i i i i i ij

jt

U

ieff T

i i i i i i i i i i i i

U

ij j i ji i ij i

j j

p St

C

UU U U U U

U U U U

i

i i i i i i i

eff

i i i i ij j i ji j ij i

t

D S C

U

Eq. de transporte genérica. Muito útil para implementação numérica!


• Modelo Homogêneo e captura de interfaces

1i

0i

0 1i

m jU U

m iU U

Fase i

Fase j

eff T

m m m m m m St

UU U U U U F

1 1 2 2 1 1 2 2;m m

Resolve as equações médias do escoamento!


• No modelo de dois Fluidos o desafio, do ponto de vista

numérico, é resolver o sistema de equações acoplado

– Acoplamentos físicos fortes implicam em acoplamentos

numéricos, que requerem tratamento especial, para preservar

a robustez do método

• A solução de problemas de interface de larga escala, ou

mesmo de pequena escala, na chamada “simulação direta”

implica, essencialmente, na solução de um problema

“monofásico”, porém, o desafio é a captura precisa da

posição da interface e reconstrução da forma da mesma

Fundamentos do MVF

• O Método dos Volumes Finitos

– Conservativo

• Fisicamente consistente com o tipo de problema resolvido

Eqs. de transporte

• Permite a verificação da conservatividade em qualquer malha

– Forte apelo físico

• Extremamente importante em problemas complexos como

escoamento multifasicos, uma vez que permite o incorporar

facilmente modelos de fechamento, sempre com base na

física do problema

Fundamentos do MVF

• Tipos de Malhas e Volumes de controle

Posição dos nós MAIS conectividades

Fonte: C.R. Maliska “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 2ª Ed., LTC, 2004.

Fundamentos do MVF

• Construção dos volumes de controle em métodos

vertex center

– Método das medianas

1234 - Elemento Quandrangular

235 - Elemento Triangular

Fonte: C.R. Maliska “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 2ª Ed., LTC, 2004.

piAD

P

pipi pi

L LA AD D

pi pi

G GA AD D

Fundamentos do MVF

• Integração da equação de conservação genérica, para uma

mistura bifásica em um volume finito qualquer

Área de passagem da fase “G”No Modelo de dois Fluidos é a área do escoamento MÉDIO

ˆi i i i i i i i i i ipip

piVC SC

dV dA m U U n

Fundamentos do MVF

• Para o transporte de i temos0

0 0 0

Fluxo Difusivo de Termo fonte apenas na fase atravessando a area da fase

ˆ

ˆ

|

| i

PiPi

i i iP i i iPi i i i pi

pi

i

eff

i i pi i

pi

ij jP i

i ii

MM

V VA

tm

A S V

C

D D D

D

D D

U n

n

Termo fonte proveniente da interaçao entre fases

P ji jP ij iPV VD D

Necessárias funções de interpolação

int 1...

int 1...

|

|

i pi i K N

i pi i K N

f

f

Válida para qualquer tipo de Volume Finito !

Fundamentos do MVF

• Precisamos agora, definir o método a ser utilizado para

identificar como serão realizadas as interpolações

• Consideraremos aqui o MVF baseado em elementos.

Algumas vantagens deste são:

– Conservativo (é um Método de Volumes Finitos!)

– Possibilidade de utilizar malhas não-estruturadas

Tratamento de geometrias complexas

– Facilidade para calcular gradientes e divergentes em

qualquer local, a partir dos valores nodais

Fundamentos do MVF

Nó

Elemento

s

t

Volume de Controle

x

x

Fluxos SVC1

SVC2SVC4

SVC3

s

t

Pontos de integração

3

4

2

1

3

4

2

1

s=1

s

t3

4

2

1

s=-1

t=-1

t=1

x

y

Considerando as coordenadas locais s e t, teremos uma transformação de coordenadas como,

( , )

( , )

s s x y

t t x y

assim,

( , )k K

k

N s t

1

2

3

4

1( , ) (1 )(1 )

4

1( , ) (1 )(1 )

4

1( , ) (1 )(1 )

4

1( , ) (1 )(1 )

4

N s t s t

N s t s t

N s t s t

N s t s t

Fundamentos do MVF

• A funções de forma, podem ser utilizadas para o

mapeamento( , ) X

( , ) Y

k k K

k

k k K

k

x N s t

y N s t

( , )

( , )

i ii K

k

i ii K

k

N s t

x x

N s t

y y

i i i

i i i

N N y N yJ

x s t t s

N N x N xJ

y t s s t

( , ) ( , )i k i K

k

s t N s t

Fundamentos do MVF

• A tendência atual é utilizar esquemas Skew

(orientados)

2

ip U O

D D

ip U

x

2

3

1

4

U

ip

J

U

J

x

ipU J

ip

2

CDS U Jip

UDS

ip U

CDS

ip

UDSip

É necessário avaliar,U : Ponderação pela massa ou funções de forma/ : Funções de forma

Forma geral utilizado na maioria dos esquemas

Fundamentos do MVF

• Interpolação dos termos convectivos

– Devem-se tomar cuidados especiais devido a sua natureza

parabólica

– Utilizar as funções de forma,

é equivalente a um esquema

de diferenças centradas

( , ) ( , )i k i K

k

s t N s t

W

E

x

XW

UDSip W

CDS

ip

UDSip

Xip XE

2

CDS E Wip

Fundamentos do MVF

• De forma geral, esquemas de 1ª ordem introduzem difusão

numérica, “espalhando” os gradientes, enquanto esquemas

de segunda ordem introduzem oscilações numéricas

• Assim, os esforços no desenvolvimento de esquemas de

interpolação têm sido no sentido de captura adequadamente

os gradientes, procurando limitar as oscilações

• É claro que ambos os efeitos têm origem nos erros de

interpolação refinando a malha tendem a diminuir

• Nos métodos de captura de interfaces baseados em

“funções de interpolação compressivas”, cuidados

maiores deve ser tomados

Fundamentos do MVF

• Funções de interpolação – Importância na captura de

interfaces

x

i

x

i

Fundamentos do MVF

• Substituindo as funções e interpolação, tem-se

00i i i i iP

P iP NB i NB P iP C iP iP

NB

ij jP iP ji jP ij iP

MA A S S V

t

C V V

D D

D D

Termo fonte linearizado. Depende apenas de i

Termo fonte referente a transferência interfacial. Depende de i e j

,[ ][ ] ji iB ANa forma matricial,

Sistema a ser resolvido de forma ITERATIVA

Acoplamentos e Solução do Sistema

• O que é um sistema acoplado (exemplo ODEs)

1 11 1

2 22 2

, ex. 2

, ex. 5

dy dyf y x xy

dx dx

dy dyf y x xy

dx dx

1 11 2 1 2

2 22 1 2 1

, , ex. 2

, , ex. 5

dy dyf y y x xy y

dx dx

dy dyf y y x xy y

dx dx

Desacoplado, as equações podem ser resolvidas independentemente

Acoplado, deve ser resolvido como um sistema


• Considerando as equações de transporte de para

um sistema bifásico (fases i e j)

i i iBase BaseP iP NB i NB ij jP iPA A C V B D

j j jBase Base

P jP NB j NB ji iP jPA A C V B D

Acoplamento Interfacial


• Considerando a solução implícita para a equação da fase i

– Os problemas de instabilidade surgem pelo fato da solução do sistema linear ser iterativa

– Em qualquer solver iterativo, ganha-se robustez aumentando Aii e diminuindo Bi

0 0

* * * *

[ ]

[ ][ ]

i i i

i

i

P P iP NB i NB

NB

iP iPC iP ij jP iP ji jP ij iP

j

iiA

A S A

MS V C V V

t

D D D

D

B

A


• Um primeiro passo, direto, seria,

• Não resolve a dependência de B com

0 0

* *

[ ( )]

[ ][ ]

i i i

i

i

P P ij ij iP NB i NB

NB

iP iPC iP ij jP ji jP

j

j

iiA

A S C A

MS V C V V

t

D D D

D

B

A

*[ ][ ] [ ]ji B A

*[ ][ ] [ ]ij B A

Iterações necessárias


• Uma solução seria resolver o sistema de equações

em forma acoplada

1 11

2 2 2

11 12 1

2 21 1

1 1

221 1 22 2

2 2

2 2

PP

NB NBKP

NB NB

NBK NBK

P PP NB NBK

NB NB

NBK NBK

BA A CA

B

B

C A A A B

B

B

INC NOS PN N N


• Partial Elimination Algorithm (PEA)

jij ji iBase BaseBase Base

P iP P jP NB i NB NB j NBA A A A B B

i i iBase BaseP iP NB i NB ij jP iPA A C V B D

j j jBase Base

P jP NB j NB ji iP jPA A C V B D


• Partial Elimination Algorithm (PEA)

* *

ji i i

j

j jii i

j

BaseijBase BaseiP i NBP P P NBBase

P

BaseijBase Basei NB j NBNB NBBase

P

ModifiP

Modifj

C VA A A A

A

A

C VB A B A B

A

B

D

D

* *

j j ji

i

jj ji i

i

Base Baseij BasejP j NBP P P NBBase

P

Base Baseij Basei NB j NBNB NBBase

P

ModifiP

Modifj

C VA A A A

A

A

C VB A B A B

A

B

D

D

Karema, H. & Lo, S., (1999), Efficiency of interphase coupling algorithms in fluidized bed conditions, Computers & Fluids, Vol. 28, pp 323-360

111

22 2

*11 11312

2 *22321 2

*1 2 3

P

P

NPNP NP

P P P PP

BasePN NB NBP

P BaseNP NB NB

BaseN N N P NB N NBN P

C A BCCD

CCC D A B

C C C D A B


• SINCE – Generalização do PEA para N fases1 1 1

2 2

1 1 12 2 13 3 1

2 2 21 1 23 3 2

1 2 ( 1) ( 1)

P p

i

P P

N N NP P P

P P P P P P P P P

Base

P NB NB P P P N N P

Base

P NB NB P P N N P

Base

P N NB N NB N N P N N P N N N P

D A B C C C

D A B C C C

D A B C C C

1

P

i

i

NP Base

P ij

j

D A C

Tratamento implícito do acoplamento interfacial, porém explícito das contribuições dos volumes vizinhos


• Acoplamento entre a pressão e a velocidade

– O sistema a ser resolvido

0

0 0

ˆ |

PiP i

i i i ii i i pi ji ij

pi

i ip

MM

V VA

tm

D D D

D U n

i i iU Base U U BaseN UP iP NB i NB i ij jP iPA A p V C V B D D U U U U

0 0

* *

i i i

ii

U Base U U

P P P

UU Base iP iPC iP ji jP ij iP

j

A A S

MB S V V

t

D DD U

U U

Tratamento explícito devido a assimetria

Pressão compartilhada pelas fases


• Equações discretizadas e avanço das Incógnitas

0

0 0

ˆ |

PiP i

i i i ii i i pi ji ij

pi

i ip

MM

V VA

tm

D D D

D U n

1 1

0

1 1 21P

P P NB NB

MA A

t

D

1 1

1

1 1 1

12 2 1

U Base U NP P NB NB

U BaseUP P

A A p V

C V B

D

D

U U

U U

2 2

2

2 2 2

21 1 2

U Base U NP P NB NB

U BaseUP P

A A p V

C V B

D

D

U U

U U

2 2

0

2 2 12P

P P NB NB

MA A

t

D

1

2

1U

2U

?p


• Equações discretizadas e avanço das Incógnitas

– Conservação da massa “fase primaria”

– Conservação da massa da mistura (mais robusto (?))

1i

i

2

?p

0 0

ˆ 0|P P

P

iP iP iP iP

N N

i i i pi

N pi

V V

At

D D

D D

U n

1 1

0

1 1 21P

P P NB NB

MA A

t

D


• A filosofia por trás dos métodos “pressure-based ”

(necessários em escoamentos com fraca

compressibilidade) é criar uma equação para a

pressão (ou correção da mesma), a partir da

equação da conservação da massa

• Como se assume que a pressão é a mesma para

todas as fases, abordagens similares são adotadas

para o caso multifásico


• Pressão e conservação da massa

– Consideremos um problema 1D

Wp

Pp

Ep

wu eu

Pp

0 e wu u U


• Equação para a correção da pressão

* * *

_______________________________________________________________

j i i

j i i

U Base U U BaseN UP iP NB i NB i ij jP iP

U Base U U BaseN UP iP NB i NB i ij jP iP

A A p V C V B

A A p V C V B

D D

D D

U U U U

U U U U

*1

j

NiP iP iU Base

P

p VA

DU U

*1

j

NiP iP iU Base U

P ij

p VA C

D

U U

Desprezando

*iNB i NB U U

ou,


• Equação para a correção da pressão

– Somando as equações da conservação da massa para

todas as fases,0 0

ˆ 0|P P

P

iP iP iP iP

N N

i i i pi

N pi

V V

At

D D

D D

U n

*

j

N NNodali i ip Uip ip

ip

VP P

A

D U U

* 01

P

p pP P NB NB iip P P

N pi

A p A p M Mt

D

U

Interpolação de Rhie-Chow

Pode ser expressa a partir das velocidade nodais

Função dos valores nodais


• Equação para a pressão

– Isola-se a velocidade da equação da QM

– Substituindo na conservação da massa global (uma

interpolação adequada deve ser considerada para obter as

velocidade no ips)

* *1i i

j

U U BaseN UiP NB i NB i i ij jPU Base U

P ij

A p V C V BA C

D D

U U U

01ˆ

P

p pP P NB NB i Nodal P P

N pi

A p A p M Mt

D

U

* *1ˆ i i

j

U U BaseUiP NB i NB ij jPU Base U

P ij

A C V BA C

D

U U U


• Algoritmo (IPSA, IPSA–C etc. )

1. A partir de um campo de pressões estimado, resolver a equação da conservação da

quantidade de movimento para todas as fases.

Neste ponto, deverá ser resolvido o acoplamento entre as fases, podendo ser em forma

explícita ou utilizando os métodos SINCE ou PEA

2. Resolver ou corrigir o campo de pressões da mistura, através de uma equação

criada a partir da equação da conservação da massa global.

3. Corrigir as velocidades a partir dos campos de pressão corrigidos

Corrigir as velocidades nas fases (interpolação de Rhie-Chow)

Ou calcular as pseudo-velocidade nas faces

4. Calcular os campos de fração volumétrica das fases. Retornar ao item 1 e iterar até

convergência

5. Resolver outros campos como temperaturas, concentração etc., com os respectivos

acoplamentos interfaciais


• Solução Acoplada

– Uma equação para a pressão é obtida, deixando as velocidades

ativas, na iteração atual

1 2

1 2

1 2

1 2 12 1 21 1

U Up pP P P P P P NB NB

U U U U MNB NB NB NB

A p A A A p

A A C C B

U U

U U U U

1 1 1

1

2 2 21

1 2

1 1

11 12

22 21

1 1

1 ...

2 ...

1 ...

U U UUpP NB U

U U UUUpP NB

U U p p pP P P NB

NBP

QM A A C A B

BQM C A A A

BpMT p A A A A

BM A A

UU

UU


• Quando temos um sistema de equações diferenciais,

diferentes “níveis de implicitude” podem ser considerados

• A escolha dependerá da física do problema, que estará

refletida na magnitude relativa dos diferentes termos das

equações

• Em problemas de escoamento multifásico, teremos dois

acoplamentos importantes

– Pressão-velocidade (qualquer problema de escoamento)

– Interfacial

• O melhor tratamento é resolver todas as equações em um

único sistema, porém solvers robustos são necessários

(multigrid, por exemplo)

• Principais abordagens

Captura de Interfaces

Fasei

Fase j

Fase i

Fase j

Fase i

Fase j

Marcadores na interface

(Acompanhamento

Lagrangeano)

Malha adaptada a interface Marcadores ou

função indicadora no

volume (MAC, VOF)

• Marcadores Lagrangeanos na interface

– A posição da interface é acompanhada a partir de marcadores, considerando

que é advectada pela velocidade do fluido

– O escoamento é resolvido considerando um modelo “homogêneo”, isto é, um escoamento monofásico, onde as propriedades do “fluido” são avaliadas como,


0 |t t

I I It

r dtD

r U

( , ) (1 ( , ))i jI t I t r r

(Unverdi & Tryggvason(1992))


• É introduzida um espessura artificial na interface

2 m m m

m

I I D s

D r r n

x

I

r representa a posição onde é avaliado o gradiente, e rm

representa a posição do centróide do elemento da malha

superficial na interface. O somatório sobre todos os

elementos m indica que a função D é integrada

numericamente, ao longo de toda a interface.


• Métodos baseados em volumes

– Capturam a interface implicitamente a partir da posição dos fluidos

– Harlow e Welch (1965) MarkerAnd-Cell, MAC Primeira abordagem para

escoamento com superfície livre

VOF Versão Euleriana do MAC

MACPartículas sem massa são acompanhadas em um dos fluidos


• Volume of Fluid – VOF

– Consiste em resolver a equação

• Pode ter um termo fonte se houver transferência de massa

– A posição da interface é determinada implicitamente,

– Como já comentado, o problema está na função de interpolação

0ii i

t

U

x

i

x

i

(1 )i i i j


• A advecção da fração volumétrica nas faces dos VC

pode ser realizada a partir de duas abordagens:

– Métodos de reconstrução geométrica Avaliam o fluxo

volumétrico nas faces dos VC a partir de uma reconstrução

local da interface por formas simples (PLIC Linhas retas)

– Métodos compressivos Utilizam função de interpolação

“compressivas” para advecção da fração volumétrica

• Esquema do estêncil ao longo de uma linha de fluxo

Apud: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC


• VOF – Funções de interpolação

– Donnor-acceptor

• O fluxo de massa é

• Considerando disponibilidade

• E limitação do “downwind”

1min max , ,

fD Dpi A

f f f

C

C C C

i i i pi im u A D

Volume de fluido “f” que atravessa a face em Dt

f

u tC

x

DD

fase 1

(1 ) (1 ) fase 2

f f D D D

f f D D D

C V V

C V V

f A Porém limitado pela quantidade max. que pode ser fornecida por “D”, assim,

Fonte: Cerqueira, R.F. 2016, Monografia Est. Dirigido. POSMEC, UFSC



– Funções Normalizadas (NVFs)

– Considerando o volume a montante da célula “donor”, com

subindice “U”

– Toda fc. de interpolação pode ser enquadrada neste esquema. Ex:

U

A U



– Hyper-C

– O valor normalizado da fração volumétrica na fronteira é dado por,

– Esquema extremamente compressivo que resultara em um

“degrau” na fr. vol., para qualquer orientação da interface

(inclusive quando praticamente paralela a face do VC)



– CICSAM - Compressive Interface Capturing Scheme for

Arbitrary Meshes

– Combina “Ultimate QUICKEST”

que é um método “UPWIND de alta ordem” porém não

suficientemente “compressivo” para esta aplicação, com Hyper-C

para obter,

(1 )f f f HC f f UQ


• VOF – Funções de interpolação– CICSAM - Compressive Interface Capturing Scheme for

Arbitrary Meshes (Cont.)

onde df é o vetor que conecta os centros de D e A

– Ou seja, pondera pela direção local da interface em relação a face do VC

– Note que prevalece o Hyper-C enquanto a interface esta mais próxima da perpendicularidade com as faces

1

cos 2 1min ,1 , onde cos

2

f f D

f f

f D

f

f

d

d

(1 )f f f HC f f UQ


• Ex. 1 – Rotação de disco com fenda



• Ex. 2 – Gota sujeita a cisalhamento



• VOF – Reconstrução geométrica da interface

– Procuram recuperar a forma da interface, através de uma

reconstrução geométrica

Distribuição original PLIC (Young (1982)) FLAIR (Ashgriz & Poo (1992))

I n r ˆ ˆk kI i K K

k k

N N

x y

n i j

Por exemplo

In

Calculado a partir da quantidade de fluido no volume de controle

Pouca precisão! Em malhas cartesianas podem ser utilizado esquemas mais precisos. Grande dificuldade para malha não estruturadas


• Polígonos genéricos considerado para o cálculo de

Grande dificuldade em malha não estruturadas


• Fluxo de massa nas faces (ponto de integração) após a

reconstrução

Advecção por componentes. Precisa utilizar método “split”, para conservar massa

Advecção ao longo da linha de fluxoMAiorcomplexidade geometrica


Método geométrico.Necessidade do “splitting”

Calculo da curvatura

• Em sistemas discretos é necessário distribuir esta força,

matematicamente definida sobre uma superfície, ao longo de

um volume

• No método Continum Surface Force – CSF, a força de tensão

superficial pode ser calculada como,

• Melhoras são necessárias, principalmente, em função da

aparição de “correntes parasíticas”

σf n

nonde,


• A curvatura pode ser avaliada através de,

– Métodos de diferenciação direta, ex. utilizando o teorema da

divergência no contexto do MVF,

ou outros métodos de diferenças finitas (ex. aprox. calculadas no

PLIC)

– Aproximação por mínimos quadrados

Função a ser minimizada


• Método das funções de altura

– Seja uma função , então,


• Convolução

– Pode ser aplicada juntamente com qualquer método

– Procura “suavizar” de forma controlada os gradientes, de

forma a


• Propriedades do Kernel de convolução

1. O kernel deve possuir Ω finito;

2. O kernel deve decrescer monoticamente a medida que se

distância de seu centro de aplicação;

3. O kernel deve ser suave e três vezes continuamente

diferençável;

4. O kernel deve colapsar a uma função do tipo Delta Dirac a

medida que Ω 0.


• Efeito da convolução no campo de fração volumétrica,

para diferentes comprimentos de convolução



• Efeito do Kernel e do comprimento de convolução no erro da

curvatura e nas correntes parasíticas, utilizando o método

CELESTE (Denner (2013))



• Level-set– Resolve-se uma equação de

transporte para uma função “distancia até a interface”

– A função Heaviside é usada para avaliar as propriedades da “mistura”

– Não é conservativo, pois não é variável transportada

0mt

U

( , ) 1 ( , )i jH t H t r r

x

H

Abordagem Lagrangeana

• Partículas dispersas são acompanhadas nas suas trajetórias

• Do ponto de vista da solução numérica, termos fonte importantes

aparecem na equação para fase continua, quando o acoplamento é

de duas vias, que devem ser adequadamente tratados

2

3

1

4 rP

01P D P P

P

tm

D U M U

0t t

P P Pt

r dtD

r U


• Abordagem Lagrangeana

– Acompanha as trajetórias das partículas

– Principal aplicação em sistemas gás líquido é sprays e aerosóis

PU

ContU

PF

pm

zy

x

Pr

21

8

PP D C D c D D

dm d C U U U U

dt

UM

Em acoplamento de duas vias, MD entrará como um termo fonte nas equações de conservação da fase contínua

P DD P C P L

dT dmm c d Nu T T h

dt dt


• Interpolação das velocidades

Comentários Finais

• MVF Baseado em balanços de propriedades transportadas, neste

caso, para um sistema bifásico

• Acoplamentos importantes

– Pressão-Velocidade

– Interfacial Modelo de dois fluidos

– Podem se tratados com diferentes “níveis de implicitude”, dependendo da física

do fenômeno

• Acompanhamento de interfaces

– Diferentes abordagens (Lagrangeanas / Eulerianas)

– Importância da função de interpolação, na captura implícita (VOF, Level-set)

– Métodos de reconstrução de interfaces podem ser de implementação

complicada em malhas não estruturadas

– Calculo da curvatura: Convolução necessária. Métodos dos mínimos

quadrados tem sido bem sucedidos.

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