UFABC - Fenômenos Térmicos - Prof. Lugones
AULA 2o termômetro de gás a volume constante o expansão térmica
O termometro de gas a volume constanteA lei zero da termodinamica e termometros Dilatacao termica Resolucao de problemas
Aula 1 12 / 35
A figura abaixo mostra um diagrama esquematico de um termometro de gas devolume constante.
Gas
Regua
Mangueiraflexıvel
Reservatoriode mercurio
Banhoou sistemaa ser medido
P P
P0
■ Primeiramente, o frasco de gas e intro-duzido em um banho de gelo e agua, a0◦C. O reservatorio B e levantado ouabaixado, tal que o nıvel da coluna Aatinja o ponto zero da regua. Mede-seassim a altura h = hi;
■ Em seguida, o frasco e introduzido naagua em ponto de ebulicao, a 100◦C,e novamente o reservatorio B e reajus-tada para que o nıvel da coluna A per-maneca no ponto zero da regua (volu-me igual a situacao anterior). Obtem-sedesta forma a nova altura h = hf .
O termometro de gas a volume constanteA lei zero da termodinamica e termometros Dilatacao termica Resolucao de problemas
Aula 1 12 / 35
A figura abaixo mostra um diagrama esquematico de um termometro de gas devolume constante.
Gas
Regua
Mangueiraflexıvel
Reservatoriode mercurio
Banhoou sistemaa ser medido
P P
P0
■ Primeiramente, o frasco de gas e intro-duzido em um banho de gelo e agua, a0◦C. O reservatorio B e levantado ouabaixado, tal que o nıvel da coluna Aatinja o ponto zero da regua. Mede-seassim a altura h = hi;
■ Em seguida, o frasco e introduzido naagua em ponto de ebulicao, a 100◦C,e novamente o reservatorio B e reajus-tada para que o nıvel da coluna A per-maneca no ponto zero da regua (volu-me igual a situacao anterior). Obtem-sedesta forma a nova altura h = hf .
O termômetro de gás a volume constante
O termometro de gas a volume constanteA lei zero da termodinamica e termometros Dilatacao termica Resolucao de problemas
Aula 1 13 / 35
■ A pressao P no gas esta relacionada com a altura h da coluna do reservatoriode mercurio por
P = P0 + ρgh
onde ρ e a densidade do mercurio e g a aceleracao da gravidade.
■ Como experimentalmente sabe-se que a pressaodo gas varia linearmente com a temperatura,podemos tracar uma reta a partir dos dois pon-tos de referencia, resultando numa curva de cali-bracao.
Para se obter a temperatura de uma determinadasubstancia, executa-se o procedimento usado nosdois pontos de referencia para medir a altura h, aqual permite obter P . Com a pressao, determina-se a temperatura.
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Aula 1 14 / 35
Experiencia 1
Experiencia 2
Experiencia 3
■ A figura ao lado mostra os resultadospara medicoes com diferentes valoresde pressao iniciais a 0◦C.
■ Extrapolando as tres retas, a tempera-tura vai a −273, 15◦C (zero absoluto)quando a pressao chegar a zero. Esteresultado ocorre para diferentes gases(O2, Ar, N2, He, etc.).
■ De acordo com o resultado acima, um gas com temperatura 0 K exerceriapressao nula nas paredes do recipiente. Conforme sera visto em teoriacinetica dos gases, a pressao e proporcional a energia cinetica das moleculasdo gas. Logo, no zero absoluto, as moleculas do gas estarao em repouso.De acordo com a teoria quantica, nao ha como as moleculas entrarem emrepouso, logo havera uma energia residual no gas, conhecida como energiado ponto zero.
Exercício(01((Em(um(termômetro(de(gás(a(volume(constante,(a(pressão(a(20,0°C(é(de(0,980(atm.((((a)(Qual(é(a(pressão(a(45,0°C?((((b)(Qual(é(a(temperatura(se(a(pressão(for(0,500(atm?((
Em#um#termômetro#a#gás#a#volume#constante,#a#Pressão#varia#linearmente#
com#a#Temperatura.
P = aT + b com a = ΔPΔT
T = −273°C→ P = 0#atm ⇒ a = 0, 980 − 020 + 273
→ a = 3, 34 ×10−3
0 = 3, 34 ×10−3 × (−273) + b → b = 0, 91 ⇒ P = 3, 34 ×10−3T + 0, 91
P = 3, 34 ×10−3 × 45 + 0, 91P = 1, 06!atm
(a)( 0, 5 = 3, 34 ×10−3T + 0, 91
T = 0, 5 − 0, 913, 34 ×10−3
T = −123°C
(b)(
Exemplo 1
Expansão Térmica • Para a maioria das substâncias, quando a temperatura
aumenta ocorre um aumento em seu volume. Esse é o fenômeno da expansão (ou dilatação) térmica.
• Origem: Aumento da separação média entre os átomos ou moléculas constituintes da substância com o aumento da temperatura (exceções, comportamento anômalo da água. )
• Freqüentemente, podemos afrouxar uma tampa metálica de um pote de vidro segurando-o em fluxo de água quente. Tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se expandem quando a água quente adiciona energia a seus átomos. (Com a energia adicionada, os átomos podem se afastar mais uns dos outros do que o normal, em oposição às forças elásticas inter-atômicas que mantêm os átomos unidos em um sólido.) Contudo, como os átomos no metal conseguem se afastar uns dos outros mais do que aqueles do vidro, a tampa se expande mais do que o pote e, portanto, fica frouxa.
• Seções de uma ponte são separadas por juntas de dilatação para que as seções possam se expandir em dias quentes sem provocar rachaduras.
Exemplos de Expansão Térmica (1)
• Quando uma cavidade em um dente é preenchida, o material utilizado na restauração deve ter as mesmas propriedades de expansão térmica que o dente ao seu redor; de outro modo, o consumo de um sorvete seguido de um café quente poderia ser bastante doloroso.
• Quando o jato Concorde foi construído, o projeto teve que levar em consideração a expansão térmica da fuselagem resultante do aquecimento pelo atrito com o ar durante um vôo supersônico.
Exemplos de Expansão Térmica (2)
Exemplos de Expansão Térmica (3)
• Termômetros e termostatos podem ser baseados na diferença nas expansões dos componentes de uma !ra bimetálica.
Muitos termostatos operam baseados neste princípio, fazendo e desfazendo um contato elétrico quando a temperatura sobe e desce.
q Uma 7ra bimetálica, consis7ndo em uma 7ra de bronze e outra de aço soldadas, na temperatura T0.
q A 7ra se dobra como mostrado para t emp e r a t u r a s a c im a d e s t a temperatura de referência. Abaixo de T0 , a 7ra dobra do sen7do oposto.
Expansão Térmica Linear
Se a temperatura de uma haste metálica de comprimento L for aumentada de uma quanBdade ΔT, observamos que seu comprimento aumenta de uma quanBdade: ΔL = L0 α ΔT , ou seja, L = L0 + L0 α ΔT
α é uma constante chamada de coeficiente de expansão linear. ΔT = T -‐ T0 (ou seja, Tfinal – Tinicial) ΔL = L -‐ L0 (ou seja, Lfinal – Linicial)
O coeficiente α tem unidade "por grau" ou "por kelvin" e depende do material.
Expansão Térmica Linear Embora α varie um pouco com a temperatura, em muitas aplicações ele pode ser considerado constante para um determinado material.
Expansão Volumétrica Se todas as dimensões de um sólido se expandem com a temperatura, o volume deste sólido também deve se expandir. Para líquidos, a expansão volumétrica é a única que faz senBdo.
Consideremos a expansão térmica de um cubo de lado L. Se cada lado do cubo se expande linearmente segundo L = L0 + L0 α ΔT, o volume final será:
V = L3 = ( L0 + L0 α ΔT )3 = L03 (1 + α ΔT )3
Em geral, a quanBdade α ΔT é muito menor que 1, logo podemos usar uma expansão binomial (1 + x)n ≈ 1 + n x + .... Temos então: V = L3 = L03 (1 + α ΔT )3 ≈ L03 (1 + 3 α ΔT ) = V0 (1 + 3 α ΔT ) Ou seja, em geral: V = V0 (1 + β ΔT ) β = 3 α = coeficiente de
expansão volumétrica
Dilatação térmica com α variável
Na análise anterior, α foi considerado constante, o que normalmente é uma boa aproximação. Para o caso geral, se o coeficiente de dilatação variar com a temperatura, temos que
dL =α(T )LdT ⇒ dL 'L 'L0
L∫ = α(T ')dT
T0
T∫ '
⇒ ln LL0
"
#$
%
&'= α(T ')dT
T0
T∫ '
LL0
= eα (T ')dT
T0
T∫ '
Se a integral no expoente da expressão anterior for muito pequena, podemos fazer uma expansão em serie de Taylor da exponencial:
L = L0 1+ α(T ')dTT0
T∫ '"
#$%&'
eα (T ')dT
T0
T∫ '
=1+ α(T ')dTT0
T∫ '+.....
ex =1+ x +....
Temos então:
Exemplo 2 Exercício(02(• O(coeficiente(médio(de(expansão(volumar(do(tetracloreto(de(carbono(é(
5,81(X(10.4((°C).1.(Se(um(recipiente(de(aço(de(50(galões(esWver(completamente(cheio(com(tetracloreto(de(carbono(quando(a(temperatura(for(10,0(°C,(quanto(de(excesso(derramará(quando(a(temperatura(se(elevar(para(30,0°C,(considerando(que(o(coeficiente(de(dilatação(linear(do(aço(é(11(x(10.6((°C).1?((
β = 5, 81×10−4 α = 11, 0 ×10−6 Vi = 50 Ti = 10, 0 Tf = 30, 0
ΔV = ΔVTC − ΔVRΔVTC = β ViΔTΔVR = 3α ViΔT
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒ ΔV = β − 3α( )Vi Tf − Ti( )
ΔV = 5, 81×10−4 − 3×11, 0 ×10−6( ) × 50 × 30, 0 −10, 0( )ΔV = 0, 548!Galões
Exemplo 3 Exercício(03((Um(termômetro(de(mercúrio(é(construído(como(mostrado(na(figura.(O(tubo(capilar(tem(diâmetro(de(0,004(cm(e(o(bulbo(tem(diâmetro(de(0,250(cm.(Desprezando(a(expansão(do(vidro,(encontre(a(mudança(na(altura(da(coluna(de(mercúrio(que(ocorre(com(uma(mudança(na(temperatura(de(30,0°C(sabendo.se(que(o(coeficiente(de(expansão(volumar(do(mercúrio(é(de(1,82(x(10.4(C.1.((
Vi → Volume'do'Bulbo
ΔV = β Vi ΔTΔV = A × Δh
⎧⎨⎩
⇒ Δh = β Vi ΔTA
Vi =43πrB
3
r = DB
2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒Vi =πDB
3
6
AT = πrT2
r = DT
2
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒ A =
πDT2
4
∴Δh = 2β DB3 ΔT
3DT2 =
2 ×1,82 ×10−4 × 0,253 × 303× 0,0042
→ Δh = 3,55'cm
Exemplo 4 Exercício(04((A(20,0°C,(um(anel(de(alumínio(tem(um(diâmetro(interno(de(5,000(cm(e(uma(haste(de(bronze(tem(um(diâmetro(de(5,050(cm.(Considerando(αalumínio(=(24(X(10.6((°C).1,(αbronze(=(19(X(10.6((°C).1(e(TfusãoAl=660oC(responda:(((a)(Se(somente(o(anel(for(aquecido,(qual(temperatura(ele(deve(alcançar(de(tal(forma(que(se(encaixe(sobre(a(haste?(((b)(Se(ambos(forem(aquecidos(juntos,(que(temperatura(eles(devem(alcançar(para(que(o(anel(se(encaixe(sobre(a(haste?(Esse(úlWmo(processo(funcionaria?((
ΔL = αLiΔT ⇔ Rf − Ri = αri Tf − Ti( )5, 05 − 5, 00 = 24 ×10−6 × 5, 00 × Tf − 20, 0( )→ 0, 05 = 1, 2 ×10−4 × Tf − 20, 0( )Tf =
5 ×10−2
1, 2 ×10−4+ 20 → Tf = 437°C
(a)(
Lf = Li 1+αΔT( )
RfA = Rf
B ⇒ RAi 1+αAΔT( ) = RiB 1+αBΔT( ) → ΔT = RA
i − RBi
αBRBi −αAR
Ai
ΔT = 5, 00 − 5, 055, 05 ×19 ×10−6 − 5, 00 × 24 ×10−6
→ ΔT = 2080
Ti = 20 ⇒ Tf = 2100°C
Esse%método%não%funcionaria%pois%o%%Alumínio%já%estaria%derretido.
(b)(
Comportamento anômalo da água • A água, não se comporta como outros
líquidos. Acima de 4°C, a água se expande à medida que T aumenta, como esperado.
• Entre 0 e 4°C, contudo, a água se contrai com o aumento de T. Em torno de 4°C, a densidade da água passa por um máximo. Para qualquer outra T a densidade da água é menor do que este valor máximo.
• Este comportamento da água é a razão pela qual os lagos congelam da superfície para o fundo e não o contrário.
• Quando a água na superfície é resfriada a partir de ~ 10 °C, em direção ao ponto de congelamento, ela fica mais densa do que a água abaixo dela e afunda.
• Abaixo de 4°C, contudo, um resfriamento adicional faz com que a água que está na superfície fique menos densa do que a água abaixo dela, e então ela fica na superfície até congelar.