FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
Newton Vieira de Souza Junior
Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas
Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD
Ilha Solteira 2015
FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
Newton Vieira de Souza Junior
Representação de Linhas de Transmissão Trifásicas
Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCD
Tese apresentada à Faculdade de
Engenharia - UNESP – Campus de Ilha
Solteira, para obtenção do título de
Doutor em Engenharia Elétrica.
Área de Conhecimento: Automação.
Prof. Dr. Sergio Kurokawa Orientador
Ilha Solteira
2015
Souza JuniorRepresentação de Linhas de Transmissão Trifásicas Diretamente no Domínio das Fases por Meio da Matriz ABCDIlha Solteira2015 123 Sim Tese (doutorado)Engenharia ElétricaAutomaçãoSim
.
FICHA CATALOGRÁFICA
Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação
Souza Junior, Newton Vieira. Representação de linhas de transmissão trifásicas diretamente no domínio das fases por meio da matriz ABCD / Newton Vieira Souza Junior. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2015 121 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2015 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia 1. Linhas de transmissão. 2. Matriz ABCD 3. Transitórios eletromagnéticos. 4. Modelo desenvolvido diretamente no domínio das fases.
S729r
Dedicatória
Dedico esse trabalho aos meus pais, Newton Vieira de Souza e Márcia Helena da Cunha Souza (in memoriam).
Aos meus irmãos Marcelo Augusto da Cunha Souza e Mariana Cristina da Cunha Souza e à pelo apoio e carinho a mim dedicados.
Agradecimentos
Em primeiro lugar a Deus por ter me dado força e sabedoria para buscar e lutar por aquilo em
que acredito.
E em especial quero agradecer e dedicar este trabalho à:
A meus pais Newton Vieira de Souza e Márcia Helena da Cunha Souza (in
memorian) e os meus irmãos, Marcelo Augusto da Cunha Souza e Mariana
Cristina da Cunha Souza, pelo apoio, compreensão e incentivo que me deram nas
horas difíceis.
A minha Tia Maria Guimarães (in memorian) pelo carinho dedicado a mim durante
todo esse período de plena dedicação ao doutorado.
Ao professor Sérgio Kurokawa a quem sou eternamente grato por toda confiança,
dedicação e apoio, confiados a mim durante todo o período em que estive
desenvolvendo este trabalho. Sou lhe grato pela grande amizade obtida durante esse
tempo.
Aos professores Aílton Akira Shinoda, Carolina Goulart de Carvalho, Eduardo
Coelho Marques da Costa e Júlio Borges de Souza pela disposição para participar
da banca e principalmente pelas sugestões para a melhoria do meu trabalho.
Aos amigos que fiz durante todo tempo que estudei e em especial, aos meus amigos do
GATE (Grupo de Análise de Transitórios Eletromagnéticos):Anderson, Júlia,Pablo e
Rodrigo, sou lhes grato pelo apoio, confiança e amizade adquiridos nesse período e
também a minha amiga Elizabete.
A CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pelo
incentivo por meio da concessão de bolsa de estudo.
A todos os docentes e funcionários desta unidade que contribuíram para minha
formação profissional.
Meu muito obrigado!!
“Estude a si mesmo, observando que autoconhecimento traz humildade e sem humildade é impossível ser feliz.”
(Allan Kardec)
RESUMO
Este trabalho apresenta um modelo de linha de transmissão desenvolvido diretamente no
domínio das fases a partir da representação por meio de quadripolos para linhas polifásicas.
Deste modo, esse modelo de linha foi estruturado em função dos parâmetros longitudinais e
transversais variáveis na frequência e por meio da matriz ABCD. Esta abordagem foi possível
a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação, variável em função da
frequência utilizada nas transformações entre os domínios das fases e dos modos. A matriz de
transformação é descrita explicitamente em função dos parâmetros longitudinais e
transversais de uma linha trifásica. As grandezas modais da linha foram convertidas para o
domínio das fases e resultando assim, em um modelo analítico desenvolvido diretamente no
domínio das fases. O modelo proposto foi aplicado para simular uma linha trifásica em um
plano de simetria vertical e também situações assimétricas envolvendo condições
desequilibradas de carga, por exemplo: faltas fase-fase ou fase-terra e cargas desequilibradas.
As simulações considerando condições assimétricas ou desequilibradas não são possíveis em
muitos modelos no domínio do tempo e da frequência utilizando uma matriz real e constante.
No entanto, a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação variável na
frequência, o modelo proposto tornou-se capaz de simular transitórios eletromagnéticos em
condições assimétricas e desequilibradas. Um dos grandes atributos do modelo proposto
consiste na inclusão e simulação de condições não-lineares de forma simplificada por meio de
condições de contorno aplicadas aos sinais de entrada e saída das matrizes ABCD.
Simulações no domínio do tempo e da frequência foram efetuadas durante o desenvolvimento
deste trabalho, possibilitando a ampla análise das possíveis aplicações do modelo de linhas de
transmissão proposto.
Palavras Chaves: Modelo de linhas de transmissão. Matriz ABCD. Representação modal.
Matriz de transformação. Domínio das fases.
Abstract
This work presents a transmission line model developed directly in the domain of phases from
representation through quadripolos for polyphase lines. Thus, the line model was structured as
function of longitudinal and transverse parameters variable frequency and by means of ABCD
matrix. This approach was possible from the implicit use of a transformation matrix, variable
a function of frequency used in transformations between domains of the phases and modes.
The transformation matrix is explicitly described as a function of the longitudinal and
transverse parameters of a three-phase line. Modal line magnitudes were converted into the
domain of the phases, resulting in an analytical model developed directly in the domain phase.
The proposed model was applied to simulate a three-phase line without a vertical symmetry
plane and also situations involving asymmetric unbalanced load conditions, for example:
phase-to-phase or phase-ground and unbalanced loads. The simulations considering
asymmetrical or unbalanced conditions are not possible in many models in the time domain
and frequency using a real and constant matrix. However, from the implicit use of variable
frequency transformation matrix, the model was able to simulate electromagnetic transients in
asymmetrical manner and unbalanced. One of the major attributes of the model consists of the
inclusion and non-linear simulation conditions in a simplified manner by means of boundary
conditions applied to the input and output signals of ABCD matrices. The simulations in the
time domain and frequency domain were made during the development of this work, enabling
the comprehensive analysis of possible applications the lines proposed transmission model.
Keywords: Transmission line model. ABCD matrix. Modal representation. Transformation
matrix. Phase domain.
Lista de Figuras
Figura 1 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d. ........................................... 25
Figura 2 - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. .............................. 26
Figura 3 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d no domínio da frequência.... 29
Figura 4 - Correntes e tensões em uma linha com n fases. .................................................... 31
Figura 5 - Representação em diagrama de blocos de uma linha de transmissão polifásica no
domínio modal. .................................................................................................... 36
Figura 6 – Representação de quadripolos. ............................................................................ 38
Figura 7 - (a) Modelo modal clássico (b) Modelo proposto(CARVALHO, 2013). ................ 44
Figura 8 - Representação das correntes e tensões em uma linha polifásica com n fases. ........ 45
Figura 9 - Linha trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical. ............................ 49
Figura 10 - Linha trifásica genérica. ..................................................................................... 61
Figura 11 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do
modo 1............................................................................................................... 62
Figura 12 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e
receptor (B) do modo 2. ..................................................................................... 63
Figura 13 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e
receptor (B)do modo 3. ...................................................................................... 64
Figura 14 - Silhueta da estrutura de uma linha de transmissão trifásica de 440 kV. ............... 69
Figura 15 – Energização da linha em aberto. ........................................................................ 70
Figura 16 -Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. .......... 71
Figura 17 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no
terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. ........................................... 71
Figura 18 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km........... 72
Figura 19 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no
terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km ............................................ 72
Figura 20 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km........... 73
Figura 21 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no
terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km. ........................................... 73
Figura 22 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km. ....... 74
Figura 23 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km. ........................................... 74
Figura 24 - Módulo da corrente no terminal emissor (A) da fase 2 da linha de 200 km. ........ 75
Figura 25 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal emissor (A), da fase 2 da linha de 200 km. ........................................... 75
Figura 26 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km. ....... 76
Figura 27 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente no
terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km. ........................................... 76
Figura 28 - Energização da linha em curto circuito. .............................................................. 77
Figura 29 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km. ....... 78
Figura 30 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km. ........................................... 78
Figura 31 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 2 da linha de 200 km. ....... 79
Figura 32 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal emissor (A), da fase 2 da linha de 200 km. ........................................... 79
Figura 33 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km. ....... 80
Figura 34 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km. ........................................... 80
Figura 35 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. ....... 81
Figura 36 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. ........................................... 81
Figura 37 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km. ....... 82
Figura 38 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km. ........................................... 82
Figura 39 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km. ....... 83
Figura 40 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no
terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km. ........................................... 83
Figura 41 - Energização da linha trifásica. ............................................................................ 84
Figura 42 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. Modelo
proposto (1) e modelo clássico (2)...................................................................... 85
Figura 43 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.Modelo
proposto (1) e modelo clássico (2)...................................................................... 85
Figura 44 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.Modelo
proposto (1) e modelo clássico (2)...................................................................... 86
Figura 45 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B) das fases 1, 2 e 3 pelo modelo
proposto, para uma linha de 200 km. .................................................................. 86
Figura 46 - Incidência de uma descarga atmosférica na linha trifásica com carga ZC. ........... 88
Figura 47 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de
200 km, com o terminal emissor (A) em aberto. ................................................. 88
Figura 48 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 2 da linha de
200 km, com o terminal emissor (A) em aberto. ................................................. 89
Figura 49 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de
200 km, com o terminal emissor (A) em aberto .................................................. 89
Figura 50 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de
200 km, com o terminal receptor (B) em curto. .................................................. 90
Figura 51 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 2 da linha de
200 km, com o terminal receptor (B) em curto. .................................................. 90
Figura 52 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de
200 km, com o terminal receptor (B) em curto. .................................................. 91
Figura 53 - Comparação dos autovalores de λ1, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2, 3 e 4
(autovalores analíticos). ................................................................................... 103
Figura 54 - Comparação dos autovalores de λ2, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2
(autovalor analítico). ........................................................................................ 104
Figura 55 - Comparação dos autovalores de λ3, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2
(autovalor analítico). ........................................................................................ 104
Figura 56 - Linha trifásica genérica. ................................................................................... 109
Figura 57 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do
modo 1............................................................................................................. 110
Figura 58 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do
modo 2............................................................................................................. 111
Figura 59- Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do
modo 3............................................................................................................. 111
LISTA DE ABREVIAÇÕES
ULM Universal LineModel
Matlab® MATrixLABoratory
Skin effect Efeito Skin
LISTA DE SÍMBOLOS
[Z] Matriz de impedância longitudinal
[Y] Matriz de admitância transversal
d Comprimento da linha de transmissão em km
zii Impedância própria da fase i
zij Impedância mútua entre as fases i e j
yii Admitância da fase i
yij Admitância entre as fases i e j
R Resistência por unidade de comprimento
L Indutância por unidade de comprimento
G Condutância por unidade de comprimento
C Capacitância por unidade de comprimento
γ Função de propagação
ZC Impedância característica
[V] Vetor de tensão
[I] Vetor de corrente
[TV] Matriz de transformação (autovalores do produto matricial [Z][Y])
[TI] Matriz de transformação (autovalores do produto matricial [Y][Z])
[TΩ] Matriz inversa da matriz de transformação [TV]
Zmk Impedância no k-ésimo modo da linha
Ymk Adimtânciano k-ésimo modo dalinha
Vmk Tensão no k-ésimo modo da linha
Imk Correnteno k-ésimo modo da linha
λk K-ésimo autovalor
[S] Produto entre as matrizes [Z][Y]
[U] Matriz identidade
[Vf] Vetor de tensão nas fases da linha de transmissão
[If] Vetor de corrente nas fases da linha de transmissão
[Vm] Vetor de tensão nos modos da linha de transmissão
[Im] Vetor de corrente nos modos da linha de transmissão
SUMÁRIO 1 MODELAGENS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA ..... 17 1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 17
2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS MONOFÁSICAS .......... 24 2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 24
2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA MONOFÁSICA............................... 25
2.3 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 30
3 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL ....... 31 3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 31
3.2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES PARA LINHAS POLIFÁSICAS ........... 31
3.3 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL ................... 33
3.4 PROCEDIMENTOS PARA SE CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NOS
TERMINAIS DE UMA LINHA UTILIZANDO O MODELO MODAL ....................... 36
3.5 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 37
4 MODELO DESENVOLVIDO DIRETO NO DOMÍNIO DAS FASES PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS REPRESENTADA POR MEIO DA MATRIZ ABCD........................................................................................................................... 38
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 38
4.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHA POR UM QUADRIPOLO (MATRIZ ABCD) ........... 38
4.3 CORRENTES E TENSÕES DE FASE PARA UMA LINHA POLIFÁSICA ATRAVÉS
DA TEORIA DE DECOMPOSIÇÃO MODAL ............................................................ 40
4.4 MODELO DE LINHAS POLIFÁSICAS DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO
DOMÍNIO DAS FASES ............................................................................................... 42
4.5 DESCRIÇÃO DO MODELO PROPOSTO ................................................................... 44
4.6 OBTENÇÃO ANALÍTICA DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA n
FASES .......................................................................................................................... 45
4.7 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 48
5 REPRESENTAÇÃO DA LINHA TRIFÁSICA SEM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL, POR MEIO DO MODELO PROPOSTO ............................................ 49
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 49
5.2 OBTENÇÃO DOS AUTOVALORES E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DA
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA UMA LINHA TRIFÁSICA SEM
PLANO DE SIMETRIA VERTICAL ........................................................................... 49
5.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO PROPOSTO .................................................... 60
5.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 68
6 VALIDAÇÃO DO MODELO PROPOSTO ................................................................. 69 6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 69
6.2 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO
TEMPO PARA AS TENSÕES E CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B)
EM ABERTO ............................................................................................................... 70
6.3 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO
TEMPO PARA AS CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B) EM CURTO
CIRCUITO ................................................................................................................... 77
6.4 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS
RESULTANTES DA ENERGIZAÇÃO DA LINHA .................................................... 84
6.5 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS
RESULTANTES DA INCIDÊNCIA DE DESCARGA ATMOSFÉRICA ..................... 87
6.6 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 91
7 CONCLUSÃO ................................................................................................................ 93 7.1 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................................. 93
7.2 SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS ................................................................ 94
APÊNDICE A .................................................................................................................... 99
DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DOS AUTOVALORES, IMPEDÂNCIAS MODAIS, ADMITÂNCIAS MODAIS, IMPEDÂNCIAS CARACTERISTICAS E DAS FUNÇÕES DE PROPAGAÇÃO DA LINHA ............................................................... 99
A.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 99
A.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DOS AUTOVALORES ................................... 99
A.3 SIMULAÇÕES DOS AUTOVALORES ..................................................................... 103
A.4 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARAS AS MATRIZES DE IMPEDÂNCIA [Zm] E DE
ADMITÂNCIA [Ym] MODAIS .................................................................................. 105
A.5 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO γm E
IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA Zcm PARA CADA MODO DA LINHA (MARTI,
1982; CHIPMAN, 1972) ............................................................................................. 106
A.6 CONCLUSÃO ............................................................................................................ 107
APÊNDICE B ................................................................................................................... 108 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] .................... 108 B.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 108
B.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] ............. 108
B.3 CONCLUSÃO ............................................................................................................ 119
17
1 MODELAGENS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 1.1 INTRODUÇÃO
A abordagem técnica computacional de sistemas de energia elétrica para estudo de
transitórios eletromagnéticos iniciou-se por volta da década de 1960, quando alguns artigos
passaram a ser publicados. Dentre estes, obtiveram maior destaque aqueles publicados por
(DOMMEL, 1969; BUDNER,1970).
O artigo publicado em 1969 por Dommel, sugeriu um modelo computacional que
simulava os transitórios eletromagnéticos de uma linha de transmissão polifásica, no domínio
do tempo, com seus parâmetros distribuídos ou discretos. Contudo, o modelo computacional
proposto apresentou algumas limitações, como a quantidade de amostras em um intervalo de
tempo Δt muito grande na discretização do vetor de tempo t, que resultou em erros de
trucamento e instabilidade numérica do método proposto.
Para tentar diminuir as oscilações e os erros apresentados, o autor utilizou o método de
integração trapezoidal na resolução de equações diferenciais ordinárias para linhas, sendo
suas constantes dadas pelas capacitâncias e indutâncias equivalentes aos parâmetros
longitudinais e transversais de uma linha sem perdas. Desta abordagem, uma solução exata
pôde ser obtida por meio do método das características, também denominado método de
Beregeron, que se fundamenta na propagação de ondas em uma linha de transmissão sem
perdas (DOMMEL, 1969).
O segundo exemplo mencionado é o artigo publicado em 1970 por Budner (1970),
onde o autor modelou uma linha bifásica e a desacoplou em seus dois modos de propagação
independentes um do outro, sendo modelados em dois quadripolos no domínio da frequência.
As equações de corrente e tensão no domínio da frequência são obtidas pelas equações
trigonométricas referentes à representação de quadripolos, sendo que para o domínio do
tempo, as equações de corrente e tensão são obtidas por meio da transformada de Fourier e do
cálculo das integrais de convolução resultantes.
O modelo proposto por Budner teve exatidão, uma vez que modelou de maneira
apropriada a distribuição dos parâmetros variáveis da linha em função da frequência
(BUDNER, 1970).
A literatura técnica demonstra que,os parâmetros de linhas de transmissão aéreas ou cabos
subterrâneos eram fortemente dependentes do efeito da frequência, devido ao efeito do
retorno da corrente através do solo e em frequências mais baixas, influenciados pelo efeito
18
pelicular decorrente da interação entre o campo eletromagnético no interior dos condutores da
linha (FUCHS, 1979; COSTA, 2013).
Como amplamente descrito pela literatura técnica, sabia-se antes do inicio dos anos
1980 que os parâmetros elétricos de linhas de transmissão aéreas ou cabos subterrâneos são
fortemente dependentes do efeito da frequência, i.e., determinados em função da frequência
devido ao efeito do retorno da corrente através do solo (efeito solo) e, em frequências mais
baixas, influenciados pelo efeito pelicular (skineffect) decorrente da interação entre o campo
eletromagnético no interior dos condutores da linha (FUCHS, 1979). Uma grande quantidade
de artigos descrevendo a solução das equações de linhas de transmissão no domínio da
frequência foram propostas, por meio do uso de transformadas inversas e convoluções
(SNELSON, 1972; MEYER; DOMMEL, 1974).
No contexto das diversas formas de modelagem de linhas de transmissão, algumas
foram desenvolvidas diretamente no domínio do tempo considerando o efeito da frequência
sobre os parâmetros longitudinais da linha. Tais modelagens baseiam-se na aproximação da
impedância Longitudinal [Z] por funções racionais, desta forma, o método representa uma
cascata de circuitos π, de maneira que possa incluir os efeitos da frequência em cada seção da
linha de transmissão (MARTÍ, 1982; 1988).
Essas técnicas de modelagens, desenvolvidas décadas atrás, denominadas na literatura
como vector fitting e formam uma base essencial para a modelagem de linhas de transmissão
e sistemas de energia elétrica dependentes da frequência (GUSTAVSEN; SEMLYEN, 1998,
1981).
Fazer a integração de modelos desenvolvidos diretamente no domínio da frequência e
simular os resultados no domínio do tempo é um procedimento complexo, por isso, o modelo
foi desenvolvido no domínio da frequência e solucionado através da transformada inversa de
Fourier para o domínio do tempo. Este modelo foi nomeado de Universal LineModel (ULM)
(MORCHED; GUSTAVSEN; 1999).
O ULM representa um modelo computacional preciso para linhas de transmissão para
simulações de transitórios eletromagnéticos. A modelagem faz uso de uma matriz de
transformação modal dependente da frequência, porém, pode-se dizer que resulta do
aprimoramento da técnica proposta em 1970 por Budner (BUDNER, 1970).
Por sua vez, Gómez e Uribe (2008) apresentaram uma revisão sobre a utilização de
transformada de Laplace na simulação e análise de transitórios eletromagnéticos, mostrando
vários aspectos importantes no uso da transformada inversa e o desenvolvimento das soluções
das integrais de convolução relativas à técnica de modelagem abordada. Os modelos
19
desenvolvidos diretamente no domínio da frequência, a partir das equações de corrente e
tensão da linha de transmissão ou representadas pelos seus modos de propagação por
quadripolos ou uma matriz ABCD, apresentam maior precisão em seus resultados, já que a
modelagem é feita por parâmetros distribuídos no domínio da frequência e convertida para o
domínio do tempo através da transformada inversa.
A maior confiabilidade na modelagem supracitada pode ser vista por meio das
simulações de transitórios eletromagnéticos decorrentes de um impulso unitário através de um
modo de propagação modelado por elementos discretos diretamente no domínio do tempo, e
posteriormente comparando os mesmos resultados obtidos para o mesmo meio de propagação,
porém, modelado por parâmetros distribuídos no domínio da frequência e fazendo uso de
transformada inversa de Laplace (COSTA et al., 2010).
Kurokawa et al. (2009) mostraram um modelo de linha de transmissão levando em
consideração o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha, utilizando
vector fitting e fazendo uso da representação das equações diferenciais resultantes da
representação da linha por elementos discretos (resistivos, indutivos e capacitivos).
Posteriormente, os mesmos autores desenvolvem um modelo de linha trifásico com
plano de simetria vertical não idealmente transposta, utilizando uma matriz constante e real,
que faz o desacoplamento dessa linha. No artigo Alternative Proposal for Modal
Representation of a Non-Tranposed Three-Phase Transmition Line with a Vertical Symmetry
Plane, a linha é desacoplada em seus modos e quasi-modos e podem ser escritos como sendo
três linhas monofásicas independentes umas das outras (KUROKAWA et al., 2009).
Dos anos 2000 até o presente momento, muitos autores desenvolveram modelos
diferentes para linhas de transmissão, tendo como referência o efeito da frequência, e
componentes não lineares; propondo técnicas até então não desenvolvidas e muitas vezes
aprimorando os métodos já desenvolvidos desde 1960. Um modelo que se destaca mais
recentemente é o apresentado por (MORENO et al., 2005), onde os autores apresentam um
modelo desenvolvido no domínio da frequência e faz uso da transformada inversa de Laplace
para obter os resultados no domínio do tempo. Na representação de elementos não lineares, o
trabalho propõe algumas aproximações na representação de chaveamentos no sistema
(MORENO et al., 2005). No entanto, como discutido anteriormente, generalizar a modelagem
de elementos não lineares acoplados ao sistema (e.g. corona, descargas desruptivas nas
cadeias de isoladores, transformadores, capacitores, pará-raios inseridos na linha, manobras
mecânicas, etc.) é uma proposta complexa e em muitos casos torna-se impraticável.
20
Souza Junior et al. (2013) publicaram um artigo propondo a utilização da matriz
ABCD para representar uma linha de transmissão polifásica no domínio das fases, sem a
necessidade de fazer as conversões de fase-modo-fase. No modelo desenvolvido, as
expressões permitem que os elementos da matriz ABCD para uma linha de transmissão
polifásica possam ser escrito em função dos parâmetros longitudinal e transversal da linha. A
principal vantagem do modelo é que pode ser utilizado para representar a linha para situações
em que o desacoplamento das fases é inadequado.
Alguns exemplos dizem respeito à simulação de transitórios para a análise da linha de
transmissão, considerando a mesma com curto-circuito em fase-terra ou fase-fase. Nestas
situações, os modos de propagação de uma linha polifásica não são totalmente desacoplados
e, portanto, não podem ser representados como linhas monofásicas desacopladas. Esta
situação não é de fácil simulação se a linha está representada no domínio modal, mas pode ser
simuladas e a linha estiver representada no domínio das fases. O modelo foi aplicado em uma
linha bifásica e seus resultados foram comparados com o modelo clássico de decomposição
modal (SOUZA JUNIOR et al., 2013).
Em 2013, Carvalho (2013) propôs em sua tese de doutorado, um modelo analítico para
uma linha de transmissão trifásica com plano de simetria vertical, onde devido às
características físicas dessa linha, foi possível representá-la por um sistema constituído por
uma linha monofásica e por uma linha bifásica. Neste sistema, as equações que descrevem o
comportamento das grandezas nos terminais da linha monofásica são conhecidas, enquanto
que as equações da linha bifásica foram obtidas utilizando uma matriz de transformação
escrita explicitamente em função dos parâmetros da linha trifásica. Em seguida, as grandezas
modais da linha trifásica foram convertidas para o domínio das fases e as equações resultantes
representam um modelo analítico desenvolvido diretamente no domínio das fases dessa linha.
Tal modelo leva em conta o efeito da frequência sobre os parâmetros longitudinais da linha, e
também o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento.
Tal modelo, pelo fato de ser obtido diretamente das equações de propagação da linha, permite
a obtenção de resultados de simulações de transitórios eletromagnéticos que ocorrem em
sistemas de energia elétrica mais preciso, possibilitando assim, que o sistema de energia
elétrica opere com maior confiabilidade e segurança. No entanto, as condições da linha eram
limitadas (CARVALHO, 2013).
Tendo como referência a análise bibliográfica apresentada sobre a modelagem de
linhas de transmissão para o estudo de transitórios eletromagnéticos, foi desenvolvido um
21
modelo analítico para uma linha de transmissão trifásica sem plano de simetria vertical,
fazendo uso das relações de correntes e tensões de uma linha de transmissão e da
representação da linha no domínio dos modos.
Inicialmente, foi realizado um estudo a respeito das equações diferencias de uma linha
de transmissão polifásica genérica que é caracterizada por matrizes com as impedâncias [Z] e
admitâncias [Y] da linha, obtidas a partir dos parâmetros longitudinais e transversais da
mesma.
O conteúdo aborda a técnica de decomposição modal, que foi de extrema relevância
para o desenvolvimento das equações que descrevem o modelo analítico proposto.
Na representação modal, uma linha de transmissão, que originalmente está no domínio
das fases, é separada em seus modos de propagação. Desse modo, uma linha de n fases é
representada por seus n modos de propagação e cada um desses modos comportam-se como
uma linha monofásica, e é totalmente desacoplado dos demais modos.
Para esse modelo, os cálculos das correntes e tensões na linha são realizados no
domínio dos modos e em seguida, essas grandezas são convertidas novamente para o domínio
das fases. A conversão fase-modo-fase dá-se por meio de uma matriz de transformação modal
obtida a partir das matrizes de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da
linha. Geralmente, a matriz de transformação possui elementos pertencentes ao conjunto dos
números complexos e tais elementos são variáveis em relação à frequência (WEDEPOHL;
NGUYEN; IRWIN, 1996).
Com essas características, a matriz de transformação usualmente é obtida por meio de
métodos numéricos, assim torna-se inviável o desenvolvimento de um modelo analítico para
linhas com mais de uma fase. Porém, uma vez obtida de maneira explícita, uma função que
relacione os elementos da matriz de transformação aos parâmetros da linha, é possível
desenvolver um modelo analítico para linhas de transmissão polifásicas cujas equações são
funções desses parâmetros.
A partir da obtenção desse modelo, ele admitirá uma melhor compreensão da função
que relaciona as correntes e tensões aos parâmetros da linha de transmissão. Atualmente, esta
relação não é conhecida, pois os elementos da matriz de transformação são obtidos por meio
de métodos numéricos.
Uma essencial vantagem do modelo proposto é o seu desenvolvimento diretamente no
domínio das fases, o que permite que as correntes e tensões sejam obtidas em qualquer
situação de análise da linha (e.g. na análise da linha considerando a mesma com curto-circuito
22
em fase-terra ou fase-fase), o que não pode ser feito tão facilmente na técnica de
decomposição modal.
As equações que descrevem esse modelo permitem que o cálculo das correntes e
tensões seja mais simples, uma vez que essas equações não exigem, por parte do usuário, o
conhecimento matemático avançado, ao contrário de outras técnicas previamente propostas,
que apesar de mostrarem relativa precisão, são implementadas por meio da manipulação dos
autovalores e dos autovetores utilizados no cálculo das matrizes de transformação modal em
função da frequência.
Esses métodos de correção modal são complexos e, em muitos casos, ineficientes do
ponto de vista computacional, uma vez que são métodos realimentados por meio de um erro
relativo a cada passo de cálculo, i.e., os valores de cada elemento da matriz de transformação
são recalculados em função do erro obtido com base no valor anterior para cada elemento do
vetor de frequências (COSTA, 2013).
Todos os termos presentes nas equações que representam esse modelo são funções,
unicamente, dos parâmetros [Z] e [Y], sendo que a análise dessas funções poderá resultar em
conhecimentos úteis que passam a ser utilizados na tentativa de se obter um modelo no
domínio do tempo.
O modelo desenvolvido leva em conta o efeito da frequência sobre os parâmetros
longitudinais da linha e também o fato de que os parâmetros da linha são distribuídos ao
longo de seu comprimento. A análise das matrizes, que dão suporte ao modelo, e a validação
do modelo no domínio do tempo possa dar origem, futuramente, a um modelo de linha de
transmissão desenvolvido diretamente no domínio do tempo. A vantagem do modelo
desenvolvido é que, ele pode ser aplicado para linhas de transmissão com qualquer tipo de
geometria, por exemplo: linhas sem plano de simetria vertical, diferentemente de modelos já
desenvolvidos, que só permitem a análise de transitórios para linha com algum plano de
simetria. Pelo fato de ser obtido diretamente das equações de propagação da linha, o modelo
permitiu que depois de feitas as simulações de transitórios eletromagnéticos que ocorrem em
sistemas de energia elétrica, os resultados se mostraram mais precisos, permitindo assim que o
sistema de energia elétrica opere com maior confiabilidade e segurança.
Assim, acredita-se que este trabalho seja um novo conceito de representação de linhas
de transmissão, de maneira que esse modelo seja uma das formas de se analisar fenômenos
transitórios que ocorrem em linhas de transmissão do sistema de energia elétrica.
Portanto, neste capítulo foi apresentada de maneira breve uma abordagem histórica a
respeito da modelagem de sistemas de energia elétrica para estudo de transitórios
23
eletromagnéticos. Estas descrições contribuíram para enfatizar as principais contribuições da
metodologia proposta nesta tese e o objetivo deste trabalho.
24
2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS MONOFÁSICAS
2.1 INTRODUÇÃO
No estudo e desenvolvimento de modelos de linhas de transmissão, verifica-se que os
parâmetros longitudinais e transversais da linha são influenciados pelas características físicas
da linha e pelas características do meio em que essa está imersa. Considera-se também, que os
parâmetros da linha são distribuídos ao longo de seu comprimento.
Devido à natureza distribuída dos parâmetros, as correntes e tensões em uma linha de
transmissão são obtidas a partir da solução de equações diferenciais que são funções do tempo
e da posição ao longo da linha. As soluções dessas equações diferenciais são conhecidas no
domínio do tempo somente para o caso de linhas ideais (linhas sem perdas), mas tais soluções
são facilmente obtidas no domínio da frequência.
Neste capítulo, será mostrado o desenvolvimento das equações clássicas que
descrevem o comportamento de uma linha de transmissão (com perdas) e as soluções para
essas equações no domínio da frequência.
Inicialmente, serão apresentadas as equações diferenciais de uma linha de transmissão
monofásica genérica no domínio da frequência, bem como sua solução. A partir dessas
relações, as equações diferenciais de uma linha de transmissão polifásica serão apresentadas.
A solução para as equações que representam uma linha polifásica genérica pode ser
obtida por meio da representação dessa linha no domínio modal. No domínio modal, uma
linha polifásica com n fases é representada por seus n modos de propagação e cada um desses
n modos comporta-se como uma linha monofásica independente. Essa maneira de representar
a linha será denominada, neste trabalho, modelo clássico.
Na representação modal, as grandezas de fase são convertidas para o domínio dos
modos por meio de uma matriz de transformação modal adequada. Nesse domínio, as
correntes e tensões são obtidas para cada modo e em seguida, essas grandezas são convertidas
novamente para o domínio das fases. A matriz de transformação que realiza a conversão fase-
modo-fase é uma matriz cujas colunas são autovetores correspondentes aos autovalores do
produto [Z][Y] ou [Y][Z], sendo [Z] a matriz de impedâncias longitudinais e [Y] a matriz de
admitâncias transversais da linha. Essa matriz é, geralmente, variável em função da frequência
e pode ser obtida por meio de métodos numéricos como, por exemplo, o método de Newton-
Raphson (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996).
25
2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA MONOFÁSICA
A distribuição das correntes e tensões e a transferência de energia ao longo da linha de
transmissão podem ser analisadas de diversas maneiras. O objetivo dessas análises é obter
expressões matemáticas aplicáveis à solução de problemas envolvendo linhas genéricas de
transmissão. Essas expressões devem não só garantir a solução para linhas de transmissão,
como também devem representar suas características e limitações (FUCHS, 1979).
Verifica-se que é possível estabelecer, matematicamente, uma relação entre as
correntes e tensões, em um sistema de transmissão, por meio de equações, descritas no tempo
e na frequência, considerando aspectos físicos da linha e do meio na qual a linha está inserida.
Considere uma linha de transmissão monofásica genérica representada na figura 1.
(CARVALHO, 2013).
Figura 1 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
A figura 1 mostra uma linha monofásica, de comprimento d, onde o retorno da
corrente se dá por meio do solo.
Nessa figura, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha,
enquanto que v(x,t) e i(x,t) são, respectivamente, a tensão e a corrente na posição x ao longo
da linha no instante de tempo t.
Sabendo-se que os parâmetros elétricos longitudinais e transversais de uma linha de
transmissão, do tipo mostrado na figura 1, são uniformemente distribuídos ao longo do
comprimento da mesma. Pode-se representar um elemento infinitesimal desta linha, como
mostraremos na figura 2, a seguir. (CHIPMAN, 1972; GREENWOOD, 1977).
A
solo
d (km)
B v(x,t)
i(x,t)
26
Figura 2 - Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 2 os parâmetros longitudinais R e L são, respectivamente, a resistência e a
indutância por unidade de comprimento da linha enquanto os parâmetros transversais G e C
são respectivamente a condutância e a capacitância da linha por unidade de comprimento. Os
termos i(x,t) ei(x+Δx, t) são as correntes longitudinais no elemento diferencial da linha. Os
termos v(x,t)e v(x+Δx, t) são as tensões transversais neste elemento. As equações da corrente
e da tensão paraeste circuito aplicando a lei dos nós e a lei das malhas de Kirchhoff, podem
ser escritas como:
( )( ) ( ) ( ) v x+ Δx,ti x,t i x+ Δx,t GΔxv x+ Δx,t CΔxt
(1)
A equação (1) pode ser escrita na forma:
( , )( , ) ( , ) ( , ) v x x ti x x t i x t G xv x x t C xt
(2)
Dividindo a equação (2) por ∆x, teremos:
( ) ( ) ( )( )i x+ Δx,t i x,t v x+vΔx,tG v x+ Δx,t CΔx t
(3)
Calculando o limite da equação (3) para ∆x tendendo a zero, obtém-se
(SWOKOWSKI, 1994):
0
( ) ( ) ( )lim
x
i x+ Δx,t i x,t v x,tCx t
(4)
27
O lado esquerdo da equação (4) é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Portanto,
a equação (4) será reescrita, como sendo (CHIPMAN, 1972):
( , ) ( , )( , )i x t v x tGv x t Cx t
(5)
Para o circuito da figura 2, também pode-se escrever:
( , ) ( , ) 0R Lv x t V V v x x t (6)
( , )( , ) ( , ) ( , ) 0i x x tv x t R xi x x t L x v x x tt
(7)
( , )( , ) ( , ) ( , ) i x tv x t v x x t R x i x t L xt
(8)
( , )( , ) ( , ) ( , ) i x tv x x t v x t R x i x t L xt
(9)
Dividindo (9) por ∆x, teremos:
( , ) ( , ) ( , )( , )v x x t v x t i x tR i x t Lx t
(10)
Calculando o limite de (10), para x tendendo a zero, (SWOKOWSKI, 1994), fica:
0
( , ) ( , ) ( , )limx
v x x t v x t i x tx x
(11)
O lado esquerdo da equação (11) é a derivada parcial de i(x,t) em relação à x. Logo, a
equação (11) será reescrita, como sendo (CHIPMAN, 1972):
( , ) ( , )( , )v x t i x tRi x t Lx t
(12)
As equações (5) e (12) são equações diferenciais de primeira ordem e descrevem o
comportamento das correntes e tensões, em uma linha monofásica, no domínio do tempo.
As soluções das equações diferenciais (5) e (12) no domínio do tempo não são
facilmente obtidas (BRANIN, 1967). No entanto, é possível obter as soluções dessas
equações no domínio da frequência.
28
No domínio da frequência, as equações (5) e (12), tornam-se (MARTINEZ;
GUSTAVSEN; DURBAK, 2005; BUDNER, 1970):
d (x, ) ( ) ( , )x
i Y V xd
(13)
d (x, ) ( ) ( , )x
v Z I xd
(14)
onde:
( ) ( ) ( )Z R j L (15)
( ) ( ) ( )Y ω G j C (16)
Nas expressões (13) e (14), i(x, ω) e v(x, ω) são, respectivamente, a corrente e a tensão
em uma posição x da linha no domínio da frequência. Os termos Z(ω) e Y(ω)
são,respectivamente, a impedância longitudinal e a admitância transversal da linha por
unidade de comprimento.
Na equação (15) os parâmetros R(ω) e L(ω) são a resistência e a indutância por
unidade de comprimento da linha respectivamente e na equação (16) os parâmetros Z(ω) e
Y(ω) são a condutância e a capacitância por unidade de comprimento da linha. Nas equações
(13)-(16), o termo jω corresponde à frequência angular imaginária e por questões de
simplificação será omitido no restante deste trabalho.
Geralmente, em casos de linhas aéreas costuma-se desprezar a condutância G(ω) e
também, desconsidera-se o efeito da frequência sobre a capacitância C(ω) (MARTINEZ;
GUSTAVSEN; DURBAK, 2005).
Derivando as equações (13) e (14) em relação ax, teremos: 2
2( ) ( )d v x d i xZ
d x d x (17)
2
2( ) ( )d i x d v xY
d x d x (18)
Substituindo a equação (13) em (17) e (14) em (18), respectivamente, e fazendo as
manipulações matemáticas necessárias, obtêm-se:
29
2
2( ) ( )d v x Z Y v x
d x (19)
2
2( ) ( )d i x Z Y i x
d x (20)
As equações (19) e (20) são as equações diferencias de 2ª ordem para o cálculo das
tensões e correntes e suas soluções são do tipo:
( ) x xv x ae be (21)
1 1( ) x x
C C
i x ae beZ Z
(22)
Nas equações (21) e (22) os termos e ZC são respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica da linha e são escritos como sendo (MARTI, 1983,
CHIPMAN, 1972):
Z Y (23)
YZZC (24)
Considere que na linha mostrada na figura 1 possui, em seus terminais, correntes e
tensões conforme mostra a figura 3.
Figura 3 - Linha de transmissão monofásica de comprimento d no domínio da frequência.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 3 A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha
monofásica. As componentes IA e IB são as correntes longitudinais da linha nos terminais A e
IA A B IB
VA VB
solo
30
B, respectivamente, enquanto que VA e VB são as tensões nesses terminais. As correntes IA e
IB e as tensões VA e VB estão no domínio da frequência.
A partir da figura 3, podem-se escrever as equações hiperbólicas da linha como sendo
(BUDNER, 1970):
cos h( ) ( )B A C AV V d Z I sen h d (25)
1 ( ) cos ( )B A AC
I V sen h d I h dZ
(26)
onde:
( )2
d de esen h d
(27)
cos ( )2
d de eh d
(28)
Uma vez obtida às correntes e tensões no terminal receptor da linha no domínio da
frequência e conhecendo-se a corrente e tensão no terminal emissor da linha, é possível
convertê-las para o domínio do tempo por meio do uso das transformadas inversas de Fourier
ou Laplace (MORENO; RAMIREZ, 2008).
2.3 CONCLUSÃO
A revisão descrita neste capítulo, com base nas equações do telegrafista, mostra que os
transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão são de fato ondas viajantes guiadas ao
longo dos condutores metálicos. Características de propagação, tais como atenuação e desvio
de fase, são observadas com base na função de propagação e impedância característica do
meio de propagação. Estes parâmetros são uniformemente distribuídos ao longo do
comprimento da linha e para uma maior precisão, deve-se considerá-los dependentes da
frequência. As equações diferenciais obtidas são de difícil solução no domínio do tempo,
sendo que esta solução somente é conhecida para alguns casos específicos.
31
3 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL
3.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior foram mostrados modelos de linhas que permitem obter as
correntes e tensões de linhas monofásicas.
Para o caso de linhas com mais de uma fase, pode-se utilizar a técnica de
decomposição modal (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996).
A técnica de decomposição modal consiste em representar uma linha polifásica no
domínio modal, onde uma linha de n fases pode ser desacoplada em seus n modos de
propagação, sendo que cada um dos modos de propagação comporta-se como sendo uma
linha monofásica independente das demais. Deste modo, as correntes e tensões de cada modo
de propagação podem ser calculadas, no domínio modal, por meio das equações
desenvolvidas no capítulo 2. A representação de uma linha no domínio modal dá-se por meio
de uma matriz denominada matriz de decomposição modal (WEDEPOHL; NGUYEN;
IRWIN, 1996).
Uma vez calculadas as correntes e tensões no domínio modal, é possível obter as
correntes e tensões nas fases da linha polifásica por meio do uso da matriz de transformação
modal inversa.
3.2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES PARA LINHAS POLIFÁSICAS
Considere uma linha com n fases, conforme mostra a figura 4.
Figura 4 - Correntes e tensões em uma linha com n fases.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 4 I1 e V1, são respectivamente as correntes e tensões na fase 1, I2 e V2, são
respectivamente as correntes e tensões na fase 2 e In eVn, são respectivamente as correntes e
tensões na fase n.
solo
In
I2
I1
Vn
V1
V2
Fase n
Fase 2
Fase 1
32
A matriz de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y] da linha
mostrada na figura 4, são escritas como sendo (PORTELA; TAVARES, 1993):
11 12 1n
21 22 2n
n1 n 2 nn
z z zz z z
Z
z z z
(29)
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
y y yy y y
Y
y y y
(30)
sendo:
zii impedância própria da fase i;
zij impedância mútua entre as fases i e j;
yii admitância da fase i;
yij admitância entre as fases i e j.
As equações diferenciais de tensão e corrente para essa linha são escritas como sendo
(BUDNER, 1970):
d VZ I
dx (31)
d IY V
dx (32)
As equações de segunda ordem para uma linha polifásica, escritas no domínio da
frequência, podem ser escritas como:
2
2
d VZ Y V
dx (33)
2
2
d IY Z I
dx (34)
Nas equações (31)-(34), [V] e [I] são vetores com as tensões e correntes de fase,
respectivamente e escritos no domínio da frequência.
33
Nas equações (33) e (34), os produtos [Z][Y] e [Y][Z] são distintos, e as matrizes [Z] e
[Y] não são matrizes diagonais, fato que dificulta a obtenção das soluções das equações
diferenciais.Tais produtos podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da
utilização de uma transformação de similaridade (CHEN, 1999).
Nesse caso, os produtos matriciais [Z] [Y] e [Y] [Z] resultarão em matrizes diagonais
cujos elementos são os autovalores dos produtos matriciais.
Portanto, para obter as correntes e tensões nos terminais de uma linha monofásica,
pode-se utilizar a técnica de decomposição modal que será mostrada em seguida.
3.3 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POLIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL
A matriz [λV], que é a matriz com os autovalores de [Z][Y], é calculada por meio da
seguinte relação (FARIA, 1997):
]T][Y][Z[]T[][ V1
VV (35)
Os autovalores [λI] do produto matricial [Y][Z] são (WEDEPOHL; NGUYEN;
IRWIN, 1996):
]T][Z][Y[]T[][ I1
II (36)
Nas equações (35) e (36), as matrizes [TV] e [TI] são as matrizes cujas colunas são os
autovetores associados aos autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z], respectivamente, e
[TV]-1 e [TI]-1 são, respectivamente, as matrizes inversas de [TV] e [TI]. As matrizes [TV], [TI],
[λI] e [λV] são complexas e variáveis em relação à frequência.
Os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z], de maneira genérica são distintos e,
portanto,as matrizes [TV] e [TI] são diferentes.No entanto, mesmo sendo [Z][Y] e [Y][Z]
matrizes distintas, seus determinantes e consequentemente seus autovalores [λI] e [λV] são
iguais.
Assim, denominando os autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z] como [λm], as
equações (35) e (36), tornam-se:
1m V VT Z Y T
(37)
1m I IT Y Z T (38)
A matriz [λm], em (37) e (38), é uma matriz diagonal do tipo (LIPSCHUTZ, 1974):
34
1
2m
n
0 00 0
00 0
(39)
Na equação (37), a matriz [TV], é uma matriz cujas colunas são autovetores associados
ao produto [Z][Y] e, na equação (38), a matriz [TI] é uma matriz cujas colunas são
autovetores associados a [Y][Z] (WEDEPOHL;NGUYEN; IRWIN, 1996).
Manipulando as equações (37) e (38), respectivamente obtém-se:
1VmV ]T][][T[]Y][Z[ (40)
1ImI ]T][][T[]Z][Y[ (41)
Substituindo as equações (40) e (41) nas equações (33) e (34) obtêm-se:
11V
m Vd²[T ] [V] [ ][T ] [V]
dx²
(42)
11I
m Id²[T ] [I] [ ][T ] [I]
dx²
(43)
Nas equações (42) e (43), as tensões e corrente modais são definidas como:
1m V[V ] [T ] [V] (44)
1m I[I ] [T ] [I] (45)
Desenvolvendo as equações (44) e (45), obtêm-se:
]V][T[]V[ mV (46)
]I][T[]I[ mI (47)
Nas equações (44) e (45), [Vm] e [Im] são os vetores com as tensões e correntes modais
da linha, respectivamente.
Substituindo as equações (46) e (47) nas equações (42) e (43), respectivamente,
obtém-se:
35
mm m
d²[V ] [ ][V ]dx²
(48)
mm m
d²[I ] [ ][I ]dx²
(49)
De forma análoga, substituindo as equações (46) e (47) nas equações (31) e (32),
obtém-se:
]I][T[-[Z]xd
]V][T[dmI
mv (50)
]V][T[-[Y]xd
]I][T[dmV
mI (51)
Desenvolvendo matematicamente as equações (50) e (51), têm-se:
]I][T[[Z]][T-xd
]V[dmI
1-V
m (52)
]V][T[[Y]][T-xd
]I[dmV
1-I
m (53)
onde:
]T][Z[]T[=]Z[ I1
Vm- (54)
]T][Y[]T[=]Y[ V1
Im- (55)
Nas equações (54) e (55), as matrizes de [Zm] e [Ym] são as matrizes de impedâncias
longitudinais e admitâncias transversais modais da linha de transmissão.
Derivando as equações (52) e (53) em relação a x, têm-se:
2
mm m m2
d VZ Y V
dx (56)
2
mm m m2
d IY Z I
dx (57)
36
As equações (56) e (57) são as equações diferenciais modais da linha. Uma vez que as
matrizes [Zm] e [Ym] são diagonais (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996) as equações
(56) e (57) estão desacopladas e escritas no domínio modal.
3.4 PROCEDIMENTOS PARA SE CALCULAR AS CORRENTES E TENSÕES NOS
TERMINAIS DE UMA LINHA UTILIZANDO O MODELO MODAL
Verifica-se que para utilizar o modelo modal de linhas de transmissão, inicialmente a
linha deve ser separada em seus modos de propagação que se comportam como linhas
monofásicas. Em seguida cálcula-se as correntes e tensões nos modos de propagação da linha.
Para finalizar, estas correntes e tensões modais são convertidas, por meio de uma
matriz de transformação modal adequada, para o domínio das fases.
A figura 5 mostra, na forma de diagrama de blocos, o procedimento para calcular as
correntes e tensões nos terminais de uma linha utilizando o modelo modal.
Figura 5 - Representação em diagrama de blocos de uma linha de transmissão polifásica no domínio modal.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Linha polifásica comnfases
Transformação modal
Modos de propagação (Linhas monofásicas)
Cálculo das correntes e tensões nos modos
Transformação modal inversa
Linhas polifásicas com n fases
Domínio modal
Domínio das fases
Domínio das fases
37
3.5 CONCLUSÃO
Neste capítulo, mostrou-se o processo de decomposição modal de linhas de
transmissão. A representação modal de linhas permite que uma linha de transmissão de n
fases seja decomposta em seus n modos de propagação.
A vantagem de se representar a linha por meio de seus modos de propagação está no
fato de que cada modo comporta-se como uma linha monofásica. Portanto, uma linha
polifásica com n fases pode ser representada como sendo n linhas monofásicas independentes,
cujas equações de correntes e tensões são conhecidas e cujas soluções foram apresentadas no
capítulo anterior.
38
4 MODELO DESENVOLVIDO DIRETO NO DOMÍNIO DAS FASES PARA LINHAS
DE TRANSMISSÃO TRIFÁSICAS REPRESENTADA POR MEIO DA MATRIZ
ABCD
4.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior, foi visto que para obter as correntes e tensões de uma linha de
transmissão polifásica pode-se utilizara técnica de decomposição modal. Nesse modelo, uma
linha de transmissão polifásica com n fases é representada por n modos de propagação que se
comportam como n linhas monofásicas independentes e equivalentes ao sistema polifásico
original.
Neste capítulo será proposto um modelo de linha desenvolvido diretamente no
domínio das fases a partir da representação de quadripolos para linhas polifásicas. Desse
modo, o modelo de linha é apresentado como uma função dos parâmetros longitudinais e
transversais, variáveis na frequência, e por meio da matriz ABCD. Essa abordagem é possível
a partir da utilização implícita de uma matriz de transformação, variável na frequência,
utilizada na transformação fase-modo-fase.
4.2 REPRESENTAÇÃO DE LINHA POR UM QUADRIPOLO (MATRIZ ABCD)
Considera-se, inicialmente, uma linha monofásica com comprimento d, representada
como um circuito quadripolo como na figura6. As tensões nos terminais emissor e receptor
são VA e VB respectivamente. As correntes nesses terminais são descritos como IA e IB.
Figura 6 – Representação de quadripolos.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Para a linha representada na figura 6, às correntes e tensões, no domínio da frequência,
em ambos os terminais são expressos como (NELMS et al., 1989):
A B B CV V cos h d I Z sen h d (58)
39
A B BC
1I V sen h d I cos h dZ
(59)
Nas equações (58) e (59), d é o comprimento da linha, γ é a função de propagação da
linha e ZC é a impedância característica. Ambos os termos são expressos como uma função
dos parâmetros longitudinal e transversal da linha e são escritos como (MARTI, 1983;
CHIPAMAN, 1972):
ZY (60)
CZZY
(61)
As equações (58) e (59) podem ser escritas sob a forma de matriz:
A B
A B
V VA BI IC D
(62)
O conceito de matriz ABCD é primeiramente exemplificado neste capítulo, tal como
descrito na expressão (62). Os elementos A, B, C e D são expresso como:
A cos h d (63)
CB Z sen h d (64)
C
1C sen h dZ
(65)
D cos h d (66)
Os modelos de linha no domínio da freqüência foram desenvolvidos com base na
representação de quadripolos para uma linha de transmissão monofásica (BUDNER, 1970;
SNELSON, 1972; NELMS et al., 1989; CHAPRA, 2005).
No entanto, o modelo de linha polifásico proposto neste trabalho é desenvolvido a
partir dos conceitos básicos da representação de quadripolos.
40
4.3 CORRENTES E TENSÕES DE FASE PARA UMA LINHA POLIFÁSICA ATRAVÉS
DA TEORIA DE DECOMPOSIÇÃO MODAL
Para a linha polifásica de n fases, no domínio da frequência, a impedância longitudinal
[Z] e a admitância transversal [Y], por unidade de comprimento, são escritas,
respectivamente, na forma:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n 2 nn
z z zz z z
Z
z z z
(67)
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
y y yy y y
Y
y y y
(68)
As correntes e tensões em ambos os terminais da linha podem ser expressa na formade
vetor para as n fases.
Para calcular as correntes e tensões de fase em ambos os terminais, técnicas de
desacoplamentos modais são amplamente utilizadas por muitos modelos da linha A
transformação modal consiste em desacoplar as n fases da linha em n modos de propagação
totalmente independentes. Esse procedimento pode ser realizado utilizando matrizes de
transformação modal variáveis na frequência ou então uma abordagem que utiliza uma matriz
real e constante (MINGLI et al., 2004; DOMMEL, 1969; GOMES; URIBE, 2009; COSTA et
al., 2010; COSTA et al., 2011).
A relação entre a fase e modo é expressa da seguinte forma:
]T][Z[]T[=]Z[ I1
Vm- (69)
]T][Y[]T[=]Y[ V1
Im- (70)
As matrizes [Zm] e [Ym] são, respectivamente, a impedância modal e admitância
modal para os n modos de propagação. A matriz [TV] é uma matriz de transformação variável
na da frequência, cujas colunas são autovetores associados aos autovalores do produto
matricial [Z][Y] e a matriz [TI] é uma matriz de transformação variável na freqüência, cujas
colunas são os autovalores do produto [Y][Z]. As matrizes [TV]-1 e [TV]T são a inversa e a
41
transposta de [TV], [TI]-1 é a matriz inversa da matriz [TI]. Assim, [Zm] e [Ym] são expressas
como duas matrizes diagonais (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
m11
m22m
mk
z 0 00 z 0
[Z ]
0 0 z
(71)
m11
m22m
mk
y 0 00 y 0
[Y ]
0 0 y
(72)
As características de propagação de um modo genérico k são representadas pela
impedância modal Zmk e admitância modal Ymk. Uma vez que o k-ésimo modo de propagação
é completamente independente dos outros modos, esse pode ser representado e modelado
como uma linha monofásica (MINGLI et al., 2004; GOMEZ et al., 2008).
Desta forma, o modo de propagação k pode ser representado como um circuito de
quadripolo conforme mostra a figura 6, sendo as correntes e as tensões modais em ambos os
terminais são expressos de forma análoga como nas equações (58) e (59).
Amk Bmk mk Bmk Cmk mkV V cosh d I Z senh d (73)
Amk Bmk mk Bmk mkCmk
1I V senh d I cosh dZ
(74)
Nas equações (73) e (74), γmk e ZCmk são, respectivamente, a função de propagação e a
impedância característica de um modo genérico k. Os termos IAmk e VAmk são as correntes e as
tensões no terminal emissor no domínio modal. Os termos IBmk e VBmk são as correntes e
tensões no terminal receptor no domínio modal.
Desde que as correntes e as tensões modais sejam conhecidas, as correntes e tensões
de fase podem ser calculadas a partir das seguintes relações (MORCHED et al., 1999):
V mV T V (75)
tV mI T I (76)
42
As maiorias dos modelos de linhas citadas neste trabalho utilizam o procedimento
fase-modo-fase apresentado nesta seção para simular transitórios eletromagnéticos no
domínio da frequência. Com base na mesma teoria modal, o modelo proposto neste trabalho
será desenvolvido a seguir.
4.4 MODELO DE LINHAS POLIFÁSICAS DESENVOLVIDO DIRETAMENTE NO
DOMÍNIO DAS FASES
A formulação usando a matriz ABCD é estendida para uma representação polifásica
diretamente no domínio das fases.
A partir das equações de quadripolos apresentadas anteriormente nas equações (73) e
(74), para um modo genérico k, a mesma formulação pode ser estendida para uma linha de
transmissão de n fases com n modos de propagação:
Am 1 Bm 2 BmV F V F I (77)
Am 3 Bm 4 BmI F V F I (78)
Nas equações (77) e (78) as matrizes [F1], [F2], [F3] e [F4] são dadas por:
m1
m21
mk
cos h( d) 0 00 cos h( d) 0
F0
0 0 cos h( d)
(79)
Cm1 m1
Cm2 m22
Cmn mk
Z sen h( d) 0 00 Z sen h( d) 0
F0
0 0 Z sen h( d)
(80)
m1Cm1
m2Cm23
mkCmn
1 sen h( d) 0 0Z
10 sen h( d) 0ZF
010 0 sen h( d)
Z
(81)
43
4 1F F (82)
As correntes e tensões, no domínio modal, são obtidas a partir de (77) e (78).
Considerando as relações fase-modo mostradas nas equações (75) e (76), e fazendo
algumas manipulações, tem-se:
1 TA V 1 V B V 2 V BV T F T V T F T I (83)
T1 1 T
A V 3 V B V 4 V BI T F T V T F T I (84)
Nas equações (83) e (84), os vetores de [VA] e [IA] são compostos de n elementos, que
são as tensões e correntes de fase respectivamente, no terminal emissor de uma linha
polifásica. Os termos [VB] e [IB] contêm as tensões e correntes de fase no terminal receptor,
respectivamente.
Seguindo a mesma linha de representação por um quadripolo apresentado na equação
(62), as equações no domínio das fases descritas em (83) e (84) são reestruturadas como:
A B
A B
A BV VC DI I
` (85)
onde:
1V 1 VA T F T
(86)
TV 2 VB T F T (87)
T1 1
V 3 VC T F T (88)
T1 T
V 4 VD T F T (89)
Na equação (85), uma linha de n fases é modelada diretamente no domínio das fases
baseada na representação de quadripolo por meio da matriz ABCD. As sub-matrizes
quadradas representadas por [A], [B], [C] e [D] tem dimensão n enquanto que a matriz ABCD
na equação (62) tem dimensão 2n.
44
4.5 DESCRIÇÃO DO MODELO PROPOSTO
É importante salientar que a representação da matriz apresentada em (85) é
completamente descrita no domínio das fases em função, unicamente dos parâmetros
longitudinais e transversais da linha.
Outra observação importante é que os elementos das matrizes [Z] e [Y] podem ser
escritos na forma de funções racionais cujos pólos possuem parte real negativa. Espera-se que
o modelo proposto, baseado única e exclusivamente nas matrizes [Z] e [Y], possa futuramente
ser escrito na forma de funções racionais que permite a implementação do mesmo no domínio
do tempo (GUSTAVSEN; NORDSTROM, 2008).
Figura 7 - (a) Modelo modal clássico (b) Modelo proposto(CARVALHO, 2013).
(a) (b)
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Para analisar o processo de cálculo das correntes e tensões em uma linha polifásica
genérica, a figura 7 mostra uma representação da técnica de decomposição modal e uma
representação do modelo proposto neste capítulo.
Na figura 7, o diagrama (a) representa o modelo modal clássico e o diagrama (b)
representa o modelo proposto neste capítulo. Pretende-se enfatizar com essas representações,
a obtenção das correntes e tensões considerando cada modelo.
Domínio modal
Domínio das fases
Linha polifásica comn fases
Transformação modal
Modos de propagação (Linhas monofásicas)
Cálculo das correntes e tensões nos modos de propagação
Transformação modal inversa
Linhas polifásicas com n fases
Domínio das fases
Modelo modal clássico Modelo proposto
Linha Polifásica
Correntes e tensões calculadas direto no domínio das fases
Domínio das fases
45
Verifica-se que na representação modal, as correntes e tensões são obtidas por meio do
processo de conversão fase-modo-fase. Já no modelo proposto, esse processo não é realizado,
uma vez que as correntes e tensões são obtidas diretamente nas fases da linha.
4.6 OBTENÇÃO ANALÍTICA DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA n
FASES
Anteriormente, verificou-se que para implementar o modelo proposto é necessário que
a matriz de transformação modal, que desacopla a linha polifásica, seja obtida em função dos
parâmetros longitudinais e transversais dessa linha.
Considere a representação de uma linha polifásica com n fases conforme mostra a
figura 8.
Figura 8 - Representação das correntes e tensões em uma linha polifásica com n fases.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Para a linha polifásica mostrada na figura 8, no domínio da frequência, a impedância
longitudinal [Z] e aadmitância transversal [Y], por unidade de comprimento, são
representadas, respectivamente, como (PORTELA; TAVARES, 1993):
nn2n1n
n22221
n11211
zzz
zzzzzz
]Z[
(90)
nn2n1n
n22221
n11211
yyy
yyyyyy
]Y[
(91)
. . .
. . .
46
Os autovalores podem ser obtidos por meio da seguinte expressão (LIPSCHUTS,
1974):
kdet [S] [U] 0 (92)
Na expressão (92), a matriz [S] é a matriz obtida pelo produto [Z][Y] e a matriz [U] é
a matriz identidade de ordem n.
Desenvolvendo (92), tem-se:
11 12 1n 1
21 22 2n 2
n1 n 2 n n n
S S S 0 0S S S 0 0
det 0
S S S 0 0
(93)
Na equação (93), os elementos da matriz [S] são conhecidos, enquanto que a matriz
[λk] deve ser determinada para cada valor de frequência.
Desenvolvendo a equação (93), obtém-se:
11 1 12 1n
21 22 2 2n
n1 n2 n n n
S S S
S S Sdet 0
S S S
(94)
Calculando o determinante mostrado na expressão (94) obtém-se um polinômio de
grau n, onde n é o mesmo número de fases da linha. Logo, para determinar os autovalores λk é
necessário determinar as raízes da equação polinomial e, uma vez obtida, pode-se partir para a
obtenção dos elementos da matriz de transformação [TV].
Então, para um autovalor λk genérico, é possível escrever a seguinte expressão
(WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
k Vk([S] [U])[T ] [0] (95)
Considerando uma linha de transmissão polifásica, a matriz de transformação que
desacopla essa linha pode ser representada por:
47
11 12 1n
21 22 2nV
n1 n 2 nn
T T TT T T
[T ]
T T T
(96)
Para a matriz dada na equação (96), sua k-ésima coluna, o vetor [TVk] está associado
ao k-ésimo autovalor λk. Ou seja, para se obter o primeiro conjunto de autovetores
correspondentes ao primeiro autovalor encontrado, a equação (95) torna-se:
1 V1([S] [U])[T ] [0] (97)
Na equação (97), o vetor [TV1] contém os autovetores da primeira coluna da
matriz [TV]. Desenvolvendo a equação (97), obtém-se:
0
00
T
TT
SSS
SSSSSS
1n
21
11
1nn2n1n
n212221
n112111
(98)
Manipulando algebricamente essa expressão, tem-se:
0T)S(TSTS
0TST)S(TS
0TSTST)S(
1n1nn212n111n
1nn2211221121
1nn1211211111
(99)
O sistema mostrado em (99), possui infinitas soluções. Para que se obtenha uma única
solução, considera-se a hipótese de que o módulo de [TV1] é unitário (WEDEPOHL;
NGUYEN; IRWIN, 1996):
01TTT 21n
221
211 (100)
Logo, a solução desse sistema dá-se por meio da obtenção dos elementos
T11, T21,..., Tn1, da primeira coluna da matriz [TV].
Analogamente, o processo se repete para todas as colunas da matriz [TV].
48
Considerando as equações (99) e (100), é possível obter analiticamente, em função dos
parâmetros da linha, todas as colunas da matriz [TV].
No entanto, em se tratando de linhas polifásicas, as matrizes [Z] e [Y] são de ordem n.
Consequentemente, a equação (95) resultará em um polinômio de grau n em λ, cuja
solução analítica não é facilmente obtida.
Considerando uma linha de transmissão trifásica não transposta e sem plano de
simetria vertical, verificou-se que a aplicação do modelo proposto é viável e possível. Pois,
devido às características físicas dessa linha pode-se representa-lá por um sistema constituído
por três linhas monofásicas.
Logo, para uma linha trifásica genérica, a obtenção analítica dos autovalores resultará
em um polinômio de grau 3, cuja solução será apresentada no próximo capítulo.
4.7 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi descrito um modelo para uma linha de transmissão polifásica direto
no domínio das fases, fazendo uso da representação por quadripolo e matriz ABCD. A
contribuição original do desenvolvimento é a representação por quadripolo aplicada a linhas
com n fases, com ou sem plano de simetria vertical e capaz de simular transitórios compostos
por uma ampla faixa de frequências.
Para a obtenção desse modelo, foi necessário desenvolver uma relação explícita entre a
matriz de transformação modal e os parâmetros da linha. Porém, verificou-se que no caso de
linhas polifásicas com n fases, a obtenção da matriz de transformação depende da solução
analítica de um polinômio de grau n, cuja solução não é conhecida.
Uma alternativa nesse caso foi considerar uma linha trifásica sem plano de simetria
vertical cujas características permitem o cálculo dos autovalores e assim a obtenção analítica
da matriz de transformação [TV].
O modelo é proposto direto no domínio das fases e será validado com base no modelo
clássico fazendo o uso de decomposição modal e representação pro quadripolo de cada modo
de propagação individualmente.
Todos os elementos contidos nesse modelo são escritos em função, unicamente, dos
parâmetros longitudinais e transversais da linha.
49
5 REPRESENTAÇÃO DA LINHA TRIFÁSICA SEM PLANO DE SIMETRIA
VERTICAL, POR MEIO DO MODELO PROPOSTO
5.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior, verificou-se que a obtenção de um modelo analítico para linhas
de transmissão polifásicas requer que os elementos da matriz de transformação sejam
expressos analiticamente.
No entanto, para que esse modelo seja considerado um modelo analítico é necessário
obter uma relação explícita entre a matriz de transformação e os parâmetros da linha.
Sendo assim, neste capítulo foi necessário encontrar os autovalores, cuja obtenção
analítica se deu por meio do teorema de Cardano-Tartaglia. Uma vez conhecidos os
autovalores, é possível obter analiticamente a matriz de transformação [TV] responsável pela
conversão fase-modo-fase das grandezas dessa linha. Este modelo terá como base a
representação da linha no domínio modal.O método foi desenvolvido analiticamente para uma
linha trifásica genérica sem plano de simetria vertical, que é caracterizada por suas matrizes
de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y].
A seguir será apresentado o desenvolvimento do modelo proposto, considerando as
relações entre correntes e tensões obtidas no capítulo 2.
5.2 OBTENÇÃO DOS AUTOVALORES E DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DA
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO [TV] PARA UMA LINHA TRIFÁSICA SEM
PLANO DE SIMETRIA VERTICAL
Considere uma linha de transmissão trifásica sem plano de simetria vertical e não
idealmente transposta como mostra na figura 9 a seguir.
Figura 9 - Linha trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Fase 1
Fase 2
Fase 3
solo
50
Para a linha trifásica mostrada na figura 9, no domínio da freqüência, a impedância
longitudinal e aadmitância transversal, por unidade de comprimento, são representadas,
respectivamente como (PORTELA; TAVARES, 1993):
11 12 13
12 22 23
13 23 33
z z z[Z] = z z z
z z z
(101)
11 12 13
12 22 23
13 23 33
y y y[Y] y y y
y y y
(102)
Os autovalores do produto matricial [Z]]Y] ou [Y][Z] podem ser obtidos a partir da
seguinte expressão (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996;LIPSCHUTZ, 1974):
det S U 0 (103)
Na expressão (103), a matriz [S] é a matriz obtida pelo produto [Z][Y] ou seja,
[S]=[Z][Y] e seus resultados são calculados analiticamente e serão mostrados no apêndice A,
a matriz [U] é a matriz identidade de ordem 3.
Desenvolvendo (103), tem-se:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
S S S 0 0det S S S 0 0 0
S S S 0 0
(104)
Na equação (104), os elementos da matriz [S] são conhecidos, enquanto que a matriz
[λ] deve ser determinada para cada valor de frequência.
Desenvolvendo a equação (104), obtém-se:
11 1 12 13
21 22 2 23
31 32 33 3
S S Sdet S S S 0
S S S
(105)
Calculando o determinante mostrado na expressão (105) obtém-se um polinômio
complexo de grau 3 com seus coeficientes complexos devido as características dos parâmetros
51
de impedância [Z] e admitância [Y] da linha de transmissão e o polinômio pode ser
representado por:
3 2a b c 0 (106)
onde:
11 22 33a S S S (107)
11 22 11 33 22 33 12 21 23 32 13 31b S S S S S S S S S S S S (108)
11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31c S S S S S S S S S S S S S S S S S S (109)
Assim, para determinar os autovalores é necessário encontrar as raízes da equação
polinomial (106). Para isso, será aplicado o teorema de Cardano-Tartaglia (LAGES LIMA,
1987). As equações subsequentes serão detalhadas de maneira mais profunda no apêndice A
desse trabalho.
Fazendo:
au3
(110)
substituindo a equação (110) na equação (106), obtemos a seguinte expressão:
3u pu q 0 (111)
onde:
2ap b3
(112)
32a abq c27 3
(113)
Assim, a equação (111) é a equação reduzida do polinômio original da equação (106).
Substituindo as equações (112) e (113) na equação (111) e a desenvolvendo
matematicamente, obtém-se:
52
2 3 2 33 3q q p q q p au
2 4 27 2 4 27 3 (114)
Chamando u=λ por conveniência, substituindo λ na equação (114) e a desenvolvendo,
tem-se:
3 3 2 2 3 23
1 3
23
3 3 2 2 3 23
2a 3 3 4a c a b 18a bc 4b 27c 9ab 27c
3 2
2 3b a a33 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c
(115)
O teorema de Cardano-Tartaglia permite obter três autovalores para a equação (111),
porém, apenas um autovalor é exato, conforme mostra a equação (115).
A equação1 (115) é uma raiz do polinômio original dado pela equação (106). A partir
desse autovalor é possível obter os dois autovalores restantes por meio de uma divisão
polinomial.
Logo, os dois autovalores restantes são dados por:
2 21 1 1
2
a 3 2a a 4b2
(116)
2 21 1 1
3
a 3 2a a 4b2
(117)
Verifica-se que as equações (115), (116) e (117) são os autovalores do polinômio
original.
O desenvolvimento analítico do teorema de Cardano-Tartaglia e dos autovalores será
mostrado no apêndice A desse trabalho. Verifica-se também, que os autovalores são
calculados unicamente em função dos parâmetros [Z] e [Y] da linha trifásica.
As raízes λ1, λ2 e λ3, mostradas em (115)-(117) correspondem aos autovalores do
produto [S]=[Z][Y]. Uma vez obtidos esses autovalores é possível determinar a matriz de
transformação [TV] a partir da seguinte equação (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
k Vk([S] [U])[T ] [0] (118)
1 Disponível em: <http://www.wolframalpha.com.br>. Acesso em: 12 de fev. 2014.
53
Considerando uma linha de transmissão trifásica, a matriz de transformação que
desacopla essa linha pode ser representada por:
V11 V12 V13
V V21 V22 V23
V31 V32 V33
T T T[T ] T T T
T T T
(119)
Na equação (118), o vetor [TV] está associado ao autovalor λ. Ou seja, para se obter o
primeiro conjunto de autovetores correspondentes ao primeiro autovalor encontrado, a
equação (118) torna-se:
1 V1([S] [U])[T ] [0] (120)
Na equação (120), o vetor [TV1] contém os autovetores da primeira coluna da
matriz [TV].
Desenvolvendo essa equação, obtém-se:
11 1 12 13 V11
21 22 1 23 V21
31 32 33 1 V31
S S S T 0S S S T 0S S S T 0
(121)
Manipulando algebricamente a expressão acima, tem-se:
11 1 V11 12 V21 13 V31
21 V11 22 1 V 21 23 V31
31 V11 32 V21 33 1 V31
S T S T S T 0S T S T S T 0S T S T S T 0
(122)
Desenvolvendo matematicamente a equação (122), tem-se:
11 12 13 V11
22 23 V21
33 V31
T 00 T 00 0 T 0
(123)
sendo:
11 1 (124)
1212
11 1
SS
(125)
54
1313
11 1
SS
(126)
12 3112 2122 22 1 32
11 1 11 1
S SS S S SS S
(127)
13 21 12 3123 23 22 1
11 1 11 1
S S S SS SS S
(128)
13 21 12 3133 23 32
11 1 11 1
13 31 12 2133 1 22 1
11 1 11 1
S S S SS S
S S
S S S SS SS S
(129)
Na equação (123), os elementos α21, α31 e α32 são nulos.
Como foi mostrado acima, o sistema dado pela equação (122) possui infinitas soluções
e para que se obtenha uma única solução desse sistema, considera-se a hipótese de que o
módulo de [TV1] seja unitário (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
2 2 2v11 v21 v31T T T 1 (130)
Assim, desenvolvendo a equação (123) e utilizando a hipótese de que o módulo de
[Tv1] seja unitário dada pela equação (130), obtêm-se:
12 23
2 2 2 2 222 12 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
V1111
13 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
11
1
2 1
T
1
2 1
(131)
55
23V21 2 2 2 2 2
22 12 23 12 13 22 23 12 13 232 2 211 22 22
1T2 1
(132)
V31 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
1T2 1
(133)
A solução do sistema dado pela equação (122) é obtida por meio da obtenção dos
elementos TV11, TV21 e TV31, da primeira coluna da matriz [TV].
Analogamente, o processo se repete para todas as colunas da matriz [TV].
Na segunda coluna da matriz [TV], que é um vetor que será denominado [TV2], está
relacionada ao autovalor λ2 por meio da seguinte expressão (WEDEPOHL; NGUYEN;
IRWIN, 1996).
2 V2S U [T ] 0 (134)
Na equação (134), o vetor [TV2] contém os autovetores da segunda coluna da
matriz [TV]. Desenvolvendo essa equação, obtém-se:
11 2 12 13 v12
21 22 2 23 v22
31 32 33 2 v32
S S S T 0S S S T 0S S S T 0
(135)
Manipulando algebricamente a expressão acima, tem-se:
11 2 v12 12 v22 13 v32
21 v12 22 2 v22 23 v32
31 v12 32 v22 33 2 v32
S T S T S T 0S T S T S T 0S T S T S T 0
(136)
Desenvolvendo matematicamente a equação (136), tem-se:
11 12 13 v12
22 23 v22
33 v32
T 00 T 00 0 T 0
(137)
56
onde:
11 1 (138)
1212
11 2
SS
(139)
1313
11 2
SS
(140)
12 3112 2122 22 2 32
11 2 11 2
S SS S S SS S
(141)
13 21 12 3123 23 22 2
11 2 11 2
S S S SS SS S
(142)
13 21 12 3133 23 32
11 2 11 2
13 31 12 2133 2 22 2
11 2 11 2
S S S SS SS S
S S S SS SS S
(143)
Sendo que, os elementos β21, β31 e β32 da equação (137) são nulos.
Como foi mostrado acima, o sistema dado pela equação (136) possui infinitas soluções
e para que se obtenha uma única solução desse sistema, considere a hipótese de que o módulo
de [TV2] seja unitário (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
2 2 2v12 v22 v32T T T 1 (144)
Assim, desenvolvendo a equação (136) e utilizando a hipótese de que o módulo de
[TV2] seja unitário dada pela equação (144), obtêm-se:
(145)
12 23
2 2 2 2 222 12 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
v1211
13 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
11
1
2 1T
1
2 1
57
23v22 2 2 2 2 2
22 12 23 12 13 22 23 12 13 232 2 211 22 22
1T2 1
(146)
v32 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
1T2 1
(147)
Na terceira coluna da matriz [TV], que é um vetor que será denominado [TV3], está
relacionada ao autovalor λ3 por meio da seguinte expressão (WEDEPOHL; NGUYEN;
IRWIN, 1996).
3 V3S U [T ] 0 (148)
Na equação (148), o vetor [TV3] contém os autovetores da segunda coluna da
matriz [TV]. Desenvolvendo essa equação, obtém-se:
11 3 12 13 v13
21 22 3 23 v23
31 32 33 3 v33
S S S T 0S S S T 0S S S T 0
(149)
Manipulando algebricamente a expressão acima, tem-se:
11 3 v13 12 v23 13 v33
21 v13 22 3 v23 23 v33
31 v13 32 v23 33 3 v33
S T S T S T 0S T S T S T 0S T S T S T 0
(150)
Desenvolvendo matematicamente a equação (150), tem-se:
11 12 13 v13
22 23 v23
33 v33
T 00 T 00 0 T 0
(151)
onde:
58
11 1 (152)
1212
11 3
SS
(153)
1313
11 3
SS
(154)
12 3112 2122 22 3 32
11 3 11 3
S SS S S SS S
(155)
13 21 12 3123 23 22 3
11 3 11 3
S S S SS SS S
(156)
13 21 12 3133 23 32
11 3 11 3
13 31 12 2133 3 22 3
11 3 11 3
S S S SS SS S
S S S SS SS S
(157)
Sendo que, os elementos C21, C31 e C32 da equação (151) são nulos.
Como foi mostrado acima, o sistema dado pela equação (150) possui infinitas soluções
e para que se obtenha uma única solução desse sistema, considere a hipótese de que o módulo
de [TV3] seja unitário (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
2 2 2v13 v23 v33T T T 1 (158)
Assim, desenvolvendo a equação (150) e utilizando a hipótese de que o módulo de
[TV3] seja unitário dada pela equação (158), obtêm-se:
59
12 23
2 2 2 2 222 12 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
v1311
13 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
11
1
2 1T
1
2 1
(159)
23v23 2 2 2 2 2
22 12 23 12 13 22 23 12 13 232 2 211 22 22
1T2 1
(160)
v33 2 2 2 2 212 23 12 13 22 23 12 13 23
2 2 211 22 22
1T2 1
(161)
Logo, os elementos descritos pelas equações (131)-(133), (145)-(147) e (159)-(161)
são os autovetores da matriz de transformação [TV] e verifica-se que todos os elementos
contidos nessas matrizes são calculados única e exclusivamente em função dos parâmetros [Z]
e [Y] da linha trifásica.
A matriz [TΩ] é a matriz inversa da matriz de transformação [TV] e a mesma pode ser
escrita como:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
T T TT T T T
T T T
(162)
60
E seus elementos são:
v22 v33 v32 v2311
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(163)
v12 v33 v32 v1312
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v 22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(164)
v12 v23 v22 v1313
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(165)
v21 v33 v31 v2321
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(166)
v11 v33 v31 v1322
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(167)
v11 v23 v21 v1323
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(168)
v21 v32 v31 v2231
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v 22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(169)
v11 v32 v31 v1232
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(170)
v11 v22 v21 v1233
v11 v22 v33 v12 v23 v31 v13 v21 v32 v12 v21 v33 v11 v23 v32 v13 v22 v31
T T T TTT T T T T T T T T T T T T T T T T T
(171)
A matriz inversa da matriz de transformação [TV] será de grande importância para o
restante do desenvolvimento das equações.
5.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO PROPOSTO
Para a linha mostrada na figura 9, sabemos que no domínio modal as matrizes de
impedância longitudinal [Zm] e de admitância transversal [Ym], são escritas, respectivamente,
como (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
TmZ T Z T (172)
m VY T Y T (173)
61
Nas equações (172) e (173), a matriz [TV] é uma matriz cujas colunas são os
autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y]. A matriz [TΩ]é a inversa da matriz
de transformação [TV] e ([TΩ])Té a matriz transposta da matriz inversa [TΩ].
As matrizes [Zm] e [Ym] são as matrizes diagonais e podem ser escritas como
(BUDNER, 1970):
m11
m m22
m33
Z 0 0Z 0 Z 0
0 0 Z
(174)
m11
m m22
m33
Y 0 0Y 0 Y 0
0 0 Y
(175)
No domínio modal, a linha trifásica mencionada anteriormente é representada por
meio de seus três modos de propagação. A figura 10 mostra 3 modos genéricos de uma linha
de transmissão trifásica.
Figura 10 - Linha trifásica genérica.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 10, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha
trifásica e [TV] é a matriz que decompõe a linha trifásica bifásica em seus modos. Essa matriz
é expressa em função dos parâmetros da linha trifásica, ou seja, [TV]é a matriz cujas colunas
são os autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y].
Verifica-se que na figura 56, as componentes modais da linha trifásica são os modos 1,
2 e 3, sendo que esses modos se comportam como sendo linhas monofásicas independentes
cujas equações são conhecidas. Uma vez que os elementos da matriz [TV] são obtidos
analiticamente, é possível estabelecer uma relação entre essas equações e os parâmetros da
linha trifásica (BUDNER, 1970):
62
Am Bm m cm Bm mV V cosh( d) Z I senh( d) (176)
Am Bm m Bm mCm
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(177)
Nas equações (176) e (177), d é o comprimento da linha, γm é a função de propagação
nos modos da linha de transmissão. O termo Zcm é a impedância característica nos modos da
linhae elas são escritas como sendo (MARTI, 1982; CHIPMAN, 1972).
m m mZ Y (178)
mCm
m
ZZY
(179)
Considere o modo 1, representado na figura 11 mostrada logo abaixo.
Figura 11 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 1.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na Figura 11, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 1.
Os termos VAm1 e VBm1 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do
modo 1, enquanto que os termos IAm1 e IBm1 são, respectivamente, as correntes longitudinais
nos terminais A e B desse modo.
A relação entre as correntes e tensões no modo 1 é escrita como:
Am1 Bm1 m1 cm1 Bm11 m1V V cosh( d) Z I senh( d) (180)
Am1 Bm1 m1 Bm1 m1Cm1
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(181)
A B IBm1 IAm1
solo
VBm1 VAm1
Modo 1
63
Nas equações (180) e (181), os termos γm1 e ZCm1 são, respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica do modo 1. Esses elementos podem ser calculados
em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.
Considere o modo 2, representado na figura 12 mostrada logo abaixo.
Figura 12 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 2.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 12, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 2.
Os termos VAm2 e VBm2 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do
modo 2, enquanto que os termos IAm2 e IBm2 são, respectivamente, as correntes longitudinais
nos terminais A e B desse modo.
A relação entre as correntes e tensões no modo 2 é escrita como:
Am2 Bm2 m2 cm2 Bm2 m2V V cosh( d) Z I senh( d) (182)
Am2 Bm2 m2 Bm2 m2Cm2
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(183)
Nas equações (182) e (183), os termos γm2 e ZCm2 são, respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica do modo 2. Esses elementos podem ser calculados
em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.
Considere o modo 3, representado na figura 13, mostrada logo abaixo.
A B IBm2 IAm2
solo
VBm2 VAm2
Modo 2
64
Figura 13 - Representação das correntes e tensões nos terminais nos terminais emissor (A) e receptor (B)do modo 3.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 13, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 3.
Os termos VAm3 e VBm3 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do
modo 3, enquanto que os termos IAm3 e IBm3 são, respectivamente, as correntes longitudinais
nos terminais A e B desse modo.
A relação entre as correntes e tensões no modo 3 é escrita como:
Am3 Bm3 m3 cm3 Bm3 m3V V cosh( d) Z I senh( d) (184)
Am3 Bm3 m3 Bm3 m3Cm3
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(185)
Nas equações (184) e (185), os termos γm3 e ZCm3 são, respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica do modo 3. Esses elementos podem ser calculados
em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.
É possível escrever as equações (180), (182) e (184) na forma matricial, assim:
Am1 m1 Bm1
Am 2 m 2 Bm 2
Am 3 m3 Bm 3
cm1 m1 Bm1
cm 2 m 2 Bm 2
cm 3 m 3 Bm3
V cosh( d) 0 0 VV 0 cosh( d) 0 VV 0 0 cosh( d) V
Z senh( d) 0 0 I0 Z senh( d) 0 I0 0 Z senh( d) I
(186)
De forma análoga, é possível escrever as equações (181), (183) e (185) na forma
matricial, logo:
A B IBm3 IAm3
solo
VBm3 VAm3
Modo 3
65
m1cm1
Am1 Bm1
Am 2 m2 Bm2cm2
Am3 Bm3
m3cm3
m1 Bm1
m2 Bm 2
m3 Bm3
1 senh( d) 0 0Z
I V1I 0 senh( d) 0 V
ZI V
10 0 senh( d)Z
cosh( d) 0 0 I0 cosh( d) 0 I0 0 cosh( d) I
(187)
As equações (186) e (187) podem ser escritas de forma mais resumida, como segue:
A m 1 Bm 2 BmV F V F I (188)
A m 3 Bm 4 BmI F V F I (189)
onde:
m1
1 m2
m3
cosh( d) 0 0F 0 cosh( d) 0
0 0 cosh( d)
(190)
cm1 m1
2 cm2 m2
cm3 m3
Z senh( d) 0 0F 0 Z senh( d) 0
0 0 Z senh( d)
(191)
m1cm1
3 m2cm2
m3cm3
1 senh( d) 0 0Z
1F 0 senh( d) 0Z
10 0 senh( d)Z
(192)
1 4F F (193)
66
Nas equações (190)-(193), verifica-se que as funções de propagação, γm1, γm2eγm3 e as
impedâncias características, ZCm1, ZCm2e ZCm3são conhecidas e são funções dos parâmetros da
linha trifásica. O cálculo desses elementos será mostrado no apêndice A deste trabalho.
Temos que as grandezas de fase-modo obedecem às seguintes relações:
Tm I fV T [V ] (194)
1m I fI T [I ] (195)
Na equação (194), [Vf] é o vetor com as tensões de fase da linha, enquanto que [Vm] é
o vetor com as tensões modais da linha, e na equação (195) [If] é o vetor com as correntes de
fase da linha e [Im] é o vetor com as correntes modais da linha.
Na equação (195) [TI] é uma matriz cujas colunas são os autovetores associados aos
autovalores do produto [Y][Z], e [TI]-1 é a inversa da matriz [TI]. As matrizes [TV] e [TI]
obedecem à seguinte relação (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
T 1I VT T (196)
Substituindo as equações (188) e (189) nas equações (194) e (195) e manipulando-as
matematicamente deixando em função da matriz de transformação [TV], dada pela relação
(196), onde, [TV]-1=[TΩ],obtêm-se:
TA f V 1 B f V 2 V B fV = T F T V T F T [I ] (197)
T T TA f 3 B f 3 V B f[I ] T F T V T F T [I ] (198)
Sendo, [VAf] e [VBf] nas equações (197) e (198) os vetores com as tensões de fase no
terminal emissor A e no terminal receptor B respectivamente, e [IAf] e [IBf] sãos os vetores
com as correntes de fase no terminal emissor A e no terminal receptor B. Logo, as equações
(197) e (198) podem ser escritas, resumidamente, como sendo:
A f Bf B fV A V B I (199)
A f Bf B f[I ] C V D I (200)
67
Seguindo a mesma linha de representação por um quadripolo mostrado na equação
(62), as equações no domínio das fases descritas nas equações (199) e (200) são reestruturadas
como:
Af Bf
Af Bf
V VA BI IC D
` (201)
onde:
V 1A T F T (202)
TV 2 VB = T F T (203)
T3C T F T (204)
T T4 VD T F T (205)
Uma vez que a matrizes [A], [B], [C] e [D] são calculadas a partir da matriz de
transformação [TV] e elas podem ser usadas para calcular as correntes e tensões nos terminais
da linha trifásica, essas matrizes são calculadas única e exclusivamente em função dos
parâmetros [Z] e [Y] da linha.
Assim, é possível reescrever a equação (201) como sendo:
Af1 Bf111 12 13 11 12 13
A f 2 Bf 221 22 23 21 22 23
Af 3 Bf 331 32 33 31 32 33
Af 1 Bf111 12 13 11 12 13
Af 2 Bf 221 22 23 21 22 23
Af 3 Bf 331 32 33 31 32 33
V VA A A B B BV VA A A B B BV VA A A B B BI IC C C D D DI IC C C D D DI IC C C D D D
(206)
Desta forma, a partir da equação (206), é possível obter as correntes e tensões de fase
para qualquer configuração da linha trifásica mostrada na figura 9 (e.g., curto-circuito fase-
terra ou entre fases).
68
5.4 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado o desenvolvimento analítico do modelo proposto para
uma de linha de transmissão trifásica não transposta e sem plano de simetria vertical, direto
no domínio das fases, fazendo uso da representação por quadripolo e matriz ABCD.
Também foi possível obter analiticamente uma matriz de transformação adequada
variável na frequência e, escrita em função dos parâmetros da linha trifásica e dessa forma
estabelecer relações entre as correntes e tensões de fase da linha.
A contribuição original do desenvolvimento é representação por quadripolo aplicada a
linhas com n fases, com ou sem plano de simetria vertical e capaz de simular transitórios
compostos por uma ampla faixa de frequências. Outros atributos do modelo proposto são:
simulação de sistemas desbalanceados (e.g., curto-circuito fase-terra ou entre fases) e diversas
condições variáveis em função do tempo (inserção de elementos não lineares na modelagem).
Essas relações entre correntes e tensões foram escritas em função única e
exclusivamente das impedâncias longitudinais [Z] e das admitâncias transversais [Y] da linha.
As matrizes [A], [B], [C] e [D] apresentada neste capítulo, serão desenvolvidas
analiticamente no apêndice B deste trabalho.
O exemplo adotado na validação do modelo proposto representa um sistema
assimétrico com duas fases. No entanto, essa representação pode ser facilmente extrapolada
para linhas trifásicas simples ou com circuito duplo, variando apenas a dimensão da matriz
ABCD e dos vetores de corrente e tensão nos terminais. Além disso, o modelo possibilita a
inserção de diversos elementos não lineares por meio de simples adaptações nos vetores com
as tensões e correntes nos terminais da linha.
O modelo proposto foi validado com base no modelo clássico fazendo uso de
decomposição modal e representação por quadripolo de cada modo de propagação
individualmente. O modelo foi validado no domínio da frequência e do tempo. Os resultados
obtidos pelos dois modelos são idênticos, validando o modelo proposto sem o uso explicito de
transformação modal.
69
6 VALIDAÇÃO DO MODELO PROPOSTO 6.1 INTRODUÇÃO
No capítulo 5, foi desenvolvido um modelo analítico para calcular as correntes e
tensões diretamente no domínio das fases de uma linha de transmissão trifásica. Para verificar
o desempenho do modelo proposto, o mesmo foi utilizado para simular as sobretensões
resultantes da energização e da incidência de descarga atmosférica na linha, em seguida
aplicado em uma linha de 440 kV conforme mostra a figura abaixo.
Os resultados obtidos com o modelo analítico (domínio das fases) foram comparados
aos resultados obtidos com o modelo clássico (domínio modal) descrito no capítulo 2.
Figura 14 - Silhueta da estrutura de uma linha de transmissão trifásica de 440 kV.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na estrutura mostrada na figura 14, cada uma das fases é constituída de condutores
múltiplos cujos subcondutores são do tipo Grosbeak. A estrutura possui dois cabos pára-raios
do tipo EHSW-3/8”. Considerou-se a resistividade do solo igual a 1000 Ω.m.
Os parâmetros longitudinais e transversais da linha foram calculados levando em
consideração os efeitos do solo e pelicular (DOMMEL, 1996; MARTI, 1983). Considerou-se
que a condutância da linha é nula e os elementos da matriz de capacitância constantes
(MARTINEZ; GUSTAVSEN; DURBAK, 2005).
Considerou-se também, que os cabos pára-raios foram rebatidos nas fases da linha
(KUROKAWA et al., 2005).
feixe de subcondutores que constitui cada fase
70
As simulações foram realizadas no domínio da freqüência considerando uma linha de
200 km e em seguida convertidas para o domínio do tempo utilizando a transformada inversa
de Laplace obtida numericamente. As simulações foram realizadas no software Matlab®.
6.2 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO
TEMPO PARA AS TENSÕES E CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B)
EM ABERTO
A figura 15 mostra a linha trifásica, descrita na figura 14, sendo energizada por uma
fonte de tensão constante no terminal emissor (A) e com o terminal receptor (B)em aberto.
Figura 15 – Energização da linha em aberto.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
As figuras a seguir mostram o módulo das tensões nos terminal emissor (A) das fases
1, 2 e 3 com o terminal receptor (B) em aberto, considerando o processo de energização dessa
linha. A curva 1 representa a tensão obtida pelo modelo proposto e a curva 2 representa o
modelo clássico.
71
Figura 16 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 17 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da te
nsão
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 1 2 3 4 5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [ms]
Tens
ão [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
72
Figura 18 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 19 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da te
nsão
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo [ms]
Tens
ão [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1 2
73
Figura 20 - Módulo da tensão no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 21 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para tensão, no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da te
nsão
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 1 2 3 4 5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo [ms]
Tens
ão [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1 2
74
Figura 22 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 23 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 1 2 3 4 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x 10-3
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
75
Figura 24 - Módulo da corrente no terminal emissor (A) da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 25 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 1 2 3 4 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x 10-3
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
76
Figura 26 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 27 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 1 2 3 4 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x 10-3
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
77
Em todos os gráficos, verificou-se que as curvas 1 e 2 têm o mesmo comportamento.
Assim, pode-se afirmar que o modelo proposto, apresenta resultados idênticos aos
resultados obtidos através do modelo clássico, tanto no domínio da freqüência como no
domínio do tempo.
6.3 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO
TEMPO PARA AS CORRENTES COM O TERMINAL RECEPTOR (B) EM CURTO
CIRCUITO
A figura 28 mostra a linha trifásica, descrita anteriormente, sendo energizada por uma
fonte de tensão constante no terminal emissor (A) e com o terminal receptor (B) em curto
circuito.
Figura 28 - Energização da linha em curto circuito.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
78
Figura 29 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 30 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-10
10-8
10-6
10-4
10-2
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 1 2 3 4 50
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1 2
79
Figura 31 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 32 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-10
10-8
10-6
10-4
10-2
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 1 2 3 4 5-0.015
-0.01
-0.005
0
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1 2
80
Figura 33 - Módulo da corrente no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 34 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal emissor (A), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-10
10-8
10-6
10-4
10-2
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 1 2 3 4 5-0.015
-0.01
-0.005
0
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1 2
81
Figura 35 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 36 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 1 2 3 4 5-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
82
Figura 37 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 38 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 1 2 3 4 5-5
0
5
10
15
20 x 10-3
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
83
Figura 39 - Módulo da corrente no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 40 - Resposta do degrau unitário da linha no domínio do tempo para corrente, no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
101 102 103 104 10510-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
Frequência [Hz]
Mód
ulo
da c
orre
nte
[p.u
]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 1 2 3 4 5-5
0
5
10
15
20 x 10-3
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
84
Em todos os gráficos, verificou-se que as curvas 1 e 2 têm o mesmo comportamento.
Assim, pode-se afirmar que o modelo proposto, apresenta resultados idênticos aos
resultados obtidos através do modelo clássico, tanto no domínio da freqüência como no
domínio do tempo.
6.4 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS
RESULTANTES DA ENERGIZAÇÃO DA LINHA
Para simular as tensões e correntes durante a energização da linha, considerou-se o
circuito mostrado na figura 41.
Na figura 41, a linha de 440 kV é energizada por um gerador trifásico ideal, com
frequência de 60 Hz.
Foram realizadas simulações considerando uma linha de 200 km alimentando cargas
trifásicas com impedância por fase de 1000 Ω.
Figura 41 - Energização da linha trifásica.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
85
Figura 42 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 1 da linha de 200 km. Modelo proposto (1) e modelo clássico (2).
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 43 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 2 da linha de 200 km.Modelo proposto (1) e modelo clássico (2).
Fonte: Elaboração do próprio autor.
0 5 10 15 20-400
-200
0
200
400
600
800
Tempo [ms]
Tens
ão [k
V]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
0 5 10 15 20-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Tempo [ms]
Tens
ão [k
V]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
1
2
86
Figura 44 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B), da fase 3 da linha de 200 km.Modelo proposto (1) e modelo clássico (2).
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 45 - Tensões trifásicas no terminal receptor (B) das fases 1, 2 e 3 pelo modelo proposto, para uma linha de 200 km.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
0 5 10 15 20-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Tempo [ms]
Tens
ão [k
V]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
2
1
0 5 10 15 20 25 30-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Tempo [ms]
Tens
ão [k
V]
(1) Tensão na fase 1(2) Tensão na fase 2(3) Tensão na fase 3
1 32
87
Na figura 45 é mostrado as três tensões de fase obtidas pelo método proposto, nota-se
que, elas estão em regime transitório até 10 ms em seguida com menos de um ciclo as tensões
entram em regime permanente. Nota-se também que, elas possuem iguais amplitudes porém,
são defasadas 120º uma das outras.
Em todos os gráficos, verificou-se que as curvas 1 e 2 têm o mesmo comportamento.
Assim, podemos dizer que o modelo proposto desenvolvido no domínio das fases, apresenta
resultados idênticos aos resultados obtidos através do modelo clássico desenvolvido no
domínio modal.
6.5 DESEMPENHO DO MODELO PROPOSTO EM SIMULAÇÕES DE TRANSITÓRIOS
RESULTANTES DA INCIDÊNCIA DE DESCARGA ATMOSFÉRICA
Para simular a incidência de uma descarga atmosférica considerou-se o circuito
mostrado na figura 46. Essa configuração foi escolhida por ser uma configuração típica na
análise do desempenho de modelos de linhas de transmissão (GUSTAVSEN;
SEMLYEN, 1998).
Na figura 46, considerou-se uma linha trifásica com uma carga trifásica conectada em
seus terminais. No terminal emissor dessa linha, considerou-se a incidência de uma descarga
atmosférica que foi representada de acordo com as descrições técnicas obtidas junto à
InternationalElectrotechnicalCommission (IEC/60060-1, 2010), por uma função do tipo dupla
exponencial que no domínio da frequência é escrita como sendo:
bs1
as1V)s(V 0 (208)
onde:
a = 0.141 x 106 e b = 5.300 x 107;
V0=1 p.u é a amplitude da tensão aplicada no terminal emissor e s = jω.
Foram realizadas simulações considerando uma linha de 200 km alimentando cargas
trifásicas com impedância por fase de ZC=1000 Ω.
88
Figura 46 - Incidência de uma descarga atmosférica na linha trifásica com carga ZC.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 47 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de 200 km, com o terminal emissor (A) em aberto.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Tempo [ms]
Tens
ão [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
89
Figura 48 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 2 da linha de 200 km, com o terminal emissor (A) em aberto.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 49 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de 200 km, com o terminal emissor (A) em aberto
Fonte: Elaboração do próprio autor.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
Tempo [ms]
Tens
ão [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.45
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
Tempo [ms]
Tens
ão [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
90
Figura 50 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 1 da linha de 200 km, com o terminal receptor (B) em curto.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Figura 51 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 2 da linha de 200 km, com o terminal receptor (B) em curto.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20
-15
-10
-5
0
5 x 10-4
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5
0
5
10
15
20 x 10-4
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
91
Figura 52 - Resposta no domínio do tempo de uma descarga atmosférica na fase 3 da linha de 200 km, com o terminal receptor (B) em curto.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Em todos os gráficos, verificou-se que as curvas 1 e 2 têm o mesmo comportamento.
Assim, pode-se afirmar que o modelo proposto, apresenta resultados idênticos aos
resultados obtidos através do modelo clássico, tanto no domínio da freqüência como no
domínio do tempo.
6.6 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi feita a verificação do desempenho do modelo proposto (domínio das
fases).
Para isso, os resultados obtidos com o modelo proposto foram comparados aos
resultados obtidos com um modelo clássico (domínio modal)
A análise considerou os parâmetros de uma linha trifásica de 440 kV e a simulações
resultantes da energização e da incidência de descarga atmosférica foram feitas.
Considerou-se uma a linha com comprimento igual a 200 km. As simulações foram
realizadas no domínio da frequência e convertidas para o domínio do tempo através de um
programa numérico que utiliza a transformada inversa de Laplace, as simulações foram
realizadas no software Matlab®.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5
0
5
10
15
20 x 10-4
Tempo [ms]
Cor
rent
e [p
.u]
(1) Modelo Proposto(2) Modelo Clássico
21
92
Todos os resultados obtidos por meio do modelo proposto apresentam o mesmo
comportamento que os resultados obtidos por meio do modelo clássico, tanto no domínio da
freqüência, como no domínio do tempo.
Portanto, o modelo analítico desenvolvido no capítulo 5 mostrou-se eficiente e pode
ser utilizado como um modelo alternativo no cálculo das correntes e tensões da linha trifásica.
93
7 CONCLUSÃO 7.1 CONCLUSÕES GERAIS
Neste trabalho foi apresentado o desenvolvimento de um modelo de linhas de
transmissão trifásicas sem um plano de simetria vertical direto no domínio das fases, fazendo
uso da representação por quadripolo e matriz ABCD.
Para que o modelo proposto fosse desenvolvido, foi feito um estudo sobre soluções
para as equações diferencias de uma linha de transmissão. Notou-se que de maneira contrário
que ocorre em linhas monofásicas, não existe um modelo que descreve o comportamento das
correntes e tensões no domínio das fases. Isso acontece, devido ao fato de que a matriz de
transformação que decompõe a linha em seus modos de propagação, na representação modal é
geralmente obtida por meio de métodos numéricos.
Sendo assim, neste trabalho foi desenvolvida uma relação explícita entre a matriz de
transformação e os parâmetros longitudinais e transversais da linha. Essa relação deu início ao
desenvolvimento de um modelo analítico.
Durante o processo de desenvolvimento do modelo, notou-se que, para linhas
polifásicas, a obtenção analítica da matriz de transformação depende da solução de um
polinômio de grau n. Para uma linha trifásica o cálculo analítico da matriz de transformação é
conhecida. Nesse caso, é necessário obter as raízes de um polinômio de grau 3 cuja a solução
poder ser obtida pelo teorema de Cardano-Tartaglia.
Como exemplo de aplicação, considerou-se uma linha trifásica sem transposição e sem
um plano de simetria vertical. No processo de decomposição dessa linha, foi obtida uma
matriz de transformação, e essa matriz desacoplou a linha trifásica em três linhas
monofásicas.
A matriz de transformação que decompõe a linha trifásica foi obtida analiticamente,
em função dos parâmetros de impedância longitudinal e admitância transversal da linha, e a
partir dessa relação, as equações de correntes e tensões de fase da linha trifásica foram
desenvolvidas.
Obtidas as grandezas modais, o passo seguinte foi convertê-las para o domínio das
fases. O processo de conversão foi realizado, inicialmente, agrupando as grandezas modais e,
por meio de operações matemáticas foram obtidas as equações de correntes e tensões de fase
da linha. Essas equações também foram escritas unicamente em função das matrizes de
impedância longitudinal e admitância transversal da linha.
94
A validação do modelo proposto deu-se por meio de comparações de resultados de
simulações de transitórios resultantes da energização e da incidência de descarga atmosférica
na linha.
Todas as simulações realizadas mostram que os resultados obtidos com o modelo
clássico e proposto são coincidentes.
Portanto, o modelo proposto mostrou-se eficiente no cálculo das correntes e tensões de
uma linha trifásica.
As vantagens de um modelo analítico para linhas de transmissão de energia elétrica
estão listadas a seguir.
Todas as equações que representam o modelo desenvolvido são funções, unicamente,
dos parâmetros [Z] e [Y], sendo que a análise dessas funções poderá resultar na
tentativa de se obter um modelo no domínio do tempo;
Durante o desenvolvimento do modelo, as equações obtidas mostram que para sua
obtenção, não foi exigida um amplo conhecimento de análises matemáticas complexas
(como, por exemplo, os conceitos de autovetores e autovalores que são fundamentais
no modelo modal).
O desenvolvimento do modelo representado por quadripolo por meio da matriz ABCD
pode ser aplicado a linha trifásica sem plano de simetria vertical e foi capaz de simular
transitórios compostos por uma ampla faixa de frequências.
7.2 SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS
As propostas para trabalhos futuros são:
A aplicação do modelo desenvolvido em situações que modelo clássico (domínio
modal) não é tão facilmente aplicado, como por exemplo: a análise da linha
considerando a existência de curto circuito fase-terra e fase-fase.
E também que possa ser feito um estudo de referência para falta de altas impedâncias
em linhas de transmissão.
95
REFERÊNCIAS
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99
APÊNDICE A DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DOS AUTOVALORES, IMPEDÂNCIAS MODAIS, ADMITÂNCIAS MODAIS, IMPEDÂNCIAS CARACTERISTICAS E DAS FUNÇÕES DE PROPAGAÇÃO DA LINHA A.1 INTRODUÇÃO
No capítulo 5, foi desenvolvido um modelo analítico para uma linha de transmissão
trifásica não idealmente transposta e sem um plano de simetria vertical, também foi mostrado
o desenvolvimento analítico da matriz de transformação [TV].
No entanto, para que esse modelo seja considerado um modelo analítico válido, é
necessário obter uma relação explícita entre a matriz de transformação e os parâmetros da
linha, como os autovalores, as impedâncias, admitâncias modais da linha e suas das
impedâncias características e das funções de propagação.
Portanto, neste apêndice será mostrado o desenvolvimento analítico para os
autovalores e seus resultados, o desenvolvimento analítico das impedâncias modais da linha,
admitâncias modais da linha, impedâncias características e das funções de propagação da
linha.
A.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DOS AUTOVALORES Considere uma linha de transmissão trifásica sem um plano de simetria vertical dada
pela figura 9 no capítulo 5.
As matrizes de impedância longitudinal [Z] e admitância transversal [Y] para essa
linha são escritas como (KUROKAWA et al.,2005):
11 12 13
12 22 23
13 23 33
z z z[Z] = z z z
z z z
(A.1)
11 12 13
12 22 23
13 23 33
y y y[Y] y y y
y y y
(A.2)
A matriz [S] é a matriz obtida pelo produto [Z][Y] pode ser calculado como sendo:
100
11 12 13
12 22 23
13 23 33
S S S[S] S S S
S S S
(A.3)
onde:
11 11 11 12 12 13 13S z y z y z y (A.4)
12 11 12 12 22 13 23S z y z y z y (A.5)
13 11 13 12 23 13 33S z y z y z y (A.6)
21 12 11 22 12 23 13S z y z y z y (A.7)
22 12 12 22 22 23 23S z y z y z y (A.8)
23 12 13 22 23 23 33S z y z y z y (A.9)
31 13 11 23 12 33 13S z y z y z y (A.10)
32 13 12 23 22 33 23S z y z y z y (A.11)
33 13 13 23 23 33 33S z y z y z y (A.12)
onde:
11 22 33a S S S (A.13)
11 22 11 33 22 33 12 21 23 32 13 31b S S S S S S S S S S S S (A.14)
11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31c S S S S S S S S S S S S S S S S S S (A.15)
As expressões de (A.4)-(A.12) foram escritas em função única e exclusivamente das
impedâncias longitudinais [Z] e das admitâncias transversais [Y] da linha.
Aplicando o teorema de Cardano-Tartaglia na equação (106) que é um polinômio
complexo e com coeficientes complexos, e o desenvolvendo matematicamente a fim de obter
um polinômio reduzido de grau 3, obtém-se:
Fazendo:
au3
(A.16)
101
Substituindo a equação (A.16) na equação (106), para eliminar o coeficiente em λ2,
obtém-se:
3 2a a au a u b u c 03 3 3
(A.17)
Desenvolvendo a equação (A.17), obtém-se:
3 3 33 2 2 2a 2ua a ub ab cu u a ua u a
27 3 9 3 3 3 (A.18)
Resolvendo a equação (A.18), tém-se:
2 3 33 2 2a b a a ab cu u a 0
3 3 27 9 3 3
(A.19)
Reescrevendo a equação (A.19) em uma forma mais resumida, tém-se:
2 33 a 2a abu u b c 0
3 27 3
(A.20)
onde:
2ap b3
(A.21)
32a abq c27 3
(A.22)
Substituindo as equações (A.21) e (A.22) na equação (A.20), obtém-se:
3u pu q 0 (A.22)
A equação (A.22) é a equação reduzida do polinômio original dado pela equação
(106).
A fórmula de Cardano-Tartaglia é dada pela seguinte expressão:
2 3 2 33 3
q q p q q pu2 4 27 2 4 27
(A.23)
Essa fórmula nos dá três autovalores do polinômio reduzido, que somada ou subtraída
à (a/3) nos dá três autovalores do polinômio original, porém, apenas um é exato. A fórmula é
102
somada ou subtraída á (a/3) devido ao sinal que acompanha o termo de grau 3 no polinômio
original, quando o sinal for negativo a fórmula é somada à (a/3) e quando o sinal que
acompanha o termo de grau 3 for positivo a fórmula é subtraída à (a/3), logo, os autovalores
são dados:
3 3 2 2 3 23
3
23
3 3 2 2 3 23
2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27cu
3 22 3b a a
33 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c
(A.24)
3 3 2 2 3 23,
3
2
23 3 2 2 3 233
1 i 3 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27cu
6 2
1 i 3 3b a a3
3x2 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c
(A.25)
3 3 2 2 3 23,,
3
2
23 3 2 2 3 233
1 i 3 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27cu
6 2
1 i 3 3b a a3
3x2 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c
(A.26)
Como mencionado anteriormente, existe apenas um autovalor exato, e ele é dado pela
equação (A.24). Por conveniência, chamando de u=λ1 e substituindo na equação (A.24),
temos:
3 3 2 2 3 23
1 3
23
3 3 2 2 3 23
2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c3 2
2 3b a a33 2a 3 3 4a c a b 18abc 4b 27c 9ab 27c
(A.27)
Uma vez encontrado um autovalor exato é possível obter os outros dois autovalores
por meio de uma divisão polinomial. Feito a divisão polinomial, é obtido um polinômio de
103
grau 2 e os dois autovalores restantes são calculados usando o teorema de Bhaskara e são
dados por (CASTRUCCI et al., 2012):
2 21 1 1
2
a 3 2a a 4b2
(A.28)
2 21 1 1
3
a 3 2a a 4b2
(A.29)
As equações (A.24), (A.28) e (A.29) são os autovalores exatos do polinômio original.
A.3 SIMULAÇÕES DOS AUTOVALORES
A seguir, serão mostradas as simulações dos autovalores obtidos pelo teorema de
Cardano-Tartaglia, em seguida os autovalores foram comparados com o modelo clássico. As
simulações foram feitas no domínio da frequência.
Figura 53 - Comparação dos autovalores de λ1, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2, 3 e 4 (autovalores analíticos).
Fonte: elaboração do próprio autor.
A figura 53 mostra a comparação entre os autovalores analíticos e o autovalor
numérico, nota-se que, as curvas 1 e 2 tem o mesmo comportamento, enquanto que as curvas
3 e 4 possuem o comportamento diferente. Isso se dá devido à condição que o teorema de
Cardano-Tartaglia mostra, conforme descrito no início desse apêndice.
101
102
103
104
10510
-10
10-5
100
105
1010
Frequência [Hz]
Mód
ulo
do a
utov
alor
1 [p
.u]
(1) Autovalor numérico(2) Autovalor analítico(3) Autovalor analítico(4) Autovalor analítico
4
3
2
1
104
Figura 54 - Comparação dos autovalores de λ2, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2 (autovalor analítico).
Fonte: elaboração do próprio autor.
Figura 55 - Comparação dos autovalores de λ3, curva 1 (autovalor numérico) e curva 2 (autovalor analítico).
Fonte: elaboração do próprio autor.
101
102
103
104
105
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
Frequência [Hz]
Mód
ulo
do a
utov
alor
2 [p
.u]
(1) Autovalor numérico(2) Autovalor analítico
1
2
101
102
103
104
105
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
Frequência [Hz]
Mód
ulo
do a
utov
alor
3 [p
.u]
(1) Autovalor numérico(2) Autovalor analítico
1
2
105
A figura 54 mostra a comparação entre o autovalor analítico e o autovalor numérico,
nota-se que, as curvas 1 e 2 tem o mesmo comportamento, da mesma forma a figura 55
mostra a comparação entre o autovalor analítico e o autovalor numérico, e também as curvas
1 e 2 tem o mesmo comportamento.
A.4 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARAS AS MATRIZES DE IMPEDÂNCIA [Zm] E DE
ADMITÂNCIA [Ym] MODAIS
Temos que as matrizes de impedância [Zm] e de admitância [Ym] modais, são dadas
respectivamente por:
TmZ T Z T (A.30)
m VY T Y T (A.31)
Os elementos das matrizes [TV] e [TΩ] foram mostrados no capítulo 5 deste trabalho.
Desenvolvendo matematicamente a equação (A.30), temos:
m11
m m22
m33
Z 0 0Z 0 Z 0
0 0 Z
(A.32)
onde:
2 2 2m11 11 11 12 22 13 33
11 12 12 11 13 13 12 13 23
Z T z T z T z
2 T T z 2 T T z 2 T T z
(A.33)
2 2 2m 22 21 11 22 22 23 33
21 22 12 21 23 13 22 23 23
Z T z T z T z
2 T T z 2 T T z 2 T T z
(A.34)
2 2 2m33 31 11 32 22 33 33
31 32 12 31 33 13 32 33 23
Z T z T z T z
2 T T z 2 T T z 2 T T z
(A.35)
As equações (A.33)-(A.35) são os elementos da diagonal principal da matriz de
impedância modal dada pela equação (A.30).
De forma análoga, desenvolvendo matematicamente a equação (A.31), tem-se:
106
m11
m m22
m33
Y 0 0Y 0 Y 0
0 0 Y
(A.36)
onde:
2 2 2m11 V11 11 V21 22 V31 33
V11 V 21 12 V11 V31 13 V 21 V31 23
Y T y T y T y
2 T T y 2 T T y 2 T T y
(A.37)
2 2 2m22 V12 11 V22 22 V32 33
V12 V 22 12 V12 V32 13 V22 V32 23
Y T y T y T y
2 T T y 2 T T y 2 T T y
(A.38)
2 2 2m33 V13 11 V23 22 V33 33
V13 V23 12 V13 V313 13 V 23 V33 23
Y T y T y T y
2 T T y 2 T T y 2 T T y
(A.39)
As equações (A.37)-(A.39) são os elementos da diagonal principal da matriz de
admitância transversal modal dada pela equação (A.31).
A.5 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO γm E
IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA Zcm PARA CADA MODO DA LINHA
(MARTI, 1982; CHIPMAN, 1972)
A função de propagação para os modos da linha é dada por:
m m mZ Y (A.40)
Logo, a função de propagação escrita analiticamente para cada modo da linha será dada por:
modo 1
m1 m11 m11Z Y (A.41)
modo 2
m2 m22 m22Z Y (A.42)
modo 3
m3 m33 m33Z Y (A.43)
107
As equações (A.41)-(A.43) são as equações de função de propagação de cada modo da
linha e seus elementos são escritos analiticamente em função dos parâmetros da linha e
mostrados nas equações (A.33)-(A.35) e (A.41)-(A.43).
A impedância característica de cada modo da linha é dada por:
mCm
m
ZZY
(A.44)
Logo, a impedância característica escrita analiticamente para cada modo da linha será
dada por:
modo 1
m11Cm1
m11
ZZY
(A.45)
modo 2
m22Cm2
m22
ZZY
(A.46)
modo 3
m33Cm3
m33
ZZY
(A.47)
As equações (A.45)-(A.47) são as equações de impedância característica de cada
modo da linha e seus elementos são escritos analiticamente em função dos parâmetros da
linha e mostrados nas equações (A.33)-(A.35) e (A.41)-(A.43).
A.6CONCLUSÃO Neste apêndice foi apresentado o desenvolvimento analítico dos autovalores e seus
resultados. Também foi mostrado o desenvolvimento analítico das impedâncias modais,
admitâncias modais, impedâncias características e das funções de propagação da linha.
Verifica-se que todos os elementos pertencentes a eles, são escritos única e
exclusivamente em função dos parâmetros da linha trifásica.
108
APÊNDICE B DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D] B.1 INTRODUÇÃO
Conforme visto, no capítulo 5, foi desenvolvido um modelo analítico para uma linha
de transmissão trifásica não idealmente transposta e sem um plano de simetria vertical.
Também foi mostrado o desenvolvimento analítico da matriz de transformação [TV].
No apêndice A, apresentou-se mostrados o desenvolvimento analítico dos autovalores
e das impedâncias [Zm] e admitâncias [Ym] modais da linha, que são de suma importância
para o desenvolvimento analítico e a validação do modelo proposto.
Neste apêndice será mostrada a aplicação completa do modelo analítico em uma linha
de transmissão trifásica não idealmente transposta e sem um plano de simetria vertical.
B.2 DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO DAS MATRIZES [A], [B], [C] e [D]
Considere uma linha de transmissão trifásica sem um plano de simetria mostrada na
figura 9 no capítulo 5.
As matrizes de impedância longitudinal [Z] e admitância transversal [Y] para essa
linha são escritas como (KUROKAWA et al., 2005):
11 12 13
12 22 23
13 23 33
z z z[Z] = z z z
z z z
(B.1)
11 12 13
12 22 23
13 23 33
y y y[Y] y y y
y y y
(B.2)
Para a linha mostrada na figura, sabemos que no domínio modal as matrizes de
impedância longitudinal [Zm] e de admitância transversal [Ym], são escritas, respectivamente,
como (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
TmZ T Z T (B.3)
m VY T Y T (B.4)
109
Nas equações (B.3) e (B.4), a matriz [TV] é uma matriz cujas colunas são os
autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y]. A matriz [TΩ] é a inversa da matriz
de transformação [TV] e ([TΩ])T é a matriz transposta da matriz inversa [TΩ].
Os elementos da matriz [TV] são complexos e variáveis em relação à frequência, o que
dificulta a implementação dos mesmos em programas que realizam simulações diretamente no
domínio do tempo. Conforme mostrado anteriormente, as matrizes [TV] e [TΩ] são dadas pelas
equações (118) e (161) no capítulo 5.
As matrizes [Zm] e [Ym] são as matrizes diagonais conforme mostrado no apêndice A
deste trabalho (BUDNER, 1970).
No domínio modal, a linha trifásica mencionada anteriormente é representada por
meio de seus três modos de propagação que se comportam como três linhas monofásicas
independentes. A figura 56 mostra um modo genérico de uma linha de transmissão trifásica.
Figura 56 - Linha trifásica genérica.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na figura 56, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor da linha
trifásica e [TV] é a matriz que decompõe a linha trifásica bifásica em seus modos. Essa matriz
é expressa em função dos parâmetros da linha trifásica, ou seja, [TV]é a matriz cujas colunas
são os autovetores associados aos autovalores do produto [Z][Y].
Verifica-se que na Figura 56, as componentes modais da linha trifásica são os modos
1, 2 e 3, sendo que esses modos se comportam como sendo linhas monofásicas independentes
cujas equações são conhecidas. Uma vez que os elementos da matriz [TV] são obtidos
analiticamente, é possível estabelecer uma relação entre essas equações e os parâmetros da
linha trifásica (BUDNER, 1970):
Am Bm m cm Bm mV V cosh( d) Z I senh( d) (B.5)
Am Bm m Bm mCm
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(B.6)
110
Nas equações (B.5) e (B.6) d é o comprimento da linha, γm é a função de propagação
nos modos da linha de transmissão. O termo Zcm é a impedância característica nos modos da
linha e elas são escritas como sendo (MARTI, 1982; CHIPMAN, 1972).
m m mZ Y (B.7)
mCm
m
ZZY
(B.8)
Considere o modo 1, representado na Figura 57 mostrada logo abaixo.
Figura 57 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 1.
Fonte: Elaboração do próprio autor.
Na Figura 54, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 1.
Os termos VAm1 e VBm1 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do
modo 1, enquanto que os termos IAm1 e IBm1 são, respectivamente, as correntes longitudinais
nos terminais A e B desse modo.
A relação entre as correntes e tensões no modo 1 é escrita como:
Am1 Bm1 m1 Cm1 Bm11 m1V V cosh( d) Z I senh( d) (B.9)
Am Bm1 m1 Bm1 m1Cm1
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(B.10)
Nas equações (B.9) e (B.10), os termos γm1 e ZCm1 são, respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica do modo 1. Esses elementos podem ser calculados
em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.
Considere o modo 2, representado na Figura 55 mostrada logo abaixo.
A B IBm1 IAm1
solo
VBm1 VAm1
Modo 1
111
Figura 58 - Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 2.
Fonte: Elaboração do próprio autor
Na Figura 55, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 2.
Os termos VAm2 e VBm2 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do
modo 2, enquanto que os termos IAm2 e IBm2 são, respectivamente, as correntes longitudinais
nos terminais A e B desse modo.
A relação entre as correntes e tensões no modo 2 é escrita como:
Am2 Bm2 m2 Cm2 Bm2 m2V V cosh( d) Z I senh( d) (B.11)
Am2 Bm2 m2 Bm2 m2Cm2
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(B.12)
Nas equações (B.11) e (B.12), os termos γm2 e ZCm2 são, respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica do modo 2. Esses elementos podem ser calculados
em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.
Considere o modo 3, representado na Figura 56 mostrada logo abaixo.
Figura 59- Representação das correntes e tensões nos terminais emissor (A) e receptor (B) do modo 3.
Fonte: Elaboração do próprio autor
Na Figura 56, A e B são, respectivamente, os terminais emissor e receptor do modo 3.
Os termos VAm3 e VBm3 são, respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B do
A B IBm2 IAm2
solo
VBm2 VAm2
Modo 2
A B IBm3 IAm3
solo
VBm3 VAm3
Modo 3
112
modo 3, enquanto que os termos IAm3 e IBm3 são, respectivamente, as correntes longitudinais
nos terminais A e B desse modo.
A relação entre as correntes e tensões no modo 3 é escrita como:
Am3 Bm3 m3 Cm3 Bm3 m3V V cosh( d) Z I senh( d) (B.13)
Am3 Bm3 m3 Bm3 m3Cm3
1I V senh( d) I cosh( d)Z
(B.14)
Nas equações (B.13) e (B.14), os termos γm3 e ZCm3 são, respectivamente, a função de
propagação e a impedância característica do modo 3. Esses elementos podem ser calculados
em função das matrizes [Z] e [Y] da linha trifásica.
É possível escrever as equações (B.9), (B.11) e (B.13) na forma matricial, assim:
Am1 m1 Bm1
Am 2 m 2 Bm 2
Am 3 m 3 Bm 3
Cm1 m1 Bm1
Cm 2 m 2 Bm 2
Cm 3 m 3 Bm 3
V cosh( d) 0 0 VV 0 cosh( d) 0 VV 0 0 cosh( d) V
Z senh( d) 0 0 I0 Z senh( d) 0 I0 0 Z senh( d) I
(B.15)
De forma análoga, é possível escrever as equações (180), (182) e (184) na forma
matricial, logo:
m1Cm1
Am1 Bm1
Am 2 m2 Bm2Cm2
Am3 Bm3
m3Cm3
m1 Bm1
m2 Bm 2
m3 Bm3
1 senh( d) 0 0Z
I V1I 0 senh( d) 0 V
ZI V
10 0 senh( d)Z
cosh( d) 0 0 I0 cosh( d) 0 I0 0 cosh( d) I
(B.16)
As equações (185) e (186) podem ser escritas de forma mais resumida, desta maneira:
113
A m 1 Bm 2 BmV F V F I (B.17)
A m 3 Bm 4 BmI F V F I (B.18)
onde:
m1
1 m2
m3
cosh( d) 0 0F 0 cosh( d) 0
0 0 cosh( d)
(B.19)
Cm1 m1
2 Cm2 m2
Cm3 m3
Z senh( d) 0 0F 0 Z senh( d) 0
0 0 Z senh( d)
(B.20)
m1Cm1
3 m2Cm2
m3Cm3
1 senh( d) 0 0Z
1F 0 senh( d) 0Z
10 0 senh( d)Z
(B.21)
1 4F F (B.22)
Nas equações (B.19)-(B.22), verifica-se que as funções de propagação, γm1, γm2 e γm3 e
as impedâncias características, ZCm1, ZCm2 e ZCm3 são conhecidas e são funções dos
parâmetros da linha trifásica. O cálculo desses elementos será mostrado no apêndice A deste
trabalho.
Temos que as grandezas de fase-modo obedecem às seguintes relações:
Tm I fV T [V ] (B.23)
1m I fI T [I ]
(B.24)
Na equação (B.23) [Vf] é o vetor com as tensões de fase da linha, enquanto que [Vm] é
o vetor com as tensões modais da linha, e na equação (B.24) [If] é o vetor com as correntes de
fase da linha e [Im] é o vetor com as correntes modais da linha.
114
Na equação (B.24) [TI] é uma matriz cujas colunas são os autovetores associados aos
autovalores do produto [Y][Z], e [TI]-1 é a inversa da matriz [TI]. As matrizes [TV] e [TI]
obedecem a seguinte relação (WEDEPOHL; NGUYEN; IRWIN, 1996):
TIT T (B.25)
Substituindo as equações (B.17) e (B.18) nas equações (B.23) e (B.24),
manipulando-as matematicamente e as deixando em função da matriz de transformação [TV]
dada pela relação (B.25), obtêm-se:
TA f V 1 B f V 2 V B fV = T F T V T F T [I ] (B.26)
T T TA f 3 B f 3 V B f[I ] T F T V T F T [I ] (B.27)
Onde, [VAf] e [VBf] nas equações (B.26) e (B.27) são os vetores com as tensões de fase
no terminal emissor A e no terminal receptor B respectivamente, e [IAf] e [IBf] sãos os vetores
com as correntes de fase no terminal emissor A e no terminal receptor B. Logo, as equações
(B.26) e (B.27) podem ser escritas, resumidamente, como sendo:
A f Bf B fV A V B I (B.28)
A f Bf B f[I ] C V D I (B.29)
Seguindo a mesma linha de representação por um quadripolo mostrado na equação
(62) no capítulo 4 deste trabalho, as equações no domínio das fases descritas nas equações
(B.28) e (B.29) são reestruturadas como:
A f Bf
Af Bf
V VA BI IC D
` (B.30)
onde:
V 1A T F T (B.31)
TV 2 VB = T F T (B.32)
T3C T F T (B.33)
115
T T4 vD T F T (B.34)
Desenvolvimento analítico da matriz [A] dada pela equação (B.31).
A matriz [A] pode ser reescrita como:
v11 v12 v13 m1 11 12 13
v21 v22 v23 m2 21 22 23
v31 v32 v33 m3 31 32 33
T T T cosh( d) 0 0 T T TA T T T 0 cosh( d) 0 T T T
T T T 0 0 cosh( d) T T T
(B.35)
Assim, desenvolvendo a equação (B.35), obtêm-se:
11 V11 11 m1 V12 21 m2 V13 31 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.36)
12 V11 12 m1 V12 22 m 2 V13 32 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.37)
13 V11 13 m1 V12 23 m2 V13 33 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.38)
21 V21 11 m1 V22 21 m2 V 23 31 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.39)
22 V21 12 m1 V22 22 m2 V23 32 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.40)
23 V21 13 m1 V22 23 m 2 V23 33 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.41)
31 V31 11 m1 V32 21 m 2 V33 31 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.42)
32 V31 12 m1 V32 22 m 2 V33 32 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.43)
33 V31 13 m1 V32 23 m 2 V33 33 m3A T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.44)
Reescrevendo as equações (B.36)-(B.44) e as deixando na forma matricial, tem-se:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A A AA A A A
A A A
(B.45)
Desenvolvimento analítico da matriz [B] dada pela equação (B.32).
A matriz [B] pode ser reescrita como:
116
v11 v12 v13 Cm1 m1
v21 v22 v23 Cm2 m2
v31 v32 v33 Cm3 m3
v11 v21 v31
v12 v22 v32
v13 v23 v33
T T T Z senh( d) 0 0B T T T 0 Z senh( d) 0
T T T 0 0 Z senh( d)
T T TT T TT T T
(B.46)
Assim, desenvolvendo a equação (B.46), obtêm-se:
2 2 211 V11 Cm1 m1 V12 Cm2 m2 V13 Cm3 m3B T Z sen h( d) T Z sen h( d) T Z sen h( d) (B.47)
12 V11 V21 Cm1 m1 V12 V22 Cm2 m2 V13 V23 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.48)
13 V11 V31 Cm1 m1 V12 V32 Cm2 m2 V13 V33 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.49)
21 V11 V21 Cm1 m1 V12 V22 Cm2 m2 V13 V23 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.50)
2 2 222 V21 Cm1 m1 V 22 Cm2 m2 V23 Cm3 m3B T Z sen h( d) T Z sen h( d) T Z sen h( d) (B.51)
23 V21 V31 Cm1 m1 V22 V32 Cm2 m2 V23 V33 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.52)
31 V31 V11 Cm1 m1 V32 V12 Cm2 m2 V33 V13 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.53)
32 V31 V21 Cm1 m1 V32 V22 Cm2 m2 V33 V23 Cm3 m3B T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) T T Z sen h( d) (B.54)
2 2 233 V31 Cm1 m1 V32 Cm2 m2 V33 Cm3 m3B T Z sen h( d) T Z sen h( d) T Z sen h( d) (B.55)
Reescrevendo as equações (B.47)-(B.55) e as deixando na forma matricial, tem-se:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
B B BB B B B
B B B
(B.56)
Desenvolvimento analítico da matriz [C] dada pela equação (B.33).
A matriz [C] pode ser reescrita como:
117
m1Cm1
11 21 31
12 22 32 m2Cm2
13 23 33
m3Cm3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 senh( d) 0 0Z
T T T1C T T T 0 senh( d) 0
ZT T T
10 0 senh( d)Z
T T TT T TT T T
(B.57)
Assim, desenvolvendo a equação (B.57), obtêm-se:
2 2 2
11 21 3111 m1 m2 m3
Cm1 Cm2 Cm3
T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.58)
11 12 21 22 31 3212 m1 m2 m3
Cm1 Cm 2 Cm3
T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.59)
11 13 21 23 31 3313 m1 m 2 m3
Cm1 Cm2 Cm3
T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.60)
12 11 22 21 32 3121 m1 m2 m3
Cm1 Cm 2 Cm3
T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.61)
2 2 2
12 22 3222 m1 m2 m3
Cm1 Cm2 Cm3
T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.62)
12 13 22 23 32 3323 m1 m 2 m3
Cm1 Cm2 Cm3
T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.63)
13 11 23 21 33 3131 m1 m 2 m3
Cm1 Cm 2 Cm3
T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.64)
13 12 23 22 33 3232 m1 m2 m3
Cm1 Cm2 Cm3
T T T T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.65)
2 2 2
13 23 3333 m1 m2 m3
Cm1 Cm2 Cm3
T T TC sen h( d) sen h( d) sen h( d)
Z Z Z (B.66)
Reescrevendo as equações (B.58)-(B.66) e as deixando na forma matricial, tem-se:
118
11 12 13
21 22 23
31 32 33
C C CC C C C
C C C
(B.67)
Desenvolvimento analítico da matriz [D] dada pela equação (B.34).
A matriz [D] pode ser reescrita como:
11 21 31 m1
12 22 32 m2
13 23 33 m3
v11 v21 v31
v12 v22 v32
v13 v23 v33
T T T cosh( d) 0 0D T T T 0 cosh( d) 0
T T T 0 0 cosh( d)
T T TT T TT T T
(B.68)
Assim, desenvolvendo a equação (B.68), obtêm-se:
11 11 V11 m1 21 V12 m 2 31 V13 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.69)
12 11 V21 m1 21 V 22 m2 31 V23 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.70)
13 11 V31 m1 21 V32 m 2 31 V33 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.71)
21 12 V11 m1 22 V12 m2 32 V13 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.72)
22 12 V21 m1 22 V22 m2 32 V 23 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.73)
23 12 V31 m1 22 V32 m 2 32 V33 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.74)
31 13 V11 m1 23 V12 m2 33 V13 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.75)
32 13 V21 m1 23 V22 m 2 33 V23 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.76)
33 13 V31 m1 23 V32 m2 33 V33 m3D T T cosh( d) T T cosh( d) T T cosh( d) (B.77)
Reescrevendo as equações (B.69)-(B.77) e as deixando na forma matricial, tem-se:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
D D DD D D D
D D D
119
Na equação (B.30), as matrizes [A], [B], [C] e [D] correspondem, respectivamente, às
funções matriciais [F1], [F2], [F3] e [F4] mostradas no capítulo 4, nas equações (77) e (78).
B.3 CONCLUSÃO
No capítulo 4, foi mostrado um modelo analítico para uma linha de transmissão
trifásica sem plano de simetria vertical.
No entanto, para que o modelo seja válido, as matrizes correspondentes a este modelo,
devem ser obtidas analiticamente em função dos parâmetros da linha.
Assim, o propósito deste apêndice foi mostrar o desenvolvimento analítico das
matrizes [A], [B], [C] e [D].
Uma vez que essas matrizes são conhecidas, o modelo proposto pode ser aplicado em
uma linha trifásica.