Controle I
Carga Horária 75 horasCréditos 05Prof. Juan Moises Mauricio [email protected]/juan
Universidade Federal da Paraíba - UFPB
Centro de Energias Alternativas e Renováveis - CEAR
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
1
Visão Sistêmica da Disciplina
2
Introdução ao Controle
Digital
Análise de Sistemas no domínio Z
Controladores digitais
Projeto no espaço de
estados
CONTROLE I
Transf. Laplace Transf. Z Amostradores SH, ZoH, FoH DFT Análise em Freq. Taxa de Amostragem DAQ
Planta Continuo para
Discreto SLIT Resposta
Dinâmica Plano-s e Circulo
Unitário
Discretização de Controladores
Projeto no Plano-Z Projeto Continuo-
Discreto PID Digital CLP Aplicações na Indústria
Controlabilidade Observabilidade Estabilidade Projeto de
Controladores no Espaço de Estados
Observadores de Estados
Visão Sistêmica da Disciplina
3
Introdução ao Controle
Digital
CONTROLE I
Transf. Laplace Resposta em Frequência Teorema da Amostragem Transf. Z Amostradores SH, ZoH, FoH DFT Análise em Freq. Taxa de Amostragem DAQ
Eq. Diferenciais
Transf. Laplace e TF
Eq. Em Diferença
Transf. Z e DFT
Análise no domínio de tempo e
frequência de sinais e sistemas
Transformadas de Laplace e z
4
Teoremas da Transformada Z
5t
f(t)
Resposta em Frequência (Diagrama de Bode)
6
Representação de Sistemas usando a Transformada de Fourier (TF)
7
( )h t
( )X ( )Y
( )H
Transformada de Fourier
Função de
Transferência
1( ) ( )
2
( ) ( )
j t
j t
x t X e d
X x t e dt
( ) ( )
F
x t X
8
( )X
( )H
Função de
Transferência
( )( ) ( ) j XX X e
( )( ) ( ) j HH H e
( )( ) ( ) j YY Y e
( )( )
( )
YH
X
Función de Transferencia
Módulo e Fase da Transformada de Fourier
9
( )( )
( )
YH
X
Módulo e Fase da Transformada de Fourier
( )( ) ( ) j XX X e
( )( ) ( ) j YY Y e
( )
( )
( )( )( )
( ) ( )
j Y
j X
Y eYH
X X e
( ( ) ( ))( )
( )( )
j Y XY
H eX
10
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
j H j X
j H j X
Y H e X e
Y H X e e
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
YH Y H X
X
| ( ) | | ( ) || ( ) |Y H X
( ) ( ) ( )Y H X
Magnitude e Fase do sinal de saída do Sistema
Módulo e Fase da Transformada de Fourier
Resposta em Frequência de um Circuito RC
11
Porque?
Para que serve?
Domínio de Laplace
Circuito RC Domínio de Laplace
12
1/ 1 1( )
1/ 1 1
sCH s
R sC sRC s
1
sC
RC Constante de tempo
Função de Transferência
Variável complexa s j
Vout
13
0
s j
s j
j
s j
0
A transformada de Fourier é um caso particular da transformada de Laplace
Resposta em Frequência s = j
Circuito RC Resposta em Frequência
14
1/ 1 1( )
1/ 1 1
j CH
R j C RCj j
1
j C
RC Constante de tempo
15
1
j C
1( )
1H
j
0.1 1( ) | ( ) | 0.995 20 | ( ) | 0.04
0.1 1
1 1( ) | ( ) | 0.7071 20 | ( ) | 3
1 1
10 1( ) | ( ) | 0.0995 20 | ( ) | 20
10 1
H H Log H dbj
H H Log H dbj
H H Log H dbj
Resposta em Frequência s = j
Módulo e Fase do Sistema de Primeira Ordem
16Prof. Juan Mauricio
Porque?
17
Para que serve?
Filtros Analógicos Demodulação Modelagem de sistemas e circuitos Condicionamento de Sinais, etc.
Resposta do sistema para entradas DC e AC
Ganho do sistema Fase do sistema (estabilidade) Atenuação fora da banda passante Etc.
Circuitos ElétricosEq. DiferenciaisTransf. de LaplaceTransformada de Fourier
( )1
AH
j
Teorema da Amostragem
18
Sistema de Controle de Nível
H
Sistemas de Controle
PIDf
Medição daPressão
Ho
f= Frequência do CMB
ErroPID
H
Atuador Frequência de Amostragem fsTempo de amostragem Ts
20
CLP
x(t) CondicionamentoCorrente/Tensão
I/V4-20mA
Conversor A/DDAQ
Tempo de AmostragemTsampling = 1/fsampling
21
22
USB
x(t)
Teorema de amostragem fsampling 2fmaxfsampling = 10 fmaxTsampling = 1/fsamplingEfeito Aliasing
Sinais de Tempo Discreto
23
Tempo Discreto
Tempo Contínuo
x[n]
x(t)
t
n
ConversãoAnalógico/Digital
A/D
fsampling
#bits
Conversão de Sinais Analógico/Digital
• Componentes de um Conversor A/D
Amostragem (Sampling & Hold)
Quantização
Codificação
24
• Amostragem de SinaisDefine-se uma frequência de amostragem do switch
25
Ts
• QuantizadorO número de níveis de quantização é inversamente proporcionalao número de bits.
26
Sinal AnalógicaSinal QuantizadaErro de Quantização
Vmax
Níveis de Quantização
sin 1,761 6* ( )al
ruído
PSQNR Bits dB
P
Relação Sinal a Ruído de Quantização
Relação sinal a ruído de Quantização
• CodificaçãoCodificação binaria dos níveis de quantização
27
Co
dif
icaç
ão 0101
SaídaDigital
Taxa de comunicaçãoSerial/Paralelo/Protocolosbps (bit per second)
ID LOAD V
Protocolos versus Taxa de Comunicação (bps)
28
Exemplo 1
( ) cos(2 ) cos( )
Para uma frequencia de amostragem
Tempo discreto
[ ] cos(2 ) cos 2
[ ] cos 2
[ ] cos
s
s
s
s
x t ft t
f
t nT
fx n fnT n
f
x n Fn
x n n
Frequencia digitals
fF
f
29
100 1000 /
20
0 :1: ( 1)
[ ] cos(2 )
s
s
Para f Hz f amostras s
N amostras
n N
x n fnT
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x(n
)
30
20N amostras
W sA janela do tempo de aquisiçãoé t N T
31
N = numero de amostras
32
x(0)=1 Xfft(k=0)=-0.0000 + 0.0000i
x(1)=0.8 Xfft(k=1)=-0.0000 + 0.0000i
x(19)=0.8
....
Xfft(k=19)=-0.0000 + 0.0000i
x(3)=-1 Xfft(k=3)=10.0000 + 0.0000i
Circulo Unitário
33
Omega = 2* /N
Omega = 4* /N
z=1ejw
DFT
0 2*
0 fs
omega
fHz
fHz = ômega*fs/(2* )
Plano-z
34
0 Fs/2 fs
Banda de Interesse
Propriedade de simetria da DFT
• Fsampling = 1M amostras/s
• Banda de interesse [0 500k]
35
ADUC
36
CLP
x(t)CondicionamentoCorrente/Tensão
I/V4-20mA
Conversor A/DDAQ
Tempo de AmostragemTsampling = 1/fsampling
Filtro Passa Baixa
fc=fs/2
fs=2000
fc=1000
37
W sA janela do tempo de aquisiçãoé t N T
Tsamplig = 1 ms
20 ms
DadosTempo Valor0 x(0)Ts x(Ts)2Ts x(2Ts)..19Ts x(19Ts)
38
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
x(t
)
1sT ms
1000
1
s
s
amostrasf
s
T ms
W s
A janela de tempo de aquisiçãoé
t N T
W st N T
39
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
x(t
)
• Considerando-se que cada amostra tem “B” bits
• A taxa de transferência de dados através de uma comunicação
serial é dada por fsB
• janela de tempo de aquisição: tw
fsB
Sinal Discreta com “N” amostras
Transferência de dados por amostra (bps)
W s
W
s
t N T
tN amostras
T
1 byte = 8 bits1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes
Memória
O que acontece com o espectro do sinal amostrado?
40
Conversor A/D DFT -> FFTEficiência Computacional
41
a = 2**fo
42
Análise da Amostragem na Frequência
TFx(t)
Espectro do Sinal x(t)
A/Dfsampling
#Bits
Ws = 2* *fs
43
|H(w)|
w
Fase(w)
• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado nafrequência é equivalente a replicar o espectro original emmúltiplos da frequência de amostragem s=2fsampling
44
Análise da Amostragem na Frequência
1( )X
T
1( )sX
T
1( 2 )sX
T
45
Análise da Amostragem na Frequência
1( )X
T
1( )sX
T
1( 2 )sX
T
Evitar a colisão de Espectros2
2
s MAX MAX
s MAX
s MAXf f
• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado porXp()
46
( )p
n
x t x nT t nT
Sequência Amostrada no Tempo
Sequência Amostrada na Frequência
Análise da Amostragem na Frequência
1
( )p s
k
X X kT
1( )X
T
1( )sX
T
1( 2 )sX
T
47
Teorema da Amostragem
• Amostragem no dominio da frequência
2
M s M
M s
M=Freq. Máxima
s=Freq. Amostragem
Condição para que não haja superposição de espectros
48
• Se:
“Efeito Aliasing”
• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()
2
s M M
s M
Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)
49
• Define-se o Teorema da Amostragem:
– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0 para ||>M.
– Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nT), se:
22 :s M scom
T
12 :s M sf f com f
T
Teorema da Amostragem
Considerações de Engenharia
Especificar um conversor AD
Definir a frequência de amostragem de sinais
Definir o número de bits
Aplicação do teorema de amostragem de forma técnica e com segurança
Usar ferramentas: Software e Hardware
50
Labview
Transformada Z eResposta em Frequência
51
CLP
Inversor deFrequência
Motor
Sensor
Interface deProgramação
Input
Output
52
CLP
Inversor deFrequência
Motor
Sensor
Interface deProgramação
Input
Output
A/DH(z)D/AInputOutput
AcionamentoControle de VelocidadeEficiência
Transf. ZTransf. Inversa ZEquações em DiferençaSinais amostradosfsampling
Onde posso utilizar a Transformada Z ou a equação em diferença?
53
CLP
CLP (Controlador Lógico Programável)
54
Conversores A/D e D/A CPU Entradas/Saídas Digitais Suporte para controle
PID discreto Suporte para controle
Fuzzy Programação
LADDER/Grafcet Controle e Automação
LADDER
Links de Interesse
55
PLC Basics | Programmable Logic Controller
https://www.youtube.com/watch?v=PbAGl_mv5XI
How to Program a Basic PID Loop in ControlLogix
https://www.youtube.com/watch?v=XVYRT0Mbu7A
Transformada Z
• Para um sistema com resposta ao impulso h[n]:
[ ][ ]
[ ]
Y zH z
X z
[ ] [ ] n
n
H z h n z
56
[ ] [ ] n
n
X z x n z
[ ] [ ] n
n
Y z y n z
[ ] [ ]Zh n H zNotação:
• Para jz re
( ) [ ] n
n
X z x n z
57
( ) [ ]( )j j n
n
X re x n re
( ) { [ ] } { [ ] }j n j n n
n
X re x n r e F x n r
Resposta em Frequência
jz re
DFT
r
• Para
Si r=1 |z|=1, então se tem a Transformada Discreta de Fourier (DFT)
A Transformada Z é equivalente à Transformada Discreta de Fourier (DFT), quando a variável é:
jz re
( ) { [ ]}jX re F x n
58
jz e
Resposta em Frequência
Alguns pares da Transformada Z
59
Exemplo 1
2 1 2
1; 0[ ]
0;
( ) [ ].
( ) ... 0. 0. 1 0. 0. ...
( ) 1
n
n
se nn
outros casos
X z n z
X z z z z z
X z
60
Transformada z da função impulso:
( ) [ ] n
n
X z x n z
Exemplo 2
2 1 1 2 3
1
1; 0[ ]
0;
( ) [ ].
( ) ... 0 0 1 ...
1( )
1 1
n
n
se nu n
outros casos
X z u n z
X z z z z z z
zX z
z z
61
Transformada z do degrau unitário:
( ) [ ] n
n
X z x n z
Exemplo 3
• Calcular a Transformada Inversa de X(z)
1( )
( 0.25)( 0.5)X z
z z
16 8( ) 8
0.25 0.5
z zX z
z z
62
Decomposição em fracções parciais
Exemplo 3
16 8( ) 8
0.25 0.5
z zX z
z z
63
[ ] 8 [ ] 16(0.25) [ ] 8(0.5) [ ]n nx n n u n u n
Identificação por tabelas, determina-se a transformada inversa:
Aplicação da Transformada Z – Função de Transferência
64
x(n)y(n)
delay
somadorganho
A/Dx(t)
x[n]
D/A
y(t)
Elemento de Delay
65
Z-1
x[n] y[n]=x[n-1]
X(z)Y(z)= x[n-1] Y(z)=z-1X(z)
fs >=2fmax
fmax<=fs/2
Ts = 2sfs = 0,5fmax <=0,25
fmax = 0,01fs = 2
T = 100s
Cálculos Preliminares
Elemento de Delay
66
fs >=2fmax
fmax<=fs/2
Ts = 2sfs = 0,5fmax <=0,25
fo = 0,01 Hzfs = 2 amostras/s
T = 100s
fsampling =1/2=0,5fmax <=0,25
fo= 0,01 Hz
67
68
Tempo de simulação, 2 períodos
69
Geração de Código
y[n]= x[n-1]+1
Aplicação da Transformada Z Controlador PID Discreto
70
u(n)y(n)
PID continuo – Implementação
71
Considerações de Engenharia
72
Contínuo Discreto
As implementações sãorealizadas com componentes eletrônicos discretos (R,L, C, amp-op)
As implementações discretas são feitas por software
Projeto e implementaçãousando circuitos eletrônicos e circuito impresso.
Projeto e implementação por software
A atualização requer um novo projeto e implementação
A atualização é de forma simples e com atualização do código.
Projeto para ser usado com ampla banda de frequências
Limitações do hardwareConsiderações custo-benefício (Preço)
Limitações com a frequência do clock
Visão Sistêmica da Disciplina
73
Introdução ao Controle
Digital
CONTROLE I
Transf. Laplace Resposta em Frequência Teorema da Amostragem Transf. Z Amostradores SH, ZoH, FoH DFT Análise em Freq. Taxa de Amostragem DAQ
Eq. Diferenciais
Transf. Laplace e TF
Eq. Em Diferença
Transf. Z e DFT
Análise no domínio de tempo e
frequência de sinais e sistemas