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UNIBH - CENTRO UNIVERSITRIO DE BELO HORIZONTE

CURSO DE ENGENHARIA ELTRICABRUNO DE OLIVEIRA SOUSAHUDSON GURGELFRANCISCO GODINHOLUGAR GEOMTRICO DAS RAZESBELO HORIZONTE

DEZEMBRO 2014

BRUNO DE OLIVEIRA SOUSAHUDSON GURGEL FRANCISCO GODINHOLUGAR GEOMTRICO DAS RAZES

Trabalho terico a ser apresentado ao UNIBH - Centro Universitrio de Belo Horizonte, Curso de Engenharia Eltrica, como requisito de avaliao na disciplina Controle e Automao.Orientador: Prof(o). MSc./Dr. Mario HenriqueBELO HORIZONTE

DEZEMBRO - 2014LISTAS DE ILUSTRAES

Equao 1.........................................................................................................10

Equao 2.........................................................................................................11

Equao 3.........................................................................................................11

Equao 4.........................................................................................................11

Equao 5.........................................................................................................12

Equao 6.........................................................................................................15

Figura 1Sistema de Controle........................................................................11

Figura 2Sistema de Controle........................................................................12

Figura 3Grfico do lugar das razes dos sistemas indicados na figura 2......12

Figura 4Grfico dos lugares de ganho do sistema indicado na figura 2.......16

Figura 5Grfico de ganho constante e fase constante no plano G(s)H(s)....17

Figura 6Grfico dos lugares das razes e dos lugares de ganho constante..18

Tabela 1Coleo dos Grficos simples de lugares de razes.........................15

SUMRIO

91. INTRODUO

92. OBJETIVO

93. REFERNCIAL TERICO

3.1.MTODO DO LUGAR DAS RAZES 103.2. DIAGRAMA DE LUGAR DAS RAZES103.3. GRFICO DE LUGAR DAS RAZES PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM113.4. LUGAR DE GANHO CONSTANTE153.5. ORTOGONALIDADE ENTRE OS LUGARES DAS RAZES E OS LUGARES DE GANHO CONSTANTE16REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS19

1. INTRODUO O mtodo do Lugar Geomtrico das Razes foi desenvolvido por W. R. Evans e apresentado em um artigo publicado em 1948. Originalmente este mtodo tinha por objetivo representar graficamente o deslocamento dos plos de malha-fechada de um sistema linear, quando sujeito a variao de um ou mais parmetros. Por essa razo, era necessrio efetuar a construo grfica da forma mais exata possvel. Atualmente, possvel obter os plos do sistema em malha fechada de maneira rpida e exata usando mtodos computacionais. Apesar disso, o mtodo do lugar das razes continua sendo um mtodo de grande utilidade no projeto de sistemas de controle por permitir ao projetista definir adequadamente a estrutura do controlador apropriado a cada sistema.2. OBJETIVOS

A tcnica um mtodo grfico de esboar, no plano s, o lugar geomtrico das razes a medida que um parmetro variado.

Este mtodo fornece a medida da sensibilidade das razes do sistema a uma variao de um parmetro sob considerao. Pode ser usada em conjunto com o critrio de Routh-Hurwitz.

Pode ser um esboo aproximado no sentido de obter informao qualitativa referente a estabilidade e ao desempenho do sistema.

Pode-se investigar o lugar de razes da EC de um sistema com mltiplas malhas to rapidamente quanto uma nica malha.

Se a localizao no for satisfatria, os ajustes dos parmetros podem ser facilmente alterados.3. REFERENCIAL TERICO

A caracterstica bsica da resposta transitria de um sistema em malha fechada determinada a partir dos plos de malha fechada. Portanto, em problemas de anlise, importante localizar os plos em malha fechada no plano S. No projeto de sistemas de malha fechada, queremos ajustar os plos e zeros de malha aberta de odo a colocar os plos e zeros em malha fechada nas posies desejadas do plano S.Os plos de malha fechada so as razes da equao caracterstica. Para determina-los necessitamos fatorar o polinmio caracterstico. Em geral, este procedimento trabalhoso se o grau do polinmio caracterstico trs, ou maior. As tcnicas clssicas da fatorao de polinmio no so convenientes porque conforme varia o ganho da funo de transferncia em malha aberta, devem ser repetidos os clculos.

Um mtodo simples para determinar as razes da equao caracterstica foi desenvolvido por W. R. Evans e extensivamente usado em engenharia de controle. Este mtodo, denominado Mtodo do lugar das razes, um mtodo pelo qual as razes da equao caracterstica so colocados em um grfico para todos os valores de um parmetro do sistema. As razes correspondentes a um valor particular deste parmetro podem ento ser localizadas no grfico resultante. Note que o parmetro usualmente o ganho, porm qualquer outra varivel da funo de transferncia em malha aberta pode ser utilizada. Salvo meno em contrrio, suporemos que o ganho da funo de transferncia em malha fechada o parmetro a ser variado atravs de todos os seus valores, isto , de zero a infinito.

3.1 MTODO DO LUGAR DAS RAZES

A ideia bsica na qual se baseia o mtodo do lugar das razes que o valor de S que faz a funo de transferncia pelo lao ser igual a -1 deve satisfazer a equao caracterstica do sistema.

O lugar das razes da equao caracterstica do sistema em malha fechada, conforme o ganho variado desde zero at infinito, d ao mtodo o seu nome. O grfico correspondente mostra claramente as contribuies de cada plo ou zero de malha aberta nas localizaes dos plos em malha fechada.Mtodo do lugar das razes nos possibilita determinar os plos em malha fechada a partir dos plos e zeros de malha aberta, considerando o ganho o ganho como parmetro. Consequentemente, evita dificuldades inerentes s tcnicas clssicas, fornecendo uma imagem grfica e todos os plos de malha fechada para todos os valores do ganho da funo de transferncia em malha aberta.

No projeto de um sistema de controle linear, verificamos que o mtodo do lugar das razes se torna muito til desde que indica a maneira pela qual os plos e zeros em malha aberta devem ser modificados de modo que as resposta satisfaa as especificaes de desempenho do sistema. Este mtodo particularmente conveniente para se obter resultados aproximados muito rapidamente.

Desde que o mtodo grfico na determinao das razes da equao caracterstica, ele fornece um procedimento grfico eficaz para determinar as razes de qualquer equao polinomial que resulte de um estudo de sistemas fsicos.

3.2 DIAGRAMA DE LUGARES DAS RAZESCondies de ngulo e amplitudeConsidere o sistema indicado na Fig 1. A Funo de transferncia em malha fechada :Equao (1)A equao caracterstica para este sistema em malha fechada obtida igualando-se o denominador da frao do segundo membro da Equao 1 a zero. Equao (2)

Desde que G(s)H(s) uma quantidade complexa, a equao 2 deve ser desmembrada em duas equaes a fim de se igualar os ngulos e os mdulos de ambos os membros da equao, respectivamente, para obter:Condio do ngulo: Equao (3)

- Condio de Mdulo: Equao 4

Os valores de S que satisfazem as condies de ngulo e mdulo so as razes da equao caracterstica, ou os plos de malha fechada. Um grfico (ou diagrama) dos pontos do plano complexo que satisfazem apenas a condio do ngulo o lugar das razes. As razes na equao caracterstica ( os plos em malha fechada) correspondentes a um dado valor do ganho podem ser determinadas a partir da condio de mdulo. Os detalhes da aplicao de ngulo e mdulo a fim de obter os plos em malha fechada esto apresentados na Seo 3.

Figura 1: Sistema de controle3.3 GRFICO DE LUGAR DE RAZES PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEMConsidere o sistema indicado na figura 2. A funo de transferncia em malha aberta G(s)H(s) :

A funo de transferncia em malha fechada :

A equao caracterstica :

Equao (5)

Figura 2: Sistema de controle

Desejamos determinar o lugar das razes desta equao conforme K varia desde zero at infinito. Afim de ilustrar claramente qual o aspecto do grfico do lugar das razes para este sistema, obteremos inicialmente as razes da equao caracterstica analiticamente em termos de K, e ento variaremos K desde zero at infinito. Deve ser notado que este no o modo apropriado para construir o grfico do lugar das razes. O modo apropriado atravs de uma abordagem grfica de tentativa e erro, e o trabalho grfico pode ser muito simplificado aplicando-se as regras gerais a serem apresentadas na Seo 3 (obviamente, se puder ser encontrada facilmente uma soluo analtica para as razes da equao caracterstica, no h necessidade de se utilizar o mtodo do lugar das razes). As razes da equao caracterstica, equao 5, so:

As razes so reais para K e complexas para K > . O Lugar das razes correspondente a todos os valores de K est indicado na figura 3(a). O lugar das razes est graduado om K como parmetro (o movimento das razes conforme K aumenta indicado por setas). Uma vez desenhado o grfico, podemos imediatamente determinar o valor de K que fornecer uma raiz, ou um plo em malha fechada, em um ponto desejado. Desta anlise, claro que os plos em malha fechada correspondentes a K=0 so os mesmos plos de G(s)H(s). Conforme o valor de K aumenta desde zero at 1/4, os plos de malha fechada movem-se para o ponto (-1/2;0). Para valores de K entre zero e , todos os plos de malha fechada esto sobre o eixo real. Esta a situao correspondente a um sistema superamortecido, e a resposta impulsiva no oscilatria. Em K=1/4, os dois plos de malha fechada reais se igualam. Esta situao corresponde ao caso do sistema criticamente amortecido. Conforme K aumenta apartir de 1/4, os plos de malha fechada tornam-se complexos, posicionando-se fora do eixo real, e deviso parte real dos plos de malha fechada ser constante para K > , os plos de malha fechada movem-se ao longo da reta S= -1/2. Portanto, para K > 1/4, o sistema comporta-se como subamortecido. Para um dado valor de K, um dos plos conjugados de malha fechada move-se para S= -1/2 + j, enquanto o outro move-se para:

Qualquer ponto sobre o lugar das razes satisfaz a condio de ngulo. A condio de ngulo dada pela equao (3) :

Considere o ponto P sobre o lugar das razes indicado da figura 3(b). Os nmeros complexos S e S+1 possuem ngulos 1 e 2, respectivamente, e mdulos IsI e Is+1I, respectivamente (Note que todos os ngulos so considerados positivos quando so medidos no sentido anti-horrio). A soma dos ngulos 1 e 2 nitidamente 180.

Figura 3: Grfico do lugar das razes dos sistemas indicados na figura 2

Se o ponto P estiver localizado sobre o eixo real entre 0 e -1, ento 1=180 e 2=0. Portanto, verificamos que qualquer ponto sobre o lugar das razes satifaz a condio de ngulo. Notemos tambm que se o ponto P no for um ponto sobre o lugar das razes, ento a soma de 1 e 2 no igual a +/- 180 (2K+1), onde K=0, 1, 2,... Portanto, os pontos que no estiverem sobre o lugar das razes no satisfaz a condio de ngulo e, portanto, no podem ser plos de malha fechada para quaisquer valores de K.

Se os plos de malha fechada forem especificados no lugar das razes , ento o valor correspondente de K determinado pela condio do mdulo, Equao (4). Se , por exemplo, os plos de malha fechada selecionados so S=-1/2 +/- j2, ento o valor correspondente de K determinado de:

Desde que os plos complexos so conjugados, se um deles, por exemplo, S=-1/2 +j2, especificado, ento o outro automaticamente fixado. No clculo do valor de K, qualquer um dos plos pode ser utilizado.

Do grfico do lugar das razes fornecido na figura 3(a), verificamos claramente os efeitos de variaes no valor de K no comportamento da resposta transitria em relao ao sistema de segunda ordem. Um aumento no valor de K diminuir a relao de amortecimento, resultando em um aumento na sobre-elevao da resposta. Um aumento no valor de K tambm resultar em um aumento nas frequncias natural no amortecida e amortecida (se K maior do que o valor crtico, que corresponde a um sistema criticamente amortecido, um aumento no valor de K no afetar o valor da parte real dos plos em malha fechada). A partir do grfico do lugar das razes, evidente que os plos de malha fechada sempre estaro no semi-plano esquerdo do plano S, consequentemente, independente de quanto o parmetro K for aumentado, o sistema sempre permanecer estvel, desta forma, o sistema de segunda ordem sempre estvel. ( Note, entretanto, que se o ganho for ajustado em um valor muito alto, os efeitos de alguma das constantes de tempo que foram desprezadas podem tornar-se importantes, e o sistema que supostamente de segunda ordem, porm efetivamente de ordem maior, pode tornar-se instvel). A Tabela 1 fornece uma coleo de grficos simples de lugares de razes:Tabela 1: Coleo de grficos simples de lugares de razes.

3.4 LUGARES DE GANHO CONSTANTEA figura 4 mostra um grfico dos lugares de ganho constante do sistema indicado na Figura 2. Os lugares de ganho constante para este sistema foram obtidos a partir da condio de mdulo:

Equao (6)Os pontos do plano complexo que satisfazem a equao 6 para um dado K constituem um lugar de ganho constante.

3.5 ORTOGONALIDADE ENTRE OS LUGARES DAS RAZES E OS LUGARES DE GANHO CONSTANTEConsidere o sistema indicado na figura 1. No plano G(s)H(s) os lugares de IG(s)H(s)I = Constante so circunferncias com centro na origem, e os lugares correspondentes a:

Permanecem sobre o eixo real negativo do plano G(s)H(s), como indicado na figura 5 (Note que o plano complexo aqui empregado no o plano S, mas o plano G(s)H(s)).

Figura 4: Grfico dos lugares de ganho constante do sistema indicado na figura 2

Os lugares das razes e os lugares de ganho constante no plano S constituem mapeamentos conformes dos lugares de: G(s)H(s) = +/- 180 (2K + 1) e de IG(s)H(s) = Constante no plano G(s)H(s).Desde que os lugares de fase constante e ganho constante no plano G(s)H(s) so ortogonais, os lugares das razes e os lugares de ganho constante no plano S tambm so ortogonais. A figura 6 (a) mostra os lugares das razes e os lugares de ganho constante para o seguinte sistema:

Verifique que devido a configurao de plo zero ser simtrica em relao ao eixo real, os lugares de ganho constante tambm so simtricos em relao ao eixo real. A figura 6(b) mostra os lugares das razes e de ganho constante para o sistema:

Note que devido a configurao dos plos no plano S ser simtrica em relao ao eixo real e em relao a reta paralela ao eixo imaginrio passando pelo ponto (=-1, =0), os lugares de ganho constante so simtricos em relao reta =0 (eixo real) e a reta =-1.

Figura 5: Grfico de ganho constante e fase constante no plano G(s)H(s).

Figura 6: Grfico dos lugares das razes e dos lugares de ganho constante.

6. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS- ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. NBR 6023: informao e documentao: referncias: elaborao. Rio de Janeiro: ABNT, 2002. - GIL, Antnio Carlos. Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. So Paulo: Atlas, 2002. 159 p. ISBN 8522240724

- GOMES, Silvio C. P. Sobre a bucalidade: notas para a pesquisa e contribuio ao debate. Lugar geomtrico das razes incremental e sua aplicao na sintonia de controladores PID, Disponvel em http:// http://www.maua.br/. Acesso em 18. Nov. 2014.

- OGATA, K. Engenharia de controle moderno. Editora Pearson Prentice Hall, 4 ed., 2003. - O Mtodo do lugar geomtrico das razes . Acessado em 14/11/2014 http://www2.dem.inpe.br/mcr/Inpe/CMC-021-0/pdf/Aula_15a.pdf

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