Lugar Geométrico das Raízes

• Exemplo: Traçar o LGR para o seguinte sistema sistema realimentado

KsHsss

sG

)( ,22

1)(

2

Lugar Geométrico das Raízes• Exemplo:

Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta

• não há zeros de malha aberta;• pólos de malha aberta:

Passo 2: Determinar o LGR no eixo real

Passo 3: Zeros no infinito 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas

1)( ,22

1)( 2

sH

ssssG

jss 1 e 0

Lugar Geométrico das Raízes• Assíntotas:

• ponto de partida:

• ângulos:

Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito.• Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real

negativo ( );

32

3)1()1(0 jj

3

12180 ko

Lugar Geométrico das Raízes• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo

conjugados e “caminham” na direção dos zeros no infinito Mas de que modo?

Lugar Geométrico das Raízes• Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos

conjugados): determinam a direção em que os ramos partem dos pólos de malha aberta.

Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma

distância > 0) do pólo em s = – 1 + j.

• Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça um ângulo em relação ao eixo real positivo. Neste caso, como fica a condição de ângulo?

90135)()()()(11

n

ji

m

iioo pszssHsG

Lugar Geométrico das Raízes

Estes ângulos serão constantes, independentes de , somente se a distância entre so e o pólo em s = – 1 + j for muito pequena.

90135)()()()(11

n

ji

m

iioo pszssHsG

Lugar Geométrico das Raízes

• Condição angular:

= 45

• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de 45

• Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é + 45.

90135)()()()(11

n

ji

m

iioo pszssHsG

180225)()( oo sHsG

Lugar Geométrico das Raízes• Uma questão permanece: como os pólos de malha

fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K ) ?

• Considere a reta a 45 a partir do pólo em s = – 1 + j.

• Se nos movermos ao longo desta linha:

As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar.

No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j irá diminuir.

Portanto, a fase será menos negativa do que – 180 ao longo desta linha.

Lugar Geométrico das Raízes• Assim, como deve variar para que a condição de

ângulo continue sendo satisfeita?

Lugar Geométrico das Raízes• Próximas considerações:

• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?

• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?

• Para isto, considere o sistema dado por:

• LGR?

• Pólos e zeros de malha aberta;

• Porção do eixo real pertencente ao LGR;

• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

2 1 1

)()(

sss

sHsG

Lugar Geométrico das Raízes• Próximas considerações:

• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?

• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?

• Para isto, considere o sistema dado por:

• LGR?

• Pólos e zeros de malha aberta;

• Porção do eixo real pertencente ao LGR;

• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

2 1 1

)()(

sss

sHsG

Lugar Geométrico das Raízes

• Solução

• Pólos e zeros de malha aberta;• Porção do eixo real pertencente ao LGR;• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das

assíntotas.

2 1 )()(

sss

KsHsG

• Exemplo: Traçar o LGR para o seguinte sistema sistema realimentado

Lugar Geométrico das Raízes

• Nenhum zero de malha aberta;• Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; • Zeros no infinito: n – m = 3

•

• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ;

• E nos pólos em s = 0 e s = – 1?

2 1 1

)()(

sss

KsHsGK

3)12(180 k

103

)2()1(0

Lugar Geométrico das Raízes• Pólos em s = 0 e s = – 1 Um ramo parte de 0 e outro

de – 1 em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos.

Como determinar este ponto em que os ramos se separam?

Lugar Geométrico das Raízes• Determinação do ponto de quebra:

• Até agora: ao variar K de 0 a , como o LGR (ou seja, os pólos de malha fechada) variam?

• Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K varia? Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não

há LR à direita de s = 0) o valor de K aumenta.

Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, também sabemo que o valor de K aumenta.

Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.

Lugar Geométrico das Raízes• Determinação do ponto de quebra (continuação):

• Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo para K.

• Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode ser encontrado por:

• Como K somente é definido ao longo do LGR, para pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a partir da condição de magnitude.

?)( Mas . 0)(

sKssK

Lugar Geométrico das Raízes• IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de

separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real.

• Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos um ponto de separação de partida entre os dois pólos.

• Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ) sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de separação de chegada entre os dois zeros.

• Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero (finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então não podem existir pontos de separação de partida ou chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de partida como de chegada.

Lugar Geométrico das Raízes• Voltando ao exemplo:

• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-se ter:

• Pode-se definir K(s) como:

2 1 1

)()(

sss

KsHsGK

1

2 1

sssK equação característica

do sistema

2 1 )( ssssK

0)263()(

23 )( 223

ssssK

ssssK

33

16

234660263

22 sss

Lugar Geométrico das Raízes

• Como podemos saber qual é o valor de s correspon-dente ao ponto de quebra?

Somente s1 pertence ao LGR!!!

• Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o respectivo valor de K:

1.5774 0.4226; 33

1 21 sss

Lugar Geométrico das Raízes• Portanto, o LGR para o sistema é da forma:

• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?

Lugar Geométrico das Raízes• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada

degrau unitário?

• Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.

• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido?

• Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema para o K dado possui 3 raízes reais 2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo j: são portanto pólos dominantes. Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido.

• Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário?

Lugar Geométrico das Raízes• Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo

imaginário:

Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.

Ksss

KsHsG

sGsRsC

23)()(1)(

)()(

23

0 K6 K

60 K para o sistema ser estável K = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias.

Lugar Geométrico das Raízes• Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem

amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação? Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada

para este valor de K:

O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é imaginária. Assim, s = j e:

Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:

0623 23 sss

0623 23 jj

3 e 23

Lugar Geométrico das Raízes

• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de 2 rd/s.

• Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo imaginário em = 2 .

3

23

)1( 2

)(

sss

sG

Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema com realimentação unitária, com:

1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo s. zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1.

2) Eixo real LGR: s – 2 e – 1 s 0.

3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero 1 zero no infinito e, portanto, 1 assíntota. = 180(2k+1)/1 = 180.

4) Pontos de quebra:

)1( 2

)(

sss

sG

2)(1

)(2

sss

sGsK

Solução

Lugar Geométrico das Raízes4) Pontos de quebra (continuação):

Observe que estes dois pontos estão no lugar das raízes Um é o ponto de separação de partida e o outro de chegada em relação ao eixo real.

02

1 2 12)(2

2

s

ssssssK

0240252 222 ssssss

222

2444 2

s

Lugar Geométrico das Raízes