eBook - 6 Passos Para Traçar o Diagrama de Dec e Dmf

6 PASSOS

Para traçar oDEC e o DMF

de vigas isostáticas

Paulo Castelo Branco

Com MapaMental

Sobre este e-book

Este e-book ajudará você a compreender como funcionam os esforços

internos em uma viga isostática e ainda como traçar facilmente os

diagramas de esforço cortante e momento fletor atuantes numa peça

estrutural. São seis passos bastante simples que permitirão que você

alcance o resultado pretendido com muito mais naturalidade.

É importante lembrar que grande parte do conteúdo das disciplinas

relacionadas à análise estrutural do curso de engenharia, principalmente

engenharia civil, vai requerer o entendimento desses conceitos, que em

sua essência como já citei, são simples. Portanto, é fundamental que você

os tenha bastante sedimentado.

Assim, o nosso objetivo é fazer você perceber que o bicho não é tão feio

quanto parece. Prestando atenção aos detalhes e às dicas para

confirmação de resultados, não tem como errar. Uma vez que você

internalize o entendimento, e isso só se dá pela prática, o traçado dos

diagramas de momento fletor e esforço cortante (DMF e DEC, para os

íntimos) vai ser tranquilo, tranquilo. Além das boas notas que você vai

conquistar, o mais importante é que o aprendizado fica, o que vai facilitar

sua vida acadêmica e profissional. Você deve e vai atingir o seu o objetivo

de seguir adiante e se tornar um excelente profissional.

Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral

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Autor Paulo Sérgio Castelo Branco Carvalho Neves

Direitos Autorais© 2015 Paulo Castelo Branco


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Os 6 passos para traçar os diagramas de

esforços internos de uma viga isostática

Este e-book ajudará você a compreender como

funcionam os esforços internos em uma viga isostática e ainda

como traçar facilmente os diagramas de esforço cortante e

momento fletor atuantes numa peça estrutural. São seis

passos bastante simples que permitirão que você alcance o

resultado pretendido com muito mais naturalidade.

É importante lembrar que grande parte do

conteúdo das disciplinas relacionadas à análise estrutural do

curso de engenharia, principalmente engenharia civil, vai

requerer o entendimento desses conceitos, que em sua

essência como já citei, são simples. Portanto, é fundamental

que você os tenha bastante sedimentados.

Assim, o nosso objetivo é fazer você perceber que o bicho não

é tão feio quanto parece. Prestando atenção aos detalhes e às

dicas para confirmação de resultados, não tem como errar.

Uma vez que você internalize o entendimento, e isso só se dá

pela prática, o traçado dos diagramas de momento fletor e

esforço cortante (DMF e DEC, para os íntimos) vai ser

tranquilo, tranquilo. Além das boas notas que você vai

conquistar, o mais importante é que o aprendizado fica, o que


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vai facilitar sua vida acadêmica e profissional. Você deve e vai

atingir o seu o objetivo de seguir adiante e se tornar um

excelente profissional.

Introdução

Acredito que você esteja passando por alguns

problemas e tenha algumas dúvidas na hora de traçar os

diagramas de esforço cortante e momento fletor:

a) Na hora de calcular as reações de apoio, muitas vezes

você tem dúvidas em como colocar as setinhas (vetores-

força) que representam as reações, respeitando cada um

dos tipos de vínculos (apoios);

b) Depois que você calcula as reações de apoio, uma delas

apresenta sinal negativo. Você então fica se perguntando

se de fato fez os procedimentos de maneira correta;

c) Calculadas as reações de apoio você pode não saber

como fazer a confirmação. Erradas as reações, todos os

demais esforços sofrerão alterações;

d) Uma vez que você calculou corretamente as reações de

apoio, existem detalhes no calculo dos esforços nas

seções principais que também resultam comumente em

erros. É o caso da presença de cargas concentradas que


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altera o cortante pela esquerda e direita e ainda de cargas

momento;

e) E o traçado do momento fletor? Existe uma correlação

com o cortante? Porque dizer que traçamos o diagrama

do momento fletor observando as fibras que estão sendo

tracionadas? Será possível conferir as ordenadas do

diagrama do momento fletor? O momento é o mesmo

fazendo pela esquerda ou direita?

Deixem-me contar uma história pra vocês. Eu

também demorei, quando estudava engenharia, a entender

alguns desses conceitos na sua essência. Passei pela

disciplina Mecânica Geral sem maiores problemas. Quando

comecei a cursar Isostática, a coisa apertou. Meu professor era

recém-chegado da PUC-RJ e havia sido aluno do renomado

José Carlos Sussekind. Isso mesmo, o autor da série Curso de

Análise Estrutural. O professor explicava bem, e cobrava

melhor ainda. Como alguns conceitos não estavam bem

sedimentados na minha mente sofri e tirei uma nota ruim na

primeira avaliação, apesar de haver me dedicado. Olha, na

época as coisas eram mais difíceis. Eu falo de 1986, eu tinha

18 anos, e não havia muitas fontes de pesquisa. Foi aí que um

grande amigo meu, também professor da área de estruturas,

me sugeriu que eu estudasse por um livrinho cheio de

exercícios resolvidos. Debrucei-me quase todos os dias e

praticamente resolvi todos os exercícios daquele livrinho que


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estava lá, escondido na biblioteca da universidade. O esforço

valeu a pena. A mente abriu, e o que era difícil, ficou realmente

bem mais fácil. Hoje, sei que o aprendizado se dá basicamente

por duas formas: por repetição ou quando há alguma emoção

associada. No nosso caso, a emoção presente era o medo da

reprovação. Mas pra vencer o medo, a melhor estratégia é a

ação. Assim foi e sempre será. Aja e o medo se dissipará. No

meu caso funcionou. Experimente agir. O medo se transformou

em outra emoção, a alegria em ter superado meu problema.

O que faremos a partir de agora é mostrar um

passo a passo para resolver qualquer viga isostática.

Acompanha este e-book um mapa mental para que você

memorize com mais facilidade os passos estudados.


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MÃOS À OBRA: Análise de uma viga isostática

com carregamento misto e balanço

Seja dada a viga isostática abaixo. Traçar os

diagramas de esforço cortante e momento fletor.

1) Passo 1 – Fazer o diagrama de corpo livre (DCL)

Observe que calculei a carga equivalente devido à

distribuição de carga, e já a especifiquei no DCL (em

verde), ou seja, a carga equivalente é de 5 kN/m.4m,

sendo portanto de 20 kN, atuando no centroide da

distribuição (exatamente na metade). Também foram

arbitrados os sentidos das reações de apoio tanto no

apoio A (apoio de 2º gênero que restringe dois

movimentos), quanto no apoio B (apoio de 1º gênero, que


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restringe apenas um movimento, que no caso é o da

vertical).

2) Passo 2 – Cálculo das reações de apoio

utilizando as 3 equações de equilíbrio.

a) ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐻𝑎 = 0(1ª equação)

Como não tenho nenhuma outra força externa na

horizontal para equilibrar com reação a Ha, deduz-se

que a mesma é igual a zero.

b) ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 − 20 − 10 − 8 = 0

Observe que arbitrei as duas reações de apoio (Va e

Vb) no sentido positivo. As demais forças estão no

sentido negativo (de cima pra baixo).

Assim temos que:

𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 38 (2ª equação)

c) ∑ 𝑀𝑎 = 0

Aqui calcularemos os momentos produzidos por cada

uma das forças em relação ao apoio A. Mas,

poderíamos usar também o apoio B como referência,

por que uma ou outra equação são interdependentes, o

que não dispensa o uso da equação ∑ 𝐹𝑦 = 0 .

Arbitraremos como momento positivo o sentido anti-

horário e negativo aquele que faz a estrutura girar em

relação ao apoio A, no sentido horário (Regra da Mão

Direita). Para a viga não tenha possibilidade de girar

(sofrer rotação) a soma de todos os momentos atuantes

sobre ela tem que ser nula. Assim, temos:


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𝑉𝑎. 0 − 20.2 − 10.4 + 𝑉𝑏. 6 − 8.7 = 0 (3ª equação)

−40 − 40 + 6𝑉𝑏 − 56 = 0

𝑉𝑏 =136

6= 22,67 𝑘𝑁

d) Substituindo o valor de Vb na 2ª equação, chegamos

até o valor de Va.

𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 38

𝑉𝑎 + 22,67 = 38

𝑉𝑎 = 38 − 22,67 = 15,33 𝑘𝑁

OBS. Importante 1: Caso você deseje confirmar tais

valores, basta fazer a soma dos momentos em relação

ao apoio B. Dessa forma, você chegará até o valor de

Va.

OBS. Importante 2: Caso você encontre um dos valores

negativos, trata-se de um valor algébrico e você deve

substituí-lo dessa forma em outra equação. Lembre-se

que as equações foram montadas respeitando o

sentido das reações desconhecidas que arbitramos. Se

o valor de uma reação resultou negativo, significa

apenas que o sentido da mesma é o oposto.

3) Passo 3 – definir as seções principais

No caso da viga em análise definiremos as seções

principais da seguinte forma:

a) Inicio e término de uma carga distribuída;

b) Onde houver a ocorrência de uma carga concentrada

ou reação de apoio, afinal estas também são cargas

concentradas.


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c) Se houvesse uma carga momento deveríamos definir

neste ponto também uma seção para análise do

momento fletor, visto que o que ocorre com a carga

concentrada e seus efeitos no cortante, ocorre também

em relação ao gráfico de momento fletor. No caso do

exemplo analisado não há a presença de carga

momento localizada. Assim temos, quatro seções

principais a analisar:


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4) Passo 4 – Posicionar a viga com DCL

(DIAGRAMA DE CORPO LIVRE) e os eixos sobre

os quais serão traçados os diagramas esforço

cortante e momento fletor.


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5) Passo 5 – Calcular e Marcar os esforços de

cortante e fletor (ordenadas)

5.1) Ordenadas de cortante

Obs: Se nós isolarmos uma seção de uma viga e a

resultante das forças anteriores a essa seção for positiva,

então o cortante será positivo.

Acima temos o efeito do cortante. Quando temos

duas seções infinitamente próximas, uma tende a deslizar

em relação à outra. Neste caso, a resultante antes da

seção é positiva, portanto consideraremos por convenção

o cortante sendo positivo. Lembrando que esforço

cortante (força interna) é reativo, resistivo à resultante (e

será para baixo, para equilibrar a seção). Observe que por

esta configuração a parte da esquerda tende a “subir” e a


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parte da direita, a “descer”. Alguns autores analisam

informando que se a seção tende a girar por conta do

binário “resultante e cortante” em sentido horário, então o

cortante é positivo. Caso contrário negativo. O importante

ao analisar cada seção é lembrar que se a peça está em

equilíbrio, então obrigatoriamente cada seção, cada

pedacinho da viga também deve estar. Vamos ao cálculo

do cortante em cada seção, lembrando que caso do

cortante deve-se aferir o cortante na seção imediatamente

anterior à carga concentrada e na seção imediatamente

posterior, pois ela - a carga concentrada - produz uma

descontinuidade no diagrama de cortante.

5.1.1) Cálculo dos cortantes nas seções (da

esquerda para a direita da viga)

Seção S1

Q s1(dir) = Resultante = 15,33𝑘𝑁

Seção S2 (imediatamente à esq. da carga de 10 kN)

Q s2(esq) = Resultante = 15,33 − 20 = −4,67𝑘𝑁N


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Seção S2 (imediatamente à direita da carga de 10 kN)

Q s2(dir) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 = −14,67𝑘𝑁

(Observe que a diferença entre o valor imediatamente à

esquerda e o valor imediatamente à direita é de 10 kN, ou seja,

quando tenho uma carga concentrada na viga, a

descontinuidade no cortante é igual ao valor da carga). No

caso em estudo, tínhamos à esquerda um valor de 4,67 kN e

após a carga de 10 kN, o cortante imediatamente à direita

passou a ser de 14,67kN.

Seção S3 (imediatamente à esq. da reação de apoio Vb)

Qs3(esq) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 = −14,67𝑘𝑁

(Conclusão: no trecho descarregado, o cortante não se altera,

obedecendo a uma função constante.)

Seção S4

Qs3(dir) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 + 22,67 = 8𝑘𝑁

(observe novamente que devido à carga concentrada no apoio

B cuja reação de apoio é igual a 22,67 kN, o cortante à direita

da seção S3 se altera passando para o valor de 8kN).

Seção S4

Qs4(esq) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 + 22,67 = 8𝑘𝑁

(Olha aí de novo, o trecho descarregado. Como não há outros

carregamentos o valor do cortante permanece o mesmo e

coincide com o último carregamento, que é uma carga

concentrada de valor igual a 8 kN. Quando isso acontece

significa que não cometemos erros ao calcular os esforços

cortantes na viga).


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ATENÇÃO: Mais uma observaçãozinha. Também podemos

analisar a viga da direita para a esquerda. Ou ainda parte pela

esquerda, parte pela direita, se encontrando em uma

determinada seção de referência. Caso o façamos, devemos

inverter os sinais das forças para calcularmos as resultantes.

Portanto, analisando pela direita, consideraremos como

positivo o vetor que se apresenta neste sentido e negativo o

vetor com o sentido inverso . Dessa forma, preservaremos o

sentido da deformação (corte), sem prejudicarmos a análise.

5.2) Ordenadas de Momento Fletor

No caso do cálculo dos momentos fletores, o

faremos considerando apenas as seções principais. Se na

viga, houvesse uma carga momento aplicada, então também

deveríamos analisar as seções infinitamente próximas à

esquerda e à direita.

Para o cálculo do momento fletor consideraremos

como positivo aquele momento que traciona as fibras inferiores

e negativo os que tracionam as fibras superiores.

Coincidentemente, se fizermos a análise da viga da esquerda

para a direita as forças que tracionam as fibras inferiores,

produzem um momento resultante no sentido horário.

Ressalta-se aqui que o momento fletor é o esforço interno que

surge como reação equilibrando o momento resultante na

seção. O verbo fletir significa curvar, portanto o momento fletor

é um momento que produz deformação curvando a seção.

Observe o esquema a seguir:


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No caso seguinte, a tração se dá nas fibras superiores.

Perceba a diferença.


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5.2.1) Cálculo dos momentos fletores nas seções

(da esquerda para a direita da viga)

Seção S1

Mf S1= 𝑉𝑎 × 0 = 0

Seção S2

MfS2 = 15,33 × 4 − 20 × 2 = 21,32 kN.m (tração nas fibras

inferiores)

Seção S3

MfS3 = 15,33 × 6 − 20 × 4 − 10 × 2 = −8 kN.m (tração nas

fibras superiores)

Observe aqui que se analisarmos a viga pela direita e

multiplicarmos a carga de 8 kN pela distância de 1m até a

seção S3, o momento encontrado é de 8 kN.m, tracionando as

fibras superiores, o que confirma nosso cálculo.

Seção S4

MfS4 = 15,33 × 7 − 20 × 5 − 10 × 3 + 22,67 × 1 = 0

Nesta seção se começarmos a análise pela direita o momento

produzido em S4 pela força de 8 kN é nulo, confirmando

portanto nosso resultado.


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6) Passo 6 – Traçado dos diagramas de esforço

cortante e momento fletor (Plotagem dos

diagramas)


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6.1 – Análise dos diagramas

a) Observe que o trecho entre S1 e S2 é carregado por

um carregamento distribuído, logo o cortante é regido

por um gráfico linear, ou seja, obedece a uma equação

do primeiro grau. Já o gráfico do momento fletor para o

mesmo intervalo equivale a uma equação do 2º grau,

por isso forma uma parábola. Veja ainda que no ponto

onde o cortante é nulo, o momento fletor é máximo.

Essa abscissa pode ser calculada por semelhança de

triângulos no gráfico do cortante. Também é importante

citar que no trecho distribuído é recomendável calcular

pelo menos 3 ordenadas de momento para o traçado

da parábola. Quando observamos uma seção de

cortante nulo, deveremos verificar o comportamento do

momento fletor naquele ponto.

b) A área do cortante entre os trechos S1 e S2 é igual ao

momento fletor em S2.

AS1-S2= (𝟏𝟓, 𝟑𝟑 × 𝟑, 𝟎𝟕) ÷ 𝟐 − (𝟒, 𝟔𝟕 × 𝟎, 𝟗𝟑) = 𝟐𝟏, 𝟑𝟑 𝒌𝑵. 𝒎

O valor é o correspondente ao valor do momento em

S2, pois a área do diagrama de cortante é igual a

diferença entre os momentos nas seções S1 e S2,

respectivamente. Como o momento na seção S1= 0 e o


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momento na seção S2 = 21,33 kN.m , essa diferença

Ms3 – MS1 = 21,33 kN.m, valor este que é igual, como já

citado, à área do cortante entre as duas seções. Tal

propriedade é válida para os demais trechos da viga.

Área do cortante entre os trechos S1 e S3:

A S2-S3 = −𝟏𝟒, 𝟔𝟕𝒙𝟐 = −𝟐𝟗, 𝟑𝟒

MS3 – MS2 = −𝟖 − 𝟐𝟏, 𝟑𝟑 = −𝟐𝟗, 𝟑𝟑 (erro devido à

aproximações)

O mesmo acontece para o trecho S3-S4.

.

c) Observe ainda, que o valor da descontinuidade do

cortante em S2 e S3 é exatamente o valor absoluto da

carga concentrada nestes pontos, e que sempre onde

há a presença de carga concentrada, temos uma

angulosidade, uma mudança de inclinação, um “bico”

no diagrama de momento fletor.

d) Podemos ainda calcular todos os valores de cortante e

momento fletor, deduzindo a equação do momento

fletor e o esforço cortante para cada trecho da viga

analisada.


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Bem, chegamos ao final deste passo a passo. A seguir

apresentamos o mapa mental mencionado, para que você

sempre que sentir necessidade, ou antes, de resolver

exercícios, possa revisar rapidamente o conteúdo. Espero que

este singelo trabalho seja útil nos seus estudos.

Um grande abraço e muito sucesso pra você!


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