Controle I

Carga Horária 75 horasCréditos 05Prof. Juan Moises Mauricio Villanuevajmauricio@cear.ufpb.brwww.cear.ufpb.br/juan

Universidade Federal da Paraíba - UFPB

Centro de Energias Alternativas e Renováveis - CEAR

Departamento de Engenharia Elétrica - DEE

1

Visão Sistêmica da Disciplina

2

Introdução ao Controle

Digital

Análise de Sistemas no domínio Z

Controladores digitais

Projeto no espaço de

estados

CONTROLE I

Transf. Laplace Transf. Z Amostradores SH, ZoH, FoH DFT Análise em Freq. Taxa de Amostragem DAQ

Planta Continuo para

Discreto SLIT Resposta

Dinâmica Plano-s e Circulo

Unitário

Discretização de Controladores

Projeto no Plano-Z Projeto Continuo-

Discreto PID Digital CLP Aplicações na Indústria

Controlabilidade Observabilidade Estabilidade Projeto de

Controladores no Espaço de Estados

Observadores de Estados

Visão Sistêmica da Disciplina

3

Introdução ao Controle

Digital

CONTROLE I

Transf. Laplace Resposta em Frequência Teorema da Amostragem Transf. Z Amostradores SH, ZoH, FoH DFT Análise em Freq. Taxa de Amostragem DAQ

Eq. Diferenciais

Transf. Laplace e TF

Eq. Em Diferença

Transf. Z e DFT

Análise no domínio de tempo e

frequência de sinais e sistemas

Transformadas de Laplace e z

4

Teoremas da Transformada Z

5t

f(t)

Resposta em Frequência (Diagrama de Bode)

6

Representação de Sistemas usando a Transformada de Fourier (TF)

7

( )h t

( )X ( )Y

( )H

Transformada de Fourier

Função de

Transferência

1( ) ( )

2

( ) ( )

j t

j t

x t X e d

X x t e dt

( ) ( )

F

x t X

8

( )X

( )H

Função de

Transferência

( )( ) ( ) j XX X e

( )( ) ( ) j HH H e

( )( ) ( ) j YY Y e

( )( )

( )

YH

X

Función de Transferencia

Módulo e Fase da Transformada de Fourier

9

( )( )

( )

YH

X

Módulo e Fase da Transformada de Fourier

( )( ) ( ) j XX X e

( )( ) ( ) j YY Y e

( )

( )

( )( )( )

( ) ( )

j Y

j X

Y eYH

X X e

( ( ) ( ))( )

( )( )

j Y XY

H eX

10

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j H j X

j H j X

Y H e X e

Y H X e e

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

YH Y H X

X

| ( ) | | ( ) || ( ) |Y H X

( ) ( ) ( )Y H X

Magnitude e Fase do sinal de saída do Sistema

Módulo e Fase da Transformada de Fourier

Resposta em Frequência de um Circuito RC

11

Porque?

Para que serve?

Domínio de Laplace

Circuito RC Domínio de Laplace

12

1/ 1 1( )

1/ 1 1

sCH s

R sC sRC s

1

sC

RC Constante de tempo

Função de Transferência

Variável complexa s j

Vout

13

0

s j

s j

j

s j

0

A transformada de Fourier é um caso particular da transformada de Laplace

Resposta em Frequência s = j

Circuito RC Resposta em Frequência

14

1/ 1 1( )

1/ 1 1

j CH

R j C RCj j

1

j C

RC Constante de tempo

15

1

j C

1( )

1H

j

0.1 1( ) | ( ) | 0.995 20 | ( ) | 0.04

0.1 1

1 1( ) | ( ) | 0.7071 20 | ( ) | 3

1 1

10 1( ) | ( ) | 0.0995 20 | ( ) | 20

10 1

H H Log H dbj

H H Log H dbj

H H Log H dbj

Resposta em Frequência s = j

Módulo e Fase do Sistema de Primeira Ordem

16Prof. Juan Mauricio

Porque?

17

Para que serve?

Filtros Analógicos Demodulação Modelagem de sistemas e circuitos Condicionamento de Sinais, etc.

Resposta do sistema para entradas DC e AC

Ganho do sistema Fase do sistema (estabilidade) Atenuação fora da banda passante Etc.

Circuitos ElétricosEq. DiferenciaisTransf. de LaplaceTransformada de Fourier

( )1

AH

j

Teorema da Amostragem

18

Sistema de Controle de Nível

H

Sistemas de Controle

PIDf

Medição daPressão

Ho

f= Frequência do CMB

ErroPID

H

Atuador Frequência de Amostragem fsTempo de amostragem Ts

20

CLP

x(t) CondicionamentoCorrente/Tensão

I/V4-20mA

Conversor A/DDAQ

Tempo de AmostragemTsampling = 1/fsampling

21

22

USB

x(t)

Teorema de amostragem fsampling 2fmaxfsampling = 10 fmaxTsampling = 1/fsamplingEfeito Aliasing

Sinais de Tempo Discreto

23

Tempo Discreto

Tempo Contínuo

x[n]

x(t)

t

n

ConversãoAnalógico/Digital

A/D

fsampling

#bits

Conversão de Sinais Analógico/Digital

• Componentes de um Conversor A/D

Amostragem (Sampling & Hold)

Quantização

Codificação

24

• Amostragem de SinaisDefine-se uma frequência de amostragem do switch

25

Ts

• QuantizadorO número de níveis de quantização é inversamente proporcionalao número de bits.

26

Sinal AnalógicaSinal QuantizadaErro de Quantização

Vmax

Níveis de Quantização

sin 1,761 6* ( )al

ruído

PSQNR Bits dB

P

Relação Sinal a Ruído de Quantização

Relação sinal a ruído de Quantização

• CodificaçãoCodificação binaria dos níveis de quantização

27

Co

dif

icaç

ão 0101

SaídaDigital

Taxa de comunicaçãoSerial/Paralelo/Protocolosbps (bit per second)

ID LOAD V

Protocolos versus Taxa de Comunicação (bps)

28

Exemplo 1

( ) cos(2 ) cos( )

Para uma frequencia de amostragem

Tempo discreto

[ ] cos(2 ) cos 2

[ ] cos 2

[ ] cos

s

s

s

s

x t ft t

f

t nT

fx n fnT n

f

x n Fn

x n n

Frequencia digitals

fF

f

29

100 1000 /

20

0 :1: ( 1)

[ ] cos(2 )

s

s

Para f Hz f amostras s

N amostras

n N

x n fnT

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n

)

30

20N amostras

W sA janela do tempo de aquisiçãoé t N T

31

N = numero de amostras

32

x(0)=1 Xfft(k=0)=-0.0000 + 0.0000i

x(1)=0.8 Xfft(k=1)=-0.0000 + 0.0000i

x(19)=0.8

....

Xfft(k=19)=-0.0000 + 0.0000i

x(3)=-1 Xfft(k=3)=10.0000 + 0.0000i

Circulo Unitário

33

Omega = 2* /N

Omega = 4* /N

z=1ejw

DFT

0 2*

0 fs

omega

fHz

fHz = ômega*fs/(2* )

Plano-z

34

0 Fs/2 fs

Banda de Interesse

Propriedade de simetria da DFT

• Fsampling = 1M amostras/s

• Banda de interesse [0 500k]

35

ADUC

36

CLP

x(t)CondicionamentoCorrente/Tensão

I/V4-20mA

Conversor A/DDAQ

Tempo de AmostragemTsampling = 1/fsampling

Filtro Passa Baixa

fc=fs/2

fs=2000

fc=1000

37

W sA janela do tempo de aquisiçãoé t N T

Tsamplig = 1 ms

20 ms

DadosTempo Valor0 x(0)Ts x(Ts)2Ts x(2Ts)..19Ts x(19Ts)

38

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(s)

x(t

)

1sT ms

1000

1

s

s

amostrasf

s

T ms

W s

A janela de tempo de aquisiçãoé

t N T

W st N T

39

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(s)

x(t

)

• Considerando-se que cada amostra tem “B” bits

• A taxa de transferência de dados através de uma comunicação

serial é dada por fsB

• janela de tempo de aquisição: tw

fsB

Sinal Discreta com “N” amostras

Transferência de dados por amostra (bps)

W s

W

s

t N T

tN amostras

T

1 byte = 8 bits1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes

Memória

O que acontece com o espectro do sinal amostrado?

40

Conversor A/D DFT -> FFTEficiência Computacional

41

a = 2**fo

42

Análise da Amostragem na Frequência

TFx(t)

Espectro do Sinal x(t)

A/Dfsampling

#Bits

Ws = 2* *fs

43

|H(w)|

w

Fase(w)

• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado nafrequência é equivalente a replicar o espectro original emmúltiplos da frequência de amostragem s=2fsampling

44

Análise da Amostragem na Frequência

1( )X

T

1( )sX

T

1( 2 )sX

T

45

Análise da Amostragem na Frequência

1( )X

T

1( )sX

T

1( 2 )sX

T

Evitar a colisão de Espectros2

2

s MAX MAX

s MAX

s MAXf f

• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado porXp()

46

( )p

n

x t x nT t nT

Sequência Amostrada no Tempo

Sequência Amostrada na Frequência

Análise da Amostragem na Frequência

1

( )p s

k

X X kT

1( )X

T

1( )sX

T

1( 2 )sX

T

47

Teorema da Amostragem

• Amostragem no dominio da frequência

2

M s M

M s

M=Freq. Máxima

s=Freq. Amostragem

Condição para que não haja superposição de espectros

48

• Se:

“Efeito Aliasing”

• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()

2

s M M

s M

Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)

49

• Define-se o Teorema da Amostragem:

– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0 para ||>M.

– Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nT), se:

22 :s M scom

T

12 :s M sf f com f

T

Teorema da Amostragem

Considerações de Engenharia

Especificar um conversor AD

Definir a frequência de amostragem de sinais

Definir o número de bits

Aplicação do teorema de amostragem de forma técnica e com segurança

Usar ferramentas: Software e Hardware

50

Labview

Transformada Z eResposta em Frequência

51

CLP

Inversor deFrequência

Motor

Sensor

Interface deProgramação

Input

Output

52

CLP

Inversor deFrequência

Motor

Sensor

Interface deProgramação

Input

Output

A/DH(z)D/AInputOutput

AcionamentoControle de VelocidadeEficiência

Transf. ZTransf. Inversa ZEquações em DiferençaSinais amostradosfsampling

Onde posso utilizar a Transformada Z ou a equação em diferença?

53

CLP

CLP (Controlador Lógico Programável)

54

Conversores A/D e D/A CPU Entradas/Saídas Digitais Suporte para controle

PID discreto Suporte para controle

Fuzzy Programação

LADDER/Grafcet Controle e Automação

LADDER

Links de Interesse

55

PLC Basics | Programmable Logic Controller

https://www.youtube.com/watch?v=PbAGl_mv5XI

How to Program a Basic PID Loop in ControlLogix

https://www.youtube.com/watch?v=XVYRT0Mbu7A

Transformada Z

• Para um sistema com resposta ao impulso h[n]:

[ ][ ]

[ ]

Y zH z

X z

[ ] [ ] n

n

H z h n z

56

[ ] [ ] n

n

X z x n z

[ ] [ ] n

n

Y z y n z

[ ] [ ]Zh n H zNotação:

• Para jz re

( ) [ ] n

n

X z x n z

57

( ) [ ]( )j j n

n

X re x n re

( ) { [ ] } { [ ] }j n j n n

n

X re x n r e F x n r

Resposta em Frequência

jz re

DFT

r

• Para

Si r=1 |z|=1, então se tem a Transformada Discreta de Fourier (DFT)

A Transformada Z é equivalente à Transformada Discreta de Fourier (DFT), quando a variável é:

jz re

( ) { [ ]}jX re F x n

58

jz e

Resposta em Frequência

Alguns pares da Transformada Z

59

Exemplo 1

2 1 2

1; 0[ ]

0;

( ) [ ].

( ) ... 0. 0. 1 0. 0. ...

( ) 1

n

n

se nn

outros casos

X z n z

X z z z z z

X z

60

Transformada z da função impulso:

( ) [ ] n

n

X z x n z

Exemplo 2

2 1 1 2 3

1

1; 0[ ]

0;

( ) [ ].

( ) ... 0 0 1 ...

1( )

1 1

n

n

se nu n

outros casos

X z u n z

X z z z z z z

zX z

z z

61

Transformada z do degrau unitário:

( ) [ ] n

n

X z x n z

Exemplo 3

• Calcular a Transformada Inversa de X(z)

1( )

( 0.25)( 0.5)X z

z z

16 8( ) 8

0.25 0.5

z zX z

z z

62

Decomposição em fracções parciais

Exemplo 3

16 8( ) 8

0.25 0.5

z zX z

z z

63

[ ] 8 [ ] 16(0.25) [ ] 8(0.5) [ ]n nx n n u n u n

Identificação por tabelas, determina-se a transformada inversa:

Aplicação da Transformada Z – Função de Transferência

64

x(n)y(n)

delay

somadorganho

A/Dx(t)

x[n]

D/A

y(t)

Elemento de Delay

65

Z-1

x[n] y[n]=x[n-1]

X(z)Y(z)= x[n-1] Y(z)=z-1X(z)

fs >=2fmax

fmax<=fs/2

Ts = 2sfs = 0,5fmax <=0,25

fmax = 0,01fs = 2

T = 100s

Cálculos Preliminares

Elemento de Delay

66

fs >=2fmax

fmax<=fs/2

Ts = 2sfs = 0,5fmax <=0,25

fo = 0,01 Hzfs = 2 amostras/s

T = 100s

fsampling =1/2=0,5fmax <=0,25

fo= 0,01 Hz

67

68

Tempo de simulação, 2 períodos

69

Geração de Código

y[n]= x[n-1]+1

Aplicação da Transformada Z Controlador PID Discreto

70

u(n)y(n)

PID continuo – Implementação

71

Considerações de Engenharia

72

Contínuo Discreto

As implementações sãorealizadas com componentes eletrônicos discretos (R,L, C, amp-op)

As implementações discretas são feitas por software

Projeto e implementaçãousando circuitos eletrônicos e circuito impresso.

Projeto e implementação por software

A atualização requer um novo projeto e implementação

A atualização é de forma simples e com atualização do código.

Projeto para ser usado com ampla banda de frequências

Limitações do hardwareConsiderações custo-benefício (Preço)

Limitações com a frequência do clock

Visão Sistêmica da Disciplina

73

Introdução ao Controle

Digital

CONTROLE I

Transf. Laplace Resposta em Frequência Teorema da Amostragem Transf. Z Amostradores SH, ZoH, FoH DFT Análise em Freq. Taxa de Amostragem DAQ

Eq. Diferenciais

Transf. Laplace e TF

Eq. Em Diferença

Transf. Z e DFT

Análise no domínio de tempo e

frequência de sinais e sistemas