UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 1
Transmissão de calor
3º ano
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 2
Aula 2. Equação diferencial de condução de calor
Equação diferencial de condução de calor
Dedução da equação Básica
Aspectos Particulares da equação diferencial (leis
de Fourier, Poisson e Laplace)
Solução da Equação unidimensional de
transferência de calor em regime permanente
2.1 Introdução
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A transferência de calor e a temperatura estão
directamente relacionadas, mas são de natureza
diferente. Diferente da temperatura o fluxo de calor
tem magnitude e direcção, logicamente é um
vector. Dai é necessário para além da magnitude,
descrever a direcção para caracterizar por completo
a transferência de calor num ponto.
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2.1 Introdução
O fluxo de
calor tem
direcção e
magnitude,
daí ser uma
grandeza
vectorial
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2.1 Introdução
Direcção do fluxo
de transferência de
calor (positivo na
direcção positiva e
negativo na
direcção negativa)
2.1 Introdução
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A especificação da temperatura num ponto,
primeiro requer a descrição da localização do tal
ponto. Isso pode ser feito através da escolha de um
sistema de coordenadas que pode ser rectangular,
cilíndrico ou esférico, o que depende da forma do
corpo e da posição conveniente do ponto de
referência a utilizar.
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2.1 Introdução
Distâncias e ângulos envolvidos quando se descreve a localização de um ponto
2.1 Introdução
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Os problemas de transferência de calor são
geralmente classificados em de regime transiente e
de estado permanente. O termo permanente
implica que não haja variações no tempo de
nenhum ponto do meio, enquanto transiente,
refere-se a problemas que tenham variação no
tempo ou que sejam dependentes do tempo.
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2.1 Introdução
Condução
transiente e
estacionária em
uma parede
plana
2.1 Introdução
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Os problemas de transmissão de calor são
geralmente classificados em unidirecionais
bidireccionais e tridireccionais dependendo da
magnitude da transferência de calor em cada uma
das direcções e da precisão desejada na solução do
problema.
No caso geral o calor transmite-se de modo
tridimensional.
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
Transferência de
calor
bidimensional
numa barra
rectangular
longa
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
(W) dxdTkAQcond −=&
(W) nTkAQcond ∂∂
−=&
(2.1)
(2.2)
A Lei de Fourier para a transferência de Calor Unidimensional é dada por:
Se n for a normal à superfície isotérmica no ponto P, a taxa de transferência de calor nesse ponto pode ser expressa pela Lei de Fourier do seguinte modo:
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
kQjQiQQ zyxn
r&
r&
r&
r& ++=
e x x y y z zT T TQ kA Q kA Q kAx y z∂ ∂ ∂
= − = − = −′ ′ ′∂ ∂ ∂
& & &
(2.3)
(2.4)
Em coordenadas rectangulares o vector da condução de calor pode ser expresso em função dos seus componentes.
Onde i,j e k são vectores unitários e Qx, Qy e Qz são as magnitudes de transferência de calor nas direcções x, y e z.
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2.2.1 Geração de calor
(W) ∫= vdVgG &&
(W) VgG && =
(2.5)
O meio pelo qual o calor é conduzido pode envolver a conversão de
energia eléctrica, nuclear ou química em calor (energia térmica) .
Quando se faz análise da condução de calor, esta conversão de calor
denomina-se geração de calor.
A geração de calor é um fenómeno volumétrico. Ele ocorre ao longo
de todo o corpo, dai a a taxa de geração de calor ser dada em
unidades por volume as suas unidades são W/m3
No caso de geração uniforme de energia, caso da resistência eléctrica, a geração de energia transforma-se em:
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Exemplo 2.1
Uma resistência de 1200 W de um secador de
cabelo, tem 80 cm de comprimento e diâmetro de
0,3 cm. Determine a taxa de geração de calor na
resistência, por unidade de volume, em W/cm3 e o
fluxo de calor na superfície externa da resistência,
como resultado da geração de calor.
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Resolução do Exemplo 2.1
( ) ( ) ( )3
22
1200 212 W/cm4 0,3 4 80res
G G WgV D L cm cmπ π
= = = =⎡ ⎤⎣ ⎦
& &
( )( )21200 W 15,9 W/cm
0,3cm 80res
G GqA DL cmπ π
= = = =& &
&
A taxa de geração de calor determina-se dividindo o total do calor gerado, pelo volume da resistência.
Similarmente o fluxo na superfície externa da resistência, como resultado da geração de calor, é determinado pela divisão do total do calor gerado pela área superficial da resistência.
2.3 Equação diferencial de condução de calor unidimensional
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Os problemas de transmissão de calor
unidimensionais são os problemas em que o calor é
transmitido por difusão em uma única direcção.
O termo unidimensional refere-se ao facto de
somente uma coordenada ser necessária para
descrever a variação espacial das variáveis
indedenpendentes.
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2.3.1 Parede Plana
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume elementar
numa grande
parede plana.
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Taxa de Calor
conduzido em x
Taxa de Calor
conduzido em x + Δx
Taxa de calor gerado no elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQ telemenelementxxx Δ
Δ=+− Δ+
&&&
Ou seja:
(2.6)
2.3.1 Parede Plana
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( ) ( )tttttttttelement TTxCATTmCEEE −Δ=−=−=Δ Δ+Δ+Δ+ ρ
xAgVgG elementelement Δ== &&&
tTT
xCAxAgQQ tttxxx Δ
−Δ=Δ+− Δ+
Δ+ ρ&&&
tTT
Cgx
QQA
tttxxx
Δ−
=+Δ−
− Δ+Δ+ ρ&&&1
(2.7)(2.8)
(2.9)
(2.10)
2.3.1 Parede Plana
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de energia no elemento, podem ser dadas pela expressão:
Substituindo na Equação 2.6 obtém-se:
Dividindo por AΔx:
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tTCg
xTkA
xA ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=∂∂
=Δ−Δ+
→Δ xTkA
xxQ
xQQ xxx
x
&&&
0lim
tTCg
xTk
x ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
(2.11)
(2.12)
(2.13)
2.3.1 Parede PlanaCalculado o limite quando Δx→0 e Δt→0:
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
Note-se que A é constante para a parede plana. Então a equação transienteunidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
Condutibilidade térmica variável
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tT
kg
xT
∂∂
=+∂∂
α1
2
2 &
02
2
=+kg
dxTd &
tT
xT
∂∂
=∂∂
α1
2
2
02
2
=dx
Td
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
2.3.1 Parede PlanaA condutibilidade térmica em muitos problemas é considerada constante então a Equação 2.13 transforma-se em:
Onde α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material e denota a velocidade de propagação do calor pelo material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
Regime estacionário sem geração de calor
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2.3.2 Cilindro Longo
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume
elementar num
cilindro longo
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2.3.2 Cilindro Longo
Taxa de Calor
conduzida em r
Taxa de Calor
conduzida em r + Δr
Taxa de calor gerada no Interior do elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQ telemenelementrrr Δ
Δ=+− Δ+
&&&
Ou por outra
(2.18)
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2.3.2 Cilindro Longo
( ) ( )tttttttttelement TTrCATTmCEEE −Δ=−=−=Δ Δ+Δ+Δ+ ρ
rAgVgG elementelement Δ== &&&
tTTrCArAgQQ ttt
rrr Δ−
Δ=Δ+− Δ+Δ+ ρ&&&
tTTCg
rQQ
Atttrrr
Δ−
=+Δ−
− Δ+Δ+ ρ&&&1
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de energia no elemento podem ser dadas pela expressão:
Substituindo na Equação 2.18 obtém-se:
Dividindo por A·Δr obtém-se:
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2.3.2 Cilindro Longo
tTCg
rTkA
rA ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=∂∂
=Δ−Δ+
→Δ rTkA
rrQ
rQQ rrr
r
&&&
0lim
tTCg
rTrk
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
1
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Calculado o limite quando Δr→0 e Δt→0
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
Condutibilidade térmica variável
Note-se que A=2πrl para este caso. Então a equação transienteunidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
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2.3.2 Cilindro Longo
tT
kg
rTr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11 &
01=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
kg
drdTr
drd
r&
tT
rTr
rr ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTr
drd
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Para o caso da condutibilidade térmica constante então a Equação 2.25 transforma-se em:
Condutibilidade térmica constante
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
Regime estacionário sem geração de calor
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2.3.3 Esfera
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume
elementar de
uma esfera
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2.3.3 Esfera
tTCg
rTkr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&2
21
tT
kg
rTr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11 2
2
&
(2.30)
(2.31)
Condutibilidade variável
No caso da condutibilidade térmica constante reduz-se a:
Condutibilidade térmica constante
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2.3.3 Esfera
01 22 =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
kg
drdTr
drd
r&
tT
rTr
rr ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11 2
2
02 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTr
drd 022
2
=+drdT
drTdrou
(2.32)
(2.34)
(2.34)
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
Regime estacionário sem geração de calor
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2.4 Equação geral de condução de calor2.4.1 Coordenadas rectangulares
Condução de
calor
tridimensional
através de um
volume
elementar
rectangular
2.4 Equação geral de condução de calor
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A maioria dos problemas de transferência de calor
encontrados na prática podem ser aproximados a
problemas unidimensionais.
Porém, este nem sempre não é o caso, e às vezes é
preciso considerar que o calor se transfere também
em outras direcções. Nesse caso a condução de
calor é multidimensional, e a equação diferencial
desses sistemas pode ser apresentada em
coordenadas rectangular, cilíndrica ou esféricas.
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
Taxa de Calor
conduzido em x, y e z
Taxa de Calor
conduzido em x+Δx,
y+Δy e z+Δz
Taxa de calor gerado no Interior do elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQQQQQ telemenelementzzyyxxzyx Δ
Δ=+−−−++ Δ+Δ+Δ+
&&&&&&&
Ou seja
(2.35)
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
( ) ( )element t t t t t t t t tE E E mC T T C x y z T Tρ+Δ +Δ +ΔΔ = − = − = Δ Δ Δ −
element elementG gV g x y z= = Δ Δ Δ& & &
tTTzyxgQQQQQQ ttt
zzyyxxzyx Δ−
=ΔΔΔ+−−−++ Δ+Δ+Δ+Δ+ &&&&&&&
tTTCg
zQQ
yxyQQ
zxxQQ
zytttzzzyyyxxx
Δ−
=+Δ−
ΔΔ−
Δ−
ΔΔ−
Δ−
ΔΔ− Δ+Δ+Δ+Δ+ ρ&
&&&&&& 111
(2.36)
(2.37)
Note-se que o volume elementar é dado por Velement = Δx·Δy·Δz. A relação entre a variação de energia do elemento e a taxa de geração pode ser dada por:
Substituindo na Equação 2.35 obtém-se:
Dividindo por Δx·Δy·Δz recebe-se:
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
tTCg
zTk
zyTk
yxTk
x ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
zTk
zzTyxk
zyxzQ
yxzQQ
yx
yTk
yyTzxk
yzxyQ
zxyQQ
zx
xTk
xxTzyk
xzyxQ
zyxQQ
zy
zzzzz
yyyy
y
xxxxx
111lim
111lim
111lim
0
0
0
&&&
&&&
&&&
(2.38)
As áreas de transferência de calor do elemento nas direcções x, y e z são Ax= ΔyΔz, Ay= ΔxΔz e Az= ΔxΔy, respectivamente e o limite de Δx,Δy,Δz e Δt→0 dá:
Da definição de derivada e da Equação de Fourier obtém-se:
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
tT
kg
zT
yT
xT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2 &
02
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
kg
zT
yT
xT &
tT
zT
yT
xT
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zT
yT
xT
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)Regime permanente, sem geraçãode calor (Equação de Laplace)
Regime transiente, sem geração de calor (Equação da Difusão)
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente (Equação de Poisson)
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2.4.2 Coordenadas cilíndricas
Volume
elementar
diferencial em
coordenadas
cilíndricas
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2.4.2 Coordenadas cilíndricas
tTCg
zTk
zTkr
rrTkr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
φφ&2
11
zzryrx === e sin ,cos φφ
(2.43)
A equação de calor em coordenadas cilíndricas pode ser obtida do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação diferencial usando as seguintes transformações:
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2.4.3 Coordenadas esféricas
Volume
elementar
diferencial em
coordenadas
esféricas
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2.4.3 Coordenadas esféricas
tTCgTk
rTk
rrTkr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
θθ
θθφφθ&sin
sin1
sin11
2222
2 (2.44)
φθφθφ cos e sinsin ,sincos === zryrx
A equação de calor em coordenadas esféricas pode ser obtida do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação diferencial usando as seguintes transformações
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Problema detransferência
de Calor
Formulação MatemáticaEquação diferencial e condições de contorno
Solução geral da equação
diferencial
Aplicação das condições de
fronteira
Soluçãodo problema
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 42
2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Obtendo a solução
geral de uma de
uma simples
equação de segunda
ordem por meio de
integração.
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Quando se aplica as
condições de fronteira à
solução geral num ponto
específico as variáveis
dependentes e
independentes devem ser
substituídas pelos seus
valores específicos.