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1 Objetivos: • Determinação da Transferência de calor com função do tempo • Regime não estacionário • Determinar o perfil de temperatura • Exemplos: •Aquecimento ou resfriamento de peças •Tratamento térmico Modelos de solução: • Análise concentrada • Efeitos espaciais • Sólido semi-infinito

Regime Transiente EGQ

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Page 1: Regime Transiente EGQ

1

Objetivos:• Determinação da Transferência de calor com função do tempo• Regime não estacionário• Determinar o perfil de temperatura• Exemplos:

•Aquecimento ou resfriamento de peças•Tratamento térmico

Modelos de solução:• Análise concentrada• Efeitos espaciais• Sólido semi-infinito

Page 2: Regime Transiente EGQ

2

Análise concentrada

Page 3: Regime Transiente EGQ

3

Análise Concentrada

acumuladas EE••

=−Balanço de Energia

Substituindo os termos acima

( )dtdTVcTThA erfície ρ=−− ∞sup

Diferença de Temperatura

dtdT

dtdTT =−≡ ∞

θθ logo

Separando as variáveis e integrando desde t = 0 e T(0) = Ti, obtemos

Efetuando as integrações:

(1)

(2)

(3) (4)

(5)

(6)

θθρ −=dtd

hAVc

sup

Obtemos

∞−=−= ∫∫ TTdtdhA

Vci

t

i i0sup

onde θθθρ θ

θ

thA

Vc i =θθρ ln

sup

Ou ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=

∞ tVc

hATTTT

ii ρθθ supexp (7)

Page 4: Regime Transiente EGQ

4

Transientes de temperatura de sólidos para diferentes constantes de tempo térmica

Constante Térmica

(8)

Calor total transferido (9)

( )

sólido do global térmicaiacapacitânc térmicaaresístênci

1

sup

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

t

t

tt

CR

CRVchA

ρτ

∫∫ ==tt

dthAqdtQ0sup0θ

( )Substituindo a equação 7 na equação 9 (10)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

τθρ tVcQ i exp1

Lembrar queacEQ Δ=− (11)

Page 5: Regime Transiente EGQ

5

Validade do método da Capacitância GlobalBalanço de energia na superfície

Rearranjando, definimos o número de Biot

(12)

(13)

( ) ( )∞−=− TThATTLkA

2sup,2sup,1sup,

( )( )

( )( ) Bi

khL

RR

hAkAL

TTTT

conv

cond ≡===−

∞ 12sup,

2sup,1sup,

Biot fornece uma medida da relação entre a queda de temperatura ao longo do sólido e a diferença das temperaturas de sua superfície e do fluido.

Page 6: Regime Transiente EGQ

6

Validade do Método da Capacitância

1,0<=k

hLBi c

Comprimento Característico

supAVLc ≡ (15)(14)

Substituindo a equação 15 na 7

FoBiVc

thALt

khL

Lt

ck

khL

cLht

VcthA

c

c

c

c

c

×====ρ

αρρρ

sup2

sup ou (16)

Sendo Fourrier de número 2 == FoL

tFoC

α (17)

[ ]FoBiTTTT

ii

∗−=−−=

∞ expθθLogo (18)

Destaque

esfera daou cilindro do raio r :esfera e cilindro Para

:placa Para

020

2

==

=

rtFo

LtFo

α

α

Page 7: Regime Transiente EGQ

7

Análise Geral Via Capacitância Global

Conservação de Energia (18)( )dtdTVcAqqEAq hcradconvgh ρ=+−+

),sup(""

sup,"sup

Ou (19)( ) ( )( )dtdTVcATTTThEAq hcvizgh ρεσ =−+−−+ ∞

),sup(44

sup,"sup

Equação diferencial não linear não homogênea

Page 8: Regime Transiente EGQ

8

Regime transiente: Efeitos espaciais

Page 9: Regime Transiente EGQ

9

Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia

E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas

(1)

A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a

(2)

Condição inicial (3)

Condições de contorno(4)

Dependência da Temperatura (T): (5)

( ) iTxT =0,tT

xT

∂∂=

∂∂

α1

2

2

( )( )∞==

−=∂∂

⇒==∂∂

⇒= TtLThxT

xT

Lxx

, L x para 0 0 x para0

( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞=

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ •

ρ

Page 10: Regime Transiente EGQ

10

Admensionalização

Temperatura admensional∞

∞∗

−−

==TTTT

iiθθθ (6)

Coordenada espacial admensionalLxx =∗

(7)

Tempo admensional )(2 FourierdenúmeroFoL

tt ≡=∗ α(8)

Levando as definições (6) a (8) nas equações (2) a (5), a equação de condução fica

Fox ∂∂=

∂∗

∗ *

2

2 θθ

1)0,( ** =xθ

(9)

(10)

Condições de contorno (11)

Condição Inicial para resolução da equação (2)

00

=∂∂

=∗

∗xxθ

(12)( )∗∗

=∗

−=∂∂

tBix Lx

,1θθ

Dependência funcional (13)( )BiFoxf ,,∗∗ =θ

Page 11: Regime Transiente EGQ

11

A PAREDE PLANA COM CONVECÇÃOSolução Exata

( ) )cos(exp *

1

2* xFoCn

nnn∑∞

=

−= ζζθ (14)

(15)

Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental

(16)

onde)2sen(2

sen4

nn

nnC

ζζζ

+=

Bi

cotgou n

nnn Bitgζζζζ ==

Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)

)cos()cos()exp( *1

*0

*1

211

* xxFoC ζθζζθ =−= (17)

(18)

Para a temperatura no plano intermediário (x* = 0)(19)( )

( )∞

−−

=TTTT

i

0*0θ)exp( 2

11*0 FoC ζθ −=

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )∞−=−=⇒−−=−−= ∫ TTcVQsenQQdVTtrTcEtEQ ii ρθ

ςςρ 0

*0

1

1

0

onde 1,0

Transferência Total de Energia

Page 12: Regime Transiente EGQ

12

Na tabela ao lado são apresentadas as quatro primeiras Raízes da equação transcedental, para condução térmica em regime transiente em uma parede plana

Ln λζ = onde

Solução gráfica da equação transcedental

Page 13: Regime Transiente EGQ

13

Na tabela ao lado são apresentados o Coeficiente C1 e a raíz ξ1 para parede plana, cilindro infinito e esfera

Page 14: Regime Transiente EGQ

14

Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2) Temperatura no plano intermediário de uma parede plana de espessura 2L em função do tempo

Page 15: Regime Transiente EGQ

15

Distribuição de Temperaturas em uma parede plana com espessura 2L

Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)

Page 16: Regime Transiente EGQ

16

Variação de energia interna, em função do tempo para uma parede plana com espessura 2L

Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)

Page 17: Regime Transiente EGQ

17

CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃOSolução Exata

)()exp( *

10

2* rJFoCn

nnn∑∞

=

−= ζζθ (21)

(22)

Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental

(23)

onde( )

( ) ( )nn

n

nn JJ

JC

ζζζ

ζ 21

20

12+

=

( )( ) Bi

JJ

n

nn =

ζζζ

0

1 As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem.

Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2))()()exp( *

10*0

*10

211

* rJrJFoC ζθζζθ =−=Temperatura no plano intermediário (r* = 0)

)exp( 211

*0 FoC ζθ −=

Transferência Total de Energia

(24)

(25)

( ) ( )∞−=−= TTcVQsenQQ

iρςςθ

011

*0

0

sendo 21 (26)

Page 18: Regime Transiente EGQ

18

As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem e seu valores estão listados no apêndice B.4 do livro do Transferência de calor e massa - 4ªed Incropera

Page 19: Regime Transiente EGQ

19

Temperatura no eixo central de um cilindro infinito com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Cilindro Infinito (para Fo > 0,2)

Page 20: Regime Transiente EGQ

20

Distribuição de Temperaturas em um cilindro infinito com raio r0

Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)

Page 21: Regime Transiente EGQ

21

Variação de energia interna, em função do tempo, em um cilindro infinito com raio r0

Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)

Page 22: Regime Transiente EGQ

22

Solução Exata

)sen(1)exp( *

1*2

2* rr

FoCn

nn

nn∑∞

=

−= ζζ

ζθ (27)

( ) ( )[ ]( ) (28)

Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental

(29)

ondenn

nnnnC

ζζζζζ

2sen2cossen4

−−

=

Binn =− ζζ cot1

ESFERA COM CONVECÇÃO

Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)

)(1)(1)exp( *1*

1

*0

*1*

1

211

* rsenr

rsenr

FoC ζζ

θζζ

ζθ =−=

Temperatura no plano intermediário (r* = 0))exp( 2

11*0 FoC ζθ −=

Transferência Total de Energia

(30)

(31)

( ) ( )[ ] ( )∞−=−−= TTcVQsenQQ

iρςςςςθ

011131

*0

0

sendo cos31 (32)

Page 23: Regime Transiente EGQ

23

Temperatura no eixo central de uma esfera com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Esfera (para Fo > 0,2)

Page 24: Regime Transiente EGQ

24

Distribuição de Temperaturas em uma esfera com raio r0

Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)

Page 25: Regime Transiente EGQ

25

Variação de energia interna, em função do tempo, em uma esfera com raio r0

Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)

Page 26: Regime Transiente EGQ

26

Sólido Semi-infinitoDefinição:

•Sólido semi-infinito: é aquele que se estende em todas as direções menos em uma delas•Devido a uma súbita mudança das condições na superfície desse sólido, condução unidirecional em regime transiente ocorrerá no interior do sólido•Exemplos:

•Transferência de calor no solo•Transferência de calor em uma placa muito espessa

Page 27: Regime Transiente EGQ

27

Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia

E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ •

ρ)()()( (1)

A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a

tT

xT

∂∂=

∂∂

α1

2

2

iTtxT =∞→ ),(

(2)

Condição inicial (3)

Serão apresentadas 3 formas de condição inicial para resolver um problema de sólido semi-infinito:

a) Temperatura superficial constante Tsup ≠ Tib) Fluxo térmico constante na superfície, q”0

c) Exposição da superfície a um fluido caracterizado por Te ≠ Ti e um coeficiente de transferência de calor h

Page 28: Regime Transiente EGQ

28

SÓLIDO SEMI-INFINITO

( ) ( ) is TxTTtT =≠= 0,,0

• Caso 1 - Temperatura Superficial Constante.

( )( )( ) ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

txerf

TTTtxT

si

s

α2,

( )tTTk

q iss πα

−="

Destaque: Mudança de Temperatura em forma de degrau e o fluxo térmico diminuíproporcionalmente com t 1/2

Page 29: Regime Transiente EGQ

29

SÓLIDO SEMI-INFINITO

"0

"sup qq =

• Caso 2 - Fluxo Térmico constante na superfície.

( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−t

xerfckxq

tx

ktq

TtxT i ααπα

24exp

2,

"0

2"0

Destaque: T(0,t) = Tsup aumenta monotonicamente com t 1/2

Page 30: Regime Transiente EGQ

30

SÓLIDO SEMI-INFINITO

( )[ ]tTThxTk

x,0

0−=

∂∂

∞=

( )( )( )

• Caso 3 - Convecção na superfície.

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

∞ kth

tx

kth

khx

txerfc

TTTtxT

i

i αα

αα 2

expexp2

,2

2

Destaque: Tsup e Tint tendem a temperatura externa T∞

Page 31: Regime Transiente EGQ

31

Tabela da Função erro de Gauss (Apêndice B - Tabela B2)

Page 32: Regime Transiente EGQ

32

Efeitos Multi-dimensionais

Page 33: Regime Transiente EGQ

33

Efeitos multidimensionaisSeja um cilindro curto, com Temperatura inicial, Ti, como o apresentado na figura abaixo

tT

xT

rTr

rr ∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂

α1)(1

2

2

Considerando: Condutividade constante e Sem geração de energia, a equação da difusão de calor fica

•Este cilindro é imerso em um fluido, T∞≠ Ti.•Sendo r e L comparáveis, a transferência por condução será significativa em r e L•T=T(r,x,t)

Page 34: Regime Transiente EGQ

34

A equação anterior pode ser expressa da seguinte forma:

( ) ( ) ( )infinitocilindro

planaparede

,,,,

∞∞∞ −×

−=

− TTtrT

TTtxT

TTtxrT

iii

•NOTE: Solução bidimensional = produto de soluções unidimensionais

( ) ( )planaparede

,,∞

−−=TT

TtxTtxPi

( ) ( )infinito-semi

sólido

,,∞

−−=TT

TtxTtxSi

( ) ( )infinitocilindro

,,∞

−−=TT

TtrTtrCi

Efeitos multidimensionais (solução de sistemas unidimensionais)

Solução para o caso (h)

( ) ( ) ( ) ( )txPtxPtxPTT

txxxT

i

,,,,,,321

321 ⋅⋅=− ∞

( )Solução para o caso (i)

( ) ( )txPtrCTT

txrT

i

,,,, ⋅=− ∞