UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA QUÍMICA

TRANFERÊNCIA DE CALOR

EM ESTADO NÃO ESTACIONÁRIO

Felipe Gabriel Santos Furtado Cutrim

Mário Eduardo Mariz Fonseca

Paulo Fernando de Oliveira Leal

São Luís

Outubro/2011

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA QUÍMICA

ENGENHARIA QUÍMICA

LABORATÓRIO DE ENGENHARIA QUÍMICA III

Transferência de Calor em Estado não Estacionário

Felipe Gabriel S. F. Cutrim EQ08103-83

Mário Eduardo M. Fonseca EQ08102-82

Paulo Fernando de O. Leal EQ09106-90

São Luís

Outubro/2011

1 – INTRODUÇÃO

Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a análise global do sistema; por ser a temperatura função exclusiva do tempo.

Outra forma de realizar análise de condução transiente é através do emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia com o tempo e com a posição.

2 – OBJETIVO

2.1 – Objetivo Geral

Realizar uma análise da condução em regime transiente em sólidos esféricos.

2.2 – Objetivo Específico

1 - Construir um gráfico adimensional em função do numero de Fourier

2) Estimar o numero de Biot por meio das curvas

3) Determinar o coeficiente de transferência de calor convectiva

4) Comparar diferentes métodos de determinação do coeficiente de calor convectivo.

3 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Vários problemas de transferência de calor transiente aparecem tipicamente, por exemplo, quando as condições de contorno de um determinado sistema são alteradas, as variações temperatura ocorrerão até a distribuição de temperatura alcançar o regime estacionário. A natureza da abordagem depende das considerações que podem se feitas para o processo, conforme descrito abaixo:

• Método da capacidade concentrada - gradiente de temperatura no interior do sólido desprezível

• Sólidos finitos ou semi-infinitos – gradientes de temperatura não desprezível e transferência de calor unidimensional (Paredes planas, cilindros longos e esferas)

• Método numérico – Solução bi-dimensional e tridimensional transiente com geometrias complexas

Neste trabalho trataremos do método da capacidade concentrada e do uso de diagramas os quais serão descritos nos próximos itens.

3.1 – Método da capacidade concentrada

Um problema de condução transiente simples, mas comum, é aquele para o qual um sólido sofre uma rápida alteração em sua temperatura ambiente, um exemplo típico é um metal quente forjado que se encontra a uma temperatura uniforme e é resfriado ao ser imerso em um líquido de menor temperatura. Esta abordagem é conhecida como método da capacidade concentrada e admitisse que o resfriamento é rápido o suficiente para produzir gradientes desprezíveis no interior do sólido. Esta ausência de gradiente de temperatura implica na existência de uma condutividade térmica infinita.

Ao desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido, não pode-se considerar o problema enquadrado na equação de calor. Desta forma, a resposta transiente da temperatura é determinada pela formulação de um balanço global de energia no sólido, dado por:

Eq(1)

Ou seja

Eq(2)

Integrando e trabalhando em termo da diferença de temperatura, tem-se:

Eq(3)

A equação indica que a diferença de temperatura entre o fluido e sólido decai

exponencialmente e que a grandeza pode ser interpretada com uma constante de tempo térmico, dada na forma:

Eq(4)

O método da capacidade concentrada somente é valido se a razão entre o calor trocado por condução e convecção for desprezível, ou seja, para o limite do regime estacionário, tem-se:

Eq(5)

Ou seja:

Eq(6)

A grandeza é um parâmetro adimensional, denominado número de Biot, que fornece uma medida de queda de temperatura entre a superfície e o fluido. De posse do número de Biot determina a validade do método da capacidade concentrada:

Eq(7)

Onde é o comprimento característico que é a razão entre o volume do sólido e a área

superficial, .

Trabalhando a definição da equação (7) no expoente da equação (3) temos:

Eq(8)

O termo é um parâmetro adimensional de tempo conhecido como número de

Fourier e o termo é o número de Biot. Estes dois parâmetros adimensionais caracterizam a condução transiente:

Eq(9)

3.2 – Determinação do número de Biot por meio de diagramas

O método da capacidade concentrada, citado na seção 3.1, só pode ser utilizado para situações em que o número de Biot é menor que 0,1, logo em situação que estão fora desse limite iremos fazer uso do diagrama mostrado na figura 1, onde a partir de valores de Fo e θ/θi podemos encontrar o número de Biot.

O diagrama da figura (1) foi desenvolvido para esferas condutoras, porém existem outros diagramas análogos para os casos de outras geometrias de aquecimento.

Figura 1-Diagrama para a determinação de Bi em função de Fo e θ/θi

4 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

A figura (2) mostra o equipamento utilizado no experimento, tal equipamento consiste em um banho termostático (que nos permite controlar a temperatura da agua no mesmo) e duas esferas, uma de porcelana e outra de alumínio, ambas com medidores de temperatura em seus centros.

Figura 2-Equipamentos do experimento

4.1 – Esfera de Alumínio

Inicialmente o banho foi aquecido de modo a obter uma temperatura de 54ºC, em seguida foi media a temperatura inicial da esfera de alumínio, a qual resultou em 27ºC. Após a preparação do sistema a esfera de alumínio foi mergulhada no banho e foram medidos os tempos necessários para cada elevação de 3ºC na temperatura da mesma, com isso foi possível montar a tabela 1 que nos informa a temperatura da esfera em função do tempo.

Tabela 1-Dados de aquecimento da esfera de Alumínio

Temperatura (°C) Tempo (s)27 030 8,133 15,9436 25,0939 38,0542 54,4845 68,2348 103,8951 160,0652 319,31

4.1 – Esfera de Porcelana

O procedimento realizado com a esfera de porcelana foi análogo ao da de alumínio diferindo apenas na temperatura do banho (56ºC) e na temperatura inicial da esfera (25ºC), a tabela (2) mostra os dados de aquecimento dessa esfera em função do tempo.

Tabela 2-Dados de aquecimento da esfera de Porcelana

Temperatura (°C) Tempo (s)25 028 41531 64834 84537 102940 118943 141146 166949 1920

4 – RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1 – Esfera de Alumínio

Uma análise da equação (9) nos leva a perceber que o numero de Fourier varia linearmente com o cologarítimo da temperatura adimensional do sistema, com isso foi possível a construção do gráfico mostrado na figura (3).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

f(x) = 35.618757962068 xR² = 0.999338684643264

-Ln(θi/θ)

Fo

Figura 3-Curva experimental da esfera de Alumínio para a determinação de Bi

Como os pontos acima se comportam como uma reta podemos determinar o número de Biot como sendo o inverso do coeficiente angular da reta da figura (3) com isso temos:

Bi (Al) = 0,028081999

Uma vez munidos do número de Biot e dos dados fornecidos no apêndice (A) deste trabalho podemos calcular o valor da constante de convecção para o alumínio.

h = 511,95 W/m2.K

Como podemos perceber Bi < 0,1 o que torna nossa hipótese inicial de utilizar uma abordagem a parâmetros concentrados válida.

4.1 – Esfera de Porcelana

Na esfera de porcelana foi feito um gráfico análogo ao da esfera de alumínio o qual é mostrado na figura (4).

-0.8 0.2 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f(x) = 2.3483921854834 xR² = 0.969243388988106

-Ln(θ/θi)

Fo

Figura 4-Curva experimental da esfera de Porcelana para a determinação de Bi

Como podemos perceber o comportamento da curva não foi linear, tal fato nos impossibilitou de usar uma abordagem a parâmetros concentrados, logo para determinar o número de Biot para a porcelana foi utilizado o diagrama mostrado na figura (1), e dessa forma foram obtidos os valores abaixo para Bi e h.

Bi (Por) = 0,167

h = 17 W/m2.K

Como Bi > 0,1, pode-se notar que o método utilizado é coerente.

5 – CONCLUSÃO

A partir do que foi exposto neste trabalho pode-se concluir que:

O número de Biot é uma ferramenta muito importante na transferência de calor, uma vez que o mesmo nos dá diversas informações a respeito das resistências dos materiais a transporte de calor.

A abordagem a parâmetros concentrados nos possibilita a resolução de diversos problemas em que Bi < 0,1.

O uso de diagramas nos possibilita a resolução de problemas de engenharia complexos.

7 – REFERÊNCIAS

Incropera, F.P. y DeWitt, D.P., "Fundamentals of heat and mass transferc', John Wiley & Sons, 1990.

Apêndice A – Propriedades físicas do Alumínio e porcelana

Material k ΑAlumínio 237 9,71 10-5

Porcelana 3,98 1,89 10-6

Apêndice B – Tabelas de dados utilizados na construção dos gráficos

Alumínio

Temperatura (°C) Tempo (s) θ θ/θi LN θ/θi

27 0 -26 1 030 8,1 -23 0,88461538 -0,122633 15,94 -20 0,76923077 -0,26236

36 25,09 -17 0,65384615 -0,4248839 38,05 -14 0,53846154 -0,6190442 54,48 -11 0,42307692 -0,860245 68,23 -8 0,30769231 -1,1786548 103,89 -5 0,19230769 -1,6486651 160,06 -2 0,07692308 -2,5649552 319,31 -1 0,03846154 -3,2581

Porcelana

Temperatura (°C) Tempo (s) θ θ/θi LN θ/θi

25 0 -35 1 028 415 -32 0,91428571 -0,0896131 648 -29 0,82857143 -0,1880534 845 -26 0,74285714 -0,2972537 1029 -23 0,65714286 -0,4198540 1189 -20 0,57142857 -0,5596243 1411 -17 0,48571429 -0,7221346 1669 -14 0,4 -0,9162949 1920 -11 0,31428571 -1,15745