Conduo de calor em regime transiente

Condies variam com o tempo

1) Temperatura na superfcie de um slido alterada e a temperatura no

interior do slido comea a variar

2) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuio de

temperatura estacionria

O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posio no

slido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e

resfriamento

A energia transferida por conveco e radiao na superfcie do

sistema e conduo no interior do sistema

- O problema transiente pode ser resolvido atravs de duas anlises considerando:

1. A variao de temperatura no interior do slido desprezvel (variao

com a posio) e somente h variao com o tempo

2.A variao da temperatura do slido com a posio e o tempo.

Exemplos de aplicao:

- tratamento trmico

- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma

corrente de ar frio

- produo de novos materiais com propriedades melhoradas

1) Mtodo da capacitncia global (slido com resistncia interna desprezvel)

Slido que submetido variao trmica repentina.

Ex: Metal quente a temperatura Ti imerso em um lquido a T (Ti>T)

em t=0

Para t>0 a temperatura do metal decresce at alcanar T.

Isto se deve a conveco na interface slido-lquido

Considerando:

1) temperatura do slido espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo, o que implica que o gradiente de

temperatura dentro do slido desprezvel

2) da Lei de Fourier um gradiente desprezvel implica a existncia de um k infinito.

Admite-se que a resistncia interna a transferncia de calor por conduo

dentro do slido muito pequena comparada resistncia externa entre a

superfcie e o meio (conveco)

Esta aproximao mais exata quanto maior for a relao entre a rea

superficial e o volume, ex: placas finas e fios.

Balano de energia no slido

Taxa de perda de calor do slido = Taxa de variao da energia interna

acsai EE

dt

)t(dTVc)T)t(T(hA

Por convenincia se define:

T)t(T)t(

Substituindo resulta:

tlnhA

Vc i

Esta equao pode ser usada para determinar o tempo em que um slido

leva para atingir a temperatura T

ou

Vc

hAtexp

TTi

T)t(T

i

Esta equao pode ser usada para calcular a temperatura do slido no

tempo t.

O termo

1

Vc

hA

onde denominada de constante de tempo trmica

1texp

TTi

T)t(T

i

- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, at alcanar T.

- > , menor o tempo para alcanar T e maior a taxa de decaimento de T

- quanto maior a massa do corpo e seu calor especfico, menor e portanto

mais tempo leva para aquecer ou resfriar

Por analogia:

RhA

1

Resistncia T.C. por conveco

e

CVc Capacitncia trmica do slido

ento =R C

aumentando R ou C o slido responder mais lentamente s mudanas

trmicas do meio e aumentar o tempo para alcanar o equilbrio trmico.

A energia total transferida Q :

t t dthAdt.QQ 0 0

substituindo

dt)tVc

hAexp(hAQ t i 0

3>2>1

t

Vc

hAexpVcQ i

1

ou

Q=Eac Q + se o slido experimenta um decrscimo na energia interna

Q se a energia interna aumenta (slido aquecido)

Validade do mtodo para que condies o mtodo pode ser aplicado

Para uma placa com uma superfcie mantida T1 e de temperatura T2 outra

exposta a um fluido com T. Fazendo um balano na superfcie:

)TT(hA)TT(L

kA 221

Bik

hL

R

R

hA/

kA/L

TT

TT

conv

cond

12

21

Nmero de Biot Bi:

Razo entre as resistncias interna e externa. D a medida do decrscimo

de temperatura no slido relativo diferena de temperatura entre a

superfcie e o fluido.

Bi=hL/k

Se

- Bi1 o gradiente de temperatura no slido muito maior que entre

a superfcie e o fluido.

Para aplic-lo testar se:

Bi = hLcond/k < 0,1

onde Lcond o comprimento da conduo, que definido para considerar

outras formas geomtricas, Lcond=V/A

Geometrias unidimensionais: todas com caracterstica de simetria

- Parede plana Lcond=L (espessura 2L)

- Cilindro longo Lcond=r/2

- Esfera Lcond=r/3

Nmero adimensional de Fourier Fo

Denominado tempo relativo

2Lcond

tFo

Difusividade trmica pc

k

(m/s)

Assim a equao pode ser escrita em funo de Bi e Fo:

Fo.BiexpTTi

T)t(T

i

A equao escrita com estes dois nmeros generaliza a equao para

diversos tipos geomtricos.

Os nmeros de Bi e Fo caracterizam a anlise transiente.

Gradientes de temperatura no interior do meio no so desprezveis

- Determinao da distribuio de temperatura no interior do slido como

uma funo do tempo e da posio

Para unidimensional, k constante e sem gerao

)t,x(t

T

x

T

1

2

2

Especificar as condies inicial e de contorno

- Para parede plana de espessura 2L (simetria geomtrica e trmica na linha

de centro)

Condio inicial t=0 T(x,0)=Ti

Condies de contorno x=0 0

x

T (simetria)

x=L )T)t,L(T(hdx

dTk

T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)

Resoluo: - mtodos analticos (separao de variveis)

- mtodos numricos

Adimensionalizar as equaes e condies permite:

- diminuir a dependncia da temperatura - arranjar as variveis em grupos

Temperatura adimensional

TTi

TT

i

*

Coordenada espacial ou posio adimensional

L

xx* L = semiespessura da parede plana

Tempo adimensional 2

*

L

tFot

Equao torna-se:

Fox

*

*

*

2

2

Condies de contorno: 10 ),x( **

0

*

*

x

)t,(Bi

x

**

*

*

1

)Bi,Fo,x(f **

Para uma dada geometria a distribuio transiente de temperatura uma

funo de x*, Fo e Bi. A soluo no depende de valores particulares.

A resoluo envolve vrias tcnicas analticas e numricas, incluindo a

transformada de Laplace e outras, mtodo de separao de variveis,

mtodo das diferenas finitas e dos elementos finitos.

1) Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera

Vlidas para Fo > 0,2

A) Parede plana

- Temperatura

)xcos()Foexp(C ** 12

11

ou )xcos( **o*

1 onde

TTi

TTo)Foexp(C*o

211

C1 e 1 (em rad) so tabelados para cada geometria em funo de Bi.

- Quantidade total de energia que deixou a parede at um dado instante de

tempo t

)TTi(cVQo Energia interna inicial da parede em relao

temperatura do fluido ou quantidade

mxima de transferncia de calor para

tempo infinito.

Q/Qo=qde total de energia transf. ao longo do intervalo de t/transf. mxima

Ou *oo

sen

Q

Q

1

11

B) Cilindro infinito raio ro

Idealizao que permite utilizar a hiptese de conduo unidimensional na

direo radial. Razovel para L/ro>=10.

)r(Jo)Foexp(C ** 12

11 onde Jo= funo de Bessel tabelada

ou )r(Jo **o*

1 onde

TTi

TTo)Foexp(C*o

211

)(JQ

Q*o

o11

1

21

onde J1= funo de Bessel tabelada

C) Esfera raio ro

)rsen(r

)Foexp(C **

*1

1

211

1

ou )rsen(r

*

*

*o

*1

1

1

onde

TTi

TTo)Foexp(C*o

211

)cos()sen(Q

Q*o

o1113

1

31

Slido semi-infinito

- Idealizao til para muitos problemas prticos - Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfcie

do solo ou a resposta transiente aproximada de um slido finito onde

nos instantes iniciais a temperatura no interior do slido ainda no foi

afetada pelas alteraes superficiais

)t,x(t

T

x

T

1

2

2

Condio inicial t=0 T(,t)=Ti

Condies de contorno

Caso 1 - Temperatura constante na superfcie: T(0,t)=Ts

Ts

x

Caso 2 Fluxo de calor constante na superfcie: dx

dTkq

q

x

Caso 3 Conveco na superfcie: ))t,(TT(hdx

dTk 0

T

h

x

Solues analticas aproximadas resposta dentro do slido diferente para

cada situao:

Caso 1

t

xerf

TsTi

Ts)t,x(T

2 t em horas e x em metros

Onde a funo erro de Gauss erf tabelada (Apndice B2)

t

)TiTs(kq

Caso 2

t

xerfc

k

qx

t

xexp

k

/tqTi)t,x(T

24

2 2

Sendo erfc(w)=1-erf(w) funo erro complementar de erf (w)

Caso3- Conveco

k

Th

t

xerfc

k

th

k

hxexp

t

xerfc

TiT

Ti)t,x(T

22 2

2

Exemplo: