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1
Conduo de calor em regime transiente
2. semestre, 2016
Transferncia de calor
2
Conduo de calor em regime transiente
Muitos problemas de transferncia de calor so dependentes do
tempo. So problemas no-estacionrios ou transientes que surgem
quando as condies de contorno de um sistema so mudadas.
Por exemplo, se a temperatura superficial de um sistema for
alterada, a temperatura em cada ponto desse sistema tambm comear a
mudar.Essas mudanas continuaro at que uma distribuio de
temperaturas estacionrias seja alcanada.
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Conduo de calor em regime transiente
Em um lingote de metal quente, removido de um forno e exposto a
uma corrente de ar frio a energia ser transferida por conveco e
radiao de uma superfcie para a vizinhana.
Da mesma forma, haver uma transferncia de calor por conduo no
interior da pea. Assim haver uma diminuio da temperatura em cada
ponto do lingote com o tempo, at que uma condio de regime
estacionrio seja alcanada.
Processo similar o resfriamento de alimentos, onde o produto
submetido a uma corrente de ar a baixa temperatura e a temperatura
do produto diminui gradativamente, at atingir uma mesma condio de
regime estacionrio.
4
Conduo de calor em regime transiente
O comportamento da temperatura depende do tempo e da posio no
slido e ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e
resfriamento.O problema transiente pode ser resolvido atravs de
duas anlises, considerando: A variao de temperatura no interior do
slido desprezvel (variao com a posio) e somente h variao com o
tempo: T(t)
A variao da temperatura no slido com a posio e o tempo:
T(x,t)
Exemplos de aplicao:- Tratamento trmico;- Lingote de metal
quente removido de um forno e exposto a uma corrente de ar frio;-
Produo de novos materiais com propriedades melhoradas;-
Resfriamento e congelamento de alimentos.
Principalmente em metais com elevada condutividade trmica.
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Um problema simples e comum de conduo transiente envolve um
slido que passa por uma sbita mudana no seu ambiente trmico. Como
exemplo, em um processo de tmpera, o metal a uma temperatura
inicial Ti submetido a um rpido resfriamento atravs da imerso em um
meio lquido a uma temperatura T, mais baixa que Ti (Ti > T
).Para t>0, a temperatura do metal diminuir, at alcanar a T
.
Esse mtodo pode ser utilizado quando o slido apresentar
resistncia interna desprezvel.
Mtodo da capacitncia global
Isto se deve conveco na interface slido-lquido.
6
A essncia do mtodo da capacitncia global a hiptese de que a
temperatura do slido uniforme no espao, em qualquer instante
durante o processo transiente, ou seja, os gradientes de
temperatura no interior do slido so desprezveis.Pela Lei de
Fourier, um gradiente desprezvel implica a existncia de uma
condutividade trmica, k, infinita, o que obviamente impossvel.
No entanto, essa soluo aproximada se a resistncia interna
transferncia de calor por conduo dentro do slido muito pequena
comparada resistncia externa entre a superfcie e o meio
(conveco).
Esta aproximao mais exata quanto maior for a relao entre a rea
superficial e o volume, como por exemplo em placas finas e
fios.
Mtodo da capacitncia global
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Ao desprezar os gradiente de temperatura no interior do slido, o
problema no pode mais ser analisado do ponto de vista da equao do
calor.
Como alternativa, a resposta transiente determinada atravs de um
balano global de energia no slido. Esse balano deve relacionar a
taxa de perda de calor na superfcie com a taxa de variao de sua
energia interna, isso :
ou
ou
onde As a rea superficial do slido, em m2, sua massa especfica,
em kg/m3, V o
seu volume, em m3 e cp o calor especfico, em J/kgK. Na mesma
eq., T representa a temperatura e t o tempo.
Mtodo da capacitncia global
=
interna energia
da variaode Taxa
slido do
calor de perda de Taxa(1)
acumsai EE && = (2)
dt
)t(dTVc)T)t(T(hA ps = (3)
8
Dimensionalmente, a eq. (3) :
Por convenincia, se define uma variao de temperatura como:
Se T for considerada uma constante,
a eq. (3) fica:
Mtodo da capacitncia global
(4)
4342144 344 21
Ws
J
s
K
kgK
Jm
m
kg
p
WKmKm
W
s dt
)t(dTVc)T)t(T(hA
===
=
33
22
(3)
massa do slido
= T)t(T)t(
dt
)t(dT
dt
)t(d =
( )tdt
)t(d
hA
Vc
s
p
= (5)
-
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9
Separando as variveis e integrando a eq. (5) a partir da condio
inicial (t=0 e T(0)=Ti:
onde
Efetuando as integraes na eq. (6):
pois:
Mtodo da capacitncia global
(7)
(6)
= TTii
( ) ( ) ==t
s
p
s
dtt
)t(d
hA
Vcdt
t
)t(d
hA
Vci 0
(8)tlnhA
Vci
s
p =
( )
i
ii lnlnlnlnlnt
)t(dii
====
Esta equao usada para determinar o tempo em que um slido leva
para atingir a temperatura T.
10
A eq. (8) tambm pode ser escrita como:
Dessa forma, essa equao pode ser usada para calcular a
temperatura do slido no tempo t.
Na eq. (9), o termo:
denominado de constante de tempo trmica, em s. Assim, a eq. (9)
pode ser reescrita como:
Mtodo da capacitncia global
(11)
(9)
(10)
=
=
p
s
ii Vc
hAtexp
TT
T)t(T
( ) =
p
s
VchA
1
=
=
1
texpTT
T)t(T
ii
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11
Analisando a eq. (9):
E por analogia a um sistema eltrico, pode-se definir:
e
Dessa forma, a eq. (10) fica:
Mtodo da capacitncia global
(13)
(9)
(12)
=
=
p
s
ii Vc
hAtexp
TT
T)t(T
RhAs
=1
CVcp =
Resistncia T.C. por conveco
Capacitncia trmica do slido
( ) CRVchA ps
==
1 (14)
12
Pela anlise da eq. (14) fica evidente que qualquer aumento de R
ou C causar uma resposta mais lenta do slido s mudanas no ambiente
trmico e aumentar o tempo para alcanar o equilbrio trmico.
Pela observao da figura abaixo, nota-se que a temperatura cai
exponencialmente com o tempo, at alcanar T.Da mesma forma, quanto
maior a massa do corpo e/ou seu calor especfico, maior ser o valor
de e, por tanto, mais tempo levar para aquecer ou resfriar.
Mtodo da capacitncia global
( ) CRVchA ps
==
1 (14)
-
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A energia total transferida durante o processo, Q, dada por:
Substituindo o valor de , conforme a Eq. (9) nessa equao:
Integrando a Eq. (16):
ou
Isso :Q + se o slido experimenta um decrscimo na energia interna
ou Q se a energia interna aumenta (slido aquecido).
Mtodo da capacitncia global
(15) ==t t
s dthAqdtQ 0 0
dt)tVc
hAexp(hAQ
t
p
sis = 0
(16)
= t
Vc
hAexpVcQ
p
sip
1 (17)
acumEQ =(18)
Ver slide seguinte
14
dt)tVc
hAexp(hAQ
t
p
sis = 0
(16)4434421
=
=
a
edte
tis
atat
dt)atexp(hAQ0
( )
p
s
p
s
p
s
t
p
s
Vc
hA
exptVc
hAexp
Vc
hA
tVc
hAexp
=
0
0
=
p
s
p
s
is
Vc
hA
tVc
hAexp
hAQ
1
= t
Vc
hAexpVcQ
p
sip
1 (17)
a
=1
-
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O mtodo apresentado anteriormente caracteriza-se por sua
simplicidade e convenincia para a soluo de problemas transientes de
aquecimento ou de resfriamento.
A questo que surge : quais as condies em que o mtodo pode ser
aplicado com preciso satisfatria??
Para essa anlise, considere a conduo em regime estacionrio
atravs de uma placa plana com rea A. A placa plana possui uma
superfcie mantida T1 enquanto a outra, a T2 , est exposta a um
fluido de temperatura T < T1. Fazendo um balano de energia na
superfcie:
Validade do mtodo da capacitncia global
(19))TT(hA)TT(L
kA= 221
Bik
hL
R
R
hA/
kA/L
TT
TT
conv
cond ====
12
21
Rearranjando essa equao, resulta em:
(20)
A grandeza ressaltada na eq. (20) chamado de nmero de Biot e um
parmetro adimensional.
k
hLBi = (21)
16
O nmero de Biot (Bi) a razo entre as resistncias interna e
externa. D a medida do decrscimo de temperatura no slido relativo
diferena de temperatura entre a superfcie e o fluido.
Validade do mtodo da capacitncia global
(22)Bik
hL
R
R
hA/
kA/L
TT
TT
conv
cond ====
12
21
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Observando a figura abaixo:
Validade do mtodo da capacitncia global
Se:- Bi1, o gradiente de temperatura no slido muito maior que
entre a superfcie e o fluido.
18
Para testar a validade do mtodo, aplica-se a relao:
Se essa condio for satisfeita, o erro associado utilizao do
mtodo da capacitncia global pequeno.
Na eq. (23), Lct o comprimento caracterstico, isso , o
comprimento da conduo dentro do objeto. A energia trmica ser
conduzida para fora do objeto atravs do caminho mais fcil, isso , o
mais curto.
Para uma placa plana de espessura 2L e simetria na posio
central, como mostrado na figura abaixo, o comprimento
caracterstico , Lct, ser dado por:
Validade do mtodo da capacitncia global
(23)
(24)
10,k
hLBi ct
-
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Para outras formas geomtricas, mais complexas, Lct dado pela eq.
(25):
onde V a volume do slido e As a rea da sua superfcie.
Geometrias unidimensionais: todas com caracterstica de
simetria
(25)
sct A
VL =
20
Para uma esfera de raio r, o eixo de simetria est em r = 0:
Para um cilindro de raio r e altura H o eixo de simetria est
tambm em r = 0:
Geometrias unidimensionais: todas com caracterstica de
simetria
(26)
22
33
4
63
4
DrA
DrV
s
==
==34
34
2
3
r
r
rLct ==
H
HDHrA
HDHrV
s
==
==
24
22
22
2 r
Hr
HrLct ==
(27)
-
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Nmero adimensional de Fourier (Fo)
Revendo a Eq. (9):
o termo marcado em vermelho pode ser reescrito utilizando o
conceito de Lct:
onde ento o nmero de Fourier e dado por:
Esse nmero adimensional denominado de tempo adimensional ou
tempo relativo e que, como o nmero de Biot, caracteriza problemas
de conduo transiente. Na eq. a difusividade trmica do material.
=
=
p
s
ii Vc
hAtexp
TT
T)t(T
(28)
(9)
22ct
ct
ctp
ct
pctct
ct
pctp
s
L
t
k
hL
L
t
c
k
k
hL
cL
ht
kL
kL
cL
ht
Vc
hAt
====
FoBiL
t
k
hL
Vc
thA
ct
ct
p
s ==2
(29)
2ctL
tFo
= (30)
22
Nmero adimensional de Fourier (Fo)
Voltando novamente na Eq. (9) e substituindo introduzindo nessa
equao a Eq. (29):
( )FoBiexpTT
T)t(T
ii
=
=
(31)
-
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Bolas de ao com 12 mm de dimetro so temperadas pelo aquecimento
a 1150 K seguido do resfriamento lento at 400 K, em um ambiente com
ar a T = 325 K e h = 20 W/m
2K. Supondo que as propriedades do ao sejam
k=40W/mK, = 7800 kg/m3 e cp = 600 J/kgK:
a) Estime o tempo necessrio para o processo de resfriamento;b)
Desenhe a curva de resfriamento at uma temperatura prxima mas
superior a T;c) Estime a temperatura do slido na metade do tempo
total de resfriamento
Exemplo 1:
24
Determine o coeficiente de transferncia de calor por conveco, h,
para o ar escoando sobre uma esfera partir da observao do
comportamento dinmico da temperatura da esfera.
A esfera tem D=12,7 mm e encontra-se inicialmente a 66 C antes
de ser inserida em uma corrente de ar a 27 C. Um termopar na
superfcie externa da esfera indica 55 C aps 69 s da insero da
esfera na corrente de ar. A esfera se comporta como um objeto
espacialmente isotrmico? Mostrar.
Exemplo 2:
-
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Processos com gradiente de temperatura no slido
O mtodo da capacitncia global foi apresentado anteriormente e
sua validade foi demonstrada para condies nas quais o gradiente de
temperatura no interior do slido pode ser considerado
desprezvel.
No entanto, surgem situaes nas quais o mtodo da capacitncia
global no adequado pois os gradientes de temperatura no interior do
meio no so desprezveis.
Os problemas de conduo de calor transiente so descritos pela
equao do calor, que em coordenadas retangulares dada por:
A soluo dessa equao fornece a variao da temperatura com o tempo
e com as coordenadas espaciais.
(32)
26
Processos com gradiente de temperatura no slido
Em muitos problemas, como o caso da parede plana mostrado
anteriormente, somente uma coordenada espacial necessria para
descrever a distribuio interna da temperatura. Para o caso de
ausncia de gerao interna de calor e condutividade trmica k
constante, a Eq. 32 ficar reduzida a:
Para resolver a Eq. (34), determinando a distribuio de
temperatura T(x,t), necessrio especificar uma condio inicial e duas
condies de contorno.
Notar que o termo chamado de difusividade trmica e que no SI sua
unidade m2/s
t
T
t
Tc
x
Tk
x p =
=
1 (33)
t
T
t
T
k
c
x
T p=
=
1
2
2(34)
-
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Processos com gradiente de temperatura no slido
Para um problema tpico de conduo transiente, como o mostrado na
figura anterior, a condio inicial pode ser dada por:
que significa que no tempo t=0, todo o volume do slido
encontra-se na mesma temperatura.
As condies de contorno para esse caso so dadas por:
( ) iT,xT =0 (35)
00
=
=xx
T (36)
(37)
A eq. (36) reflete a exigncia de simetria no plano central da
parede.
A eq. (37) descreve a condio na superfcie para t>0.
( )[ ]=
= Tt,LTh
x
Tk
Lx
28
Processos com gradiente de temperatura no slido
Fica evidente pela anlise das equaes anteriores que, alm de
serem dependentes da posio (x) e do tempo (t), tambm dependem de
uma srie de parmetros fsicos, conforme Eq. (38):
O problema pode, ento, ser resolvido analiticamente ou
numericamente, como ser visto posteriormente.
No entanto, em primeiro lugar ser mostrado as vantagens que
podem ser obtidas pela adimensionalizao das equaes que descrevem o
processo. Isso pode ser feito pelo agrupamento das variveis
relevantes em grupos apropriados.
Por exemplo, se T a varivel dependente e for a diferena de
temperatura, ao dividi-la pela mxima temperatura possvel , a forma
adimensional da varivel dependente pode ser dada por:
e, como consequncia, * deve estar no intervalo 0*1.
( )h,,k,L,T,T,t,xTT i = (38)
(39)
= TT= TTii
==
TT
TT
ii
*
-
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Processos com gradiente de temperatura no slido
Uma coordenada espacial adimensional pode ser definida como:
onde L a metade da espessura da parede plana.
Um tempo adimensional pode se definido como:
onde t* equivalente ao adimensional nmero de Fourier, visto
anteriormente. Substituindo as eq. (39) a (41) na eq. (34), a equao
do calor pode ser dada por:
L
xx* = (40)
(41)FoL
tt* ==
2
Fox
*
*
*
=
2
2(42)
30
Processos com gradiente de temperatura no slido
As condies de contorno para a eq. (42) so ento dadas como:
onde Bi o nmero de Biot. Na forma adimensional, a dependncia
funcional pode ser representada como:
O nmero de Fo fornece uma medida da efetividade relativa com a
qual um slido conduz e armazena energia trmica.
(43)
(44)
(45)
10 =),x( **
0=
*
*
x
)t,(Bix
***
*
1 =
(46))Bi,Fo,x(f ** =
-
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Processos com gradiente de temperatura no slido
A Eq. (46) mostra que para uma dada geometria, a distribuio
transiente de temperatura uma funo universal de x*, Fo e Bi. Isso ,
a soluo no depende de valores particulares de Ti,T, L, k, ou h.
Solues analticas exatas para problemas de conduo transiente
foram obtidas para muitasgeometrias e condies de contorno
simples.
A resoluo envolve vrias tcnicas analticas e numricas, incluindo
a transformada de Laplacee outras, mtodo de separao de variveis,
mtodo das diferenas finitas e dos elementosfinitos.
32
Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e
esferaEssas solues so vlidas para Fo >0,2.
a. Caso das paredes planas com espessura 2L:Se a espessura for
pequena quando comparada largura e altura da parede, razovel supor
que a conduo ocorra exclusivamente na direo x.
Temperatura
ou
onde representa a temperatura adimensional no plano central (x*
=0):
)xcos()Foexp(C ** 12
11 =
)xcos( **o*
1 =
==
TT
TT)Foexp(C
i
o*o
211
*o
(47)
(48)
(49)
-
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Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e
esferaOs coeficientes C1 e 1 (em radianos) so calculados por:
Os valores de C1 e 1 so tabelados para cada geometria em funo de
Bi. Por exemplo:
( )111
1 22
4
sen
senC
+=
Bitan =11
(50)
(51)
34
Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e
esfera
-
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Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e
esferaA quantidade total de energia, Q, que deixou (ou entrou) a
parede at um dado instante de tempo t obtida atravs da aplicao de
um balano de energia:
Igualando a quantidade de energia a partir da parede, Q, com
Esai e fazendo Eent =0, a partir de umacondio inicial (t=0) at
qualquer tempo (t>0):
ou
onde a integrao realizada no volume da parede. Esse resultado
pode ser adimensionalizado pelaintroduo da grandeza:
que pode ser interpretada como a energia interna inicial da
parede em relao temperatura do fluido.Essa equao tambm representa a
mxima transferncia de energia que poderia ocorrer se o processo
seestendesse at t=.
acumsaient EEE =
[ ])(E)t(EQ 0=
( )[ ] = dVTt,xTcQ ip
( )= TTVcQ ipo
(52)
(53)
(54)
(55)
36
Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e
esferaSupondo propriedades constantes, a razo entre a quantidade
total de energia transferida a partir daparede ao longo do
intervalo de tempo t e a transferncia mxima possvel dada por:
Introduzindo a Eq. (48) na Eq. (56) e integrando:
E os valores de C1 e 1 podem ser obtidos diretamente na
tabela.
( )[ ] ( )dVVV
dV
TT
Tt,xT
Q
Q *
i
i
o =
=
11
*
o
sen
Q
Q0
1
11
=
(56)
(57)
Ver slide seguinte!!
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( )[ ] ( )dVVV
dV
TT
Tt,xT
Q
Q *
i
i
o =
=
11
( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( )
=
+=
TT
TTTt,xT
TT
TTTt,xT
TT
Tt,xT
i
i
i
i
i
i
( )( ) ( )1=
*
i
i
i TT
TT
TT
Tt,xT
Substituindo esses dois termos na primeira equao e considerando
o sinal negativo:
( ) ** = 11
38
Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo
(infinito) e esferaDa mesma forma que para parede plana onde
Fo>0,2, para um cilindro longo (infinito), utiliza-se
umaidealizao que permite utilizar a hiptese de conduo
unidimensional na direo radial. Razovel paraL/ro>=10.
onde Jo(x) a funo de Bessel (tabelada). Essa equao tambm pode
ser escrita como:
onde
A energia transferida durante o processo dada por:
e J1(x) a funo de Bessel (tabelada). Nessas equaes:
)r(J)Foexp(C *o*
12
11 =
)r(Jo **o*
1 =
==
TT
TT)Foexp(C
i
o*o
211
)(JQ
Q *o
o11
1
21
=
(58)
(59)
(60)
(61)
o
*
r
rr =
-
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Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo
(infinito) e esferaSimilarmente para uma esfera de raio ro:
onde Jo(x) a funo de Bessel (tabelada). Essa equao tambm pode
ser escrita como:
onde
A energia transferida durante o processo dada por:
e
)r(senr
)Foexp(C **
*1
1
211
1
=
)r(senr
**
*o
*1
1
1
=
==
TTi
TTo)Foexp(C*o
211
[ ])cos()(senQ
Q *o
o1113
1
31
=
(62)
(63)
(64)
(65)
o
*
r
rr =
40
Solues analticas aproximadas: parede plana, cilindro longo
(infinito) e esfera Apresentando outra vez a Tab. 5.1 (Incropera)
ou Tab. 4.2 (engel):
Obs.: na tabela do engel,
1 1 1
1111 C e A==
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41
1 1 1
42
Funes de Bessel )x(Jo )x(J1
-
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Slido semi-infinito
Idealizao til para muitos problemas prticos. Pode ser usada para
determinar a resposta transienteperto da superfcie do solo ou a
resposta transiente aproximada de um slido finito onde nos
instantesiniciais a temperatura no interior do slido ainda no foi
afetada pelas alteraes superficiais.
44
Slido semi-infinito
Condio inicial: t=0 T(,t)=Ti
Condies de contorno:
)t,x(t
T
x
T
=
1
2
2
Temperatura na superfcie constante
Fluxo trmico na superfcie constante
Conveco na superfcie
(65)
-
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45
Solues analticas aproximadas
Caso 1: temperatura na superfcie constante.
onde erf a funo erro de Gauss, cujos valores podem ser
calculados ou pegos da tabela.
T(x, t)TsTi Ts
= erf x2 t
