Um passeio pelas Cônicas
FEUSP- SEMA
Seminários de Ensino de Matemática
Coordenação: Nílson J. Machado
Responsável:
Ruth R. Itacarambi
Um passeio pelas Cônicas
No prefácio geral da obra, Apolônio explica as razões que o levaram a escrevê-la:
"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates o geômetra, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha
trabalhado os oito livros, dei-los de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível, portanto revê-los. Escrevi tudo
conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim."(in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, p. 129).
Roteiro do passeio pelas Cônicas
Fatos da história
O caminho de Apolônio
A importância das cônicas
Atividades exploratórias
Teoremas de Dandelin
Aspectos históricos
• As cônicas foram estudadas por Menaecmus, Euclides e Arquimedes, mas a obra de nível mais avançado sobre o assunto foi escrita por Apolônio de Perga (225 a.C.). Devido a este trabalho ele ficou conhecido como o “Geômetra Magno”.
• Linha do tempo
Menaecmus Euclides de Alexandria Apolônio de Perga
(380 aC – 320aC) (325aC – 265 aC.) (262aC – 190 aC)
Todo conhecimento é resposta a uma
pergunta (Bachelard).
• Menaecmus, como a maioria dos matemáticos gregos desta época, estava buscando resolver os três problemas clássicos:
• - Duplicação do cubo, ou o problema de construir o lado de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo dado.
• - Trissecção do ângulo, ou o problema de dividir um ângulo arbitrário em três partes iguais.
• - Quadratura do círculo, ou construir um quadrado com área igual à de um círculo dado.
• A importância destes problemas é que eles não podem ser construídos com régua e compasso, a não ser aproximadamente.
• Menaecmus em sua busca de resposta ao problema da duplicação do cubo apresenta duas soluções por meio de parábolas.
Hipócrates (440 a . C.)
• O primeiro progresso no problema da duplicação foi a redução feita por Hipócrates (440 a . C.) à construção de duas médias proporcionais entre dois segmentos de reta de comprimentos s e 2s e escrevendo as médias por x e y, então
s : x = x : y = y : 2s
• Dessas proporções resulta que
x2 = s y e y2 = 2 s x .
Eliminando-se y, tem-se: x3 = 2 s3, ou seja, x é a aresta do cubo cujo volume é o dobro da aresta s.
Os caminhos de Apolônio
• Apolônio de Perga nasceu na cidade de Pergaregião da Panfília (atualmente Turquia) por voltade 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190a.C.
• Ainda jovem, deixou Perga em direção aAlexandria cujo Museu e sua Biblioteca eramconsiderados na época o centro do saber. Nestelocal estudou com os sucessores de Euclides eaonde, mais tarde, foi professor.
• Sabe-se também que visitou Pérgamo, onde tinhasido construída uma biblioteca semelhante à deAlexandria.
Turquia
Pérgamo foi a maior cidade no oeste da Ásia Menor nos
tempos do Novo Testamento. Está situada a 26
quilômetros do mar Egeu, naquilo que é hoje a Turquia.
Pérgamo foi uma capital independente do império. Seus
templos impressionantes, biblioteca e recursos médicos
fizeram de Pérgamo um renomado centro cultural e político.
A obra de Apolônio
• A obra prima de Apolônio: As Cônicas é composta por 8 volumes sendo que da obra original sobreviveram 7 volumes, desses 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o árabe por Thabit Ibn Qurra (826 a 901) no séc. IX..
• Os três primeiros volumes são baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi perdido.
• Em 1.710, Edmund Halley traduziu os volumes existentes de As cônicas para o latim e todas as demais traduções para as línguas modernas foram feitas a partir da tradução de Halley
• Linha do tempo
Papus Thabit Ibn Qurra Edmund Halley
(290 - 350) (826 - 901) (1656 -1742)
As contribuições de Apolônio
1- Antes de Apolônio, a elipse, a parábola e a hipérbole eram
obtidas como seções de três tipos diferentes de cone circular
reto, de acordo com o ângulo do vértice: agudo, reto ou
obtuso. Apolônio mostrou que não seria necessário tomar
seções perpendiculares a um elemento do cone e que de
apenas um único cone poderiam ser obtidas todas as três
espécies de seções, variando-se a inclinação do plano da
seção, relacionando assim as curvas umas com as outras.
2- Prova que o cone não precisa ser reto - eixo perpendicular
à base circular - podendo ser também oblíquo.
3- Demonstra que as propriedades das curvas independem de
serem cortadas em cones oblíquos ou retos
4- Introduz os nomes elipse,parábola e hipérbole, tomados da
terminologia pitagórica referente à áreas.
Pappus de Alexandria foi o responsável pela maior parte dessas informações.
• A visão atual na qual os sólidos são colocados um sobre o outro emsentidos opostos, estendendo-se indefinidamente, de forma queseus vértices coincidam e os eixos estejam sobre a mesma reta,também foi apresentada por Apolônio, que deu a definição paracone circular utilizada nos dias de hoje:
•
• Se fizermos uma reta, de comprimento indefinido e passando sempre por um ponto fixo, mover-se ao longo da circunferência de um círculo que não está num mesmo plano com o ponto de modo a passar sucessivamente por cada um dos pontos dessa circunferência, a reta móvel descreverá a superfície de um cone duplo.
CÔNICAS LUGAR GEOMÉTRICO
1- Círculo
2- Elipse
3- Parábola
4- Hipérbole
Lugar Geométrico
• Uma figura F é denominada lugar geométrico dos pontos que possuem uma propriedade p, quando e somente quando todos os pontos de F possuem a propriedade p e somente os pontos de Fpossuem essa propriedade.
• Conjunto de pontos
• Uma propriedade
• A figura resultante com a propriedade
Lugar geométrico
Círculo: é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada.
Parábola: é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de uma reta dada e de um ponto dado não pertencente a reta.
Elipse: é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias entre dois pontos fixos é constante.
Hipérbole: é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias entre dois pontos fixos é constante.
Cônicas
LG
Parábola
LG
Elipse
LG
Hipérbole
LG
Estudo da parábola
O vértice A é obtido com a dobra que faz F sobre o ponto Q do
eixo. Observamos que t é tangente à curva em X. Como X está
na mediatriz FP, X é eqüidistante de P e F
Estudo da Elipse
Para mostrar que a curva é uma elipse traçamos XF. Como X
está na mediatriz de PF segue XO + XP = XO + XF = OP
raio do circulo constante
Logo a curva é uma elipse de focos O e F
Estudo da Hipérbole
XF – XO = XP – XO = OP = raio do círculo constante
Logo a curva é uma hipérbole de focos O e F
TRISSECÇÃO DE UM ÂNGULO QUALQUER, COM UMA HIPÉRBOLE
• No século IV DC, Papus de Alexandria, no Livro IV da sua obra "Coleção Matemática" , faz um apanhado das várias soluções, até então conhecidas, para a trissecção de um ângulo e acrescenta mais três, sendo todas aplicações da hipérbole (cônica), por isso não euclidianas.
• A seguinte proposta de trissecção de um ângulo é a de Papus com aplicação da propriedade foco - diretriz da hipérbole.Todas as cônicas (elipse, parábola e hipérbole) podem ter uma definição comum, baseada na razão constante entre duas distâncias.Assim, podemos definir cônica do seguinte modo:
"É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (Foco) e a uma reta fixa (Diretriz) têm razão constante e que se chama excentricidade"
A noção de excentricidade (e) normalmente apresentada é: ξ =
• Na parábola o seu valor é 1, na elipse é um valor do intervalo ]0; 1[ e na hipérbole é um valor superior a 1.De acordo com a definição da propriedade foco-diretriz, a excentricidade é vista como: e=d(PF)/d(Pd) (em que P é um ponto qualquer da cônica, F é um foco e d é a diretriz.
• A figura exemplifica a definição de hipérbole pela sua propriedade foco-diretriz.
• A parábola só tem uma diretriz.
• A elipse e a hipérbole têm duas diretrizes.As diretrizes são retas perpendiculares ao eixo em que se situam o(s) foco(s) da cônica. Na hipérbole, se os focos estiverem situados no eixo das abcissas e a igual distância da origem do sistema de eixos, as diretrizes são retas definidas por equações do tipo:
• x=(+;-)k,
sendo k=a/e, ou k=a^2/c
Figura 8
SOLUÇÃO DE PAPUS
• Para a sua solução, Papus definiu (figura 9):
- um ângulo ABC a trissectar;
- uma circunferência de centro B intersectando os lados do ângulo
ABC nos pontos A e C;
- uma reta d mediatriz do segmento [AC];
- um ramo de uma hipérbole de excentricidade 2, com um foco no
ponto C e uma diretriz na reta d;
Nas condições da figura 9, o ramo da hipérbole intersecta a
circunferência no ponto P.
A amplitude do ângulo PBC é a terça parte da amplitude do ângulo ABC.
Figura 9
Teorema de Dandelin . A secção de um cone circular
reto por um plano que não passe pelo vértice, é uma
elipse, uma hipérbole ou uma parábola. • Supor:
• Plano secante que encontra as geratrizes do cone na mesma folha.
• Plano meridiano perpendicular ao plano secante em AMA`
• Intersecções as geratrizes VA, VA e a reta AA`
• Duas esferas de centro O e O tangentes ao plano secante nos pontos F e F resultando os planos BGC e B`G`C`
• Considerar:
• Um ponto M e tomar MF, MF e a geratriz VM que intercepta BGC e B G C em G e G .
• As retas MF e MG são tangentes à esfera de centro O, então
MF = MG
• As retas MF e MG idem na esfera de centro O , então
MF = MG
• MF + MF = MG + MG`= GG = BB é constante
• Logo o lugar geométrico dos pontos M é uma elipse de focos F e F
Algumas considerações Germinal Pierre Dandelin (Bélgica, 1847) foi matemático,
soldado e professor de engenharia.
• A distância do ponto M ao ponto F e a distância do ponto M à reta DE (diretriz ) é sempre constante.
• Se d (M,F) / d(M, d) for menor que 1 temos a elipse.
• Se d (M,F) / d(M, d) for igual a 1 temos a parábola.
• Se d (M,F) / d(M, d) se for maior que 1 temos a hipérbole .
• Utilizando-se as semelhanças de triângulos segue
• d (M,F) = c
d(M, d) = a ξ = excentricidade
Algumas referências bibliográficas
• ANDRADE, L. N A construção de cônicas e o teorema de Pascal. RPM 45
• BACHELARD G. A formação do espirito científico . Rio de Janeiro, 1996.
• MACHADO N. Geometria Analítica, Ed. Scipione, São Paulo, 1988
• MARKUCHEVITCH A . I. Curvas Notáveis, Ed. MIR, 1997
• PUTNOKI J. C. Desenho Geométrico V. 2 Ed. Scipione, São Paulo, 1989
• Shulte, A. e Lindquist, M. Aprendendo e Ensinando Geometria . Atual editora, 1994
• Duplicação do cubo consultar os artigos da RPM: 66 e 70
• Sites consultados
• www.prof.2000.pt/users• www.sato.prof.ufu.br/conicas/index.htm• www.oeducador.net/index.php• www.britannica.com/Ebchecked/topic/30058/Apollonius-of-Perga• http://www.matematica.br/historia/duplica-cubo.html
http://cmup.fc.up.pt/cmup/geomconstr/node3.html