Seções CônicasCônicas não degeneradas

Estudaremos as Estudaremos as (seções) (seções) cônicascônicas, curvas planas que são , curvas planas que são

obtidas da intersecção de um obtidas da intersecção de um cone circular com um plano.cone circular com um plano.

Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que são

chamadas de cônicas não degeneradas.

No Gráfico:

Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas

propriedades e determinar as equações na forma mais simples.

Cônicas não

degeneradas

Elipse

Elipse

Definição: A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice,

não paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta

apenas uma das folhas da superfície.

Elipse

Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano

Elipse

ElipseDefinição: Uma elipse é o conjunto dos pontos

P = (x, y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos

F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto

dos pontos P = (x, y) tais que

dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a,

em que a > c.

Elipse

Elipse

Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a

Elipse

Elipse

Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a

Elipse

Elementos da Elipse:

F1, F2: focos. A distância entre os Focos F1 e F2, igual a 2c, denomina-se distância focal.O: centro da elipse; é o ponto médio do segmento F1, F2.A1, A2, B1, B2: vértices da elipse.Eixo maior: é o segmento A1A2 e cujo comprimento é 2a.Eixo menor: é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b.Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na figura, obtemos a relação notável:

HipérboleElipse

222 cba

ElipseProposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos

focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é

Elipse

Elipse

Figura 1.1: Elipse com focos nos pontos F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0)

Elipse

ElipseProposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos

focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é

Elipse

Elipse

Figura 1.2: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c)

Elipse

Nas Figuras 1.1 e 1.2, os pontos A1 e A2 são chamados vértices da elipse. Os segmentos A1A2

e B1B2 são chamados eixos da elipse.

ElipseElipse

Parábola • Aplicações práticas da Elipse: • (a) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o

deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:

• (quase uma circunferência)• O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que

correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente.• Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma

circunferência e o meridiano de uma elipse.• (b) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de

concreto e de pedras (desde os antigos romanos)• (c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia.• Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco)

são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.• Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).• (d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos

pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos.

• (e) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve, César, os que vão morrer te saúdam).

Elipse

Parábola

Parábola

Definição: A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano

paralelo a uma linha geradora de cone (chamada

geratriz.

Parábola

Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano

Parábola

ParábolaAlgebricamente: Uma parábola é o conjunto dos

pontos P = (x, y) do plano equidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), não

pertencente a r, ou seja,

a parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) chamados de vértices da parábola,

tais que dist(P, F) = dist(P, r)

Parábola

Parábola

Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r)

Parábola

Parábola

Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r)

Parábola

Elementos da Parábola: F: focoD: diretrizV: vérticep: parâmetro, que representa a distância do foco à diretriz reta VF: eixo de simetria da parábola.LATUS RECTUM: é a corda AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal mínima.

ParábolaParábola

ParábolaProposição 1. (a) A equação de uma parábola

com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = -p é

Parábola

Parábola

Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p > 0

Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p < 0

Parábola

ParábolaProposição 1. (b) A equação de uma parábola

com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = -p é

Parábola

Parábola

Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p > 0

Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p < 0

Parábola

Parábola• Aplicações práticas de Parábola • (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície

espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.

• (b) Se um esplho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo).

• Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as onda paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e conluem para o retransmissor).

• (c) O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se negligenciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento.

• Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos assumem a forma de uma forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA.

• (d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola.

• (e) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola.

• (f) Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. Aplicando-se o movimento de rotação no eixo do cilindo, a secção (ou seção) da superfície é uma parábola.

Parábola

Hipérbole

Hipérbole

• Definição: A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não

passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície.

Hipérbole

Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano

Hipérbole

HipérboleAlgebricamente: Uma hipérbole é o conjunto dos

pontos P = (x, y) do plano, tais que o módulo da diferença

entre as distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se

dist(F1, F2) = 2c, então a hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que

|dist(P,F1 – P, F2)| = 2a,

em que a < c.

Hipérbole

Hipérbole

Hipérbole que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a

Hipérbole

Elementos da Hipérbole:

F1, F2: focos. A distância entre os focos F1, F2, igual a 2c, denomina-se distância focal.O: centro da Hipérbole; é o ponto médio do segmento F1, F2.A1, A2: vérices da Hipérbole.Eixo real ou transversal: é o segmento A1, A2 e cujo comprimento é 2a.Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b.Do triângulo B2OA2, hachurado na figura, obtemos a relação notável:

HipérboleHipérbole

222 bac

HipérboleProposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos

são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é

e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando ) são

Hipérbole

Hipérbole

Figura 1.3: Hipérbole com focos nos pontos F1 = ( - c; 0) e F2 = (c; 0)

Hipérbole

HipérboleProposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são

F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é

e das assíntotas são

Hipérbole

Hipérbole

Figura 1.4: Hipérbole com focos nos pontos F1 = (0; - c) e F2 = (0; c)

Hipérbole

Nas Figuras 1.4 e 1.5, os pontos A1 e A2 são chamados vértices da hipérbole.

HipérboleHipérbole

Parábola • Aplicações práticas de Hipérbole:• (a) Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita

elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).• (b) Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário

de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).• (c) O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação

aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim obtêm a característica da hipérbole na qual está P.

• Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).

Hipérbole

Caracterização das Cônicas

Definição: Todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas

de uma mesma maneira.

HipérboleCaracterização das

Cônicas

Proposição 1. Seja s uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) não pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que

dist(P, F) = e dist(P, s)

em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica.(a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola.(b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse.(c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole.

Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser descrita por uma equação da forma.

HipérboleCaracterização das

Cônicas

A excentricidade da elipse é o número .

Como c < a, a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor que 1. Observe

que se F1 = F2, então a elipse reduz-se ao círculo de raio a. Além disso, como c = 0, então e = 0.

Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade nula.

HipérboleCaracterização das

Cônicas

Quanto mais próximo de 0 for o valor de e, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro

lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de e se aproxima de 1.

Exemplo:

HipérboleCaracterização das

Cônicas

A excentricidade da hipérbole é o número .

Como c > a, a excentricidade de uma hipérbole um número real maior que 1.

HipérboleCaracterização das

Cônicas

BibliografiaBibliografia

• STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica / Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. - 2.ª edição –

São Paulo, McGraw-Hill, 1987.

• DANTE, Luis Roberto. Matemática – Contexto & Aplicações – Volume Único. 1.ª edição – São Paulo,

Ática, 2003.

• http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf

• www.geometriaanalitica.com.br