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01 - Conjuntos
CONJUNTOS
PRELIMINARES
Na Matemática, tratamos o conceito de conjunto como conceito primitivo, portanto sem definição.
Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam
o conjunto são chamados elementos do conjunto.
Exemplos:
Conjunto dos meses do ano.
Conjunto das letras do alfabeto.
Conjunto dos números naturais maiores que 2.
Convenções:
Os conjuntos são designados, geralmente, por letras maiúsculas: A, B, C, D, , Z .
Os elementos são indicados, geralmente, por letras minúsculas: a, b, c, d, , z .
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO
Podemos representar um conjunto enumerando os seus elementos entre chaves e separados por vírgulas.
Exemplos:
1. Sendo V o conjunto das vogais, representamos:
V = {a, e, i, o, u}
2. Sendo I o conjunto dos números ímpares menores que 50:
I = {1, 3, 5, 7, , 49}
3. Sendo I o conjunto dos números ímpares menores que 50:
P = {2, 4, 6, 8, }
Uma outra maneira de representamos um conjunto consiste em enunciarmos uma propriedade característica do
conjunto, isto é, uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles.
Exemplo:
D = {x | x é dia da semana} A barra vertical ( | ) significa “tal que”.
Lê-se: “D é o conjunto dos elementos x, tais que x é dia da semana”.
Observe:
A letra x representa um elemento genérico e a sentença “x é dia da semana” é a propriedade característica do
conjunto.
Outros exemplos:
I = {x | x é impar}
P = {x | x é par e maior que 3}
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PERTINÊNCIA
Se um elemento x é um elemento de um conjunto A, escrevemos:
x A (que se lê: x pertence ao conjunto A)
Por outro lado, se o elemento x não é elemento de A, escrevemos:
x A (que se lê: x não pertence ao conjunto A)
EXERCÍCIOS
1) Represente os seguintes conjuntos, enumerando os seus elementos entre chaves:
a) D = {x | x é dia da semana}
b) V = {x | x é vogal do nosso alfabeto}
c) L = {x | x é par e maior que 3}
d) M = {x | x e x > 7}
e) J = {x | x e x < 2}
f) U = {x | x e x > 4 e x < 6}
g) T = {x | x e 3 < x < 7}
h) S = {x | x e 2 < x < 5}
i) E = {x | x e 3 x < 6}
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dizemos que um conjunto A é igual a um conjunto B e escrevemos:
A = B quando A e B possuem os mesmos elementos, ou seja, todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B
pertence a A.
Exemplo:
Se A = {a, e, i, o, u} e B = {i, a, o, e, u} então A = B , pois todo elemento de A pertence a B e vice-versa. Ob-
serve que um conjunto não se modifica quando trocamos a ordem dos seus elementos.
CONJUNTO VAZIO
O conjunto que não possui nenhum elemento chama-se conjunto vazio e é representado pelo símbolo .
Exemplos:
1. Sendo A o conjunto dos meses do ano com mais de 31 dias, A é um conjunto vazio, pois nenhum mês do ano
tem mais de 31 dias. Representamos A = ou usando o par de chaves A = { } .
2. Sendo B o conjunto dos dias da semana que iniciam pela letra r, então B = ou B = { }.
3. Sendo C = {x | x e x < 0} , então C = .
CONJUNTO UNITÁRIO
O conjunto que possui apenas um elemento chama-se conjunto unitário.
Exemplos:
1. Sendo B o conjunto dos meses do ano cujos nomes iniciam pela letra d, B é um conjunto unitário, pois ape-
nas dezembro inicia por d: B = {dezembro}.
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2. Sendo R o conjunto das consoantes da palavra era, R é um conjunto unitário: R = {r}.
3. Sendo A = {x | x e 3 < x < 5} , A é unitário: A = {4} .
SUBCONJUNTOS
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todo elemento de A é também elemento de
B. A relação A é subconjunto de B é representada por:
A B (e também se lê: A está contido em B)
ou ainda: B A (que se lê: B contêm A)
Exemplo:
Sendo A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4} , então A B , pois todo elemento de A é também de B.
Contra-exemplo:
Sendo E = {1, 5} e D = {1, 2, 3, 4} , então E não é subconjunto de D, portanto D não contém E.
Em símbolos:
E D (lê-se: E não está contido em D)
D E (lê-se: D não contêm E)
Para tornar mais claro o exemplo e o contra-exemplo dados, vamos representar os conjuntos usando os diagramas
de Venn, que consistem em representar um conjunto pela região limitada por uma curva fechada:
Notas:
a) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
b) Os símbolos e devem ser usados exclusivamente relacionando elemento e conjunto.
c) Os símbolos , , e devem ser usados exclusivamente relacionando dois conjuntos.
EXERCÍCIOS
2) Determine o valor de x:
a) {3, 4, 5} = {3, 4, x} b) {1, 7, x, 8} = {8, 7, 1, 9}
3) Classifique os conjuntos abaixo em vazio ou unitário:
a) A = {x | x e x < 1}
b) B = {x | x e x < 2 e x é par}
c) C = {x | x e x < 4 e x > 3}
d) D = {x | x e 7 < x < 9}
e) E = {x | x e x x}
4) Dê os subconjuntos:
Modelo: A = {x, y}, os conjuntos de A são: {x}, {y} , {x, y} , .
a) B = {4, 7}
b) C = {a, b, c}
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5) Passe para linguagem corrente:
Modelo: A B A está contido em B.
a) M N
b) P A
c) E F
d) x A
6) Sendo A = {x, y, z} , coloque V (verdadeiro) ou F (falso):
a) x A b) {y} A
c) {y} A
d) z A
UNIÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B e se indica A B (A união B) o conjunto cujos elemen-
tos pertencem a A ou a B.
Exemplos:
1. A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. V = {vogais do nosso alfabeto}
C = {consoantes do nosso alfabeto}
V C = {a, b, c, d, e, ..., z}
3.
Resumindo:
Definição de união ou reunião de conjuntos:
A B = {x | x A ou x B}
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B e se indica A B (A inter B) o conjunto cujos ele-
mentos são comuns a A ou a B, isto é, que pertencem a A e também a B.
Exemplos:
1. A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A B = {3, 4}
2. V = {vogais do nosso alfabeto}
C = {consoantes do nosso alfabeto}
V C =
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3.
Resumindo:
Definição de intersecção de conjuntos:
A B = {x | x A e x B}
EXERCÍCIOS
7) Dados os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 7, 9}; C = {3, 4, 8} e D = ,
determine:
a) A B
b) A B c) A C
d) A C
e) A D
f) B A
g) B A
h) A A
i) A B C
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os conjuntos A e B nessa ordem e se indica A B o
conjunto cujos elementos pertencem a A mas não pertencem a B.
Exemplos:
1. A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A B = {1, 2}
2. M = {3, 5, 6}
P = {3, 5, 6, 7}
M P =
3. R = {1, 2, 3, 4}
S = {3, 4, 5, 6}
S R = {5, 6}
4.
CONJUNTOS COMPLEMENTARES
Particularmente, quando B é um subconjunto de A, a diferença A B chama-se conjunto complementar de B
em relação a A:
B
A = A BC
B
AC (lemos: complementar de B em relação a A)
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Exemplos:
1. A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2}
B
A = 3, 4C
2. A = {a, b, c}
B = {a, b, c}
B
A = C
3.
EXERCÍCIOS
8) Hachure a operação indicada:
9) Dados os conjuntos:
A = {x, y, z, w}; B = {x, y}; C = {a} e D = {a, x, y, z, w} ,
determine:
a) A B
b) B A
c) B
AC
d) A C
e) D A
f) A D
g) C
DC
h) A D
i) B C
j) A B
k) C
D BC
l) C
D BC
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os principais conjuntos numéricos recebem as seguintes notações:
* Conjunto dos Números Naturais :
= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Nota:
O * (asterisco) é usado para indicar a supressão do zero. Assim:
* = {1, 2, 3, 4, ...}
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* Conjunto dos Números Inteiros :
= {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}
= {0, 1, 2, 3, ...} (inteiros não negativos)
= {..., 3, 2, 1, 0} (inteiros não positivos)
* Conjunto dos Números Racionais :
a = | a e b *
b
Números racionais são todos os números que podem ser representados na forma a
b, com a e b inteiros e b dife-
rente de zero.
Exemplos:
77 =
1
25 52,5 = =
10 2
6 20,666... = =
9 3
Nota:
Os números que não podem ser expressos na forma
a
b, com a e b inteiros e b diferente de zero, chamam-se
irracionais.
Exemplos:
2 1,414213... 3 1,7320... 3,1415...
* Conjunto dos Números Reais :
O conjunto dos números racionais reunido com o conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos núme-
ros reais.
Sendo:
(racionais) ΙΙ = (reais)
ΙΙ (irracionais)
Assim, os números reais podem ser racionais ou irracionais.
Os reais racionais, quando expressos na forma decimal, ou são decimais exatos ou têm infinitas casas, porém pe-
riódicas.
Os reais irracionais, representados aproximadamente na forma decimal, têm infinitas casas decimais e não perió-
dicas.
Exemplos:
1.
7
0,8 reais racionais
5,3232...
9
2. 2,81828...
reais irracionais3,1415...
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Através dos diagramas de Venn visualizamos melhor a relação entre os conjuntos numéricos. Observe:
A RETA REAL
Os números reais são representados graficamente considerando a correspondência biunívoca existente entre os
pontos de uma reta e os números reais.
Assim, a cada ponto da reta corresponde um e um só número real a cada número real é correspondente de um
único ponto. Por outro lado, assim como entre dois pontos de uma reta há infinitos pontos, também entre dois núme-
ros reais quaisquer existem infinitos números reais:
INTERVALOS NUMÉRICOS
Considerando dois números reais a e b, sendo a < b , vamos definir alguns subconjuntos de , chamamos in-
tervalos numéricos de extremos a e b.
Por exemplo, sendo a = 5 e b = 8 , o conjunto dos infinitos números reais compreendidos entre 5 e 8 é um sub-
conjunto de chamado intervalo numérico de extremo 5 e 8.
Um intervalo pode incluir ou não os extremos, daí termos a seguinte classificação:
* Intervalo fechado
Quando inclui os extremos a e b .
Notação:
[ a, b ]
Na reta real:
Subconjunto de
{x | a x b}
Exemplo:
[ 5, 8 ]
{x | 5 x 8}
* Intervalo aberto
Quando não inclui os extremos a e b .
Notação:
] a, b [
Na reta real:
Subconjunto de
{x | a x < b}
Exemplo:
] 5, 8 [
{x | 5 x 8}
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* Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
Quando a e não inclui b .
Notação:
[ a, b [
Na reta real:
Subconjunto de
{x | a x < b}
Exemplo:
[ 5, 8 [
{x | 5 x 8}
* Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
Quando não inclui a e inclui b .
Notação:
] a, b ]
Na reta real:
Subconjunto de
{x | a x b}
Exemplo:
] 5, 8 ]
{x | 5 x 8}
Exemplos:
1. Dados os intervalos:
A = [ 3, 7 [ e B = ] 1, 5 [
Pedem-se: A B e A B
Colocando esses intervalos na reta real, temos:
Observações:
Na união temos todos os elementos
de A e todos os elementos de B.
Na intersecção temos apenas os
elementos comuns a A e B.
Assim: A B = ] 1, 7 [ e A B = [ 3, 5 [
2. Dados os conjuntos:
A = {x | 2 x 4} e B = {x | 1 < x < 3}
Pedem-se: A B e A B
Então: A B = ] 1, 4 ] ou A B = {x | 1 < x 4}
A B = [ 2, 3 [ ou A B = {x | 2 x 3}
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EXERCÍCIOS
10) Represente na reta real:
a) [ 3, 5 ]
b) ] 1, 2 ]
c) {x | 3 x < 5}
d) {x | 0 < x < 4}
e) {x | 1 < x 3}
11) Associe a coluna da direita com a da esquerda:
a) [ 3, 5 ]
b)
c)
d) {x | 3 x < 5}
( ) [ 3, 5 [
( ) {x | 3 x 5}
( )
( ) ] 3, 5 [
12) Usando a notação de desigualdade escreva as seguintes relações entre números da reta real.
Modelo: x está à direita do 3
Escrevemos: x > 3 ou 3 < x
a) y está à esquerda do 7
b) z está à direita do 0
c) w está entre 5 e 8
d) t está entre 1 e 1
e) r está à direita de 3
13) Escreva os seguintes subconjuntos de usando a notação de conjuntos:
Modelo: Subconjunto dos números reais menores que 4.
Solução : {x | x < 4}
a) Subconjunto dos números reais maiores que 5.
b) Subconjunto dos números reais maiores que 7 e menores que 10.
c) Subconjunto dos números reais maiores que 8 e menores que 3.
d) Subconjunto dos números reais maiores ou igual a 3 e menores que 4.
e) Subconjunto dos números reais positivos e menores que 5.
14) Dados os intervalos abaixo, obtenha as uniões e intersecções:
a) [ 1, 3 ] e ] 2, 5 ]
b) ] 3, 5 [ e [ 1, 6 ]
c) [ 2, 5 [ e ] 1, 4 [
d) [ 1, 6 ] e ] 2, 7 [
e) {x | 1 x 4} e {x | 2 x 5}
f) {x | 2 x 5} e {x | 0 x 3}
g) {x | x 0} e {x | x 3}
h) [ 0, 3 ] e ] 4, 4 [
i) {x | x < 0} e {x | x > 0}
j) {x | -1 x < 8} e {x | 7 x 9}
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ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
15) A região hachurada do diagrama abaixo corresponde ao conjunto:
a) A B
b) A B
c) A B
d) B A
16) Se A B = B e A B = A , então:
a) A B
b) A B
c) B A d) A B =
17) Dado o diagrama abaixo, então:
a) 3 B
b) 3 A
c) 3, 4 A
d) 4, 5 B
18) Se A B = 6, 8, 10 , A = 4, x, 8, 10 e B = 2, x, y, 10, 12 , então x e y são respectivamente:
a) 4 e 6
b) 2 e 6
c) 8 e 10
d) 6 e 8
19) Sendo P (cidades brasileiras) , então podemos afirmar que:
a) Brasília P
b) Brasília P
c) P Brasília
d) N.R.A.
20) Sendo R (pessoas que vivem em Brasília) , T (pessoas que vivem no Brasil) , então podemos afirmar que:
a) R T
b) R T
c) T R d) a, b, c são corretas
21) Se A B , então necessariamente:
a) A B =
b) A B = A
c) A B =
d) A B A
22) Dados os conjuntos A {1, 3, 4, 6} , B {3, 5, 7, 8} e C {1, 5, 6, 8} , então (B A) C é igual a:
a) {1, 6}
b) {5, 8}
c) {1}
d) {3, 7}
23) O número de elementos do conjunto A { , { }, {{ }}} é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
24) Sendo A e B dois conjuntos tais que A B , podemos afirmar que:
a) A B = A b) A B = B A =
c) B A = B d) A B é o conjunto universo
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25) Os valores reais de x que pertencem ao intervalo 0 a 1, aberto à direita e fechado à esquerda, são:
a) 0 x 1
b) 0 < x < 1
c) 0 x < 1
d) x < 0 ou x > 1
APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NA
RESOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS
Exemplos:
1. Se dois conjuntos A e B têm 25 elementos, A tem 18 elementos e há 3 elementos comuns, então quantos
elementos tem o conjunto B?
Como o número de elementos da intersecção de A e B que se indica n(A B) = 3 , temos no diagrama:
Se o número de elementos de A n(A) = 18 , no diagrama temos 18 3 = 15 elementos que pertencem so-
mente a A.
O número total de elementos n(A B) = 25 ; assim, elementos somente de B: 25 15 3 = 7 .
Assim, B tem 10 elementos.
Algebricamente podemos escrever:
Essa expressão algébrica pode ser generalizada
2. Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. No mês passado, um levantamento sobre o consumo
desses produtos apresentou os seguintes resultado:
Observe que todas deste levantamento consumiram pelo menos um dos três produtos. Então pergunta-se:
a) Quantas pessoas consumiram somente o produto A?
b) Quantas pessoas consumiram somente um produto A, B ou C?
c) Quantas pessoas consumiram mais de um produto?
n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)
25 = 18 + 10 3
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1º) Com base nos dados, fazemos o diagrama abaixo e colocamos inicialmente os elementos comuns nos três
n(A B C) = 5 ;
2º) Em seguida, com n(A B) = 30 , n(A C) = 20 e n(B C) = 15 e subtraindo 5 de cada uma dessas
intersecções, colocamos no diagrama:
3º) Completamos cada conjunto A, B e C levando em conta os elementos já colocados, no A por exemplo,
faltam 80 25 15 5 = 35 e assim por diante:
Respondendo às perguntas temos:
a) Consumiram apenas o produto A: 35 pessoas.
b) Consumiram somente um produto, A, B ou C: 35 + 30 + 60 = 125 pessoas.
c) Consumiram mais de um produto: 15 + 25 + 10 + 5 = 55 pessoas.
EXERCÍCIOS
26) Num grupo de pessoas pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A e B: 50 assinavam o
jornal A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qual o total de assinantes?
27) Numa escola 150 alunos estudam Matemática, 20 estudam Português e Matemática e os 30 restante estudam
outras disciplinas. Pergunta-se: Qual o total de alunos da escola?
28) Num clube exatamente 30% dos sócios praticam futebol, 80% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos
um dos dois esportes, qual é o percentual de praticantes dos dois?
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29) A tabela abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos:
Com base nesta tabela, pergunta-se:
a) Quantas pessoas foram pesquisadas?
b) Quantas consomem apenas um dos produtos?
c) Quantas não consomem o produto C?
d) Quantas consomem só dois produtos?
30) Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem nem
carro nem TV, Pergunta-se:
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?
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Gabarito
1) a) D = {domingo, segunda, , sábado}
b) V = {a, e, i, o, u}
c) L = {4, 6, 8, }
d) M = {8, 9, 10, 11, }
e) J = {0, 1}
f) V = {5}
g) T = {4, 5, 6}
h) S = {3, 4}
i) E = {3, 4, 5}
2) a) x = 5 b) x = 9
3) a) unitário c) vazio e) vazio
b) unitário d) unitário
4) a) {4}, {7}, {4, 7},
b) {a}, {b}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c},
5) a) M contém N
b) P não está contido em A
c) E não contém F
d) x pertence a A
6) a) V b) F c) V d) F
7) a) {1, 2, 3, 4, 7, 9} f) {1, 2, 3, 4, 7, 9}
b) {1} g) {1}
c) {1, 2, 3, 4, 5, 8} h) {1, 2, 3, 4}
d) {3} i) {1, 3, 5, 8}
e) {1, 2, 3, 4}
8) a) d)
b) e)
c) f)
9) a) {z, w} g) {x, y, z, w}
b) h) {x, y, z, w}
c) {z, w} i) {x, y, a}
d) {x, y, z, w} j) {x, y}
e) {a} k)
f) l) {x, y, z, w}
10) a) d)
b) e)
c)
11) (d), (b), (a), (c)
12) a) y < 7 ou 7 > y d) 1 < t < 1
b) z > 0 ou 0 < z e) r > 3 ou 3 < r
c) 5 < w < 8
13) a) x | x > 5
b) x | 7 < x < 10
c) x | 8 < x < 3
d) V = x | 3 x < 4
e) x | 0 x < 5
14) a) [ 1, 5 ] e ] 2, 3 ] f) ] 0, 5 [ e ] 2, 3 [
b) [ 1, 6 ] e ] 3, 5 [ g) e [ 0, 3 [
c) ] 1, 5 [ e [ 2, 4 [ h) ] 4, 4 [ e [ 0, 3 ]
d) [ 1, 7 [ e ] 2, 6 ] i) * e
e) [ 1, 5 [ e ] 2, 4 ] g) ] 1, 9 [ e ] 7, 8 [
15) b 16) c 17) c 18) d
19) a 20) a 21) b 22) b
23) b 24) b 25) c
26) 100 pessoas 27) 180 alunos
28) 10%
29) a) 10 130 pessoas c) 10 060
b) 111 d) 18 pessoas
30) a) 418 b) 137 c) 178 famílias
