Ensino Superior

1 – Introdução à Lógica

Amintas Paiva Afonso

Lógica Matemática e Computacional

1.1 Conceito de Lógica1.1 Conceito de Lógica

Para Aristóteles, a Lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, um instrumento para todas as ciências. A Lógica Matemática lida com a formalização e a análise de tipos de argumentação utilizados na Matemática.

Conceito de LógicaConceito de Lógica

Parte do problema com a formalização da argumentação matemática é a necessidade de se especificar de maneira precisa uma linguagem matemática formal. Linguagens naturais (Português ou Inglês) não servem para este propósito: elas são muito complexas e estão em constante modificação, além de serem ambíguas.

Conceito de LógicaConceito de Lógica

Por outro lado, linguagens de programação, que são rigidamente definidas, são muito mais simples e menos flexíveis que as linguagens naturais. Diante disso, a Lógica tenta justamente combinar os benefícios das duas anteriores.

Exercícios de lógicaExercícios de lógica1. Lógica matemática:

Qual a lógica da seqüência dos números e quem é x? 2,4,4,6,5,4,4,4,4, x ? 2,10,12,16,17,18,19, x ? 1,11,21,1211,111221, x ?

2. Charadas: lógica filosófica. Um homem olhava uma foto, e alguém lhe perguntou: “De

quem é essa foto? Ao que ele respondeu: “Não tenho irmãos nem irmãs, mas o filho deste homem é filho de meu pai. De quem é esta foto?

2,4,4, 6,5, 4,4,4, 4,x 10 11 12 13 x = 9

x = 200

x = 312211

O homem olhava a foto de seu pai.

Testes de LógicaTestes de Lógica1. Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma

vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria? Pergunte a qualquer um deles: Qual a porta que o seu companheiro apontaria como sendo a porta da liberdade?Explicação: O mentiroso apontaria a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro (o sincero) diria que é a porta da liberdade. E o sincero, sabendo que seu companheiro sempre mente, diria que ele apontaria a porta da morte como sendo a porta da liberdade.Conclusão: Os dois apontariam a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro diria ser a porta da liberdade. Portanto, é só seguir pela outra porta.

Testes de LógicaTestes de Lógica2. Você é prisioneiro de uma tribo indígena que conhece todos

os segredos do Universo e portanto sabem de tudo. Você está para receber sua sentença de morte. O cacique o desafia: "Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira você morrerá na fogueira, se falar uma verdade você será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, nós te libertaremos. O que você diria?

Afirme que você morrerá na fogueira.

Explicação: Se você realmente morrer na fogueira, isto é uma verdade, então você deveria morrer afogado, mas se você for afogado a afirmação seria uma mentira, e você teria que morrer na fogueira.Conclusão: Mesmo que eles pudessem prever o futuro, cairiam neste impasse e você seria libertado.

Testes de LógicaTestes de Lógica3. Epiménides era um grego da cidade de Minos. Dizem que ele tem a fama de

mentir muito. Certa vez, o mesmo citou esta passagem: Era uma vez um bode que disse: - Quando a mentira nunca é desvendada, quem está mentindo sou eu. Em seguida o leão disse: - Se o bode for um mentiroso, o que o dragão diz também é mentira. Por fim o dragão disse: - Quem for capaz de desvendar a minha mentira, então, ele estará dizendo a

verdade. Qual deles está mentindo?

Este teste é mais conhecido como paradoxo de Epiménides!Ao tentar responder ao enigma, encontram-se informações que se ligam umas às outras e acabam não levando a resposta alguma. Esse enigma pode ser denominado como Paradoxo do mentiroso.Veja o exemplo de um paradoxo simples e interessante:

A afirmação abaixo é verdadeira. A afirmação acima é falsa.

UFMG 2006UFMG 2006 Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo,

Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.

Sabe-se que:Sabe-se que:

Essas pessoas formam quatro casais; e Carolina Essas pessoas formam quatro casais; e Carolina não é esposa de Paulo.não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados, conversando. Paulo e Rita estão sentados, conversando.

Quem é a esposa de Antônio ?Quem é a esposa de Antônio ?

Lógica – Jota QuestLógica – Jota Quest Exagero de vidaExagero de vida

Exagero de amorExagero de amorExagero de egoExagero de egoExagero da faltaExagero da falta

Falta de vida, de amor, de Falta de vida, de amor, de valor.valor.Falta de graça e de granaFalta de graça e de granaFalta dos irmãos.Falta dos irmãos.

A vida é dura é injustaA vida é dura é injustaA vida é crua e assustaA vida é crua e assustaA vida é jogo e é lutaA vida é jogo e é lutaA vida é fogo e é cruzA vida é fogo e é cruz

A vida passaA vida passaA vida é pouco.A vida é pouco.A vida é suaA vida é sua

A vida é pouco a pouco...A vida é pouco a pouco...Entre a vida e a morteEntre a vida e a morteOnde esta a lógica?Onde esta a lógica?Entre a guerra e a pazEntre a guerra e a pazO amor não tem lógicaO amor não tem lógica

Amor por tudoAmor por tudoAmor profundoAmor profundoUm amor maior que o Um amor maior que o mundomundoAmor sem pazAmor sem pazAmor que dói demaisAmor que dói demaisAmor de mãe e paiAmor de mãe e pai

Entre a vida e a morteEntre a vida e a morteOnde está a lógica?Onde está a lógica?entre a guerra e a pazentre a guerra e a pazO amor não tem lógicaO amor não tem lógica

O que é Lógica? O que significa estudar Lógica? Qual a sua definição?

A Lógica e o nosso contexto.A Lógica e o nosso contexto.

“A Lógiga é a análise de métodos de raciocínio”. No estudo desses métodos a Lógica está interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Exemplos de argumentos:

Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Portanto, é mortal. Todo cão late. Totó é um cão. Portanto, Totó late.

Do ponto de vista da Lógica, esses argumentos têm a mesma estrutura ou forma.

Todo X é Y. Z é X. Portanto Z é Y.

A Lógica é o estudo de tais estruturas. Alguns autores dizem que a Lógica é essencialmente o estudo da natureza do raciocínio e as formas de incrementar sua utilização.

Estudo do raciocínio; Estudo do pensamento correto e verdadeiro; Regras para demonstração científica verdadeira; Regras para pensamentos não-científicos; Regras sobre o modo de expor o conhecimento; Regras para verificação da verdade ou falsidade de

um pensamento.

Outras definições de Lógica.Outras definições de Lógica.

Tais definições são muito gerais e sintéticas. Não é fácil definir de forma precisa o que é Lógica, um tema tão amplo.

Aumentar a capacidade de análise crítica dos argumentos mentais utilizados na organização das idéias e dos processos criativos;

Tomar consciência dos elementos fundamentais à capacidade de argumentar e expor suas idéias;

Tornar mais capaz na racionalização e organização de suas idéias; Estudar como as pessoas devem raciocinar; Em suma, para saber adequadamente e concretizar os sonhos, o

primeiro passo é tomar consciência da natureza do raciocínio, como devemos raciocinar.

Por que estudar Lógica?Por que estudar Lógica?Estamos na Era do Conhecimento, onde os principais produtos da mente humana são as idéias. Após o surgimento de uma grande idéia, seus fundamentos serão criticados e analisados logicamente.

O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.

IntroduçãoIntroduçãoNeste curso, o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa: "Todo homem é mortal."Premissa: "João é homem."Conclusão: "João é mortal."Esses argumentos serão objeto de estudo neste curso.

ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.Premissa: "É comum após a chuva ficar nublado."Premissa: "Está chovendo."Conclusão: "Ficará nublado."Não trataremos do estudo desses argumentos neste curso.

IntroduçãoIntrodução

As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste curso.

Portanto …Portanto …Ao lógico só interessa a correção do processo, uma vez completado.

Sua interrogação é sempre esta: A conclusão a que chegou deriva das premissas usadas ou pressupostas?

Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação de que a conclusão também é verdadeira, então o raciocínio é correto. No caso contrário é incorreto.

A distinção do raciocínio correto e o incorreto é o problema central que incumbe à lógica tratar.

Os métodos e as técnicas do lógico foram desenvolvidos, primordialmente, com a finalidade de elucidar essa distinção.

O lógico está interessado em todos os raciocínios, independentemente do seu conteúdo, mas só a partir desse ponto de vista especial.

Uma Classificação da LógicaUma Classificação da LógicaAlguns autores dividem o estudo da Lógica em:

LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em: LÓGICA CLÁSSICA - Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que

chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas.

Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante.

LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal, deôntica, epistêmica , etc.

LÓGICAS NÃO-CLÁSSICAS: abolem algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas (o princípio do terceiro excluído); paraconsistentes (o princípio da contradição); não-aléticas (o terceiro excluído e o da contradição); não-reflexivas (o princípio da identidade); probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...

LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade (não será abordada neste roteiro).

Citação 1Citação 1

É razoável esperar que a relação entre a computação e a lógica matemática produza tantos frutos ... quanto a que se instalou entre a Análise Matemática e a Física no curso do século XIX (John McCarthy).

Citação 2Citação 2 As conexões entre a Lógica e a Informática

crescem e se aprofundam rapidamente. Ao lado da demonstração automática, da programação em lógica, da especificação e verificação de programas, outros setores revelam uma fascinante interação mútua com a Lógica, como a teoria de tipos, a teoria do paralelismo, a inteligência artificial, a teoria da complexidade, as bases de dados, a semântica operacional e as técnicas de compilação (José Meseguer).

Lógica e ComputadoresLógica e ComputadoresA Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial, e Ciência da computação.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica

Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto.

Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computadores podem achar e checar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas.Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de hardware.

1.2 Aspectos Históricos1.2 Aspectos Históricosda Lógicada Lógica

Períodos da História da LógicaPeríodos da História da Lógica• PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da Ciência.Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de Lógica, a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A escola ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Kneale (O Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

Períodos da História da LógicaPeríodos da História da Lógica• PERÍODO BOOLEANO (± 1840 a ± 1910) Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE MORGAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC.

GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu.

GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

Períodos da História da LógicaPeríodos da História da Lógica• PERÍODO ATUAL (1910 - ...)

Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA.DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros.

KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições.Surgem as Lógicas não-clássicas: N.C.A. DA COSTA com as lógicas paraconsistentes , L. A. ZADEH com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informática, no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas. Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas áreas do conhecimento.

OrigemOrigem Aristóteles - filósofo grego - 342 a.C, sistematizou os conhecimentos

existentes em Lógica, elevando-os à categoria de ciência. Para ele, a lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, uma ciência para todas as ciências.

Em sua obra chamada Organum (ferramenta para o correto pensar), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos.

Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos.

A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento.

OrigemOrigem Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de

argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de “falácias” ou “sofismas”. Exemplos: Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira e

morreu com 87 anos. Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50 anos

bebiam água, logo…

Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu significado. Exemplos: “Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem insetos”

ou “Alguns pássaros comem insetos”. “Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou “Alguns

índios não são carecas”

1.3 Postulados Clássicos1.3 Postulados Clássicos

Princípios Fundamentais das ProposiçõesPrincípios Fundamentais das Proposições

3) Princípio do terceiro excluído Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não

havendo outra alternativa, isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro.

2) Princípio da não-contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao

mesmo tempo.

4) Princípio da identidade Todo objeto é idêntico a si mesmo.

1) Princípio da contradição Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação

da outra), uma delas é falsa.

Princípios aristotélicos da lógicaPrincípios aristotélicos da lógica Princípio da identidadePrincípio da identidade – se um enunciado é – se um enunciado é

verdadeiro, essa é sua identidade.verdadeiro, essa é sua identidade.

A lei da não contradiçãoA lei da não contradição – duas proposições – duas proposições contraditórias não podem ser verdadeiras.contraditórias não podem ser verdadeiras.

A lei do terceiro excluídoA lei do terceiro excluído – ou é V ou F, exclui uma – ou é V ou F, exclui uma terceira possibilidade.terceira possibilidade. Não se pode negar e afirmar algo simultaneamente.Não se pode negar e afirmar algo simultaneamente.