ÂNGULOS

r

s

t

a

gf

e

cb

d

h

Ângulos formados entre retas

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

O

AD

BC

Os ângulos AÔC e BÔD são opostos pelo vértice.

PROPRIEDADE: dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

1

5

8

2

3 4

6

7

CorrespondentesCorrespondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 : 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8.e 7, 4 e 8.

Alternos internosAlternos internos: 3 e 5, 4 e 6.: 3 e 5, 4 e 6.

Alternos externosAlternos externos: 1 e 7, 2 e 8.: 1 e 7, 2 e 8.

Colaterais internosColaterais internos: 3 e 6, 4 e 5.: 3 e 6, 4 e 5.

Colaterais externosColaterais externos:1 e 8, 2 e 7.:1 e 8, 2 e 7.

Ângulos formados por duas retas coplanares cortadas por uma transversal

Ângulos formados por duas retas com uma transversalÂngulos formados por duas retas com uma transversal

CorrespondentesCorrespondentes: são pares de ângulos que estão do : são pares de ângulos que estão do mesmo lado da transversal, sendo que um está na região mesmo lado da transversal, sendo que um está na região exterior, e o outro na região interior. exterior, e o outro na região interior.

Os ângulos correspondentes ocupam e mesma posição em Os ângulos correspondentes ocupam e mesma posição em relação à reta transversal.relação à reta transversal.

ColateraisColaterais: são pares de ângulos que estão localizados do : são pares de ângulos que estão localizados do mesmo lado da transversal (mesma região).mesmo lado da transversal (mesma região).

AlternosAlternos: são pares de ângulos não-adjacentes, : são pares de ângulos não-adjacentes, alternados em relação à transversal, ou seja, estão em alternados em relação à transversal, ou seja, estão em lados opostos em relação à transversal.lados opostos em relação à transversal.

TEOREMA FUNDAMENTAL DO PARALELISMO DE RETAS

Se duas retas concorrentes formarem ângulos correspondentes congruentes, então elas são paralelas.

a

b

r

s

t

Na figura ao lado, se a = b, então r//s.

CONSEQUÊNCIAS:

(1) Os ângulos alternos internos (ou externos) são congruentes.

(2) Os ângulos colaterais internos (ou externos) são suplementares.

Observando a figura, em que r//s, tem-se que:

(1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos correspondentes formados por retas paralelas.

(2) c = e e b = h, pois são alternos internos formados por paralelas.

(3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais internos formados por paralelas.

hg

f

e

d

bca

r

s

t

Observando a figura, em que r//s, tem-se que:

(1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos correspondentes formados por retas paralelas.

(2) c = e e b = h, pois são alternos internos formados por paralelas.

(3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais internos formados por paralelas.

hg

f

e

d

bca

r

s

t