8º relatório física experimental - força elástica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL

NELSON POERSCHKE

Física Experimental I

Força elástica

Relatório

Boa Vista

2013

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INTRODUÇÃO

Em 1660 o físico inglês R. Hooke observando o comportamento mecânico de uma mola, descobriu que as deformações elásticas obedecem a uma lei muito simples. Hooke descobriu que quanto maior fosse o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um suporte fixo) maior era a deformação sofrida pela mola. Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou que existia sempre proporcionalidade entre força deformantes e deformação elástica produzida. Pôde então enunciar o resultado das suas observações sob forma de uma lei geral. Tal lei, que é conhecida atualmente como lei de Hooke, e que foi publicada por Hooke em 1676, é a seguinte:

“As forças deformantes são proporcionais às deformações elásticas produzidas.”

Considerando uma mola suspensa na vertical e suspendendo um corpo na extremidade livre, a mola fica com um comprimento maior.

Se esse corpo que foi suspenso na mola não causa deformação permanente na mola, ao retirá-lo a mola volta a sua configuração original. Isto é, cessada a força deformadora, a mola volta à posição inicial. Dizemos, então, que a mola possui uma força restauradora, chamada de força elástica.

Vamos estudar essa força nesta atividade experimental.

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ATIVIDADE EXPERIMENTAL

Este experimento visou:

- determinar a constante elástica de uma mola através de observações da elongação sofrida com a

ação da força peso;

- traçar o gráfico da força elástica em função da elongação;

- interpretar o significado da área hachurada do gráfico da força em função da elongação;

- verificar a associação de molas em série; e

- verificar a associação de molas em paralelo.

Para os cálculos parti das seguintes premissas:

P = m . g - peso é igual a massa vezes a gravidade, adotando g = 9,81m/s²)

Fel = k . x - força elástica é igual à constante elástica vezes a deformação da mola (x = |xf – x0|).

Para realizar as medições para a realização do cálculo foi disponibilizado no laboratório os

seguintes equipamentos:

- duas molas;

- 3 corpos de chumbo;

- régua para medir a elongação da mola;

- uma régua;

- um suporte; e

- uma balança.

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Medição das massas e cálculo da força peso em cada situação:

Tabela 01 – Massa da haste e dos corpos de prova.

Haste e corpos de prova Massa (kg)

Haste - H 0,01950

Corpo de prova 01 – C1 0,04985



Cálculo da força peso:

Peso 1 - P1

푃 = 푚.푔 푚푎푠 푚 = 푚 + 푚

푃 = 푚 + 푚 .푔

푃 = (0,01950 푘푔 + 0,04985 푘푔). 9,81 푚/푠

푃 = 0,06935 푘푔. 9,81 푚/푠

푃 = 0,6803 푁

Peso 2 – P2

푃 = 푚.푔 푚푎푠 푚 = 푚 + 푚 + 푚

푃 = 푚 + 푚 + 푚 .푔

푃 = (0,01950 푘푔+ 0,04985 푘푔 + 0,05010 kg). 9,81 푚/푠

푃 = 0,11945 푘푔. 9,81 푚/푠

푃 = 1,1718 푁

Peso 3 – P3

푃 = 푚.푔 푚푎푠 푚 = 푚 + 푚 + 푚 + 푚

푃 = 푚 + 푚 + 푚 + 푚 .푔

5

푃 = (0,01950 푘푔 + 0,04985 푘푔 + 0,05010 kg + 0,04960). 9,81 푚/푠

푃 = 0,16905 푘푔. 9,81 푚/푠

푃 = 1,6584 푁

2. Suspenda com a mola uma massa e anote na tabela abaixo o valor suspenso do peso P e a

correspondente deformação de X. Repita esse procedimento para três massas diferentes.

Inicialmente medi o comprimento das molas sem a ação de nenhuma força, as quais

apresentaram um comprimento de 10,8 cm.

A seguir, suspendi as massas presas pela haste a uma das molas, primeiramente o corpo C1,

depois C1+C2 e, por último, C1+C2+C3, obtendo as seguintes medidas de comprimento da mola:

Tabela 02 – Comprimento da mola sob a ação da força peso que atua nos corpos de prova.

Corpos suspensos Comprimento da

mola distendida (m) Comprimento da

mola relaxada (m) ∆푥 (m)

Haste + C1 0,145

0,108

0,037

Haste+C1+C2 0,170 0,062

Haste+C1+C2+C3 0,196 0,088

De posse dos dados acima, determinei a constante elástica média.

Como a 퐹 á = −푘푥, 푘 =

Tabela 03 – Determinação da constante elástica

Corpos suspensos F peso (N) ∆푥 (m) k (N/m)

Haste + C1 0,6803 0,037 18,3865

Haste+C1+C2 1,1718 0,062 18,9000

Haste+C1+C2+C3 1,6584 0,088 18,8455

Constante elástica média:

푘 =18,3865 + 18,9000 + 18,8455

3 = 18,7107 푁/푚

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3. Faça um gráfico de F em função de X, e determine, a partir do gráfico, qual o valor da constante

elástica da mola.

Determinação das escalas do gráfico.

Como queremos um gráfico da força em função da elongação, teremos como variável

dependente a força e como variável independente a elongação:

Escolho, assim, o eixo x do gráfico para expressar a elongação (x) e o eixo y do gráfico para

expressar a força (F).

Como a maior grandeza da força (1,6584) é maior que a maior grandeza da elongação (0,088),

escolho o lado maior do gráfico, na posição vertical, para representar o eixo y.

Cálculo da escala do gráfico:

Variável independente, elongação, (eixo x).

, ( )

=

⇒ 푥 = , .

⇒ 푥 = 0,00489 푚/푐푚

Assim, 0,00489 푚 na Tabela 3, é representado por 1,0 cm no eixo x do gráfico.

Variável dependente, força, (eixo y).

, ( )

=

⇒ 푦 = , .

⇒ 푦 = 0,0638 푁/푐푚

Assim, 0,0638 푁 na Tabela 1, é representado por 1,0 cm no eixo y do gráfico.

Tabela 04 – Conversão das medidas para confecção do gráfico

∆푥 (m) Eixo x (cm) F peso (N) Eixo y (cm)

0,037 7,55 0,6803 10,65

0,062 12,70 1,1718 18,35

0,088 18,00 1,6584 26,00

Gráfico consta no Anexo I.

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Examinando o gráfico verificamos que:

A tangente do ângulo formado pela reta da função linear F(x) com o eixo x é igual a:

푡푔 휃 =퐹⃗

|푥⃗|

Mas a força em função da elongação é igual à constante elástica, logo:

푡푔 휃 = 푘

Então, as coordenadas cartesianas (x , y) de qualquer ponto da reta podem ser utilizadas para

encontrar a constante elástica da mola.

Por exemplo, utilizando os valores máximos da força e da elongação (0,088 ; 1,6584), temos:

k =1,65840,088 = 18,845

Repetindo o procedimento para vários pontos da reta, poderemos encontrar 푘 bastante

aproximado do resultado obtido nos cálculos.

4. Calcule a área do gráfico sob a reta e explique o que essa área significa.

Cálculo da área do triângulo sob a reta da função linear F(x).

퐴 =푏푎푠푒 × 푎푙푡푢푟푎

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Mas a base é a elongação (x) e a altura é a força (F), que por sua vez, é a constante elástica (k)

multiplicada pela elongação (x).

Então:

퐴 =푥.푘푥

2 퐴 =푘푥

2 퐴 =12푘푥

Mas,

12 푘푥 = 푈푒

Logo, a área sob a reta da função linear F(x) é a Energia Potencial Elástica (Ue).

8

푈푒 =12 푘푥

푈푒 =12

(18,845 푁/푚)(0,088 푚) = 0,07297 퐽

5. Repita o experimento, mas agora junte duas molas (associação em série).

Realizei as medidas dos comprimentos das molas associadas e, desconsiderando a massa das

molas e descartando o comprimento do engate entre as duas molas, obtive:

Tabela 05 – Comprimento das molas sob a ação da força peso que atua nos corpos de prova.

Corpos suspensos Comprimento das

molas distendidas (m) Comprimento das

molas relaxadas (m) ∆푥 (m)

Haste + C1 0,289

0,217

0,072

Haste+C1+C2 0,344 0,127

Haste+C1+C2+C3 0,389 0,172


Como possuo o valor da força peso e da elongação das molas, determinei a força elástica da

associação da seguinte forma:

퐹 á = −푘푥, 푘 =퐹푥



Haste + C1 0,6803 0,072 9,449

Haste+C1+C2 1,1718 0,127 9,202

Haste+C1+C2+C3 1,6584 0,172 9,645


푘 =9,449 + 9,202 + 9,645

3 = 9,432 푁/푚

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6. Qual a relação entre os valores de k obtidos no primeiro experimento e no segundo experimento?

Quando as molas estão associadas em série, a força que atua sobre elas é a mesma, porém cada

mola possui sua constante elástica, resultando em uma elongação distinta para cada mola.

퐹 = 퐹 = 퐹 porém, 푥 = 푥 + 푥

Mas,

푥 =퐹푘 푒 푥 =

퐹푘

e

푘 =퐹푥 ⇒ 푘 =

퐹퐹푘 + 퐹

푘

Mas 퐹 = 퐹 = 퐹 , logo:

푘 =퐹

퐹푘 +

퐹푘

⇒ 1푘 =

퐹푘 +

퐹푘

퐹

1푘 =

1푘 +

1푘

Desta forma, é possível concluir que, na associação em série, o inverso da constante elástica da

mola equivalente é igual à soma dos inversos das constantes elásticas das duas molas componentes da

associação em série.

Como já havia calculado a constante elástica da 1ª mola e, também da associação das duas molas

em série, posso, assim, substituindo os valores, calcular a constante elástica da 2ª mola.

1푘 =

1푘 +

1푘

10

19,432 =

118,8901 +

1푘

19,432 =

1푘 + 18,890118,8901푘

18,8901푘 − 9,432푘 = 154,7175

9,458 푘 = 154,7175

푘 =154,7175

9,458 = 16,358

푘 = 16,358 푁/푚

7 Repita o experimento 5, mas agora coloque as duas molas juntas com auxílio de um suporte

(associação em paralelo).

Realizei as medidas dos comprimentos das molas associadas em paralelo e, desconsiderando a

massa das molas, obtive:

Tabela 07 – Comprimento das molas sob a ação da força peso que atua nos corpos de prova.

Corpos suspensos Comprimento das

molas distendidas (m) Comprimento das

molas relaxadas (m) ∆푥 (m)

Haste + C1 0,127

0,108

0,019

Haste+C1+C2 0,141 0,033

Haste+C1+C2+C3 0,154 0,046


Como possuo o valor da força peso e da elongação das molas, determinei a força elástica da

associação da seguinte forma:

퐹 á = −푘푥, 푘 =퐹푥

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Haste + C1 0,6808 0,019 35,8315

Haste+C1+C2 1,1723 0,033 35,5242

Haste+C1+C2+C3 1,6589 0,046 36,0630


푘 =35,8315 + 35,5242 + 36,0630

3 = 35,8062 푁/푚

8. Qual a relação entre os valores de k obtidos no primeiro experimento e no terceiro experimento?

Quando as molas estão associadas em paralelo, a força aplicada ao conjunto é dividida entre as

duas molas, porém, diferentemente da associação em série, a elongação é a mesma para as duas.

푥 = 푥 = 푥 푒 퐹 = 퐹 + 퐹

Como

퐹 = 푘 .푥 푒 퐹 = 푘 .푥

Teremos

푘 =퐹푥 =

[(푘 .푥 ) + (푘 . 푥 )]푥

푘 =푥 (푘 + 푘 )

푥

푘 = 푘 + 푘

Desta forma, é possível concluir que, na associação em paralelo, a constante elástica da mola

equivalente é igual à soma das constantes elásticas das duas molas componentes da associação.

12

Como já havia calculado a constante elástica da 1ª mola e, também da associação das duas molas

em paralelo, posso, assim, substituindo os valores, calcular a constante elástica da 2ª mola.

푘 = 푘 + 푘

푘 = 푘 − 푘

푘 = 35,8062 푁/푚 − 18,8901 푁/푚 = 16,9161푁/푚

CONCLUSÃO

Observei que medida que se aumenta a força, a elongação da mola aumenta proporcionalmente a

força aplicada.

Verifiquei ainda, que na associação em série, a mola equivalente apresenta uma constante

elástica menor que a constante elástica apresentada pelas molas individualmente cuja demonstração no

item 6 deixou perfeitamente claro.

No caso da associação em paralelo, pude comprovar, no item 8, que a constante elástica da mola

equivalente é a soma das constantes elásticas de cada mola que compõe o conjunto.

Atribuo as pequenas diferenças encontradas nos resultados aos erros ocasionados pela baixa

precisão da régua milimetrada utilizada. Caso fosse possível realizar o experimento utilizando o

paquímetro para realizar as medidas das molas, provavelmente os resultados experimentais coincidiriam

com a fundamentação teórica.

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