Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A.CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia

Curso de Engenharia Civil e Ambiental

Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas

Sobral - Ce – 2012

1.Tu que habitas sob a proteção do Altíssimo, que moras à sombra do Onipotente,2.dize ao Senhor: Sois meu refúgio e minha cidadela, meu Deus, em que eu confio.3.É ele quem te livrará do laço do caçador, e da peste perniciosa.4.Ele te cobrirá com suas plumas, sob suas asas encontrarás refúgio. Sua fidelidade te será um escudo de proteção.5.Tu não temerás os terrores noturnos, nem a flecha que voa à luz do dia,6.nem a peste que se propaga nas trevas, nem o mal que grassa ao meio-dia.( Salmo 90)

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SUMÁRIO

CONTEÚDO PÁGINA

INTRODUÇÃO 04

CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA 05

UNIDADES ADOTADAS 05

VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA 06

VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA 08

VIGA COM UM ENGASTE E CARGA CONCENTRADA NA EXTREMIDADE 11

VIGA COM UM ENGASTE E CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 13

VIGA COM UM ENGASTE E CARGA TRIANGULAR 15

CONCLUSÃO 17

BIBLIOGRAFIA 17

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INTRODUÇÃO

Pode-se afirmar que o Cálculo Diferencial e Integral e as Engenharias – Civil, Elétrica, Mecânica e as demais Engenharias- estão intimamente associados. No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dos esforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm importância primordial. Pode-se dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletor submete as seções transversais de uma viga comum a esforços de tração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadas seções a Tensões de Cisalhamento. Portanto, ao efetuar-se o dimensionamento de uma viga, quer seja esta viga feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro material apropriado, deve-se dividir esta tarefa em duas etapas. A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais que atuam na estrutura; em outras palavras: deve-se achar o maior valor do Momento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuam na viga devido os diversos tipos de carregamento. A segunda etapa é consiste em fazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem ser verificadas quais são as dimensões necessárias da mesma para resistir aos esforços solicitantes. O Cálculo Diferencial e Integral permite encontrar as funções do Momento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção de uma viga. Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor para determinado trecho de uma viga, ao derivar-se esta função encontra-se outra f(x) que dá, desta vez, o Esforço Cortante para o trecho considerado. Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia, já que preferiu buscar os conhecimentos adquiridos nos bancos escolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visa dar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual Vale do Acaraú mais uma opção de material didático. Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.

omnia mecum porto Sobral, Ce, Junho de 2012. Daniel Caetano de Figueiredo (*)

(*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 e Professor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.

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CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA

Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixo da mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a força, quer esteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à viga concavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a força tende a imprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor será considerado negativo. Ao serem colocados os valores encontrados no D.M.F.(Diagrama do Momento Fletor), tem-se, por convenção, Momento Fletor com valor negativo desenhado acima do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x. Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seção perpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para cima a parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q será considerado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar deslocar para baixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos o valor de Q será positivo; se a força, contudo, tentar deslocar para baixo a parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima a parte da viga que está à direita da seção, neste caso, então, o Esforço Cortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. os valores positivos de Q são desenhados acima do eixo x e os valores negativos ficam abaixo do eixo x.

UNIDADES ADOTADAS

Sabe-se que a força que atua em um corpo de massa 1,0 quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 20,1

s

m na mesma

direção e sentido desta força, equivale a 1,0 Newton.

Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N em um local onde a aceleração da gravidade vale 28,9

s

m

(valor médio aceito para toda a superfície da Terra) pode-se, para efeitos didáticos e por praticidade, sem prejuízo algum, substituir-se a unidade kgf(unidade de força) por kg(unidade de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa 1,0 kg pesa 1,0 Kgf. Para tal deve-se fazer em seguida a adaptação das demais unidades, Com relação à unidade de comprimento, foi adotada neste Trabalho o metro, comumente usado em Engenharia Civil para medir o vão de vigas. Encontra-se, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigas comumente usadas.

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VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente distribuída de q m

kg e apoiada em A e B.

Para o cálculo das reações de apoio, aplica-se primeiramente a equação 0=Σ AM e encontra-se o valor de BR ; em seguida

aplica-se 0=Σ yF e encontra-se a reação AR ; os valores das duas reações são iguais a 2

ql, como era de se esperar(o carregamento é

simétrico em relação a uma seção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima. Considere-se agora uma seção perpendicular ao eixo da viga e distante x metros do apoio A.

Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é dado pela função 2

)(2qx

xRxM A −= , que é uma função

do segundo grau em x. Derivando esta f(x) obtém-se a função do Esforço Cortante, que será do primeiro grau e a mesma nos permitirá que seja calculado o Esforço Cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A.

Sendo assim, tem-se: qxRxQdx

xdMA −== )(

)(.

Deve-se notar que esta função )(xQ anula-se em 2

lx = e também convém ressaltar que q

dx

xdQ −=)(. Em outras palavras: a

função derivada de Q(x) fornece o carregamento que atua na viga. É evidente que pode-se, também, percorrer o caminho inverso, qual seja, dadas as cargas encontrar a função Q(x) por integração; integrando esta, obtém-se M(x).

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Conforme ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde a derivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa de existir, constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto de mínimo, ponto de inflexão ou então a função inexiste neste ponto crítico). Derivando mais uma vez )(xM encontra-se a sua derivada de segunda ordem. Pelo Teste da Derivada Segunda, sabe-se então

que no meio da viga existe um valor máximo(positivo) para o momento fletor e este valor será igual a 8

2ql. Citado valor(

8

2ql) foi

encontrado calculando-se )2

(l

M . Deve ser observado que na seção central da viga o valor do Esforço Cortante é nulo. Ainda deve-se

ressaltar os valores nos extremos da viga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é máximo, possuindo valores

iguais a 2

ql e

2

ql−, nos pontos A e B, respectivamente.

Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o Momento Fletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para se entender estes gráficos deve-se recorrer à convenção usualmente adotada para representá-los.

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)

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DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR(D.M.F.)

Será analisada a seguir o caso de uma viga biapoiada sujeita a uma carga concentrada.

VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA Seja agora uma viga apoiada em A e B, com l metros de comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto situado a distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A, conforme a figura abaixo.

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Aplicada a equação 0=Σ AM foi encontrado l

PaRB = ; em seguida fazendo-se 0=Σ VF encontrou-se

l

PbRA = . A direção das

reações é a direção vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima. Considere-se agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga, distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P. Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor do momento fletor é dado pela função xRxM A=)( que é uma f(x) do primeiro grau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado por segmentos de retas inclinadas em relação ao eixo x. Derivando M(x) obtém-se a função do Esforço Cortante, ARxQ =)( sendo esta de grau zero(função constante); esta permitirá calcular o esforço cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A, no trecho compreendido entre A e o ponto de aplicação da força P.

Sabe-se portanto que: ARxQdx

xdM == )()(

Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trecho compreendido entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P. Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante será dado por segmentos paralelos ao eixo x. No caso em questão deve também ser analisado o trecho compreendido entre a carga P e o apoio B.Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos que )()( axPxRxM A −−= . Derivando esta função encontra-se a função Q(x) para o Esforço Cortante

PRxQ A −=)( , ou seja, será igual a BR− . No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa o Esforço Cortante possui uma descontinuidade e o Momento Fletor

neste ponto alcança seu valor máximo, igual a l

Pab . Se quer com isto ressaltar que o Momento Fletor de uma viga não é máximo

necessariamente no local onde o esforço Cortante é nulo. No caso em questão o mesmo ocorre no ponto onde o valor do Esforço Cortante também é máximo. Mas deve-se atentar para o fato de que, neste ponto, o gráfico da função Q(x) dá um salto de descontinuidade.

A seguir tem-se os Diagramas do Momento Fletor e da Força Cortante.

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DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR (D.M.F.)

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)

Será analisado agora o caso de uma viga isostática simplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em sua extremidade livre.

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VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUA EXTREMIDADE Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a extremidade B em balanço, com l metros de comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distancia igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura.

Para que sejam calculadas as reações em A, reações estas que serão constituídas por um momento e uma força vertical, aplica-se primeiramente a equação 0=Σ VF , encontrando PRA = ; em seguida usa-se 0=Σ AM encontrando PlM A = kg.m no sentido anti-

horário. A reação AR possui a direção vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigas anteriores, as reações de apoio horizontais serão nulas porque não existe nenhuma componente horizontal de carga atuante que solicite a viga. Pegue-se agora uma seção S distante x metros do apoio A.Nesta seção genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada por xRMxM AA +−=)( , ou PxPlxM +−=)( . Derivando M(x) encontra-se a função do Esforço Cortante, dada por PxQ +=)( . Por ser uma função constante, o D.E.C. será representado por segmento paralelo ao eixo x. Com relação à função que representa o Momento da viga, em A tem-se o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do primeiro grau, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relação ao eixo x, variando do valor AM ao valor 0 em B, conforme a figura abaixo. A registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneira análoga nos pontos A e B. Em A o Momento Fletor é máximo e em B é igual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto de descontinuidade no gráfico de Q(x), onde o Momento é máximo.

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DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE

A seguir será visto o caso de uma viga com um engaste apenas só que, desta vez, seu carregamento será uniformemente distribuído.

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VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também de comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de q kg/m ao longo de seu vão. Usando as equações da Estática determina-se as reações de apoio. Assim, fazendo 0=Σ AM encontra-se a reação (Momento) no

ponto A , cujo valor será igual a 2

2ql no sentido anti-horário. A reação horizontal AH , a exemplo de todos os casos anteriores, não

existe, por não existir, conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possua componente de força atuando na direção horizontal. Ao se fazer 0=Σ VF encontra-se a reação vertical que atua no ponto A da viga engastada, e que possui o valor qlRA = kg, com direção vertical e sentido de baixo para cima.

Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do Momento Fletor é dada por 22

)(22 qx

qlxql

xM −+−= .

Vê-se que esta função é do segundo grau e possui um máximo.Derivando esta função M(x), é encontrada a função que dá o Esforço Cortante ao longo da viga, qual seja qxqlxQ −=)( . Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, foram encontrados os valores mais importantes (no apoio, no meio e no final da

viga); para tal calculou-se M(0), M(2

l),e M(l), encontrando-se, respectivamente, os valores

2)0(

2qlM

−= , 8

)2

(2qll

M−= e 0)( =lM

. Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola, conforme já visto, pode-se elaborar os diagramas seguinte:

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DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR

Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabe-se que Q(x) é uma f(x) de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será

representado por segmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0), )2

(l

Q e Q(l) encontra-se respectivamente os valores ql,

2

ql e 0. Convém ressaltar que, para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluí-se que o valor do esforço Cortante

no meio da viga será sempre igual à metade do valor do Esforço Cortante máximo(no apoio).

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE

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O último caso a ser estudado vem abaixo.

VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR

Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de q kg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente até ser nulo em B.

Aplicando as equações 0=Σ AM e 0=VF obtem-se os valores de 6

2qlM A = e

2

qlRA = . Convém notar que o valor de AR é

numericamente igual à área do triângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total que atua na viga. Carregamento este

que poderia ser substituído por uma força concentrada à uma distância 3

l de A(Centro de Gravidade do Triângulo).

Para facilitar os cálculos, convém fazer a origem do eixo x coincidir com o ponto B.

Portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A, a altura do triângulo será igual a uma carga l

qxq =1 , já que o

triângulo maior de altura igual a q e base l é semelhante ao triângulo menor de altura igual a 1q e base x , pois x

l

q

q =1

.

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Sendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B tem-se: l

qxxM

6)(

3−= e l

qxxQ

2)(

2−= , sendo esta última função obtida ao

ser derivada a função M(x).

A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábola cúbica. Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Q(x)

encontra-se l

qx− que é o valor de 1q a uma distância x do ponto B, como era de se esperar.

Tem-se no ponto A, neste caso, os valores máximos para o Momento Fletor e o Esforço Cortante. Estes valores serão,

respectivamente, iguais a 6

2ql− e

2

ql conforme já visto. No meio da viga o valor do Momento Fletor será

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2ql− e o valor de Q será

8

ql−, encontrados ao serem calculados os valores de )

2(

lM e )

2(

lQ .

DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE

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DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR

CONCLUSÃO

O Autor espera ter contribuído para a difundir o assunto abordado. Para carregamentos mais complexos, que são uma combinação dos carregamentos vistos neste estudo, pode-se usar o Principio da Superposição dos Efeitos. Os desenhos encontrados neste trabalho foram feitos pelo autor, que fez uso dos programas Auto-CAD 2000 e Paint para confeccioná-los.

BIBLIOGRAFIA

-NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill

- Leithold, Louis - “O Cálculo com Geometria Analítica” – Volume 1 – Editora Harbra Ltda – 1994;-Thomas Jr, George B. – “Cálculo” Volumes I e II – Editora Ao Livro Técnico;

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