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AULA 27GEOMETRIA ANALÍTICA E
ÁLGEBRA LINEARProfessor: João Alessandro
ESPAÇOS VETORIAIS
Definição:Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão
definidas duas operações
Soma:
Multiplicação por escalar:
VvuVvu ,
VkvRkVv ,
ESPAÇO VETORIAL - 1
Devem satisfazer, para quaisquer RbaVwvu , e,,As seguintes propriedades:
V0
Vu
ESPAÇO VETORIAL - 2
DA ADIÇÃO:A1) u + v = v + u (comutativa)A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)A3) Existe tal que u+0 = u (elemento neutro)A4) Existe tal que u+(-u) = 0 (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)M4) 1.u = u (elemento neutro)
EXERCÍCIO - EXEMPLO
PROBLEMA PROPOSTOApresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidos. Verifique quais deles são Espaços Vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não verificam.
Com as propriedades abaixo, vamos verificar no quadro branco:DA ADIÇÃO:A1) u + v = v + u (comutativa)A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)A3) u+0 = u (elemento neutro)A4) u+(-u) = 0 (elemento oposto)
EXERCÍCIO - EXEMPLO
32,3x w22,2x v12,1x u
: vetoresosdefinir Vamos
ADAPTADO - usuais operações as com;2,)2
xxx
Rxxx
DA MULTIPLICAÇÃO:M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)M4) 1.u = u (elemento neutro)