1. GEOMETRIA MTRICA ESPACIAL CONE

2. Conceito Considere uma regio plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Denominamos cone ao slido formado pela reunio de todos os segmentos de reta que tm uma extremidade em um ponto P (vrtice) e a outra num ponto qualquer da regio. 3. Elementos do cone Em um cone, podem ser identificados vrios elementos: Vrtice de um cone o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta. Base de um cone a regio plana contida no interior da curva, inclusive a prpria curva. Eixo do cone quando a base do cone uma regio que possui centro, o eixo o segmento de reta que passa pelo vrtice P e pelo centro da base. Geratriz qualquer segmento que tenha uma extremidade no vrtice do cone e a outra na curva que envolve a base. 4. Elementos do cone Altura a distncia do vrtice do cone ao plano da base. Superfcie lateral de um cone a reunio de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. Superfcie do cone a reunio da superfcie lateral com a base do cone que o crculo. Seo meridiana de um cone uma regio triangular obtida pela interseo do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. 5. Classificao do cone Ao observar a posio relativa do eixo em relao base, os cones podem ser classificados como retos ou oblquos. Um cone dito reto quando o eixo perpendicular ao plano da base e oblquo quando no um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblquo. Observao: Para efeito de aplicaes, os cones mais importantes so os cones retos. Em funo das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo: um cone dito circular se a base um crculo e dito elptico se a base uma regio elptica. 6. Observaes sobre um cone circular reto Um cone circular reto denominado cone de revoluo por ser obtido pela rotao (revoluo) de um tringulo retngulo em torno de um de seus catetos A seo meridiana do cone circular reto a interseo do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seo meridiana a regio triangular limitada pelo tringulo issceles VAB. 7. Cones Em um cone circular reto, todas as geratrizes so congruentes entre si. Se g a medida da geratriz ento, pelo Teorema de Pitgoras, temos uma relao notvel no cone: g=h+r, que pode ser "vista" na figura abaixo: 8. reas A rea Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone): rea total de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone): A(lateral) = .r.g A(total) = .r.g + .r = .r.(g+r) 9. Cones Equilteros Um cone circular reto um cone equiltero se a sua seo meridiana uma regio triangular equiltera e neste caso a medida da geratriz igual medida do dimetro da base. A rea da base do cone dada por: A(base) = r 10. Cones Equilteros Pelo Teorema de Pitgoras temos que (2r)=h+r, logo h=4r-r=3r, assim Como o volume do cone obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento: Como a rea lateral pode ser obtida por: Ento a rea total ser dada por: h = r V = (1/3) r3 A(lateral) =.r.g = .r.2r = 2. .r A(total) = 3 r 11. ANEXOS 12. ANEXOS 13. Exerccios Resolvidos Um cone possui dimetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm. Determine sua rea total e seu volume. rea total Volume A = * r * (g + r) A = 3,14 * 12 * (20 + 12) A = 3,14 * 12 * 32 A = 1 205,76 cm 14. Exerccios Resolvidos Um cone possui raio da base medindo 4 cm e altura igual a 10 cm. Determine a altura de um lquido que ocupa nesse cone o volume de 100 cm. 15. Exerccios Resolvidos No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu volume. Resposta Precisamos calcular a medida do raio da base, e para isso utilizaremos o teorema de Pitgoras. Observe 16. Exerccios Resolvidos (Fuvest SP) Um cone circular reto est Resposta inscrito em um paraleleppedo reto retngulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razo b a entre as dimenses do paraleleppedo 3/2 e o volume do cone . Determine o comprimento g da geratriz do cone. 17. EQUIPE ANTONIO TLYSON DO NASCIMENTO BRBARA JAMYLLE MARTINS PIRES DE OLIVEIRA DOUGLAS ROGERIO FREITAS DE SOUZA MAURLIO FERNANDO CORREIA DA SILVA Prof: Edinaldo EAPC 2 ano EM - 2013