Econometria

ESTATÍSTICA ECONÔMICA E

INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA

2611641

Material Didático de Apoio VERSÃO 2010-1

Profº Eduardo Gonçalves Barroso

PROGRAMA DE DISCIPLINA CURSO: Ciências Econômicas CURRÍCULO:

DISCIPLINA: Estatística Econômica e Introdução à Econometria CÓDIGO:

DEPARTAMENTO: Matemática CÓDIGO:

CARGA HORÁRIA: 60 horas CRÉDITOS: 04

PROGRAMA N.º VIGÊNCIA DE: / / ATÉ / /

OBJETIVOS: Dar continuidade aos estudos de Estatística, iniciados em Introdução à Estatística. Conceito de variável aleatória. Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Funções de distribuição e funções de densidade de probabilidade.Os conceitos das distribuições de probabilidade discretas e continuas, farão uma relação com o aprendizado anterior das variáveis aleatórias. Na continuidade da disciplina, irão estudar a teoria da amostragem e suas distribuições, a estimação e os testes de hipóteses.

EMENTA: Variáveis Aleatórias. Distribuições de Probabilidade: Discretas e Contínuas. Teoria da Amostragem. Distribuições amostrais. Estimação. Testes de Hipóteses.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO HORAS AULA

1. Variáveis Aleatórias

1.1 Conceitos 1.2 Função de Probabilidade 1.3 Função Densidade de Probabilidade 1.4 Esperança de uma variável aleatória 1.5 Teoremas fundamentais 1.6 Desvio padrão de uma variável aleatória 1.7 Variância de uma variável aleatória 1.8 Propriedades da variância 1.9 Distribuição conjunta 1.10 Distribuições marginais 1.11 Covariância 1.12 Correlação 1.13 Propriedades da correlação 1.14 Variáveis aleatórias independentes

2. Distribuições de probabilidade - casos discretos.

2.1. Distribuição de Bernoulli. 2.2. Distribuição binomial. 2.3. Distribuição de Poisson. 2.4. A Distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial.

3. Distribuições de probabilidade - casos contínuos.

3.1. Distribuição normal. 3.2. Variável normal padronizada ou normal reduzida. 3.3. A Distribuição normal como aproximação da distribuição binomial. Correções de continuidade.

4. Teoria da Amostragem

4.1 População. amostra. Amostra probabilística e não probabilística. Amostra aleatória simples. Números aleatórios.

4.2. Distribuições amostrais 4.2.1. Distribuição amostral das médias.

4.2.2. Teorema do Limite Central. 4.2.3. Distribuição amostral das proporções. 4.2.4. Distribuição amostral das somas e diferenças. 4.2.5. Distribuição de Student (Distribuição t). 4.2.6. Distribuição Qui Quadrado.

5. Estimação

5.1. Estimação por ponto e por intervalo. 5.2. Erro de estimação. 5.3. Fundamentos lógicos da estimação. 5.4. Níveis de confiança. 5.5. Intervalo de confiança para a média usando a distribuição normal. 5.6. Intervalo de confiança para a média usando a distribuição t de Student 5.7. Intervalo de confiança para a proporção. 5.8. Cálculo do tamanho mínimo de amostra para um erro máximo pré fixado.

6. Testes de hipóteses.

6.1. Etapas básicas de um teste de hipótese. 6.2. Decisões possíveis em testes de hipóteses. 6.3. Testes bilaterais e unilaterais. 6.4. Erros do tipo I e do tipo II. 6.5. Teste de hipótese para a média usando a distribuição Normal. 6.6. Teste de hipótese para a média usando a distribuição t de Student. 6.7. Teste de hipótese para a proporção

METODOLOGIA A disciplina será ministrada com o auxílio da bibliografia recomendada e de material didático de apoio preparado pelo professor. Os alunos serão levados a sedimentar os conceitos apresentados através da resolução de exercícios básicos. Em seguida serão testados através de outros exercícios de forma a verificar o seu aprendizado. AVALIAÇÃO Através da aplicação, individual, de PP e PF. O aluno poderá ainda, a critério do professor, ter pontuações extras através da resolução de exercícios complementares, dentro dos limites estabelecidos. BIBLIOGRAFIA BÁSICA: STEVENSON, Willian.J. - Estatística Aplicada à Administração - São Paulo - Harper & Row do Brasil - 1981 SPIEGEL, Murray R - Estatística - São Paulo - Makron Books - BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: TOLEDO, Geraldo Luciano e OVALLE, Ivo Isidoro - Estatística Básica - São Paulo - Atlas - 1985 HOFFMANN, Rodolfo - Estatística para Economistas - São Paulo - Pioneira - 1998 MOORE, David - A Estatística Básica e Sua Prática - Rio de Janeiro - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. ESTATÍSTICA 1 / Ermes Medeiros da Silva...let al.I. – 3. ed. 9. reimpr.- São Paulo: Atlas – 2006 – 2 volumes.

Universidade Católica de Petrópolis Material Didático de Apoio – Estatística Econômica e Introdução à Econometria – Versão Janeiro-2010

Economia – Administração – Ciências Contábeis – Marketing Prof. Eduardo Gonçalves Barroso

1

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Góis 32

“Uma variável X é dita aleatória, ou casual, ou probabilística, ou estocástica, quando assume

valores ao acaso, valores que podem ser esperados mas não certos; ou que representam fenômenos

ou eventos de natureza aleatória.”

Stevenson33

– “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é

determinado por fatores de chance.”

Angelini34

– “Por variável aleatória se entende um lista de valores ou uma função genérica que

associa um número conveniente aos eventos componentes do espaço amostral de um dado

experimento, sejam eles qualitativos ou quantitativos.”

Spiegel35

– “Suponhamos que a cada ponto de um espaço amostral se atribua um número. Teremos

então uma função definida no espaço amostral. Esta função é chamada variável aleatória (ou

variável estocástica) ou, mais precisamente, função aleatória (ou função estocástica).”

Fonseca e Martins36

– “Sejam E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma

função X, que associe a cada elemento de S um número real X(S) é denominada variável aleatória.”

Assim, uma variável aleatória X é uma função que tem como domínio o espaço amostral S do

experimento que está sendo realizado e como contradomínio o conjunto dos números reais obtidos

através da aplicação desta variável aleatória.

Variável Aleatória Discreta - é aquela que toma um número finito, ou um número infinito

enumerável, de valores. A variável aleatória é considerada discreta se toma valores que podem ser

contados. (número de terremotos, número de livros numa estante, número de falhas numa peça, etc)

32

Góis, Luís Angelo Contin. Estatística: uma abordagem decisorial. São Paulo: Saraiva, 1980 33

Stevenson, Willian J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981 34

Angelini, Flávio e Milone, Giuseppe. Estatística Geral. São Paulo: Atlas, 1993 35

Spiegel, Murray Ralph. Probabilidade e estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978 36

Fonseca, Jairo Simon da, Martins, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1977



2

Variável Aleatória Contínua - é aquela que toma um número infinito não enumerável, de

valores. A variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor de determinado

intervalo. (pesos de caixas de batata, duração de uma ligação telefônica, alturas das pessoas em uma

sala, etc)

Segundo Lipschutz37, “uma variável aleatória X num espaço amostral S é uma função de

S no conjunto R dos números reais tal que a imagem inversa de cada intervalo de R seja um evento

de S .”

Exemplo:

Experimento: Lançamento de duas moedas não viciadas.

Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de caras ocorridos. Determinar o

domínio e a imagem da variável aleatória X

OBSERVAÇÃO:

Este mesmo espaço amostral do experimento de lançar duas moedas, ou de lançar uma moeda duas

vezes, poderia ser o domínio de muitas outras variáveis aleatórias, como por exemplo:

⇒ “o quadrado do número de caras ocorridos“

⇒ “o número de caras ocorridos menos o número de coroas ocorridos“

⇒ “o número de coroas ocorrido menos 5”

Determine a imagem de cada uma das variáveis aleatórias acima definidas.

37

Lipschutz, Seymour. Probabilidade. 4 Ed. Rev. – São Paulo: Makron Books, 1993



3

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

Como vimos, se X é uma variável aleatória discreta num espaço amostral S , o seu

contradomínio será finito, isto é:

X Snx x x x( ) , , , ........=

1 2 3

Se, para cada ponto ix , de X S( ) , definirmos sua probabilidade como P X

ix( )= , denotada por

fix( ) , ou seja, se para cada ponto

ix obtivermos a sua imagem, através da aplicação da variável

aleatória X , teremos um espaço de probabilidade.

Esta função f em X S( ) , isto é definida por fix( ) = P X

ix( )= é chamada de Distribuição de

Probabilidade ou Função de Probabilidade

P Xix( )= é normalmente dada na forma de uma tabela onde para cada valor de

ix teremos o

seu correspondente fix( )

ix 1x 2x 3x • •• • ••

nx

fix( ) f x( )1 f x( )2 f x( )3

• •• • •• fnx( )

A probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor ix , é portanto, a função de

probabilidade de X , que representamos por P Xix( )= ou por f

ix( ) .

No exemplo anterior, em que duas moedas não viciadas são lançadas, determine a função de

probabilidade da variável aleatória X

ix 0 1 2

fix( ) 1/4 2/4 1/4



4

Uma Distribuição de Probabilidade ou uma Função de Probabilidade deve satisfazer às seguintes

condições:

1) fix( ) ≥ 0

(ou seja, nenhum valor obtido pela aplicação da variável aleatória X aos pontos amostrais de S pode

ser negativo, pois é uma probabilidade)

2) fi

i

n

x( )=

∑ =1

1

(ou seja, a soma de todos esses valores de probabilidade, obtidos pela aplicação da variável aleatória X

aos pontos amostrais de S , deve ter soma igual a 1, ou seja, ao somarmos todos esses valores estamos,

indiretamente, fazendo P( S ) que é igual a 1.

Use o exemplo anterior para conferir as duas condições acima

ix 0 1 2

fix( ) 1/4 2/4 1/4

OBSERVAÇÃO:

Na linha que representa os valores assumidos como imagem da aplicação da variável aleatória X

podemos ter números negativos, com veremos adiante.

A soma dos valores desta linha é igual a 1

Nenhum dos valores da linha de f(xi) é negativo



5

ESPERANÇA

Para Spiegel38 “o conceito de esperança matemática, valor esperado, ou simplesmente

esperança de uma variável aleatória, é de grande importância em probabilidade e estatística”

Para Lipschutz39, “se X é uma variável aleatória com a função de probabilidade que

definimos acima, então a média, ou esperança ou valor esperado de X , denotado por E X( ) ou x

µ ,

ou simplesmente, E ou µ , é definido por:”

E X f fn

fnx x x x x x( ) ( ) ( ) ........ ( )= × + × + + ×1 1 2 2

E Xi

fi

i

n

x x( ) ( )= ×

=

∑1

ou seja, E X( ) é a média ponderada dos possíveis valores de X , cada um ponderado por sua

probabilidade

OBSERVAÇÃO:

A fórmula que usamos para determinar a média de uma tabela de freqüência, em Medidas de Tendência

Central

xx f

f=∑∑

.

tem uma estreita ligação com a fórmula que estamos vendo para esperança de uma variável aleatória,

que também é uma “média”. Em ambas as fórmulas multiplicamos cada x pelo seu f.

Apenas no caso da esperança, os valores multiplicados, já são “divididos” pelo “total”, aqui

representado pelo cálculo das probabilidades.

Devemos anotar que se estamos operando com variáveis aleatória, a medida pode ser chamada de média,

esperança ou valor esperado.

Se estamos operando com tabelas de freqüência, a medida será chamada apenas de média.

O uso de esperança ou valor esperado é apenas quando estamos lidando com variáveis aleatórias.

38

Spiegel, Murray Ralph. Probabilidade e estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978 39

Lipschutz, Seymour. Probabilidade. 4 Ed. Rev. – São Paulo: Makron Books, 1993



6

Para Angelini40 “a esperança matemática é a medida de tendência central das variáveis aleatórias e

definida como a média aritmética ponderada dos valores que a variável aleatória X pode assumir”

Para Spiegel41 “a média ou esperança de X é um valor único, que atua como representante, ou média,

dos valores de X, e por essa razão costuma-se chamar uma medida de tendência central”

Exemplo:

Calcule a esperança da função de probabilidade abaixo:

ix 0 1 2

fix( ) 1/4 2/4 1/4

14

4

4

12

4

21

4

10)()(

1==×+×+×=×= ∑

=

n

iii xx fXE

TEOREMAS ENVOLVENDO ESPERANÇA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

1) Sejam X uma variável aleatória e k um número real. Então:

a) E k X k E X( ) ( )× = ×

b) E k X k E X( ) ( )+ = +

2) Sejam X e Y variáveis aleatórias no mesmo espaço amostral S . Então:

E X Y E X E Y( ) ( ) ( )+ = +

40

Angelini, Flávio e Milone, Giuseppe. Estatística Geral. São Paulo: Atlas, 1993 41

Spiegel, Murray Ralph. Probabilidade e estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978



7

Exemplo:

Seja a função de probabilidade abaixo. Calcule a esperança, da variável aleatória X , e confirme a

validade dos Teoremas do item 1

ix 1 2 4

fix( ) 0,30 0,25 0,45

Calculando a esperança, encontramos, E X( ) = 2,6

Fazendo k = 3,

Teremos pelo teorema que E k X k E X( ) ( )× = × , ou, )(3)3( XEXE ×=×

Resultando em 3 x 2,6 = 7,8

Aplicando k = 3, na variável aleatória X, podemos obter a função de probabilidade abaixo:

ix 3 6 12

fix( ) 0,30 0,25 0,45

E calculando E X( ) encontramos os mesmos 7,8

Fazendo K = 5,

Teremos pelo teorema que )()( XEkXkE +=+ , ou, )(5)5( XEXE +=+

Resultando em 5 + 2,6 = 7,6


ix 6 7 9

fix( ) 0,30 0,25 0,45

E calculando E X( ) encontramos os mesmos 7,6



8

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

Segundo Lipschutz42 “a média de uma variável aleatória X mede, de certa forma, o valor

médio de X . O próximo conceito, o de variância de X , mede o espalhamento ou a dispersão de X .”

Para Spiegel43 “a variância (ou desvio padrão) é uma medida da dispersão dos valores da

variável aleatória em redor da média. Se os valores tendem a concentrar-se próximos da média , a

variância é pequena; mas se os valores tendem a afastar-se da média, a variância é grande”

Seja X uma variável aleatória com a função de probabilidade que vimos anteriormente

Então, a variância de X , representada por VAR X( ) é dada por:

VAR Xi

fi

i

n

x x( ) ( ) ( )= − ×

=

∑ µ 2

1

ou

{ }VAR X E X E X( ) ( ) ( )= −2 2

O desvio padrão de X , representado por xσ , é a raiz quadrada (não negativa) da VAR X( ) .

Exemplo:

Calcule a variância e o desvio padrão da função de probabilidade abaixo:

ix 0 1 2

fix( ) 1/4 2/4 ¼

14

4

4

12

4

21

4

10)()(

1==×+×+×=×= ∑

=

n

iii xx fXE

5,14

6

4

1

4

2

4

1)()( 210 222

1

22 ==×+×+×=×= ∑=

n

iii xxX fE

{ } ( ) 5,05,1)()( 1)( 222 =−=−= XEXEXVAR 7071,05,0 ==σ x

42

Lipschutz, Seymour. Probabilidade. 4 Ed. Rev. – São Paulo: Makron Books, 1993 43




9

TEOREMAS ENVOLVENDO VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

Sejam X uma variável aleatória e k um número real

Então:

a) )()( XVARXkVAR =+

b) )()( 2XVARkXkVAR ×=×

Seja a função de probabilidade abaixo.

Calcule a variância da variável aleatória X e verifique a validade das teoremas acima

ix 1 2 4

fix( ) 0,30 0,25 0,45

6,245,0425,0230,01)()(1

=×+×+×=×= ∑=

n

iii xx fXE

5,845,025,030,0)()( 421 222

1

22 =×+×+×=×= ∑=

n

iii xxX fE

{ } ( ) 74,15,8)()( 6,2)( 222 =−=−= XEXEXVAR



10

Fazendo K = 3

74,1)()3()()( ==+→=+ XVARXVARXVARXkVAR


ix 4 5 7

fix( ) 0,30 0,25 0,45

E podemos calcular a variância desta “nova” função de probabilidade.

6,545,0725,0530,04)()(1

=×+×+×=×= ∑=

n

iii xx fXE

1,3345,025,030,0)()( 754 222

1

22 =×+×+×=×= ∑=

n

iii xxX fE

{ } ( ) 74,11,33)()( 6,5)( 222 =−=−= XEXEXVAR

Fazendo K = 4

( ) 84,2774,116)()4()()( 4 22=×=×=×→×=× XVARXVARXVARkXkVAR


ix 4 8 16

fix( ) 0,30 0,25 0,45

E podemos calcular a variância desta “nova” função de probabilidade.

4,1045,01625,0830,04)()(1

=×+×+×=×= ∑=

n

iii xx fXE

13645,025,030,0)()( 1684 222

1

22 =×+×+×=×= ∑=

n

iii xxX fE

{ } ( ) 84,27136)()( 4,10)( 222 =−=−= XEXEXVAR



11

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE

Segundo Spiegel44 “se X é uma variável aleatória contínua, a probabilidade de X tomar um

determinado valor é, em geral, zero. Não se pode, pois, definir uma função de probabilidade contínua

da mesma maneira como fizemos no caso de variável discreta. Para que possamos chegar a uma

definição de distribuição de probabilidade contínua, o que tem sentido é falar-se em probabilidade de

X estar compreendido entre dois valores diferentes”

Seja X uma variável aleatória, cujo contradomínio X(S) é infinito não enumerável como, por

exemplo, um intervalo.

Da definição de variáveis aleatórias temos que o conjunto (a ≤ X ≤ b) é um evento em S e,

portanto, a probabilidade de P (a ≤ X ≤ b) está bem definida.

Se existe uma função contínua f : R � R a P (a ≤ X ≤ b) é igual a área sob o gráfico de f

entre as abscissas x = a e x = b, integral definida entre os pontos x = a e x = b.

Em linguagem de cálculo, temos:

( )P a X b f x dxa

b≤ ≤ = ∫ ( )

Neste caso dizemos que X é uma variável aleatória continua.

A função f é chamada de distribuição de probabilidade contínua ou de função de probabilidade

contínua ou, ainda, função de densidade de probabilidade de X, ou simplesmente função densidade e,

satisfaz as condições:

1 0 2 1) ( ) ) ( )f x e f x dxR

≥ =∫

A primeira porque estamos calculando uma probabilidade e os valores não podem ser negativos e a

segunda porque estamos somando (integrando) todos os valores da variável aleatória, que também são

probabilidades, cuja soma tem que ser igual a 1.

44




12

ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A esperança E(X) é definida por:

E X x f x dxR

( ) ( )= ∫

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A variância - Var (X) - é definida por:

( ) ( )Var X E f x dxR

X x( ) ( )=

=− −∫

2 2µ µ

ou

( ) µ22)( −= XEXVar

ONDE:

∫=R

dxxfE xX )()( 22

Exemplo:

Seja a variável aleatória contínua definida pela seguinte função de densidade de probabilidade:

0,0 <xpara

f(x) = 20,2

≤≤ xparax

2,0 >xpara

Determinar a esperança e a variância da variável aleatória X.



13

DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DISCRETA

Até aqui trabalhamos com variáveis aleatórias em que o resultado do experimento seria

registrado como um único número x. Existem casos, entretanto, em que estamos interessados em duas

ou mais características do mesmo espaço amostral.

Por exemplo, o nosso interesse poderia ser a análise da estatura e do peso de um grupo de

pessoas. Assim, para o mesmo espaço amostral estaríamos gerando dois contradomínios: um referente à

estatura e outro referente ao peso.

Sejam X eY variáveis aleatórias num espaço amostral S com contradomínio:

{ }X Snx x x x( ) , , , .. .. .. .. ,= 1 2 3 e { }Y S

ny y y y( ) , , , ....... . ,=

1 2 3, respectivamente.

Se, para cada par ordenado ( , )i j

x y do produto cartesiano

{ }X S Y Sn mx y x y x y x y( ) ( ) ( , ), ( , ), ( , ), . . . . . . . . . . , ( , )× = 1 1 1 2 1 3

definirmos sua probabilidade por P X Yi j

x y( , )= = , denotada por hi j

x y( , ) , teremos um espaço de

probabilidade.

Esta função h em X S Y S( ) ( )× , isto é, definida por hi j

x y( , ) = P X Yi j

x y( , )= = , é

chamada de Distribuição Conjunta ou Função de Probabilidade Conjunta de X e Y , sendo

normalmente apresentada sob a forma de uma tabela.



14

Y

X

1

y

2y

3y

. . . .

my

SOMA

1x

h x y( , )1 1

h x y( , )1 2

h x y( , )1 3

. . . .

h x ym

( , )1

f x( )1

2x

h x y( , )2 1

h x y( , )2 2

h x y( , )2 3

. . . .

h x ym

( , )2

f x( )2

3x

h x y( , )3 1

h x y( , )3 2

h x y( , )3 3

. . . .

h x ym

( , )3

f x( )3

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

.

.

.

.

nx

hnx y( , )

1

hnx y( , )

2

hnx y( , )

3

. . . .

hn m

x y( , )

fnx( )

SOMA

g y( )1

g y( )2

g y( )3

. . . .

gm

y( )

As funções f e g acima são definidas por:

∑=

=m

jjii yxx hf

1

),()( e ∑=

=n

ijij

yxy hg1

),()(

Isto é, fix( ) é a soma dos valores da i-ésima linha e g

jy( ) é a soma dos valores da j-ésima coluna.

Elas, f e g , são chamadas de distribuições marginais (aparecem à margem da tabela) ou FUNÇÃO

DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAL e são, de fato, as distribuições individuais de X e

Y , respectivamente.



15

A distribuição conjunta h satisfaz as condições:

1) h i jx y( , ) ≥ 0

2) hi j

j

m

i

n

x y( , ) ===

∑∑ 111

EXEMPLO:

Seja a tabela abaixo da FDP conjunta das variáveis discretas X e Y.

X

Y

-2 0 2 3

3 0,27 0,08 0,16 0

6 0 0,04 0,10 0,35

FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAL

FDP DE X

X -2 0 2 3

F(X) 0,27 0,12 0,26 0,35

FDP DE Y

Y 3 6

g(y) 0,51 0,49



16

FDP CONDICIONAL

FDP CONDICIONAL DE X

FDP CONDICIONAL DE Y

Assim, podemos encontrar as FDPs condicionais, da seguinte forma:

FDP CONDICIONAL DE X

FDP CONDICIONAL DE Y

( ) ( )yxyx jijiYXPf === //

( ) ( )xyxy ijijXYPf === //

( )( )( )yf

yxfyxf

,/ =

( )( )( )xf

yxfxyf

,/ =



17

Na tabela dada, podemos encontrar:

COVARIÂNCIA DE X e Y

Se X e Y são variáveis aleatórias com a distribuição conjunta acima e com médias x

µ e y

µ ,

respectivamente, então a covariância de X e Y , denotada por COV X Y( , ) , É dada por:

COV X Y h

i x j y i jx y x y( , ) ( ) ( ) ( , )= − • − •∑ µ µ

COV X Y E X Y

x y( , ) ( , )= − •µ µ

OBSERVAÇÃO : E X Y hi j i j

j

m

i

n

x y x y( , ) ( , )= • •==

∑∑11

( )( )

( )5294,0

51,0

27,0

3

3,23/2 ==

=

=−===−=

yf

yxfyxf

( )( )

( )2041,0

49,0

10,0

6

6,26/2 ==

=

=====

yf

yxfyxf



18

CORRELAÇÃO DE X e Y

Denotada por ρ( , )X Y , é dada por:

ρ ( , )X Y = COV X Y

X Y

( , )

σ σ•

PROPRIEDADES DA CORRELAÇÃO

1) ρ ( , )X Y = ρ ( , )Y X

2) − ≤1 ρ ( , )X Y 1+≤

3) ρ ( , )X X = 1 e ρ ( , )X X− = − 1



19

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

X e Y são variáveis aleatórias independentes se:

P X Y P X P Yi j i j

x y x y( , ) ( ) ( )= = = = ∗ =

Se, X e Y tem distribuições f e g, respectivamente, e distribuição conjunta h, a equação acima

pode ser escrita como:

h f gi j i j

x y x y( , ) ( ) ( )= ×

Em outras palavras, X e Y são variáveis aleatórias independentes, se cada valor hi j

x y( , ) for

o produto de seus valores marginais.

PROPRIEDADES DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

a) E X Y E X E Y( , ) ( ) ( )= ×

b) VAR X Y VAR X VAR Y( ) ( ) ( )+ = +

c) COV X Y( , ) = 0



20

EXERCÍCIOS

1) Um dado não viciado é lançado três vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S

um número igual ao que ocorre no primeiro lançamento. Determinar a variância de X.

2) Considere a distribuição conjunta abaixo

X \ Y 1 2 3 4

1 0,10 0,30 0 0,20

3 0,05 0,05 0 0,15

2 0,10 0 0,05 0

Determinar a covariância e o coeficiente de correlação entre X e Y.

3) Duas moedas não viciadas são lançadas. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o

número de caras ocorridos. Determinar :

a) o domínio e a imagem da variável aleatória.

b) a função de probabilidade de X

c) a esperança de X

d) o desvio padrão de X

e) a variância de X

4) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 2/3, é lançada três vezes.

Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o maior número de caras sucessivas que

ocorrem. Determinar a esperança de X.

5) Uma moeda viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 1/3 é lançada até que

ocorra uma cara ou cinco coroas. Encontre o número esperado de lançamentos da moeda.



21

6) Um jogador lança um dado não viciado. Se ocorrer um número primo, ele ganha este número em

dólares, mas se ocorrer um número que não seja primo ele perde este número em dólares.

Determinar o valor esperado da partida.

7) Um par de dados não viciados é lançado.

a) seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o maior dos números.

Determinar a esperança de X.

b) seja Y a variável aleatória que associa a cada ponto de S a soma dos números.

Determinar a esperança de Y.

8) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 3/4, é lançada 3 vezes.

Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de caras ocorridos. Determinar a

esperança de X.

9) Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 5,00 se ocorrerem 3 caras, R$ 3,00 se

ocorrerem duas caras e R$ 1,00 se ocorrer somente uma cara. Por outro lado, perde R$ 15,00 se três

coroas ocorrerem. Encontre o valor esperado do jogo.

10) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer coroa é igual a 3/5, é lançada três

vezes. Seja X o número de caras ocorrido. Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.

11) Um dado não viciado é lançado três vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S

um número igual ao que ocorre no primeiro lançamento. Determinar a variância de X.

12) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 2/3, é lançada duas

vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras ocorrido. Determinar o desvio

padrão da variável aleatória X.



22

13) Uma amostra de 3 objetos é escolhida aleatoriamente de uma caixa contendo 12 objetos, dos quais 3

são defeituosos. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de peças

defeituosas. Determinar a esperança de X.

14) Uma moeda não viciada é lançada quatro vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Determinar

o desvio padrão da variável aleatória X.

15) Dois cartões são selecionados aleatoriamente de uma caixa que contem seis cartões com os números

2, 2, 3, 4, 4 e 5. Seja X a soma dos números. Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.

16) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é igual a 2/5, é lançada duas

vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto de S o número de caras ocorridos.

Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.

17) Lança-se um dado não viciado. Seja X o dobro do número ocorrido. Seja Y, igual a 1 ou 3, conforme

ocorra um número ímpar ou par, respectivamente. Determinar o desvio padrão de X e o desvio

padrão de Y.

18) Lança-se um dado. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponte de S o número 1 se sair face

6 e o número -1, em caso contrário. Determinar a variância de X.


X \ Y 2 3 5

2 0,12 0,30 0,15

3 0,06 0,09 0,07

4 0,13 0 0,08

Determinar a correlação entre X e Y.



23


X \ Y 1 3 6 7

1 0,08 0,20 0,02 0,13

2 0,05 0,05 0 0,05

4 0,10 0 0,05 0

5 0,03 0,07 0,10 0,07



X \ Y 1 2 3 4 5

1 0,10 0,30 0,03 0,10 0,05

3 0,08 0,05 0 0,15 0,14


22) Determinar a correlação do exercício de número 17.

23) Considere a distribuição conjunta abaixo:

X \ Y 1 2 3

1 0,08 0,05 0,03

3 0,21 0,05 0

4 0,04 0,14 0,20

5 0,11 0,05 0,04




24


X \ Y 1 3 5 6

1 0,10 0,30 0,13 0,10

2 0,08 0,14 0 0,15


25) A tabela abaixo fornece a probabilidade de que um sistema de computação fique fora de operação

um dado número de períodos por dia durante a fase inicial de instalação do sistema. Calcular:

a) o número esperado de vezes que o computador fique fora de operação por dia.

b) a variância desta distribuição de probabilidade.

Número de períodos – x 4 5 6 7 8 9

Probabilidade – P(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06

26) O número de caminhões que chegam, por hora, a um depósito segue a distribuição de probabilidade

da tabela abaixo. Calcular:

a) o número esperado de chegadas por hora.

b) A variância desta distribuição de probabilidade.

Número de caminhões – x 0 1 2 3 4 5 6

Probabilidade – P(x) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05

27) Uma empresa sabe que a projeção de suas vendas pode variar de 0 a 25.000 unidades com as

probabilidades apresentadas na tabela abaixo:

Unidades vendidas – x 2500 7500 12500 17500 22500

Probabilidade – P(x) 0,02 0,08 0,80 0,08 0,02

Determinar o número esperado de quantidades vendidas e a variância da distribuição de

probabilidade.



25

28) Seja X uma variável aleatória contínua, com a seguinte função densidade:

0,0 <xpara

f(x) = 10,3 2 ≤≤ xparax

1,0 >xpara

Calcular a esperança, a variância e o desvio padrão.

29) Sejam M e N duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições:

mi 1 3 ni 5 10 12

P 0,6 0,4 P 0,3 0,5 0,2

a) Achar a distribuição conjunta de M e N;

b) Calcular a esperança de cada uma das variáveis aleatórias M e N;

c) Calcular o desvio padrão das variáveis aleatórias M e N;

d) Qual é o valor do coeficiente de correlação entre M e N.

30) Uma variável aleatória X, tem uma densidade de probabilidade dada por:

21, ≤≤ xparax

k

f(x) =

contráriocaso,0

a) Determinar o valor de k;

b) Determinar a esperança de X;

c) Determinar o desvio padrão de X.



26

31) Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte densidade:

20,2

1≤≤ xparax

f(x) =

contráriocaso,0

Determinar a esperança, a variância e o desvio padrão de X

32) Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade:

30,6

1≤≤+ xparakx

f(x) =

contráriocaso,0

a) Calcule o valor de K

b) Ache )21( ≤≤ xP



27

Respostas Exercícios

1 2,9167

2 a 0,1250

b 0,1217

3 a Df(x) = {kk, kc, ck, cc}

Im f(x) = { 0, 1, 2 }

b x 0 1 2

f(x) 1/4 2/4 1/4

c 1,0000

d 0,7071 24 0,0585

e 0,5000 25 a 6,7800

4 1,8519 b 1,0316

5 2,6049 26 a 3,1500

6 -1/6 b 2,1275

7 a 4,4722 27 a 12.500

b 7,0000 b 8.000.000

8 2,2500 28 a 3/4

9 2/8 b 0,0375

10 0,8485 c 0,1936

11 2,9167 29 a tabela

12 0,6667 de M b 1,8000

13 0,7500 de N 8,9000

14 1,0000 de M c 0,9798

15 1,3983 de N 2,6627

16 0,6928 d zero

17 de X 3,4157 30 a 1,4427

de Y 1,0000 b 1,4427

18 0,5555 c 0,2874 19 -0,0473 31 a 4/3 20 0,0896 b 0,2222

21 0,3568 c 0,4714 22 0,2928 32 a 1/12 23 0,1894 b 1/3



28

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) Uma variável aleatória contínua é dada por:

52,2

<≤ xparak x

f(x) = 85),8( ≤≤− xparaxk

contráriocaso,0

a) Determinar o valor da constante k para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade

b) Calcular: )2

27

2

8( ≤≤ xP

2) Uma moeda honesta é lançada sucessivamente até sair cara ou até serem feitos três lançamentos.

Obter a distribuição de X que associa a cada ponto de S o número de lançamentos e calcular a média

e a variância da função de probabilidade.

3) Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas aleatoriamente da urna. Se

ganharmos $ 200, por bola branca retirada e perdermos $ 100, por bola preta retirada, determinar qual

será o lucro esperado desta variável aleatória.

4) Seja (x,y) uma variável aleatória bidimensional discreta, com a seguinte função de probabilidade:

contráriocasoo

P

epara

yx

yxyx

ji

jiji

,

);(

3,2,1,02,1,0,42

2

=

==

+



29

Pede-se:

a) Determinar a tabela da distribuição de probabilidade conjunta;

b) Determinar a tabela da distribuição marginal de X e da distribuição marginal de Y;

c) Calcular a esperança de (X - 2Y + 4)

5) Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. A variável aleatória X anota

o número de damas obtido nesta retirada. Determinar a esperança da variável aleatória X.

6) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Seja X a variável

aleatória que anota o número de valetes obtidos. Determinar o desvio padrão da variável aleatória.

7) Uma urna A contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. A urna B contém 5 bolas brancas e uma bola

preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória X anota o número de bolas

brancas obtidas. Determinar o desvio padrão da variável aleatória X.

8) Uma confeitaria produz cinco bolos em um determinado dia. As probabilidades de vender nenhum,

um, dois, três, quatro ou cinco bolos são, respectivamente, 1%, 5%, 20%, 30%, 29% e 15%. O custo

total de produção de cada bolo é de $ 10 u.m. e o preço unitário de venda de cada um desses bolos é

de $ 20 u.m. Calcular o lucro médio, a variância e o desvio padrão.

9) Seja X uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade dada por:

contrariocaso

xf

bxsex

,0

)(

0,24 2

=

≤≤

Calcular o valor de b que garanta a existência da função densidade de probabilidade (fdp)



30

10) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:

contrariocaso

cxsexf

xsex

x

,0

1,)(

10,

3≤≤=

≤≤

Calcular o valor de c que garanta a existência da fdp

11) A função abaixo é uma função densidade de probabilidade, com b - a = 0,5

contrariocaso

xf

bxasex

,0

)(

,32,0

=

≤≤+

Calcular o valor de a e b

Respostas

Exercício Item Resposta Exercício Item Resposta

1 a) 2/87 7 0,6156

b) 149/261 8 E(X) 15,2

2 Média 1,75 Variância 524,96

Variância 0,6875 Desvio Padrão 22,9120

3 75 9 1/2

4 c) 70/42 10 4 3

5 0,0769 11 a = 0,35

6 0,3730 b = 0,85

Universidade Católica de Petrópolis Material Didático de Apoio – Estatística Econômica e Introdução à Econometria – Versão Janeiro -2010


31

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Consideremos repetições independentes de um experimento com dois resultados possíveis.

Chamemos um dos resultados de sucesso e o outro de fracasso.

Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso.

pqqp −=⇒=+ 11

Se estamos interessados no numero de sucessos e não na ordem em que eles ocorrem, a

probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n repetições é dada por:

qpCkXPknkk

n

−

××== )(

A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o

processo de amostragem é do tipo do de Bernoulli. Um processo de Bernoulli é um processo de amostragem no qual:

1) Cada tentativa apresenta dois resultados possíveis mutuamente exclusivos, e são

chamados, por conveniência, sucesso e fracasso; 2) As series de tentativas, ou observações, são constituídas de eventos independentes; 3) A probabilidade de sucesso, indicada por p, permanece constante de tentativa para

tentativa, ou seja, o processo é estacionário. PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Media = E(X) = x

µ = µ = n p.

Variância = x

2

σ = 2

σ = n p q. .

Desvio Padrão = xσ = σ = n p q. .



32

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A Distribuição de Poisson é um caso particular importante da Distribuição Binomial. É o caso limite da Distribuição Binomial quando o numero de provas tende para infinito e a

probabilidade do evento em uma única prova tende para zero. É definida como:

P( , )!

κ λκ

κ λ

λ ε=

×−

onde:

κ κ= 0 1 2 3 4 5, , , , , , ........... ,

ε = 2 71828182846, . . . . . . . .

λ = Constante dada ou determinada PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Média = µ λ=

Variância = 2

σ λ=

Desvio Padrão = σ λ= A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Muitas vezes, no uso da Distribuição Binomial, acontece que n é muito grande (tendendo a infinito) e p é muito pequeno (tendendo a zero). Nesses casos não encontramos o valor em tabelas, ou então o cálculo torna-se muito difícil, sendo necessário o uso de máquinas de calcular com funções específicas ou então o uso de computador. Podemos então fazer uma aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição de Poisson. Para isto usamos o fato de que a média do processo será Média = µ λ= Encontrada através da multiplicação de n por p, que é a média da Distribuição Binomial.



33

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

É uma das mais importantes distribuições de probabilidade contínua, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência estatística.

É também conhecida como distribuição de Gauss, distribuição de Laplace ou distribuição de Laplace - Gauss. é definida como:

f x

x

( ) =−

−

1

2

1

2

2

σ π

µ

σε

onde os parâmetros µ e 2

σ são, respectivamente, sua média e variância.

É portanto uma distribuição normal com média µ e variância 2

σ ,denotada por N ( , )µ σ2

PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Média = µ

Variância = 2

σ

Desvio Padrão = σ



34

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU NORMAL REDUZIDA

A variável z será normal padronizada ou normal reduzida se:

zx

=− µ

σ

onde X é uma variável normal com média µ e variância 2

σ

PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU NORMAL REDUZIDA Média = 0 Variância = 1 Desvio Padrão = 1 Propriedades da Curva Normal

1) O gráfico da função de uma variável normal tem a forma de um sino e é simétrico em relação a

origem x = µ ou z = 0

2) A função é máxima no ponto x = µ ou z = 0 e neste ponto sua ordenada vale 1

20 39

π≅ ,

3) A função tende a zero quando x → ±∞ ou z → ±∞ 4) A função tem dois pontos de inflexão e suas abcissas valem µ σ± ou 1±



35

CURVA NORMAL COM ALGUMAS PROBABILIDADES CLÁSSICAS

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

A distribuição Binomial é bem aproximada pela Distribuição Normal quando n é grande e quando nem p nem q estão próximos de zero.

A aproximação é muito boa se (n x p) e (n x q) são, ambos, maiores que 5.

Como a distribuição original do problema é uma Binomial, usaremos as propriedades da Binomial para encontrar a média e o desvio padrão, ou seja, Média = µ = n p×

Desvio padrão = σ = n p q× ×

OBS: Não esquecer que, quando usamos uma distribuição contínua (normal) para resolver casos de uma distribuição discreta (binomial), é necessário fazer uma correção de continuidade.



36

EXERCÍCIOS

1) Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer: a) Somente coroas b) Pelo menos 5 caras

2) A probabilidade de que um presumível cliente, aleatoriamente escolhido, faça uma compra é de

0,20. Se um vendedor visita seis clientes, qual a probabilidade de ele fará exatamente quatro venda.

3) Pesquisa governamental recente indica que 80% das famílias de uma comunidade, que ganharam

mais de 1.500 unidades monetárias no ano anterior, possuem dois carros. Supondo verdadeira esta afirmativa, e tomada uma amostra de 10 famílias dessa categoria, qual a probabilidade de exatamente 80% da amostra terem dois carros.

4) Devido as altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais encontram-se vencidas. Se um auditor escolhe aleatoriamente uma amostra de 5 contas, determinar a probabilidade de:

a) Nenhuma das contas estar vencida b) Exatamente duas das contas estarem vencidas c) A maioria das contas estarem vencidas

5) Uma firma imobiliária verificou que, um em cada dez proprietários em perspectiva, fará oferta para

uma casa se o agente voltar para um segunda visita. Em 10 casos, determinar a probabilidade de que nenhum proprietário faça oferta.

6) Pesquisa recente indica que apenas 15% dos médicos de determinada localidade são fumantes.

Escolhidos dois médicos de um grupo de oito, constantes da relação fornecida pelo Conselho de Medicina, constatou-se serem fumantes. Admitindo-se correta a pesquisa, qual a probabilidade de se chegar ao resultado acima.

7) Estatísticas de tráfego revelam que 25% dos veículos interceptados numa auto estrada não passam

no teste de segurança. De 16 veículos interceptados, determinar a probabilidade de: a) Dois ou mais não passarem b) Quatro ou mais não passarem

8) Dos parafusos produzidos por uma fábrica 2% são defeituosos. Em um depósito de 3.600

parafusos desta fábrica, encontre o número esperado de parafusos perfeitos e o desvio padrão correspondente.



37

9) Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes. Chamemos cara (K) de sucesso. Determinar a

probabilidade de ocorrerem: a) Exatamente duas caras b) Pelo menos uma cara c) Pelo menos quatro caras

10) Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer:

a) Somente coroas b) Pelo menos 5 caras

11) Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de ocorrer:

a) Pelo menos uma cara b) No máximo duas caras c) Exatamente cinco caras

12) Calcule no exercício anterior a média e a variância da distribuição

13) Uma companhia vendedora de equipamento eletrônico verifica que, de todas as máquinas por ela

instaladas, 40% exigem novos ajustamentos após a instalação. Se quatro máquinas forem selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de que:

a) Ao menos duas exijam trabalhos de ajustamento após a instalação b) Exatamente três máquinas não exijam novos ajustamentos após a instalação.

14) Um dado não viciado é atirado 2.620 vezes. Determinar o número esperado de vezes em que a

face três ocorre e o desvio padrão correspondente.

15) Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos em um estádio de futebol sejam pedidos sem

mostarda. Se 7 pessoas pedem cachorro-quente, determinar a probabilidade de que: a) Todos queiram mostarda b) Apenas um não queira mostarda

16) A média e o desvio padrão de um exame são, respectivamente, 74 e 12. Encontre as notas, em

unidades padrão, dos estudantes que tiveram notas no exame iguais a: a) 65; b) 74 c) 86 d) 92



38

17) Com os dados do exercício anterior, determinar as notas no exame, para os alunos que obtiveram,

em unidade padrão, notas iguais a: a) -1 b) 1,25 c) 1,75 d) 1,5

18) As alturas dos alunos de uma escola são normalmente distribuídas com média de 1,60 metros e

desvio padrão de 0,30 metros. Encontre a probabilidade de um determinado aluno medir: a) Entre 1,50 metros e 1,80 metros b) Mais de 1,75 metros c) Menos de 1,48 metros

19) Sabe-se que numa distribuição normal a media é de 60. Sabendo-se que 4,75% dos valores são

superiores a 70, determinar a variância da distribuição.

20) Um lote de lâmpadas tem duração media de 1006 horas com desvio padrão de 20 horas. Qual a

probabilidade de que uma lâmpada, aleatoriamente selecionada, dure 975 horas ou menos.

21) Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 polegadas com desvio padrão de

0,01 polegada. Os canos com diâmetro que variem de mais de 0,03 polegadas a contar da media são considerados defeituosos. Supondo normalidade, determinar a percentagem de canos defeituosos.

22) Em uma escola secundaria as notas de um exame são normalmente distribuídas com media de 6,8

e desvio padrão de 0,7. Determinar a percentagem dos alunos que tiveram notas : a) Compreendidas entre 5,3 e 7,2 b) Maiores que 8 c) Menores que 7,5

23) Uma companhia que fabrica rolos de malhas para confecção acusa rolos com peso médio de 15 kg

e um desvio padrão de 2,5 kg. Escolhido um rolo aleatoriamente, determinar a probabilidade dele ter peso médio:

a) Acima de 18 kg b) Entre 19 e 22 kg



39

24) Determinar a media e o desvio padrão da distribuição normal das notas de uma turma, sabendo-se

que as variáveis reduzidas de dois estudantes, aleatoriamente escolhidos com notas 7,6 e 5,8 são, respectivamente, 0,9 e 0,3.

25) As notas de Estatística dos últimos períodos atestam que os alunos de uma determinada Faculdade

têm media de 6,8 com desvio padrão de 0,73. Determinar a probabilidade de uma aluno, aleatoriamente escolhido, ter nota:

a) Entre 5,5 e 7,5 b) Maior que 6,5

26) Num Concurso para ingresso em um programa de pós-graduação em Economia foi encontrada

uma media de 62 com desvio padrão de 13. As notas encontram-se normalmente distribuídas a) Determinar a probabilidade de que um candidato, aleatoriamente selecionado, tenha tirado

nota entre 65 e 88 b) Se somente 67% dos melhores candidatos forem aproveitados, determinar a nota mínima para

cursar o programa de pós-graduação.

27) Em uma distribuição normal dos salários da Cia Quem Paga Mais, 7,21% dos salários são

superiores a $ 59,68 unidades monetárias e 1,7% são inferiores a $ 31,04 unidades monetárias. Determinar a media e o desvio padrão dos salários.

28) O diâmetro médio do interior das arruelas produzidas por uma máquina é de 0,502 polegadas com

desvio padrão de 0,005 polegadas. As dimensões extremas toleradas para esses diâmetros são 0,496 polegadas e 0,508 polegadas. Fora desses limites as arruelas são rejeitadas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, supondo os diâmetros distribuídos normalmente.

29) Um avaliador do Governo calcula que sua capacidade de estimar custos de projetos tem

distribuição normal em torno do custo verdadeiro, com desvio padrão de $ 10.000 unidades monetárias. Em que percentagem das vezes suas estimativa estará dentro de $ 20.000 unidades monetárias.

30) Os peixes pescados por uma traineira têm peso médio de 4,5 libras e desvio padrão de 0,5 libras.

Qual a probabilidade de que os peixes tenham: a) Menos de 4 libras. b) Peso até 1 libra do peso médio.



40

31) Dos parafusos produzidos por uma fábrica 3% são defeituosos. Em um depósito de 6.300

parafusos desta fábrica, encontre o número esperado de parafusos com defeito e o desvio padrão correspondente

32) Um dado não viciado é lançado 7 vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer a face cinco ou a

face seis, exatamente: a) Três vezes b) Nenhuma vez

33) Um atirador acerta um alvo com probabilidade de 40%. Atirando 10 vezes, e supondo que sejam

tentativas independentes, qual a probabilidade de que atinja o alvo exatamente sete vezes

34) Sabe-se que 20% dos pacientes que se submetem a determinada intervenção cirúrgica não

sobrevivem um mês após a operação. Qual a probabilidade de que em três casos, as três pessoas sobrevivam ao primeiro mês após a operação.

35) A media de um exame final de Economia foi 75 com desvio padrão de 5. Se aos primeiros 20%

dos estudantes atribuiu-se um grau A e aos últimos 20% atribuiu-se um grau F, determinar que nota é o A mais baixo e que nota é o F mais alto.

36) Em um Concurso Público a media encontrada foi de 480 com desvio padrão de 120. Determinar:

a) A probabilidade de que, um candidato aleatoriamente selecionado, obtenha uma nota entre 330 e 570.

b) A nota mínima para ser incluído nos 15% dos candidatos mais bem classificados,

37) A média de um exame final foi 72 com desvio padrão de 9. Aos primeiros 10% dos estudantes

atribuiu-se um grau A . a) Qual a nota mínima que um estudante de receber para ser classificado com grau A . b) Determinar a probabilidade de um estudante, aleatoriamente selecionado, tirar nota

entre 74 e 89.

38) Em uma distribuição normal 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% são inferiores a 19.

Determinar a média e o desvio padrão da distribuição.



41

39) Quarenta estudantes fazem uma prova de estatística que é avaliada somente com duas notas:

aprovado ou reprovado. Sabendo-se que a probabilidade de um estudante, aleatoriamente selecionado, ser aprovado é de 60%, determinar a probabilidade de que: a) Pelo menos 30 estudantes sejam aprovados nesta prova. b) No máximo 30 estudantes sejam aprovados nesta prova.

40) Uma fábrica informa a seus clientes que a duração dos pneus fabricados tem média de 45.600 km,

com desvio padrão de 1.870 km. a) Calcular a probabilidade de que um pneu, escolhido aleatoriamente, dure mais de

42.600 km. b) Determinar a quilometragem mínima que deve durar um pneu para se incluído na

categoria dos “9,5% melhores” 41) Pesquisa médica indica que 20% da população em geral sofre efeitos colaterais negativos com o

uso de uma nova droga. Se um médico receita o produto a 4 pacientes, qual é a probabilidade de que:

a) Todos sofram efeitos colaterais b) Nenhum sofra efeitos colaterais c) Ao menos um sofra efeitos colaterais

42) Constatou-se que cinco ratinhos em observação num laboratório sofrem de deficiência de vitamina

A . Então eles receberam uma dieta especial de cenouras. Se a probabilidade de recuperação é de 70%, determinar a probabilidade de que só 3 ratinhos se recuperem.

43) Dos estudantes de uma universidade, 75% mudam de curso ao menos uma vez durante o primeiro

ano, de acordo com os registros . Escolhidos ao acaso 11 estudantes da classe de calouros, determinar a probabilidade de terem mudado de curso ao menos uma vez:

a) Todos b) Ao menos 9 c) Exatamente 4

44) Uma firma que fabrica e comercializa uma grande variedade de novidades em brinquedos,

determinou que historicamente 40% dos brinquedos que ela desenvolve tenham, pelo menos, um moderado sucesso de vendas no mercado. Se 6 novos brinquedos foram desenvolvidos para serem lançados no mercado no próximo verão, qual a probabilidade de que pelo menos três deles tenham um moderado sucesso de vendas no mercado.



42

45) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são pagas

após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determinar a probabilidade de: a) Nenhuma ser paga com atraso b) No máximo duas serem pagas com atraso c) Ao menos três serem pagas com atraso

46) Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta algum defeito. Se tal

suspeita é correta, determinar a probabilidade de que em uma remessa de 9 mesas: a) Haja ao menos uma defeituosa b) Não haja nenhuma defeituosa

47) Um aluno conhece bem 60% da matéria dada. Num exame com cinco perguntas sorteadas ao

acaso sobre toda a matéria, que probabilidade ele tem de responder: a) Mais da metade das perguntas b) A nenhuma pergunta c) A exatamente três perguntas

48) Numa firma exploradora de petróleo 5% dos poços perfurados acusam depósito de gás natural. Se

ela perfura 6 poços, determine a probabilidade de que ao menos um dê resultado positivo.

49) Determinar a probabilidade de que, em cinco jogadas de um dado honesto, apareça a face três:

a) Duas vezes b) No máximo uma vez c) Ao menos duas vezes

50) Um teste de múltipla escolha apresenta 4 opções por questão e 14 questões. Se a aprovação

depende de 9 ou mais respostas corretas, qual a probabilidade de um estudante que responde por palpite ser aprovado.

51) Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da

representação sindical e que se peça uma resposta anônima a um grupo aleatório de 10 empregados. Determinar a probabilidade de estarem a favor da representação sindical:

a) A maior parte dos empregados b) Menos da metade dos que respondem

52) Um dado não viciado é lançado 600 vezes. Encontre a probabilidade da face 4 ocorrer entre 85 e

117 vezes, inclusive.



43

53) Uma moeda não viciada é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras

ocorridos estar entre 4 e 7, inclusive, usando a Distribuição Binomial e, em seguida, a Aproximação Normal da Distribuição Binomial.

54) Uma moeda não viciada é lançada 64 vezes . Determinar a probabilidade do número de caras

estar entre 30 e 36, inclusive.

55) Determinar a probabilidade de em 90 lances de uma moeda viciada, onde a probabilidade de

ocorrer cara é igual a 1 / 4, ocorrerem caras entre 20% e 40%, inclusive.

56) Uma moeda, viciada de modo que a probabilidade de ocorrer caras é igual a 2/3, é lançada 15

vezes. Determinar a probabilidade do número de caras ocorridos estar entre 5 e 8, inclusive.

57) A probabilidade de um comprador individual comprar um artigo de uma loja é de 0,64. Se 25

compradores entram na loja, calcular a probabilidade de: a) 19 ou mais clientes comprarem o artigo. b) Exatamente 17 clientes comprarem o artigo.

58) Se 10% dos tubos de imagem de televisão produzidos pela Cia. Queima Menos se queimam antes

de sua garantia expirar, determinar a probabilidade de que o proprietário da firma, que vendeu 100 desses tubos, ser forçado a substituir 14 ou mais deles, para honrar a garantia dada.

59) Um exame de múltipla escolha contem 20 questões. Cada questão tem 4 respostas possíveis das

quais apenas uma é verdadeira. Se um estudante tentar adivinhar todas as questões, qual a probabilidade de que ele obtenha pelo menos 8 respostas certas.

60) Para a distribuição de Poisson, determinar:

a) p(2;1) b) p(3;1/2) c) p(2;0,7)

61) Na pintura de certas paredes aparecem defeitos em media de 1 defeito por metro quadrado. Qual a

probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2m x 2m.



44

62) Uma loja atende em media 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora a loja

atender: a) Exatamente 2 clientes b) Exatamente 3 clientes

63) Sabendo-se que chegam a um aeroporto, em media, 3 aviões por hora, determinar a probabilidade

de, em 45 minutos: a) Não chegar nenhum avião. b) Chegarem 4 aviões.

64) Um escritório de corretagem atende em media 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de, em

3 horas, este escritório atender: a) Exatamente 5 clientes b) No máximo 3 clientes c) Pelo menos 1 cliente

65) O número médio de chamadas em uma central telefônica é de 3,4 chamadas por minuto.

Determinar a probabilidade de termos exatamente 5 chamadas em um minuto aleatoriamente escolhido.

66) Da produção total de uma fábrica, 2% dos itens são considerados defeituosos. Encontre a

probabilidade de existirem 3 itens defeituosos em um total de 100 itens, usando: a) A distribuição Binomial b) A distribuição de Poisson.

67) Suponha que há em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 pessoas. Em uma

cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de, em um dado ano, ter havido: a) Dois ou mais suicídios. b) Exatamente 3 suicídios.

68) Estima-se em 0,002 a probabilidade de venda de uma apólice de seguro a pessoas que respondem

a um anúncio. Se 1000 pessoas respondem ao anúncio, determinar a probabilidade de que: a) Nenhuma compre uma apólice. b) Ao menos uma compre uma apólice.

69) A probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de determinado soro é de

0,001. Determinar a probabilidade de que, em 2000 indivíduos, exatamente 3 acusem reação negativa.



45

70) O número de rádios vendidos por dia numa firma tem distribuição de Poisson com média 2,5.

Determinar a probabilidade da firma vender: a) Três rádios num período de 2 dias. b) Um rádio num período de 3 dias.

71) A média de chamadas telefônicas por hora numa central de uma firma é igual a 3. Determinar a

probabilidade desta central: a) Receber 3 chamados numa hora. b) Receber pelo menos 3 chamados numa hora.

72) Numa determinada fabrica, 20% dos parafusos produzidos por uma certa máquina não satisfazem

as especificações do fabricante. Se forem selecionados ao acaso 10 parafusos, determinar a probabilidade de serem defeituosos:

a) Exatamente dois parafusos b) Pelo menos dois parafusos

73) O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que uma

média de 13 kg de cereal é colocada em cada saco. É claro que nem todos os sacos têm precisamente 13 kg devido a fontes aleatória de variabilidade. O desvio padrão do peso líquido é de 0,1 kg, sabendo-se, ainda, que a distribuição dos pesos segue uma distribuição normal. Determinar a probabilidade de um saco escolhido aleatoriamente contenha entre 13 e 13,2 kg de cereal.

74) Suponha que em um determinado processo de fabricação de perfil de alumínio apareça, em

média, uma falha a cada 400 metros. (isto equivale a dizer que aparecem 0,0025 falhas por metro). Esta é a freqüência média de sucessos. Determinar a probabilidade de encontrarmos 5 defeitos em comprimentos de 1000 metros.

75) Um dado é formado com chapas de plástico de 10 cm x 10 cm. Em média aparecem 50 defeitos a

cada metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.

a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos b) Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo 2 defeitos.

76) O número de pedidos para compra de certo produto que uma companhia recebe por semana tem

distribuição normal com média de 125 e desvio padrão de 30.

a) Se em uma semana o estoque disponível é de 150 unidades, qual a probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos.

b) Qual deveria ser o estoque para que se tivesse 98% de probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos.



46

Respostas Exercícios Binomial, Normal, Poisson

Questão Item Resposta Questão Item Resposta Questão Item Resposta

1 a 0,0039 24 a 4,9 49 a 0,1608

b 0,3634 b 3 b 0,8038

2 0,0154 25 a 0,7940 c 0,1962

3 0,3020 b 0,6591 50 0,0021

4 a 0,1681 26 a 0,3862 51 a 0,1663

b 0,3087 b 56,28 b 0,6330

c 0,1631 27 a 48 52 0,9280

5 0,3487 b 8 53 a 0,7332

6 0,2376 28 0,2302 b 0,7329

7 a 0,9365 29 0,9544 54 0,6010

b 0,5950 30 a 0,1587 55 0,8885

8 a 3528 b 0,9544 56 0,2048

b 8,4 31 a 189 57 a 0,1492

9 a 0,2344 b 13,5399 b 0,1547

b 0,9844 32 a 0,2561 58 0,1210

c 0,3438 b 0,0585 59 0,0985

10 a 0,0039 33 0,0425 60 a 0,1839

b 0,3634 34 0,5120 b 0,0126

11 a 0,9961 35 a 70,8 c 0,1217

b 0,1446 b 79,2 61 0,1954

c 0,2188 36 a 0,6678 62 a 0,2707

12 a 4 b 604,8 b 0,1804

b 2 37 a 83,52 63 a 0,1054

13 a 0,5248 b 0,3835 b 0,1126

b 0,3456 38 a 8,5714 64 a 0,1606

14 a 436,6667 b 29,0285 b 0,1512

b 19,0759 39 a 0,0384 c 0,9975

15 a 0,5578 b 0,9821 65 0,1264

b 0,3396 40 a 0,9452 66 a 0,1823

16 a -0,75 b 48.050 km b 0,1804

b 0 41 a 0,0016 67 a 0,9084

c 1 b 0,4096 b 0,1954

d 1,5 c 0,5904 68 a 0,1353

17 a 62 42 0,3087 b 0,8647

b 89 43 a 0,0422 69 0,1804

c 95 b 0,4552 70 a 0,1404

d 92 c 0,0064 b 0,0041

18 a 0,3779 44 0,4557 71 a 0,2240

b 0,3085 45 a 0,0008 b 0,5768

c 0,3446 b 0,0398 72 a 0,3020

19 35,8564 c 0,9602 b 0,6242

20 0,0606 46 a 0,1663 73 0,4772

21 0,0026 b 0,8337 74 0,0668

22 a 0,6995 47 a 0,6826 75 a 0,0758

b 0,0436 b 0,0102 b 0,8008

c 0,8413 c 0,3456 76 a 0,7967

23 a 0,1151 48 0,2649 b 186,5

b 0,0522



47

TEORIA DA AMOSTRAGEM

A Teoria da Amostragem é um estudo das relações entre uma população e as amostras dela extraídas.

É útil para a avaliação de grandezas desconhecidas da população (média, variância, desvio padrão) freqüentemente denominadas Parâmetros Populacionais, através do conhecimento das grandezas correspondentes das amostras (média da amostra, variância da amostra, desvio padrão da amostra), muitas vezes denominadas Estatísticas Amostrais.

É útil, também, nas questões que envolvem os testes de significância e de hipóteses.

AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES

Também chamada de amostra Probabilística, é quando cada elemento de uma população tem a mesma probabilidade de ser incluído na amostra

Técnicas de Obtenção de uma amostra aleatória simples

1) Método rudimentar - sorteio de pequenos pedaços de papel - sorteio das peças de um jogo de bingo

2) Tabela de números aleatórios

3) Geração de números aleatórios através de um programa de computador. DISTRIBUIÇÃO DA AMOSTRA

Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho N que podem ser retiradas de uma população dada, de tamanho Np, com ou sem reposição.

Para cada amostra pode-se calcular uma grandeza estatística como a média, a variância ou o desvio padrão, que variam de amostra para amostra.

Desse modo obtém-se uma distribuição da grandeza estatística que é denominada DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL

Se, por exemplo, a grandeza estatística particular adotada for a média da amostra, a distribuição amostral é denominada DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MEDIAS.

Para cada distribuição amostral pode-se calcular a média, a variância o desvio padrão, etc.

Podemos então falar em média e desvio padrão da Distribuição Amostral de Médias.



48

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS

Sejam: X

µ = média

da Distribuição Amostral de Médias

Xσ = desvio padrão

X = média da População σ = desvio padrão Temos então: 1) Para todas as amostras possíveis de tamanho N que são retiradas sem reposição de uma população finita de tamanho Np ( Np > N )

X

µ = X

Xσ = 1−

−×

N

N

p

pN

N

σ

2) Se a população for infinita ou se a amostragem for feita com reposição

X

µ = X

Xσ = σ

N

{

{



49

FATOR DE CORREÇÃO FINITA OU FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÃO FINITA

1−

−

N

N

p

pN

Ao fazer amostra de uma população finita, deve-se incluir um fator de correção finita, ou fator

de correção de população finita, na fórmula do desvio padrão da distribuição amostral (erro padrão). Uma regra bastante útil é que a correção é insignificante e pode ser omitida sempre que n <

0,05 N, ou seja, sempre que o tamanho da amostra for menor que 5% do tamanho da população. TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

1) Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das médias amostrais também será normal para todos os tamanhos de amostra.

2) Se a população básica é não normal, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal para grandes amostras (N > 30)

O Teorema do Limite Central é um resultado notável pois nos diz que não é necessário conhecer a distribuição de uma população para podermos fazer inferências sobre ela a partir de dados amostrais.

A única restrição é que o tamanho da amostra seja grande .

Uma regra muito usada é que a amostra deve consistir de 30 ou mais observações

Em um sentido estrito, o Teorema do Limite Central só se aplica a médias amostrais. Não obstante, deve-se recordar que, exceto para valores muito pequenos ou muito grandes de

p, a distribuição normal constitui aproximação razoável das probabilidades binomiais, para grandes amostras (N>30).

Desta forma, a distribuição normal pode ser utilizada para médias e proporções, desde que se

esteja usando grandes amostras.



50

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES

Admita-se uma população em que a probabilidade da ocorrência de um evento, denominado sucesso, é p, enquanto que a de sua não ocorrência é q ( q = 1 - p )

Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho N extraídas de uma população e para cada amostra determinemos a proporção de sucessos

Obtém-se então, uma distribuição amostral das proporções, cuja média p

µ e desvio padrão

pσ , são dados por:

1) se a população é infinita

p

pµ =

p

p q

Nσ =

×

2) se a população é finita

p

pµ =

p

p

p

p q

N

NNN

σ =×

×−

−1

OBS. : Quando estamos resolvendo exercícios de Distribuição Amostral de Proporções

precisamos corrigir as mesmas para que possamos usar a distribuição normal na sua resolução

Lembram-se como fazíamos na aproximação normal da distribuição binomial ??

Aqui, o fator de correção, denominado "fator de correção de continuidade" é dado por:

1

2 N



51

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DO NÚMERO DE OCORRÊNCIAS

As distribuições amostrais de proporções e do número de ocorrências são essencialmente as mesmas.

Ambas dizem respeito a contagem de dados e não a mensurações.

A única diferença é que na distribuição amostral de proporções os valores são expressos como percentagens, enquanto que na distribuição amostral do numero de ocorrências, os valores se apresentam como contagens.

Para a distribuição amostral do número de ocorrências, as formulas são: 1) se a população é infinita

Np

N pµ = ×

NpN p qσ = × ×

2) se a população é finita

Np

N pµ = ×

N p

p

p

N p qNN

Nσ = × × ×

−

− 1

OBSERVAÇÃO

Podemos trabalhar indistintamente com a Distribuição Amostral de Proporções ou com a Distribuição Amostral do Número de Ocorrências.

Precisamos somente, ter atenção para o uso da Distribuição Amostral do Número de

Ocorrências pois os valores deverão se apresentar como “inteiros” dado que a distribuição é discreta. O mesmo não acontece quando usamos a Distribuição Amostral de Proporções, pois estamos

tratando os dados com percentagens.



52

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS SOMAS E DIFERENÇAS Admita-se que são dadas duas populações. Para cada amostra de tamanho

1N retirada da

primeira população, calcula-se uma grandeza estatística 1S . Isso produz uma distribuição amostral

dessa grandeza estatística 1S com média

1Sµ e desvio padrão

1Sσ .

Da mesma forma para cada amostra de tamanho

2N retirada da segunda população calcula-

se uma grandeza estatística 2S . Obtém-se uma distribuição amostral dessa grandeza estatística

2S com média 2S

µ e desvio padrão 2S

µ .

De todas as combinações possíveis dessas amostras das duas populações pode-se obter uma distribuição amostral denominada DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS DAS ESTATÍSTICAS.

A média e o desvio padrão dessa distribuição amostral, desde que as amostras escolhidas não dependam de modo algum uma da outra, isto é, que elas sejam independentes, são dadas por:

1 2 1 2S S S S−

= −µ µ µ

1 2 1 2

2 2

S S S S−= +σ σ σ



53

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS SOMAS DAS ESTATÍSTICAS. A média e o desvio padrão dessa distribuição amostral são dados por:

1 2 1 2S S S S+

= +µ µ µ

1 2 1 2

2 2

S S S S+= +σ σ σ

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS DAS MÉDIAS. Se

1S e 2S são as médias das amostras das duas populações, representadas por

1x e

2x , então a distribuição amostral das diferenças das médias, com as médias e os desvios padrões

dados por 1x

µ , 1xσ ,

2xµ e

2xσ , respectivamente, será:

1 2 1 2

1 2x x x x−= − = −µ µ µ µ µ

1 2 1 2

2 2

2 2

1

2

1

2

2

2

1

1

2

2x x x x

N N N N−= + = + = +

σ σ σ

σ σ σ σ



54

EXERCÍCIOS

1) Vamos supor que existam 6 estudantes. O primeiro tem R$ 1,00, o segundo tem R$ 2,00, ........,

até o sexto que tem R$ 6,00. a) Calcular a média e o desvio padrão dos dados b) Escolher todas as amostras possíveis de tamanho 2 (N=2), determinando quantas

são, quais são e qual a probabilidade de ocorrência de cada uma delas. c) Calcular a média de cada uma dessas amostras. d) Com os dados do item c (média das amostras) faça uma tabela de freqüência e

calcule a média e o desvio padrão dos dados. e) Ao final, comprove a validade do uso das fórmulas da Distribuição Amostral de

Médias.

2) Certas válvulas fabricadas por uma Companhia têm vida media de 800 horas com desvio padrão

de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 válvulas, retiradas do grupo, ter a vida media entre 790 e 810 horas.

3) Os pesos de 1500 rolamentos são normalmente distribuídos com média de 22,4 e desvio padrão

de 0,48. Se são extraídas amostras aleatórias de 36 elementos dessa população, determinar a probabilidade de uma amostra aleatória ter peso:

a) Entre 22,39 e 22,41. b) Maior que 22,42.

4) Se a vida média de operação de um flash é de 24 horas, com distribuição normal e desvio padrão

de 3 horas, qual é a probabilidade de uma amostra aleatória de 100 flashes apresentar vida média que difira por mais de 30 minutos da média.

5) Com os mesmos dados do exercício número 1, faça todas as amostra possíveis de tamanho 3

(N=3), calcule a média de cada uma dessas trincas, disponha os dados em uma tabela de freqüência, calcule a média e o desvio padrão desta tabela e confirme, uma vez mais, a validade das fórmulas da Distribuição Amostral de Médias.

6) Faça o mesmo exercício acima, para o caso de amostra de tamanho 4 (N=4).

7) Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por uma certa máquina são defeituosas. Qual é a

probabilidade de, em uma amostra de 400 dessas ferramentas, revelarem-se defeituosas: a) 3% ou mais. b) 2% ou menos. c) Exatamente 2% (pergunta feita por um aluno em sala de aula).



55

8) Sabe-se que 70% das pessoas que entram em um Centro Comercial realizam pelo menos uma

compra. Para uma amostra de 50 pessoas, determinar a probabilidade de que no mínimo 40 pessoas façam pelo menos uma compra.

9) Se vamos extrair amostra de 100 observações, de uma população muito grande em que a

proporção populacional é de 20%, que percentagem de proporções amostrais poderemos esperar nos intervalos:

a) De 16% a 24%, inclusive. b) Maiores ou iguais que 24%. c) De 12% a 28%, inclusive.

10) Cerca de 10% dos armazéns em uma certa região oferecem cupons de crédito a seus clientes.

Determinar a probabilidade de numa amostra aleatória de 100 armazéns: a) Entre 6% e 16%, inclusive, oferecerem cupons b) 18% ou mais oferecerem cupons

11) Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 120 lances de uma moeda honesta, ocorrerem

caras entre 40% e 60%, inclusive.

12) Cada pessoa de um grupo de 500 pessoas lança uma moeda honesta 120 vezes. Quantas pessoas

seriam de se esperar que relatassem ter obtido caras entre 40% e 60%, inclusive.

13) Um fabricante despacha lotes de 100 lâmpadas elétricas cada um. Se 5% das lâmpadas são

defeituosas, determinar a probabilidade de encontrarmos: a) 90 ou menos lâmpadas boas b) 98 ou mais lâmpadas boas

14) Numa determinada região o nascimento de crianças do sexo feminino tem probabilidade de 0,53.

Numa amostra aleatória de 245 crianças nascidas, determinar a probabilidade de que 45% ou menos dessas crianças sejam do sexo masculino.

15) Seja A uma variável que representa qualquer um dos elementos da população { 3, 7, 8 } e B a

que representa qualquer um dos elementos da população { 2, 4 }. Calcular: a) A média de A e a média de B b) A média de (A – B) c) O desvio padrão de A e o desvio padrão de B d) O desvio padrão de (A – B)



56

16) Um processo de encher garrafas dá em media 10% de garrafas mal cheias. Extraída uma amostra

de 225 garrafas, de uma seqüência de produção de 625 garrafas, determinar a probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal cheias esteja entre 9% e 11%, inclusive.

17) Com os dados do exercício número 13, calcular:

a) A média de (A + B) b) O desvio padrão de (A + B)

18) As medidas de um lote de peças de precisão são normalmente distribuídas com média de 5,38

polegadas e desvio padrão de 0,9 polegadas. Se forem extraídas amostras de 45 elementos dessa população, determinar a probabilidade de uma amostra aleatória ter medida:

a) Entre 5,3 e 5,7 polegadas. b) Menor que 5, 2189 polegadas.

19) 400 mancais acusam peso médio de 5,38 com desvio padrão de 0,42. Determinar a probabilidade

de, numa amostra aleatória de 120 mancais, extraídos do grupo, encontrarmos mancais com peso médio:

a) Entre 5,33 e 5,45. b) Maior que 5,41.

20) Os pesos de certos mancais têm distribuição normal com média de 22,46 e desvio padrão de

0,048. Extraindo-se desta população amostra de tamanho 36, determinar a probabilidade de encontrarmos mancais:

a) Com peso médio entre 22,44 e 22,47. b) Com peso médio acima de 22,48.

21) Um auditor toma uma amostra aleatória de 36 contas de uma população de 1000 contas a receber.

O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da amostra é R$ 43,00. Se o verdadeiro valor da média da população de contas a receber é de R$ 260,00, determinar a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a R$ 250,00

22) Uma central de estabelecimentos comerciais informa que as vendas médias mensais de seus

filiados importam em $ 12.500, com um desvio padrão de $ 2.000. Para uma amostra de 48 desses estabelecimentos filiados, determinar a probabilidade de encontrarmos estabelecimentos com vendas médias entre $ 11.994,82 e $ 13.005,12.

23) A média de duas distâncias são 27,3m e 15,6m, com desvios padrões de 0,16m e 0,08m,

respectivamente. Determinar a média e o desvio padrão da: a) Distribuição Amostral da Soma das Distâncias b) Distribuição Amostral da Diferença das Distâncias



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24) O valor médio das vendas de um determinado produto durante o último ano foi de $ 3.400 por

varejista que trabalha com o produto. O desvio padrão populacional é de $ 200. Tomada uma amostra aleatória de 25 varejistas, determinar a probabilidade de que a média amostral;

a) Seja maior do que $ 3.500; b) Esteja entre $3.350 e $ 3.450

25) As baterias produzidas pela firma CBA têm duração média de 14.000 horas, com desvio padrão

de 2.000 horas. As baterias produzidas pela firma FED têm duração média de 16.000 horas, com desvio padrão de 2.500 horas. Se forem tomadas amostras aleatórias de 3.500 baterias de cada fabricante, determinar a probabilidade das baterias do fabricante FED terem vida média maior do que as baterias do fabricante CBA, em:

a) Pelo menos 2.100 horas; b) No máximo 1.890 horas.

26) O escore médio dos estudantes, em um teste de aptidão, é de 72 pontos, com desvio padrão de 8

pontos. Qual é a probabilidade de dois grupos de estudantes, constituídos de 28 e 36 estudantes, respectivamente, terem seus escores médios divergentes de:

a) 3 ou mais pontos; b) 6 ou mais pontos; c) Entre 2 e 5 pontos, inclusive.

27) As firmas A e B fabricam dois tipos de cabos que têm tensões médias de ruptura de 2.000 e

2.250 kg, com desvios padrões de 150 e 100 kg, respectivamente. Se 100 cabos da marca A e 50 cabos da marca B forem testados, qual é a probabilidade da tensão média de ruptura de B ser:

a) Pelo menos 300 kg maior do que a de A; b) Pelo menos 225 kg maior do que a de A.

28) A voltagem média de uma bateria é de 15 volts e o desvio padrão de 0,2 volts. Qual é a

probabilidade de 4 dessas baterias, ligadas em série, apresentarem uma voltagem total de 60,8 ou mais volts.

29) As lâmpadas do fabricante A têm duração média de 1.400 horas, com um desvio padrão de 200

horas. As lâmpadas elétricas de outro fabricante B, têm duração média de 1.200 horas com desvio padrão de 100 horas. Se forem ensaiadas amostras aleatórias de 125 lâmpadas de cada marca, qual a probabilidade das lâmpadas de marca A terem vida média maior do que as lâmpadas de marca B, de pelo menos:

a) 160 horas b) 250 horas



58

30) Certo tipo de lâmpada elétrica tem vida média de 1.500 horas, com desvio padrão de 150 horas.

Três lâmpadas são instaladas de modo que, quando uma se queima, outra começa a funcionar. Admitindo-se que as vidas médias são normalmente distribuídas, qual é a probabilidade da iluminação estar assegurada durante:

a) Pelo menos 5.000 horas; b) No máximo 4.200 horas.

31) Numa cidade, as estatísticas mostram que o nascimento de meninos tem probabilidade igual a

0,47. Numa amostra aleatória de 250 crianças nascidas, determinar a probabilidade de que 45% ou mais sejam meninas.

32) Uma amostra aleatória de 50 famílias de uma comunidade A, apresenta uma renda média familiar

de $13.800 com um desvio padrão de $ 2.200. Uma amostra aleatória de 50 famílias de uma comunidade B, apresenta uma renda média familiar de $ 14.800 com um desvio padrão de $ 2.800. Determinar a probabilidade da renda média das famílias da comunidade B ser maior que a renda média das famílias da comunidade A, em:

a) Pelo menos $ 600, b) No máximo $ 1.800,

33) Para uma amostra aleatória de 100 domicílios, em uma grande área metropolitana, o número de

domicílios nos quais ao menos um adulto se encontra atualmente desempregado, é de 12 domicílios. Determinar a probabilidade de encontrarmos amostras aleatórias onde a proporção de domicílios nos quais existe ao menos um adulto desempregado:

a) Seja maior ou igual a 7%; b) Esteja compreendido entre 15% e 19%, inclusive.

34) Uma central de distribuidores de bebidas informa que suas vendas médias mensais são da ordem

de $ 35.550, com um desvio padrão de $ 3.400. Amostrados, aleatoriamente, 53 desses estabelecimentos, determinar a probabilidade de encontrarmos vendas mensais no intervalo de $ 34.400 a $ 36.000.

35) Um analista financeiro toma uma amostra aleatória de 10% de um total de 300 contas a receber e

encontra um saldo médio de R$ 148,50, com um desvio padrão de R$ 35,75. Determinar a probabilidade deste analista encontrar saldos médios de contas a receber maiores ou iguais a R$ 138,00



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36) A média dos salários semanais para uma amostra aleatória de 30 empregados em uma grande

firma é de R$ 180,00, com um desvio padrão de R$ 14,00. Em uma outra grande empresa, uma amostra aleatória de 40 empregados, apresentou um salário médio semanal de R$ 170,00, com um desvio padrão de R$ 10,00. Determinar a probabilidade dos empregados da primeira firma terem salários semanais maiores que os da segunda firma em pelo menos R$ 15,00.

37) Suponha que uma pesquisa recente tenha revelado que 60% de uma população de adultos do

sexo masculino consista de não fumantes. Tomada uma amostra aleatória de 600 adultos do sexo masculino, determinar a probabilidade de encontrarmos:

a) Entre 336 e 384, inclusive, de não fumantes; b) 360, ou mais, de não fumantes.

38) Uma amostra aleatória de 900 cidadãos de uma comunidade, mostrou que 400 deles desejavam

fluoração da água de abastecimento público. Determinar a probabilidade de encontrarmos amostras aleatórias onde a proporção favorável à fluoração:

a) Seja maior ou igual a 42%; b) Esteja entre 43% e 47%, inclusive.

39) Para um particular produto, a média de vendas por estabelecimento no último ano, em uma

amostra de 10 deles, foi de $ 3.425,00, com um desvio padrão de $ 200,00. Para um segundo produto, a média de vendas por estabelecimento no último ano, em uma amostra de 12 deles, foi de $ 3.250,00, com um desvio padrão de $ 175,00. Determinar a probabilidade da média de vendas do primeiro produto ser maior que a média de vendas do segundo:

a) Em pelo menos $ 16,35; b) Em no máximo $ 150,00

40) Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes. Os copos são embrulhados

individualmente. Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para determinar a proporção de copos quebrados ou lascados. Se um grande lote contém 10% de copos quebrados ou lascados, determinar a probabilidade do varejista obter uma amostra de 100 copos com 17% ou mais de defeituosos.

41) Enquanto a KATONA LTDA. fabrica seus pneus com uma vida média de 42.000 km e desvio

padrão de 6.000 km, a DRABOL PNEUS LTDA. fabrica os seus pneus com uma vida média de 36.000 km e desvio padrão de 3.000 km. Se a Ferrari deseja testar 150 pneus de cada uma das marcas, qual a probabilidade de que a vida média dos pneus da KATONA sejam maiores que a vida média dos pneus da DRABOL:

a) Em pelo menos 5.000 km; b) Em no máximo 7.000 km.



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Respostas dos Exercícios

1) a) Média = 3,5, Desvio padrão = 1,7078

b) 15 amostras; 1,2; 1,3; ...; 5,6; 1/15

c {1,5; 2,0; ....... ; 5,5}

d) Média = 3,5, Desvio padrão = 1,0801

e) Usar fórmulas de Distr Amostral Médias

2) 0,4972

3) a) 0,1034

b) 0,4013

4) 0,0950

5) Seque o modelo do exercício 1

6) Seque o modelo dos exercícios 1 e 5

7) a) 0,1056

b) 0,5714

c) 0,1410 por Binomial

0,1428 por Amostral Proporções

8) 0,0823

9) a) 0,7416

b) 0,1894

c) 0,9668 25) a) 0,0322

10) a) 0,9182 b) 0,0212

b) 0,0062 26) a) 0,0681

11) 0,9774 b) 0,0014

12) 489 c) 0,1545

13) a) 0,0197 27) a) 0,0078

b) 0,1251 b) 0,8869

14) 0,2877 28) 0,0228

15) a) 6 29) a) 0,9772

b) 3 b) 0,0062

c) 3 30) a) 0,0274

d) 2,1602 b) 0,1251

e) 1 31) 0,9952

f) 2,3804 32) a) 0,7852

16) 0,5528 b) 0,9441

17) a) 9 33) a) 0,9545

b) 2,3804 b) 0,2102

18) a) 0,7170 34) 0,8246

b) 0,1151 35) 0,9545

19) a) 0,9260 36) 0,0485

b) 0,1762 37) a) 0,9586

20) a) 0,8882 b) 0,5160

b) 0,0062 38) a) 0,9332

21) 0,0778 b) 0,7577

22) 0,9198 39) a) 0,9750

23) a) 42,9 e 0,1789 b) 0,3783

b) 11,7 e 0,1789 40) 0,0150

24) a) 0,0062 41) a) 0,9656

b) 0,7888 b) 0,9656



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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Em uma fábrica, onde se engarrafam refrigerantes, utiliza-se uma máquina para encher as garrafas.

Os conteúdos das garrafas devem, a princípio, se de 300 mililitros. Na realidade, eles variam segundo uma distribuição normal com média igual a 298 mililitros e um desvio padrão de 3 mililitros. Se uma amostra aleatória de 36 garrafas é escolhida do estoque da fábrica, determinar a probabilidade de encontrarmos conteúdos médios maiores que 297,3 mililitros.

2) O gerente do setor de poupança de um banco afirmou que 40% dos depositantes têm contas

múltiplas no banco. Se for escolhida uma amostra aleatória de 200 depositantes deste banco, determinar a probabilidade de que a proporção da amostra de depositantes com contas múltiplas esteja entre 42% e 47%.

3) O órgão de defesa do consumidor de uma cidade informa que de todas as reclamações recebidas,

30% se referem a problemas com linhas telefônicas. Se forem amostrados, aleatoriamente, 150 dessas reclamações, determinar a probabilidade de que pelo menos 35% delas sejam referente a problemas com linhas telefônicas.

4) Os valores depositados em uma agência bancária possuem média de $ 7.012 u.m. e desvio padrão

de $ 532 u.m.. Se uma amostra de 35 depósitos é selecionada aleatoriamente nesta agência, determinar a probabilidade de que a média amostral exceda $ 6.911 u.m.

5) A Cactus resolveu lançar no mercado “o refrigerante do deserto” que, segundo a empresa, mata

qualquer sede. Uma pesquisa indica que 20% dos entrevistados manifestaram interesse no produto. Como a empresa somente irá lançar o produto no mercado se mais de 25% das pessoas manifestarem interesse no produto, determinar a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 500 consumidores, a proporção de interessados no produto seja maior ou igual a 25%.

6) Um processo industrial gera 8% de peças defeituosas. Determinar a probabilidade de que, em uma

amostra aleatória de 100 dessas peças, 10% ou menos sejam defeituosas. 7) A duração das chamadas recebidas numa central telefônica de uma determinada empresa tem

distribuição normal com média de 17 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Determinar a probabilidade de numa amostra aleatória de 100 chamadas, a duração média se situar entre 16 e 18 minutos.



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8) De uma população normal com média 80 e desvio padrão 4, recolheu-se uma amostra aleatória de

tamanho 100. Qual a probabilidade da média da amostra diferir da média da população por mais de 0,5.

9) Seja X uma distribuição normal com média 20 e desvio padrão 5. Calcule o tamanho da amostra

de modo que seja igual a 90% a probabilidade da média amostral se situar entre 18 e 22. 10) Sabe-se que a idade de determinada camada do subsolo segue uma distribuição normal com

média 0,5 milhões de anos e desvio padrão de 20.000 anos. Selecionados ao acaso 10 amostras de subsolo, calcule a probabilidade da média amostral das suas idades ser superior a 490.000 anos.

Respostas:

1) 0,9192 2) 0,2902 3) 0,1056 4) 0,8686 5) 0,0031 6) 0,8212 7) 0,9554 8) 0,2112 9) 17 10) 0,9429

Universidade Católica de Petrópolis Material Didático de Apoio – Estatística Econômica e Introdução à Econometria. Versão Janeiro-2010


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ESTIMAÇÃO

É o processo que consiste em se utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos. Desta forma poderemos, através dos dados coletados de uma amostra aleatória, fazer conclusões ou inferências sobre um grupo maior (população).

Exemplos:

1) Fábricas estimam continuamente a percentagem de pecas defeituosas em determinados lotes

2) Lojas estimam a procura pôr seus diversos artigos

ESTIMATIVA PONTUAL

Estimativa única de um parâmetro populacional. Na estimativa pontual apenas dizemos que um parâmetro populacional será exatamente igual a um determinado dado amostral encontrado.

Exemplo: Usar a média amostral como estimativa da média populacional

ESTIMATIVA INTERVALAR

É um intervalo de valores possíveis no qual se admite esteja o parâmetro populacional. Na estimativa intervalar criamos um intervalo de valores para que possamos, dentro de determinados critérios que iremos estudar, admitir que naquele intervalo estará o parâmetro populacional.

Exemplo: Dizer que, em relação a média amostral, o consumo médio de carne num determinado pais, está entre 14 e 23 quilos por pessoa/ano.

FUNDAMENTOS DA ESTIMAÇÃO

A capacidade de estimar parâmetros populacionais, por meio de dados amostrais, está ligada diretamente ao conhecimento, que precisamos ter, da distribuição amostral da estatística que está sendo usada como estimativa ( médias, proporções, número de ocorrências, etc.).

Podemos encarar a estatística amostral como uma observação daquela distribuição

amostral Suponha, por exemplo, que tenhamos extraído uma amostra, dentro de uma

Universidade, de alunos graduados, e verificado a idade média do grupo como 24,2 anos.



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Sabemos que este é um dos valores da distribuição amostral, mas a questão é : qual

deles, ou seja, a que proximidade está 24,2 anos da média da população ?

Como não podemos, com certeza, dizer de que lado da média amostral dos dados

coletados está a verdadeira média da população, construímos um intervalo de valores onde, com um determinado grau de certeza, acreditamos estar o parâmetro populacional. Este intervalo é chamado de Intervalo de Confiança.

a estatística amostral pode vir da cauda superior da distribuição amostral

ou da cauda inferior

Média = 24,2

Média = ????

Média = ????

Média = ????

Média = ????

Média = 24,2



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INTERVALO DE CONFIANÇA

É um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no qual julgamos com um risco conhecido de erro estar o parâmetro da população.

A forma do intervalo de confiança é dada por:

(média amostral) + - (z ou t) (desvio padrão da distribuição amostral)

OBS.: Os métodos de estimação por intervalo que estudaremos são baseados no

pressuposto de que possa ser usada a distribuição normal. Esta pressuposição é garantida sempre que N > 30 ou, sendo a população

normalmente distribuída e N < 30, o desvio padrão da população seja conhecido. Se a amostra é pequena (N < 30), a população normalmente distribuída, mas o desvio

padrão da população é desconhecido, usaremos a Distribuição t de Student (Teoria das Pequenas Amostras).

DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT (DISTRIBUIÇÃO t)

Quando o desvio padrão da população não é conhecido, o que geralmente acontece, usamos o desvio padrão da amostra como estimativa, substituindo-se σ por s nas equações para intervalos de confiança.

Isto pode ser feito pois o desvio padrão amostral oferece uma aproximação bastante razoável do verdadeiro valor e quando o tamanho da amostra é superior a 30 podemos usar a Distribuição Normal.

Entretanto, para amostras menores que 30 a aproximação normal não é adequada.

Devemos, então, usar a Distribuição t de Student que é a distribuição adequada quando não conhecemos o desvio padrão da população.

Para usar uma tabela da Distribuição t de Student devemos conhecer duas coisas:

1) o nível de confiança desejado 2) o número de graus de liberdade ( N - 1)



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EXERCÍCIOS

1) A Polícia Rodoviária fez recentemente uma pesquisa sobre as velocidades desenvolvidas na rodovia no período de 2 às 4 horas da madrugada. No período de observação 100 carros passaram por um aparelho de radar a uma velocidade média de 70 km/h, com um desvio padrão de 15 km/h. Construa um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira média da população.

2) Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento, um médico procurou estimar o tempo médio que gasta com cada paciente. Uma amostra aleatória de 49 pacientes acusou uma média de 30 minutos com desvio padrão de 7 minutos. Construir um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro tempo médio da consulta

3) A média e o desvio padrão dos diâmetros de uma amostra de 200 rebites fabricados por uma Cia são 0,7264 e 0,058 polegadas, respectivamente. Determinar um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro real médio de todos os rebites fabricados pela Cia.

4) Um censo dos estabelecimentos varejistas revelou que a reposição média anual do comércio de alimentos era de $ 12.500 unidades monetárias, com desvio padrão de $ 2000 unidades monetárias. Determinar, para uma amostra aleatória de 48 estabelecimentos, um intervalo de confiança de 92%.

5) Extrai-se uma amostra aleatória de 48 observações de uma população normal com média e variância desconhecidas. A média e a variância da amostra são, respectivamente, 114,2 e 31,28. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média da população.

6) Uma amostra aleatória de 40 homens, trabalhando num grande projeto de construção, revelou que 6 não estavam usando capacete protetor. Construir um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira proporção dos trabalhadores que não estão usando capacete protetor.

7) De 48 pessoas escolhidas aleatoriamente de uma longa fila na saída de um cinema, 25% delas acharam que o filme continha demasiada violência. Construir um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira proporção dos que acharam que o filme continha muita violência, se o número de pessoas que se encontravam na fila de saída era de 100 pessoas.

8) Um grupo de pesquisa constatou que 25% dos 200 clientes recentemente entrevistados num grande Shopping Center residem a mais de 15 milhas do local. Supondo que foi tomada uma amostra aleatória, construir um intervalo de confiança de 95% para a percentagem efetiva dos clientes que moram a mais de 15 milhas do Shopping

9) Uma amostra aleatória de 400 domicílios indica que 30% deles são casa de aluguel. Determinar o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção das casas de aluguel.

10) Num estudo sobre o sexo das crianças nascidas de mães que tinham tomado pílula durante um espaço de tempo de pelo menos 2 anos antes do nascimento da criança, concluiu-se que de um total de 170 mães, nessas circunstâncias, a proporção de crianças do sexo masculino nascida nesse grupo foi de 34%. Determinar um intervalo de confiança de 90% para a percentagem efetiva das crianças do sexo masculino nascidas no grupo.



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11) A vida média de operação para uma amostra de 10 lâmpadas é de 4000 horas com desvio

padrão de 200 horas. Supõe-se que o tempo de operação das lâmpadas tenha distribuição normal. Estimar um intervalo de confiança de 95% para a média populacional de operação das lâmpadas.

12) Uma amostra de 20 cigarros de certa marca foi testada quanto ao conteúdo de nicotina sendo encontrada uma média de 22 miligramas com desvio padrão de 4 miligramas. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira media do conteúdo de nicotina nos cigarros.

13) Um encarregado de compras de um supermercado toma uma amostra aleatória de 12 latas de conserva e encontra um peso médio de 160 gramas com um desvio padrão de 1,4337 gramas. Os pesos das latas de conserva encontram-se normalmente distribuídos. Determinar os limites de confiança de 95% para o verdadeiro peso das latas de conserva.

14) Uma firma emprega 200 vendedores. Numa amostra aleatória das notas de despesas de 25 vendedores, numa semana qualquer de trabalho, um auditor constatou uma despesa média de R$ 220,00, com um desvio padrão de R$ 20,00. Construir um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira quantia média dos gastos dos vendedores.

15) Um analista de mercados obtém dados de uma amostra de 100 consumidores, de um total

de 400, que adquiriram uma oferta especial. As 100 pessoas gastaram na loja uma média de R$ 24,57 com um desvio padrão de R$ 6,60. Usando um intervalo de confiança de 95%, estimar o valor médio de compras para todos os 400 clientes.

16) Como encarregado de compras de um supermercado, suponha que você toma uma amostra aleatória de 12 latas n.º 303 de vagens em conserva de um setor de enlatados. O peso líquido de cada lata de vagens está apresentado na tabela abaixo. Determinar: a) O peso líquido médio das vagens enlatadas em cada lata desta amostra. b) O desvio padrão da amostra c) Supondo que o peso líquido médio por lata seja normalmente distribuído, estimar o peso

médio das vagens enlatadas usando um intervalo de confiança de f95%.

Peso por lata 157 158 159 160 161 162 Nº. de latas 1 2 2 3 3 1

17) Um administrador de uma universidade coleta dados sobre uma amostra aleatória de âmbito nacional de 230 alunos de cursos de Administração de Empresas e encontra que 54 de tais estudantes têm diplomas de Técnico de Contabilidade. Usando um intervalo de confiança de 90%, estimar a proporção nacional de estudante que possuem diplomas de Técnico de Contabilidade.

18) A fim de calcular a proporção de donas de casa que experimentaram um novo detergente,

entrevistou-se uma amostra aleatória de 196 donas de casa. Se 108 delas experimentaram o detergente, construir um intervalo de confiança de 99% para a verdadeira proporção da população que experimentou o novo detergente.



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19) Tendo em mente estimar a proporção de alunos de determinado ’’campus’’ universitário que eram favoráveis à extinção dos centros acadêmicos, um pesquisador social entrevistou uma amostra aleatória de 50 estudantes e descobriu que 57% eram, de fato, favoráveis à extinção dos centros acadêmicos. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção dos estudantes do ’’campus’’ favoráveis à extinção dos centros acadêmicos.

20) Para cada um dos itens abaixo, dão-se o total das amostras de uma lista de observações,

sua média e desvio padrão. Calcular intervalos de confiança de 95% e de 99% para o valor desconhecido da média de cada uma das distribuições.

a) Total Média Desvio padrão

523,114 52,3114 8,813

b)

Total Média Desvio padrão 4.528,186 283,012 8,386

21) Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com uma amostra de 100 homens em

uma grande comunidade e verifica que uma proporção de 0,40 na amostra prefere lâminas de barbear fabricadas por seu cliente, em vez de qualquer outra marca. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a proporção de todos os homens da comunidade que preferem lâminas de barbear do cliente daquela empresa de pesquisa.

22) A vida média de operação para uma amostra de 10 lâmpadas é de 4.000 horas com um

desvio padrão de 200 horas. Supõe-se que o tempo de operação das lâmpadas em geral tenha uma distribuição aproximadamente normal. Estimar a vida média de operação para a população de lâmpadas da qual foi extraída a amostra, usando um intervalo de confiança de 95%.

23) A média e o desvio padrão dos diâmetros de uma amostra de 200 rebites, fabricados por

uma companhia, são 0,7264 e 0,58 polegadas, respectivamente. Determinar um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio de todos os rebites fabricados por esta companhia.

24) Suponha que as alturas dos alunos de uma escola secundária tenham distribuição normal

com desvio padrão de 28 cm. Construir um intervalo de confiança de 96% para a verdadeira média das alturas dos estudantes, se numa amostra aleatória de 80 estudantes, encontramos uma média de 173 cm.

25) Uma central de distribuição de bebidas informa que suas vendas médias mensais são da

ordem de $ 35.550, com um desvio padrão de $ 3.400. Amostrados aleatoriamente 53 desses estabelecimentos, determinar a probabilidade de encontrarmos vendas médias no intervalo de $ 34.400 a $ 36.000.



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26) O diâmetro médio de uma amostra de 100 bastões, incluídos em um carregamento, é de 2,350 mm, com um desvio padrão de 0,050 mm. Estimar o diâmetro médio de todos os bastões incluídos no carregamento, usando um intervalo de confiança de 99%, dado que o carregamento contém 500 bastões.

27) Suponha que se deseja estimar a média do valor de vendas de 25 estabelecimentos

varejistas, durante o último ano, de um determinado produto. O número de estabelecimentos varejista é bastante grande. Determinar um intervalo de confiança de 95%, sabendo-se que os valores são normalmente distribuídos com média de $ 3.425 e desvio padrão de $ 200.

28) O valor de face dos títulos depositados em um banco para cobrança simples tem distribuição

normal com variância de 400 u.m.2. Uma amostra aleatória de 10 títulos forneceu os seguintes valores de face: 80, 120, 71, 120, 140, 200, 180, 70, 45 e 87. Determinar um intervalo de confiança de 90% para o verdadeiro valor médio dos títulos em carteira.

29) Entre 500 pessoas pesquisadas a respeito de suas preferência eleitorais, 260 mostraram-se

favoráveis ao candidato B. Construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção dos eleitores favoráveis ao candidato B.

30) O gerente de uma agência bancária deseja estimar o saldo médio das contas de seus 340

clientes. Para tanto uma amostra de 80 clientes é selecionada aleatoriamente e apresenta um saldo médio de $ 3.500 um com desvio padrão de $ 850 um. Determinar um intervalo de confiança de 98,5% para o verdadeiro saldo médio de todas as contas da agência.

31) Para estimar o gasto médio dos fregueses do McDonald’s, os estudantes do curso de

estatística selecionaram uma amostra aleatória de 100 fregueses e encontraram uma média de gasto de $ 12,80 com um desvio padrão de $ 1,10. Determinar um intervalo de confiança de 97% para o verdadeiro valor médio dos gastos de todos os fregueses.

32) Com a finalidade de levantar a proporção de alunos de uma escola com 300 alunos, cujos

pais recebem mais do que 10 salários mínimos, foi amostrado, aleatoriamente, um grupo de 40 alunos que informaram o rendimentos dos pais. O resultado obtido foi uma proporção de 36% daqueles que recebem mais do que 10 salários mínimos. Construir um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira proporção dos pais com rendimento superior a 10 salários mínimos.



70

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1 66,5050 a 73,4950

2 28,04 a 31,96

3 0,7184 a 0,7344

4 11.994,82 a 13.005,18

5 112,6177 a 115,7823

6 0,0184 a 0,2816

7 0,1445 a 0,3555

8 0,19 a 0,31

9 0,2551 a 0,3449

10 0,2801 a 0,3999

11 3.857,0649 a 4.142, 9351

12 20,1307 a 23,8693

13 159,0894 a 160,9106

14 209,50 a 230,50

15 23,45 a 25,69

16 a 159,6667

b 1,4337

c 158,76 a 160,58

17 0,1888 a 0,2808

18 0,4598 a 0,6422

19 0,4328 a 0,7072

20 a 46,0130 a 58,6098

43,2540 a 61,3688

b 278,5465 a 287,4775

276,8273 a 289,1967

21 0,3040 a 0,4960

22 3.857,0649 a 4.142, 9351

23 0,6460 a 0,8068

24 166,5825 a 179,4175

25 0,8246

26 2,3384 a 2,3616

27 3.342,60 a 3.507,40

28 100,93 a 121,67

29 0,4834 a 0,5566

30 3.297,76 a 3.702,24

31 12,56 a 13,04

32 0,2432 a 0,4768



71

TESTES DE HIPÓTESES E SIGNIFICÂNCIA

O teste de significância e a estimação são os dois ramos principais da inferência estatística.

Enquanto que o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional, o objetivo dos testes de significância é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é verdadeira.

A finalidade dos testes de significância é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros populacionais.

ETAPAS BÁSICAS DE UM TESTE DE SIGNIFICÂNCIA OU TESTE DE HIPÓTESES

1) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa

A hipótese nula (Ho) é o valor suposto do parâmetro. É uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal com especificado, isto é, a afirmação é verdadeira.

A hipótese alternativa (Ha) é aceita somente se a hipótese nula é rejeitada. É uma afirmação que oferece uma alternativa a alegação, isto é, o parâmetro é diferente, maior ou menor que o valor alegado.

2) Especificar o nível de significância a ser utilizado no teste

O nível de significância do teste é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada quando verdadeira.

É o padrão estatístico especificado para rejeitar a hipótese nula.

A isto chamamos ERRO TIPO I.

A probabilidade do ERRO TIPO I é sempre igual ao nível de significância utilizado como padrão para rejeitar a hipótese nula, sendo representado por α (alfa).

3) Selecionar a estatística de teste e identificar a distribuição amostral adequada

Estatística teste a ser utilizada - z ou t

Distribuição Amostral adequada - médias, proporções, número de ocorrências, etc.

4) Estabelecer o valor critico ou valores críticos da estatística teste.

5) Determinar o valor real da estatística teste

6) Tomar a decisão



72

CONSEQÜÊNCIAS DA TOMADA DE DECISÃO EM TESTES DE HIPÓTESES.

DECISÕES

ESTADOS

POSSÍVEIS

POSSÍVEIS

Ho VERDADEIRA

Ho FALSA

ACEITAR

Ho

DECISÃO CORRETA

ERRO TIPO II

β

REJEITAR

Ho

ERRO TIPO I

α

DECISÃO CORRETA



73

TESTES BILATERAIS

0 0H : µ µ=

aH : µ µ≠0

TESTES UNILATERAIS

0 0H : µ µ≥

a oH : µ µ⟨



74

0 0H : µ µ≤

a oH : µ µ⟩

OBS. - Sempre nas regiões hachuradas rejeitamos Ho.

Estatística Teste

teste

m ed ia am ostra l m ed ia a legada

desvio padrao da d istr am ostra lz =

−( ) ( )

( )

te ste

m ed ia a m o stra l m ed ia a leg a d a

d esv io p a d ra o d a d istr a m o stra lt =

−( ) ( )

( . )



75

ERRO DO TIPO I E DO TIPO II Se uma hipótese for rejeitada quando deveria ser aceita, diz-se que foi cometido um erro do Tipo I. Se por outro lado, for aceita uma hipótese que deveria ser rejeitada, diz-se que foi cometido um erro do Tipo II. Em ambos os casos, ocorreram uma decisão errada ou um erro de julgamento. Para que quaisquer testes de hipóteses ou regras de decisão sejam bons, eles devem ser planejados de modo que os erros de decisão sejam reduzidos ao mínimo. Isso não é tarefa simples, porquanto para um dado tamanho de amostra, a tentativa de diminuir um certo tipo de erro ( erro do Tipo I ou erro do Tipo II) é acompanhada, em geral, pelo acréscimo do outro tipo (erro do Tipo I ou erro do Tipo II). Na prática, um tipo de erro pode ser mais importante do que outro, de modo que se deve procurar uma acomodação que favoreça a limitação do erro mais sério. O único caminho para a redução de ambos os tipos de erros consiste em aumentar o tamanho da amostra, o que pode ou não ser possível.

DISTRIBUIÇÃO QUI QUADRADO.

O teste do qui-quadrado é o mais popular teste não-paramétrico de significância utilizado em pesquisa. É usado na comparação ente duas ou mais amostras. OBSERVAÇÕES: 1) Teste não-paramétrico é aquele cuja lista de requisitos não inclui normalidade de

distribuição ou nível intervalar de mensuração; 2) Aqui devemos fazer menção ao termo “comparação” já que ele pressupõe “maior que”,

“menor que” ou “igual a”. O que o teste qui-quadrado geralmente permite fazer é um estudo relacional entre variáveis, ou seja, a determinação do tipo de relação existente entre elas: independência ou dependência.

À semelhança do que ocorreu com a estatística t, existe uma distribuição amostral de qui-quadrado que pode ser usada para estimar a probabilidade da obtenção de um valor significante (de qui-quadrado) por mero acaso e não porque na população matriz existem reais diferenças entre as variáveis estudadas. Porém, ao contrário do que ocorre com os testes de significância, o qui-quadrado é empregado para fazer comparações entre freqüências e não entre escores médios. Como resultado, a hipótese nula para o teste de Qui-quadrado estabelece que as populações não diferem relativamente à freqüência com que ocorre uma característica particular; por outro lado, a hipótese alternativa estabelece que as diferenças amostrais refletem diferenças reais na população matriz – a partir da freqüência relativa de uma dada característica.



76

Para ilustrar o uso do qui-quadrado com dados freqüênciais (ou com proporções que possam ser reduzidas a freqüências), imagine-se que, ainda uma vez, tenhamos sido chamados a investigar a relação entre “orientação política” e “permissividade na educação de crianças”. Em vez de dar notas, isto é, atribuir escores, a liberais e conservadores em termos de seu grau de permissividade, podemos categorizar nossos sujeitos amostrais numa base estritamente do tipo “ou.....ou.....”, em outras palavras, o problema é decidir quais são permissivos e quais são não-permissivos. Portanto teríamos:

Hipótese nula: a freqüência relativa de liberais permissivos é igual a freqüência relativa de

conservadores permissivos. Hipótese alternativa: a freqüência relativa de liberais permissivos é diferente da freqüência

relativa de conservadores permissivos.

CALCULO DO QUI-QUADRADO O teste de significância denominado qui-quadrado ocupa-se essencialmente com a distinção entre freqüência esperadas e freqüências obtidas (observadas). As freqüências esperadas (fe) referem-se aos termos da hipótese nula, de acordo com os quais se espera que freqüência relativa (ou proporção) seja a mesma para todos os grupos. Por exemplo, se a expectativa de que os liberais sejam permissivos é de 50%, então ela também corresponde a 50% para os conservadores.

Em contraposição, as freqüências observadas (fo) referem-se aos resultados obtidos de forma efetiva no momento da coleta de dados, donde decorre que, de um grupo para outro, elas podem – ou não – variar. No caso de as diferenças entre as freqüências obtidas e as esperadas serem suficientemente grandes é que rejeitamos a hipótese nula e decidimos pela afirmação de que existe uma diferença real na população.

Continuando com nosso exemplo, suponha-se que extraíssemos uma amostra aleatória de 20 liberais e outra amostra, também aleatória, de 20 conservadores. Em seguida esses 40 sujeitos poderiam ser dicotomizados em “permissivos” e “não-permissivos”, relativamente à variável observacional “método de educar crianças”. A tabela abaixo apresenta as freqüências observadas resultante da referida amostra.

Orientação Política

Liberais Conservadores

Métodos de Educação de

Crianças. (fo) (fo)

Permissivo 5 10

Não-permissivo 15 10

Total 20 20

Os dados da tabela indicam que “métodos permissivos” foram usados por 5 dos 20 liberais e por 10 dos 20 conservadores.



77

Esses dados podem ser retabelados num quadro do tipo 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas), no qual as freqüências observadas estão distribuídas em caselas. Freqüências observadas (fo)

Liberais

Conservadores

Totais

Permissivo

5

10

15

Não Permissivo

15

10

25

Totais

20

20

40

Em seguida, também usando uma tabela, calculamos o valor das freqüências esperadas em cada uma das caselas. O cálculo da freqüência esperada para uma determinada casela será feito através da multiplicação de seus respectivos totais marginais (de linha e de coluna), dividindo-se, em seguida, pelo total geral da tabela.

Assim, por exemplo, para a casela superior esquerda, teríamos:

Fazendo os cálculos para as demais caselas, encontramos a tabela das freqüências esperadas. Freqüências esperadas (fe)

Liberais

Conservadores

Totais

Permissivo

7,5

7,5

15

Não Permissivo

12,5

12,5

25

Totais

20

20

40

E os totais, de linhas e colunas, continuam os mesmos.

GeralTotal

ColunaTotalLinhaTotalf

e

)()(=

( ) ( )5,7

40

1520==f

e



78

De posse das freqüências observadas e das freqüências esperadas para o problema em estudo, o valor do Qui-quadrado pode ser calculado mediante a fórmula:

Para facilitar podemos efetuar os cálculos com o uso de uma tabela.

(fo) (fe) (fo-fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2/fe

5 7,5 -2,5 6,25 0,8333

10 7,5 -2,5 6,25 0,8333

15 12,5 2,5 6,25 0,5

10 12,5 2,5 6,25 0,5

Total = X2 2,6666

Para que possamos interpretar esse valor de qui-quadrado, fazendo uso da tabela correspondente, precisamos, ainda, determinar o número de graus de liberdade adequado. Essa determinação deve ser feita com o emprego da fórmula abaixo: gl = (l – 1) ( c – 1), onde:

gl = graus de liberdade

l = número de linhas na tabela de freqüências observadas

c = número de colunas na tabela de freqüências observadas No nosso caso, temos l = 2 e c = 2, resultando o número de graus de liberdade em:

gl = (2 – 1) ( 2 – 1)

gl = 1 Agora, com o auxílio de uma tabela de qui-quadrado, encontramos que para um nível de confiança de 5% e 1 grau de liberdade, o valor do qui-quadrado crítico é de 3,84. Os valores tabelados de qui-quadrado são geralmente chamados qui-quadrados críticos, sendo representado por:

( )∑

−=

f

ffX

e

eo

2

2

X c

2



79

Para que nossa hipótese nula possa ser rejeitada, e preciso que este valor crítico seja excedido ou, pelo menos, igualado pelo qui-quadrado observado. Como o valor do qui-quadrado que calculamos foi igual a 2,66, e menor que o valor crítico da tabela (para as condições estabelecidas), devemos aceitar a hipótese nula e rejeitar a hipótese alternativa. Sendo assim as freqüências observadas não se afastam das esperadas o suficiente para podermos explicar a diferença como resultado de real diferença populacional. Em outros termos, tal diferença (3,84 – 2,66) deve ser interpretada com resultante da ação do acaso. A comparação entre o Qui-quadrado observado (calculado) e o Qui-quadrado crítico (o retirado da tabela dentro das condições estabelecidas – graus de liberdade e nível de confiança) resultará na determinação do tipo de relação existente entre as variáveis estudadas.

Desta forma como temos neste exemplo a situação 1, e por isto a hipótese alternativa foi rejeitada. Isto eqüivale a dizer que, com certeza de 95% (nível de confiança de 5%) as variáveis “filiação política” e “permissividade na criação dos filhos” são variáveis independentes. Exemplo Para que possamos sedimentar o conceito do qui-quadrado e repetir passo a passo os procedimentos que efetuamos acima, vamos supor que quiséssemos estudar a relação entre “fumar” e “desejo de cursar o segundo grau”. As hipóteses poderiam ser: Hipótese nula (Ho): a relação entre “fumar” (x) e “fazer o segundo grau (Y) é de independência, isto é, X e Y são independentes. Hipótese alternativa (Ha): a relação entre X e Y é de dependência.

tesindependensãoiáveisasXXse covar

22)1 <

sdependentesãoiáveisasXXse covar

22)2 ≥



80

Para testar estas hipóteses, ao nível de significância de 5%, colhemos duas amostras de alunos de primeiro grau (preferencialmente das últimas séries). Uma dessas amostras é composta de 21 sujeitos cujo objetivo é “prosseguir os estudos” e outra, com 15 sujeitos cuja decisão é “parar os estudos após a conclusão do primeiro grau”. Após a realização da pesquisa com este grupo de 36 sujeitos, os dados estão abaixo tabelados.

Tenciona cursar o segundo grau

Sim Não

Fumar

(fo) (fo)

Sim 15 5 Não 6 10 Total 21 15

Passemos agora à solução do exercício, com a finalidade de descobrir o valor do Qui-quadrado observado.

Freqüências observadas (fo)

Sim

Não

Totais

Sim

15

5

20

Não

6

10

16

Totais

21

15

36

Freqüências esperadas (fe)

Sim

Não

Totais

Sim

11,67

8,33

20

Não

9,33

6,67

16

Totais

21

15

36



81

Para continuar fazemos uso da tabela de cálculos:

(fo) (fe) (fo-fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2/fe

15 1167 3,33 11,09 0,9503

5 8,33 -3,33 11,09 1,3313

6 9,33 -3,33 11,09 1,1886

10 6,67 3,33 11,09 1,6627

Total = X2 5,1329

gl = (2 – 1) ( 2 – 1)

gl = 1 O valor do Qui-quadrado crítico, dentro das condições estabelecidas (nível de confiança de 5% e graus de liberdade = 1), é igual a 3,84. Sendo assim, como:

E podemos rejeitar a hipótese nula e aceitar a hipótese alternativa. Nossos resultados sugerem que a proporção de fumantes é maior entre os alunos que pretendem cursar o segundo grau do que entre os que pretendem parar os estudos no primeiro grau.

sdependentesãoiáveisasXX covar

22≥



82

EXERCÍCIOS

1) Um auditor deseja testar a hipótese de que o valor médio de todas as contas a receber em

uma dada firma é de 260 u.m. , tomando para tanto uma amostra de 36 contas. Considerando-se que o desvio padrão da população é de 43 u.m. e usando um nível de significância de 5%, testar se devemos aceitar ou rejeitar a média populacional, dado que a média amostral das 36 contas é de 240 u. m.

2) O desvio padrão da vida útil de um tubo de televisão é de 500 horas, sendo a vida útil dos

tubos normalmente distribuída. O fabricante afirma que a vida útil média do tubo é de no mínimo de 9000 horas. Testar esta afirmação a um nível de significância de 5%, dado que a vida útil média em uma amostra de 15 tubos foi de 8800 horas.

3) Um fabricante alega que seus pneus suportam uma quilometragem de 40.000 milhas no

mínimo. Para uma amostra de 49 pneus foi encontrada uma média de 38.000 milhas. Sabendo-se que o desvio padrão populacional é de 3.500 milhas, determinar se podemos ou não aceitar a alegação do fabricante a um nível de significância de 5%.

4) Um fabricante de automóveis alega que seus carros quando equipados com certo tipo de

para choques, podem suportar um choque de frente, a uma velocidade de 100 km/h, com um custo de conserto de no máximo R$ 100,00. Uma amostra aleatória de 6 carros, examinada por um escritório independente, revelou um custo médio de reparo de R$ 150,00, com um desvio padrão de R$ 30,00. Admitindo-se que a distribuição dos custos seja normal, verificar se podemos rejeitar a afirmação do fabricante a um nível de significância de 1%.

5) Numa indústria de aventais a experiência mostrou que a produção média por hora eqüivale a

198 peças. Num dia, sorteado ao acaso, foram feitas as seguintes contagens, ao longo de 9 horas.

n.º de aventais 190 200 201 200 198 204 200 202 196 Hora 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª

Determinar se é possível afirmar, com um nível de significância de 5%, que a produção desse dia confirma a experiência.

6) Várias empresas de roupas esportivas estão tentando realizar vendas para pessoas

consideradas “jovens”. Uma pesquisa indica que a idade média dos consumidores é, de no mínimo, 34,4 anos. Se uma amostra aleatória de 1.000 clientes forneceu uma idade média de 33,2 anos com um desvio padrão de 9,4 anos, determinar se podemos aceitar o resultado da pesquisa a um nível de significância de 4%.

7) Uma amostra de 200 proprietários de carros numa grande cidade mostrou que 48 deles

tinham carteiras de habilitação já vencidas. A proporção de tais motoristas para os anos anteriores é de 0,30. Testar a proporção histórica ao nível de significância de 5%.



83

8) Uma moeda é jogada 40 vezes. Sabendo-se que ocorreram 28 caras, testar, a um nível de

significância de 10%, se essa moeda pode ser considerada honesta. 9) Em uma indústria a produção diária de um determinado produto químico é uma variável

aleatória com media de 90 toneladas e desvio padrão de 5 toneladas. O industrial,

desconfiado de uma baixa na produção, quer testar a hipótese oH :µ = 90 contra

aH : µ ⟨ 9 0 , a partir de uma amostra de 25 dias que forneceu uma media igual a 88,2.

Testar a hipótese nula a um nível de significância de 5%.

10) Um servidor automático de sorvetes esta ajustado para servir 4 onças por servida. Para uma amostra de 10 servidas, a quantidade media de sorvete é de 4,05 onças com um desvio padrão de 0,10 onças. Supõe-se que as quantidades servidas sejam normalmente distribuídas. Baseando a hipótese nula em que o processo esteja sob controle, testar a um nível de significância de 5% se a máquina deveria ser reajustada.

11) Uma cadeia de lanchonetes instalará um novo estabelecimento em um local se passarem por ali no mínimo 200 carros por hora, durante certos períodos do dia. Para 20 horas aleatoriamente selecionadas, durante tais períodos, o número médio de carros que passaram pelo local foi de 208,5 com um desvio padrão de 30. Supõe-se que a população seja aproximadamente normal. O gerente da cadeia de lanchonetes adota, conservadoramente, a hipótese nula de que o volume de tráfego não satisfaz a exigência , ou seja, a hipótese nula é menor ou igual a 200. Pode esta hipótese ser rejeitada a um nível de significância de 5%.

12) Um fabricante de lâmpadas alega que seu produto tem duração mínima de 5.000 horas. Examinada uma amostra de 48 lâmpadas constatou-se a ocorrência de uma media de duração de 4.800 horas com um desvio padrão de 700 horas. Testar a afirmação do fabricante a um nível de significância de 5%.

13) Os registros armazenados por uma grande loja de departamentos indicam que, no passado, as vendas semanais tinham média de $ 5.775, no máximo. Para aumentar as vendas, a loja começou uma campanha promocional bastante agressiva. 15 semanas foram amostradas aleatoriamente resultando numa média de vendas de $ 6.012, com um desvio padrão de $ 977,. Determinar se podemos aceitar a média histórica a um nível de significância de 1%.

14) Um fabricante de um novo automóvel afirma que o consumo médio de gasolina do automóvel é de 35 milhas por galão. Em 40 provas realizadas o carro fez uma média de 34,5 milhas por galão com desvio-padrão igual a 3. Pode a afirmação do fabricante ser rejeitada ao nível de significância de 5%.

15) Um fabricante perguntado sobre a duração das lâmpadas que vende informa ao comprador

que a duração é de 6.000 horas no mínimo. Uma amostra de 300 lâmpadas resultou uma média de duração de 5.750 horas com um desvio padrão de 2.165 horas. Testar, a um nível de significância de 5%, se a afirmação do fabricante poder ser aceita.



84

16) O governo alega que no máximo 15% das famílias de certa área percebem renda inferior ao

nível considerado como pobreza. Uma amostra aleatória de 60 famílias acusou 12 famílias em tais condições. Testar a afirmação do governo a um nível de significância de 5%.

17) Um processo de fabricação de arame de aço dá um produto com resistência média de 200 psi. O desvio padrão do processo é de 20 psi. O engenheiro de controle de qualidade deseja elaborar um teste que indique se deve ou não rejeitar Ho (resistência média = 200 psi), ao nível de significância de 5%, se numa amostra aleatória de tamanho 64, a resistência média foi de 197 psi.

18) Uma amostra aleatória de 30 funcionárias no nível II de secretária, em uma grande

organização, foi submetida a um teste de datilografia. Os resultados da amostra acusaram uma média de 63 ppm (palavras por minuto), com um desvio padrão de 5 ppm. Testar a hipótese de que as secretárias em geral não ultrapassam uma velocidade de datilografia de 60 ppm, usando um nível de significância de 1%.

19) Um fabricante afirma que uma remessa de pregos contém menos de 1% de defeituosos.

Uma amostra aleatória de 200 pregos acusou 4 defeituosos. Testar a afirmação do fabricante usando um nível de significância de 1%.

20) Nove pessoas seguiram um plano especial de dieta durante dois meses. Nessa ocasião suas

perdas individuais de peso (em quilos) foram: 1,2 – 2,0 – 1,0 – 0,8 – 1,1 – 0,2 – 0,5 – 0,4 e 0,1. Testar a hipótese nula de uma perda média real menor que 0, contra a alternativa de uma perda maior que 0, ao nível de significância de 1%, admitindo-se uma população normalmente distribuída.

21) Para uma amostra de 50 firmas tomadas de uma particular indústria, o número médio de

funcionários por firma é de 420,4, com um desvio padrão de 55,7. Existem ao todo 380 firmas nesta indústria. Antes que os dados fossem coletados, foi feita a hipótese de que o número médio de funcionários por firma não era superior a 408. Testar esta hipótese ao nível de significância de 5%.

22) Um vendedor afirma que obtém, em média, pedidos de pelo menos 30% de seus clientes

em potencial. Suponha que o vendedor obtém 20 pedidos de seus 100 clientes em potencial, aleatoriamente selecionados. Verificar se podemos rejeitar sua afirmação a um nível de significância de 5%.

23) Supõe-se que não mais do que 5%, a ser considerada como hipótese nula, das peças

produzidas em certo processo de fabricação, seja defeituosas. Para uma amostra de 100 dessas peças, 10 foram encontradas como defeituosas. Testar a hipótese nula a um nível de significância de 5%.



85

24) Um analista de mercado coleta informações em uma amostra aleatória de 100 clientes, dos

400 que compraram uma oferta especial. As 100 pessoas gastaram uma média de R$ 24,57 na loja, com um desvio padrão de R$ 6,60. Antes de ver esses resultados encontrados na amostra, o gerente havia afirmado que a média de compras feitas por aqueles que compraram a oferta especial seria de, no mínimo, R$ 25,00. Determinar se podemos rejeitar a afirmação do gerente utilizando um nível de significância de 5%.

25) Um jornal afirma que 25% dos adultos em sua área de circulação são analfabetos, segundo

os padrões estabelecidos por entidades públicas. Testar esta afirmação usando uma probabilidade do erro tipo I igual a 5%, sabendo-se que numa amostra aleatória de 740 pessoas foi determinado que 28% eram analfabetos, segundo os mesmos padrões.

26) Uma universidade, interessada em saber o salário médio de seus alunos graduados quando

chegam ao mercado, contratou uma pesquisa que resultou num salário médio de no máximo $ 2.300 u.m.. Desejando testar esta hipótese a universidade toma uma amostra aleatória de 60 estudantes graduados já trabalhando no mercado e encontra uma média de $ 2.500 u.m. com um desvio padrão de $ 1.000 u.m.. Use um nível de significância de 2%.

27) O Diretor Comercial de uma loja de departamentos informa a seus gerentes que, nas quatro

semanas que antecedem o Natal, de acordo com os dados dos últimos anos, as vendas passam a ser superiores a $ 235.000 u.m. por dia. Uma amostra aleatória de 18 dias forneceu uma média de $ 218.000 u.m. com um desvio padrão de $ 35.000 u.m.. Determinar se podemos aceitar os dados dos últimos anos a um nível de significância de 5%.

28) Uma Cia está procurando adquirir uma quantidade de calculadoras manuais que tenham

vida média de 1,5 anos ou mais. Suponha que tais calculadoras tenham uma vida média com desvio padrão de 0,2910 anos. Usando um nível de significância de 5%, uma amostra aleatória de 36 calculadoras e uma hipótese nula Ho > 1,5 anos, determinar a probabilidade do erro tipo II, se a vida média mínima real das calculadoras é de 1,32 anos.

29) No exercício nº. 2, determinar a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira média é 8.500. 30) No exercício nº. 28, determinar a probabilidade do erro tipo II se a vida média mínima real

é de 1,45 anos. 31) No exercício nº. 28, determinar a probabilidade do erro tipo II se a vida média mínima real

é de 1,39 anos. 32) No exercício nº. 7, determinar a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira proporção é

0,4. 33) No exercício nº. 11, determinar a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira média é 220.



86

Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios Respostas dos Exercícios

QuestãoQuestãoQuestãoQuestão

Valores CríticosValores CríticosValores CríticosValores Críticos Área de RejeiçãoÁrea de RejeiçãoÁrea de RejeiçãoÁrea de Rejeição

Valor do Valor do Valor do Valor do TesteTesteTesteTeste

Hipótese Hipótese Hipótese Hipótese

NulaNulaNulaNula

HipHipHipHipótese ótese ótese ótese

AlternativaAlternativaAlternativaAlternativa

DecisãoDecisãoDecisãoDecisão

1

(-∞,-1,96) ∪ (+1,96, +∞)

Z = -2,79

Ho = 260

Ha ≠ 260

Rejeitar Ho 2

(-∞,-1,65)

Z = -1,55

Ho > 9000

Ha < 9000

Aceitar Ho

3

(-∞,-1,65)

Z = -4,0

Ho > 4000

Ha < 4000

Rejeitar Ho

4

(+3,36, +∞)

t = 4,08

Ho < 100

Ha > 100

Rejeitar Ho

5

(-∞,-2,31) ∪ (+2,31, +∞)

t = +0,78

Ho = 198

Ha ≠ 198

Aceitar Ho 6

(-∞,-1,75)

Z = -4,04

Ho > 34,4

Ha < 34,4

Rejeitar Ho 7

(-∞,-1,96) ∪ (+1,96, +∞)

Z = -1,85

Ho = 0,30

Ha ≠ 0,30

Aceitar Ho 8

(-∞,-1,65) ∪ (+1,65, +∞)

Z = 2,52

Ho = 0,5

Ha ≠ 0,5

Rejeitar Ho 9

(-∞,-1,71)

t = -1,8

Ho = 90

Ha < 90

Rejeitar Ho

10

(-∞,-2,26) ∪ (+2,26 +∞)

t = 1,58

Ho = 4

Ha ≠ 4

Aceitar Ho 11

(+1,73, +∞)

t = 1,27

Ho < 200

Ha > 200

Aceitar Ho

12

(-∞,-1,65)

Z = -1,98

Ho > 5000

Ha < 5000

Rejeitar Ho

13

(+2,62, +∞)

Z = 0,94

Ho < 5.775

Ha > 5.775

Aceitar Ho

14

(-∞,-1,96) ∪ ( +1,96, +∞ )

Z = -1,05

Ho = 35

Ha ≠ 35

Aceitar Ho 15

(-∞,-1,65)

Z = -2,0

Ho > 6000

Ha < 6000

Rejeitar Ho

16

(+1,65, +∞)

Z = 1,08

Ho < 0,15

Ha > 0,15

Aceitar Ho

17

(-∞,-1,96) ∪ ( +1,96, +∞ )

Z = -1,2

Ho = 200

Ha ≠ 200

Aceitar Ho 18

(+2,33, +∞)

Z = 3,28

Ho < 60

Ha > 60

Rejeitar Ho

19

(+2,33, +∞)

Z = 1,43

Ho < 0,01

Ha > 0,01

Aceitar Ho

20

(+2,90, +∞)

t = 4,34

Ho < 0

Ha > 0

Rejeitar Ho

21

(+1,65, +∞)

Z = 1,69

Ho < 408

Ha > 408

Rejeitar Ho

22

(-∞,-1,65)

Z = -2,18

Ho > 0,3

Ha < 0,3

Rejeitar Ho

23

(+1,65, +∞)

Z = 2,29

Ho < 0,5

Ha > 0,5

Rejeitar Ho

24

(-∞,-1,65)

Z = -0,75

Ho > 25

Ha < 25

Aceitar Ho

25

(-∞,-1,96) ∪ (+1,96, +∞)

Z = 1,89

Ho = 0,25

Ha ≠ 0,25

Aceitar Ho 26

(+2,05, +∞)

Z = 1,55

Ho < 2.300

Ha > 2.300

Aceitar Ho

27

(-∞,-1,74)

Z = -2,06

Ho>235000

Ha<235000

Rejeitar Ho



87

28) Ho: u > 1,5 e Ha: u < 1,5 Valores críticos: (-∞,-1,65) na distribuição com média igual a 1,5 Com o valor de z = -1,65, na distribuição acima, encontramos x = 1,42 A probabilidade do Erro Tipo II é, então, a área que vai de (1,42, +∞) na distribuição que tem média igual a 1,32.

Fazendo os cálculos encontramos P(ERRO TIPO II) = 1,97%. 29) Ho: u > 9.000 e Ha: u < 9.000 Valores críticos: (-∞,-1,65) na distribuição com média igual a 9.000 Com o valor de z = -1,65, na distribuição acima, encontramos x = 8.787 A probabilidade do Erro Tipo II é, então, a área que vai de (8.787, +∞) na distribuição que tem média igual a 8.500.

Fazendo os cálculos encontramos P(ERRO TIPO II) = 1,32%.

30) Ho: u > 1,5 e Ha: u < 1,5 Valores críticos: (-∞,-1,65) na distribuição com média igual a 1,5 Com o valor de z = -1,65, na distribuição acima, encontramos x = 1,42 A probabilidade do Erro Tipo II é, então, a área que vai de (1,42, +∞) na distribuição que tem média igual a 1,45.

Fazendo os cálculos encontramos P(ERRO TIPO II) = 73,24%. 31) Ho: u > 1,5 e Ha: u < 1,5 Valores críticos: (-∞,-1,65) na distribuição com média igual a 1,5 Com o valor de z = -1,65, na distribuição acima, encontramos x = 1,42 A probabilidade do Erro Tipo II é, então, a área que vai de (1,42, +∞) na distribuição que tem média igual a 1,39.

Fazendo os cálculos encontramos P(ERRO TIPO II) = 26,76%. 32) Ho: p = 0,3 e Ha: p # 0,3 Valores críticos: (-∞,-1,96) e (1,96, +∞) na distribuição com média igual a 0,3 Com os valores de z1 = -1,96 e z2 = 1,96, na distribuição acima, encontramos p1 = 0,2365 e p1 = 0,3635 A probabilidade do Erro Tipo II é, então, a área compreendida entre 0,2365 e 0,3635 na distribuição que tem proporção média igual a 0,4.

Fazendo os cálculos encontramos P(ERRO TIPO II) = 12,92%. 33) Ho: u < 200 e Ha: u > 200 Valores críticos: (1,73, +∞) na distribuição com média igual a 200 Com o valor de z = 1,73, na distribuição acima, encontramos x = 211,6052 A probabilidade do Erro Tipo II é, então, a área que vai de (-∞, 211,6052) na distribuição que tem média igual a 220.

Fazendo os cálculos encontramos P(ERRO TIPO II) = 10,56%.



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BIBLIOGRAFIA

STEVENSON, Willian.J. - Estatística Aplicada à Administração - São Paulo - Harper & Row do Brasil – 1981 SPIEGEL, Murray R - Estatística - São Paulo - Makron Books – TOLEDO, Geraldo Luciano e OVALLE, Ivo Isidoro - Estatística Básica - São Paulo - Atlas – 1985 LIPSCHUTZ, Seymour - Probabilidade - Makron Books - 1993 HOFFMANN, Rodolfo - Estatística para Economistas - São Paulo - Pioneira – 1998 KARMEL, P.H. & POLASEK, M. - Estatística Geral e Aplicada para Economistas - São Paulo - Atlas TRIOLA, Mario F. - Introdução à Estatística - 7ª Edição - Rio de Janeiro - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. MOORE, David - A Estatística Básica e Sua Prática - Rio de Janeiro - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. MORETTIN, Luiz Gonzaga - Estatística Básica -Volume I - Probabilidade - São Paulo - Makron Books – 1999 MORETTIN, Luiz Gonzaga - Estatística Básica -Volume II - Inferência - São Paulo - Makron Books – 2000 SILVA, Ermes Medeiros... - Estatística - 2 volumes - São Paulo - Atlas – 1996 FONSECA, Jairo Simon da e MARTINS, Gilberto Andrade – Curso de Estatística – Editora Atlas – 1977

PáginaExercício e/ou

ExemploItem Consta Acertar para

61 1 2ª linha se ser

62 Respostas 7 0,9554 0,9544

86 Respostas 13 z = 0,94 t = 0,94

Material Didático de Apoio - Estatística Econômica e Introdução à

Econometria Versão Janeiro-

2010

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Econometria