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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

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DEFINIÇÃO Chamamos de equações algébricas de grau n N na variável x C, toda equação que pode ser reduzida à forma:

∈

Ax + B x + ... + Cx + D = 0n n-1

Exemplos:

a) 3x – 1 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau.

b) x – 3x + 4 = 0 é uma equação algébrica do 3º grau. 3

*OBS.: Toda equação polinomial de grau n, com n natural, possui n raízes complexas.

∈

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TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO

Todo polinômio

P(x) = Ax + B. x + ... + C. x + Dn n-1

P(x) = A . (x – x1).(x – x2).(x – x3)...(x – xn),

pode ser fatorado de maneira única como

sendo x1, x2, x3, ..., xn, as raízes de P(x) = 0.

Exemplo:

Fatorar o polinômio P(x) =2x – 14x + 20.2

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MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ

Chamamos de multiplicidade de uma raiz a quantidade de vezes que um número é solução de uma equação.

Exemplos:

a) 3 é raiz com multiplicidade dois da equação x – 6x + 9 = 0. 2

b) -2 é raiz com multiplicidade um da equação 4x + 8 = 0.

c) 0 é raiz com multiplicidade três da equação x - 7x = 0. 4

*Obs.: Podemos afirmar que as raízes dos itens anteriores são dupla, simples e tripla, respectivamente.

3

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RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA

I) Quando a soma dos coeficientes de uma equação é zero, então 1 é raiz dessa equação.

II) Quando o termo independente de uma equação é zero, então essa equação tem raiz nula com multiplicidade igual ao seu menor expoente.

x – 2x + 5x - 4 = 03 2

x – 7x + 12x = 04 3 2

Obs: Para cada raiz da equação podemos utlizar briot- ruffini para reduzir o grau da equação em um grau.

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IV) Caso uma equação com coeficientes inteiros possua raiz inteira, então essa raiz é um dos divisores da razão entre o termo independente e o coeficiente de maior grau.

x – 6x – 11x + 10 = 03 2

III) Caso seja possível, podemos recorrer à fatoração por agrupamento.

x – 4x + 3x - 12 = 03 2

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TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS

Se um número complexo(não real) é raiz de uma equação cujos coeficientes são reais, então seu conjugado também é raiz dessa equação.

Exemplo:

Determine as raízes da equação 5x – 10x + 50x = 0.3 2

*OBS: Esse teorema também é válido para raízes irracionais caso os coeficientes sejam racionais.

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RELAÇÕES DE GIRARD São relações estabelecidas entre as raízes de uma equação algébrica e seus coeficientes.

EQUAÇÕES DE GRAU 2

0CBxAx2 =++

A

Bxx 21 −=+

A

C x.x 21 =

EQUAÇÕES DE GRAU 3

0DCxBxAx 23 =+++

A

Bxxx 321 −=++

A

D x. x.x 321 −=

A

Cxxxxxx 323121 =++

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EQUAÇÕES DE GRAU 4

0EDxCxBxAx 234 =++++

A

Bxxxx 4321 −=+++

A

E x. x. x.x 4321 =

A

Cxxxxxxxxxxxx 434232413121 =+++++

A

Dxxxxxxxxx 432431421321 −=+++ xxx

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Considere a equação , com k real.Se o número complexo 2 – i é uma das raízes dessa equação, então o valor de k é:

A) irracional.B) natural.C) ímpar.D) cubo perfeito.E) racional não inteiro.

015kxxx 23 =++−

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Se a equação x − 3x − 4x + 12 = 0 tem duas raízes simétricas, a outra raiz é um número:

3 2

a) negativo;b) irracional;c) maior que 12;d) entre 2 e 4;e) entre 0 e 1.

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A soma dos inversos das raízes da equação 2x − 5x −3x + 2 = 0 é igual a:3 2

2

5e)

2

3d)

2

1c)

2

3b)

2

5a) −−−