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2º Exame c/ soluções Termodinâmica e Estrutura da Matéria MEEC 1 de Julho 2010, 9h Duração: 3h Prof. Luís Lemos Alves

ATENÇÃO: Não é permitido o uso de telemóveis nem de calculadoras gráficas. Deve indicar os cálculos intermédios que realiza , ao resolver cada questão.

RESPONDA A CADA GRUPO NUMA FOLHA SEPARADA FÓRMULAS E CONSTANTES

1 atm = 1,013x105 Pa NA = 6,023x1023 mol-1

R = 8,314 J K-1 mol-1 = 8,207x10-2 atm L K-1 mol-1 kB = 1,38x10-23 J K-1

σ = 5,667x10-8 W m-2 K-4

2

1

2

2

1

1

12

4

2

4

11

111)(

S

S

e

e

e

e

F

TTSQrad −+−+

−= σ&

NNNN −≈ ln!ln

_________________________________________________________________________________

[Cotação: a) 0,5; b) 1; c) 1,5] 1- O oxigénio e o hélio são bem descritos, na transição vapor-líquido, pela equação de estado de

Van der Waals (VDW)

( ) nRTnbVV

anp =−

+2

2

a qual conduz às seguintes expressões para a pressão crítica pc e o volume crítico Vc

nbVb

ap cc 3;

27 2==

Para o oxigénio tem-se

a = 0,138 Pa m6 mol-2 e b = 31,8x10-6 m3 mol-1

e para o hélio

a = 0,00344 Pa m6 mol-2 e b = 23,4x10-6 m3 mol-1.

a) Indique, justificando , qual das duas substâncias tem um ponto de ebulição mais baixo, à pressão atmosférica. Solução:

aO2 >> aHe a intensidade das forças inter-moleculares é mais fraca no hélio; é mais simples romper ligações químicas no hélio; a temperatura de ebulição do hélio é menor que a do oxigénio.

b) Indique, justificando , qual das duas substâncias tem moléculas maiores.

Estime o valor do raio de uma molécula de oxigénio. Solução: bO2 > bHe As moléculas de oxigénio são maiores que os átomos de hélio.

o

A5,11

23

21

3/1

O2=

=

AN

br

π

c) Calcule as temperaturas críticas Tc de VDW, para o oxigénio e o hélio, e indique quais os

estados físicos destes sistemas à temperatura ambiente (~300K). Solução:

( )Rb

aTnRTnbV

V

anp ccc

cc 27

82

2

=⇒=−

+

Tc (He) = 5,2 K << Tamb Estado fluido à temperatura ambiente. Tc (O2) = 154,6 K << Tamb

Estado fluido à temperatura ambiente.

[Cotação: a) 1; b) 1; c) 1]

2- Considere um bloco de cobre e um bloco de prata com massa de 500g cada um, às temperaturas TCu = 500oC e TAg = 300oC, respectivamente, os quais se colocam em contacto no interior de um reservatório de paredes rígidas e adiabáticas onde se fez vácuo. O cobre tem calor específico mássico 0,385 J g-1 K-1 e massa molar 63,5 g mol-1; a prata tem calor específico mássico 0,233 J g-1 K-1 e massa molar 107,9 g mol-1. a) Calcule, justificando , a temperatura final de equilíbrio Teq do sistema.

Solução:

C6,424

0

o

AgCu

AgAgCuCueq

AgAgAgCuCuCu

=++

=⇒

∆+∆==+=∆

CC

TCTCT

TCmTCmWQU

b) Calcule o calor trocado entre os dois blocos.

Solução:

J5,14CuCuCuAgCu −=∆=−= TCmQQ

c) Utilize o Teorema da Equipartição da Energia para estimar o calor específico destes sólidos.

Compare os resultados obtidos com os valores (experimentais) indicados no enunciado. Justifique os cálculos que efectuar.

Solução:

Sólidos: 3 graus de liberdade vibracionais (implicam duas contribuições: cinética e potencial)

⇒ CV = 3 x 2 x (R/2) = 3R

%2100xgJK393,03

Cu

Cu1-1-

CuCu =∆

⇒==C

C

M

RCTeor

%8,0100xgJK231,03

Ag

Ag1-1-

AgAg =

∆⇒==

C

C

M

RCTeor

As predições de calores específicos obtidas com o Teorema da Equipartição da Energia estão em bom acordo com os dados experimentais.

[Cotação: a) 1; b) 1; c) 1] 3- Considere um gás ideal que realiza as transformações (I) e (II), descritas no diagrama (pext,V) da

figura.

A transformação (I) é isotérmica; na transformação (II) a pressão exterior decresce linearmente com o volume. Ambas as transformações se realizam garantindo uma igualdade entre a pressão do sistema e a pressão exterior.

a) Calcule, justificando , o calor trocado na transformação (I).

Indique se este calor é recebido ou cedido pelo sistema. Solução: Transformação (I) isotérmica s/ um gás ideal

atmL32, == kVp iiext

0atmL5,66

0

>==−=⇒

=+=∆

∫f

i

V

VII

III

V

dVkWQ

WQU

Calor recebido pelo sistema.

b) Calcule, justificando , o calor trocado na transformação (II).

Solução:

U é uma função de estado

atmL 126(II) curva pela limitadaÁrea

0

==−=⇒

=+=∆=∆

IIII

IIIIIII

WQ

WQUU

c) Calcule a variação de entropia molar do sistema na transformação (II).

Solução:

S é uma função de estado

1-1- molJK 17,3ln =

=∆=∆

i

fIII

V

VR

n

S

n

S

(II)

(I)

pext (atm)

V (L) 8 1

4

32

[Cotação: a) 1; b1) 1; b2) 1; c) 1] 4- Considere um frigorífico que opera com um fluido frigorigénio de massa molar M = 120 g mol-1.

Admita que este fluido pode ser descrito como um gás perfeito de calores específicos a volume constante CV = 63,6 J mol-1 K-1 e a pressão constante Cp = CV + R. Sabe-se que o fluido, com caudal m& = 40 g s-1, realiza o ciclo reversível representado no diagrama (T,S) da figura. Considere que a razão de expansão do fluido, na isotérmica à temperatura mais baixa, é VA / VD = 100.

a) Calcule a eficiência ε do frigorífico.

Solução:

4,7=−

=DABC

DA

TT

Tε

b) A transformação AB ocorre devido à acção do compressor sobre o fluido.

b1) Calcule a variação de energia interna do fluido, por unidade de tempo, em AB. Solução:

W742)( =−=∆ DABCVAB TTCM

mU

&&

b2) Calcule a razão de compressão VB / VA do fluido em AB. Solução:

13,1==V

p

C

Cγ

38,01

1

=

=

−γ

BC

DA

A

B

T

T

V

V

c) Calcule a potência calorífica DAQ& que o frigorífico retira do congelador.

[Sugestão: Comece por escrever a expressão da variação de entropia na transformação DA.] Solução:

1WK8,12ln −=

=∆

D

ADA V

VR

M

mS

&&

kW3,3=∆= DADADA STQ &&

[Cotação: a) 1; b) 1; c) 1] 5- Considere uma sonda espacial, no espaço interestelar, a qual se pode representar por uma

esfera metálica oca, de raios interno ra = 30 cm e externo rb = 60 cm (ver figura).

A esfera de raio ra é aquecida, mantendo-se a uma temperatura constante Ta, o que garante uma situação estacionária caracterizada por uma corrente térmica de 3 kW entre a esfera de raio rb (à temperatura Tb) e o espaço interestelar (corpo negro à temperatura de 3 K). Considere que o metal da sonda tem condutividade k = 0,7 W cm-1 K-1 e emissividade 0,9. a) Calcule a temperatura Tb.

Solução:

kW3radcond === QQQ &&&

K7,337

)(111

)( 4444

=⇒

−=−+−+

−=

b

sbbb

s

b

s

s

b

b

bs

sbbrad

T

TTSe

S

S

e

e

e

e

F

TTSQ σσ&

b) Mostre que a resistência térmica (radial) de condução Rcond da esfera oca é dada por

ba

ab

rkr

rrR

π4cond−=

[Sugestão: Integre radialmente a lei de Fourier dr

dTrkA

dt

dQ)(−= .]

Solução:

ba

abr

r

T

T rkr

rr

rk

drdT

QR

b

a

b

a

ππ 44

12cond

−=−== ∫∫&

c) Calcule a diferença de temperatura entre as duas superfícies da esfera.

Solução:

K7,5cond ==∆ QRT &

ra

rb

r

[Cotação: a) 1; b) 1; c1) 1; c2) 1] 6- Considere um sistema de N partículas distinguíveis, com volume constante e com dois níveis de

energia u1 = 0 e u2 = ε. Suponha que o sistema se encontra em equilíbrio à temperatura T, obedecendo à distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann. a) Escreva as expressões das ocupações médias de cada nível de energia do sistema.

Especifique as distribuições de partículas associadas aos limites assimptóticos T→ 0 e T→ ∞. Solução:

Tk

e

NeN

e

NN

B

1

1

1

2

1

≡

+=

+=

−

−

−β

βε

βεβε

==

→0

:02

1

N

NNT

Distribuição concentrada no nível fundamental

2: 21

NNNT ==∞→

Distribuição uniforme

b) Obtenha a expressão da energia interna do sistema, e esboce o seu gráfico em função de T. Solução:

βεεe

NU

+=

1

Gráfico U(T) monótono crescente

c) Suponha que o sistema se encontra num macroestado X de equilíbrio, correspondente a uma distribuição de N/2 partículas em cada nível de energia.

c1) Escreva a expressão do número de microestados correspondente ao macroestado X. Solução:

( ) ( )!2!2!NN

NX =Ω

c2) Calcule a entropia do macroestado X.

Indique, justificando, qual será a probabilidade de ocorrência dum qualquer microestado do sistema.

Solução:

2lnln BXBX NkkS =Ω=

Esta distribuição uniforme de partículas garante a equiprobabilidade de todos os microestados do sistema

NT 2≈Ω

Assim a probabilidade de um qualquer microestado é dada por

Nsp2

1≈