1. A1.1 Anexo 1 FORMULRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS A1.1 INTRODUO Neste anexo apresentado sumariamente as expresses mais utilizadas no estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis metlicos vulgarmente utilizadas no projecto de estruturas metlicas. A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G Quadro A1.1 Centros de gravidade. Peso especfico varivel Peso especfico constante Sistema discreto gmp kk = Ak O z x y kr r G = = n k kk rp p OG 1 1 r = = n k kk rV V OG 1 1 r Sistema contnuo dmgdp = O z x y r r dmG = M dmgr p OG r1 = V dVr V OG r1

2. Formulrio da geometria de massas A1.2 A1.3 MOMENTOS ESTTICOS (OU DE 1 ORDEM) DE UMA SUPERFCIE PLANA Quadro A1.2 Momentos estticos de uma superfcie plana e sua relao com as coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade. Em relao ao eixo OX Em relao ao eixo OY y x O G xG yG y yG xxG da G A x yAdayS == G A y xAdaxS == Nota: O sistema de eixos OxGyG designado de sistema de eixos baricentrico. Quadro A1.3 Casos particulares. 1. Momento esttico em relao a um eixo baricentrico y x O G 0=yS 2. Momento esttico em relao a um eixo de simetria de uma superfcie homognea y x O 0=yS 3. Momentos estticos de uma superfcie homognea duplamente simtrica y x O 0=xS e 0=yS 3. Anexo 1 A1.3 A1.4 MOMENTOS DE 2 ORDEM DE SUPERFCIES PLANAS Quadro A1.4 Momentos de inrcia de superfcies planas. Em relao ao eixo OX Em relao ao eixo OY y x O y x da = A x dayI 2 = A y daxI 2 Quadro A1.5 Teoremas associados ao clculo de momentos de inrcia. Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner (d' G = 0) '2 ' 2 GddAdAII ++= 2 dAII G += Quadro A1.6 Momento de inrcia polar. y x O y x da ),( yxr r = A O darI 2 Quadro A1.7 Relao do momento de inrcia polar com os momentos de inrcia. ""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+= Quadro A1.8 Raio de girao. P da r d A I r = 4. Formulrio da geometria de massas A1.4 Quadro A1.9 Produto de inrcia. y x O y x da = A xy dayxI Quadro A1.10 Teoremas associados ao clculo de produtos de inrcia. Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner (a = 0 e b = 0) GG xyyx yAbxAa AbaII ++ ++='' AbaII GG yxyx +='' A1.5 DETERMINAO DE MOMENTOS DE 2 ORDEM DE SUPERFCIES PLANAS POR ROTAO DO SISTEMA DE EIXOS Quadro A1.11 Determinao de momentos de inrcia e produtos de inrcia por rotao do sistema de eixos. y x O x' y' 2sensencos 22 ' += xyyxx IIII 2sencossen 22 ' ++= xyyxy IIII )sen(coscossen)( 22 '' += xyyxyx IIII ou, em alternativa, 2sen2cos 22 ' + + = xy yxyx x I IIII I 2sen2cos 22 ' + + = xy yxyx y I IIII I 2cos2sen 2 '' + = xy yx yx I II I 5. Anexo 1 A1.5 A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE INRCIA Quadro A1.11 Momentos de principais de inrcia e eixos principais de inrcia. y x O x1 y1 22 1 4)( 2 1 2 xyyx yx III II I ++ + = 22 2 4)( 2 1 2 xyyx yx III II I + + = = yx xy II I2 arctg 2 1 Quadro A1.12 Momentos de principais centrais de inrcia e eixos principais centrais de inrcia. yG xG x' G y' G G G G 22 1 4)( 2 1 2 GGGG GG G yxyx yx III II I ++ + = 22 2 4)( 2 1 2 GGGG GG G yxyx yx III II I + + = = GG GG yx yx G II I2 arctg 2 1 6. Formulrio da geometria de massas A1.6 A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFCIES PLANAS CORRENTES Quadro A1.13 Momentos estticos. Seces Momento esttico Seces Momento esttico 1. Rectngulo 4. Meio-crculo 2. Tringulo 5. Quarto de crculo 3. Crculo 6. Parbola 7. Anexo 1 A1.7 Quadro A1.14 Centros de gravidade e momentos de inrcia. Seces Momentos inrcia Centros de gravidade Seces Momentos de inrcia Centros de gravidade 1. Tringulo 4. Crculo 2. Rectngulo 5. Meio-crculo 3. Quadrado 6. Quarto-crculo 8. Formulrio da geometria de massas A1.8 Quadro A1.15 Produtos de inrcia. Seces Produtos de inrcia 1. Rectngulo 2. Tringulo Quadro A1.16 Raios de girao. Seces Raios de girao Seces Raios de girao 1. Rectngulo 3. Tringulo 2. Quadrado 4. Crculo 9. Anexo 1 A1.9 A1.8 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE ALGUNS PERFIS METLICOS Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas E.T.L., L.da . 10. Formulrio da geometria de massas A1.10 Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas E.T.L., L.da . 11. Anexo 1 A1.11 Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas E.T.L., L.da .