1. A1.1 Anexo 1 FORMULRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS A1.1 INTRODUO
Neste anexo apresentado sumariamente as expresses mais utilizadas
no estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis
metlicos vulgarmente utilizadas no projecto de estruturas metlicas.
A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G Quadro A1.1 Centros de
gravidade. Peso especfico varivel Peso especfico constante Sistema
discreto gmp kk = Ak O z x y kr r G = = n k kk rp p OG 1 1 r = = n
k kk rV V OG 1 1 r Sistema contnuo dmgdp = O z x y r r dmG = M dmgr
p OG r1 = V dVr V OG r1
2. Formulrio da geometria de massas A1.2 A1.3 MOMENTOS ESTTICOS
(OU DE 1 ORDEM) DE UMA SUPERFCIE PLANA Quadro A1.2 Momentos
estticos de uma superfcie plana e sua relao com as coordenadas (xG,
yG) do centro de gravidade. Em relao ao eixo OX Em relao ao eixo OY
y x O G xG yG y yG xxG da G A x yAdayS == G A y xAdaxS == Nota: O
sistema de eixos OxGyG designado de sistema de eixos baricentrico.
Quadro A1.3 Casos particulares. 1. Momento esttico em relao a um
eixo baricentrico y x O G 0=yS 2. Momento esttico em relao a um
eixo de simetria de uma superfcie homognea y x O 0=yS 3. Momentos
estticos de uma superfcie homognea duplamente simtrica y x O 0=xS e
0=yS 3. Anexo 1 A1.3 A1.4 MOMENTOS DE 2 ORDEM DE SUPERFCIES PLANAS
Quadro A1.4 Momentos de inrcia de superfcies planas. Em relao ao
eixo OX Em relao ao eixo OY y x O y x da = A x dayI 2 = A y daxI 2
Quadro A1.5 Teoremas associados ao clculo de momentos de inrcia.
Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner (d' G = 0) '2 ' 2
GddAdAII ++= 2 dAII G += Quadro A1.6 Momento de inrcia polar. y x O
y x da ),( yxr r = A O darI 2 Quadro A1.7 Relao do momento de
inrcia polar com os momentos de inrcia. ""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+=
Quadro A1.8 Raio de girao. P da r d A I r = 4. Formulrio da
geometria de massas A1.4 Quadro A1.9 Produto de inrcia. y x O y x
da = A xy dayxI Quadro A1.10 Teoremas associados ao clculo de
produtos de inrcia. Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner
(a = 0 e b = 0) GG xyyx yAbxAa AbaII ++ ++='' AbaII GG yxyx +=''
A1.5 DETERMINAO DE MOMENTOS DE 2 ORDEM DE SUPERFCIES PLANAS POR
ROTAO DO SISTEMA DE EIXOS Quadro A1.11 Determinao de momentos de
inrcia e produtos de inrcia por rotao do sistema de eixos. y x O x'
y' 2sensencos 22 ' += xyyxx IIII 2sencossen 22 ' ++= xyyxy IIII
)sen(coscossen)( 22 '' += xyyxyx IIII ou, em alternativa, 2sen2cos
22 ' + + = xy yxyx x I IIII I 2sen2cos 22 ' + + = xy yxyx y I IIII
I 2cos2sen 2 '' + = xy yx yx I II I 5. Anexo 1 A1.5 A1.6 MOMENTOS
PRINCIPAIS DE INRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE INRCIA Quadro A1.11
Momentos de principais de inrcia e eixos principais de inrcia. y x
O x1 y1 22 1 4)( 2 1 2 xyyx yx III II I ++ + = 22 2 4)( 2 1 2 xyyx
yx III II I + + = = yx xy II I2 arctg 2 1 Quadro A1.12 Momentos de
principais centrais de inrcia e eixos principais centrais de
inrcia. yG xG x' G y' G G G G 22 1 4)( 2 1 2 GGGG GG G yxyx yx III
II I ++ + = 22 2 4)( 2 1 2 GGGG GG G yxyx yx III II I + + = = GG GG
yx yx G II I2 arctg 2 1 6. Formulrio da geometria de massas A1.6
A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFCIES PLANAS CORRENTES Quadro
A1.13 Momentos estticos. Seces Momento esttico Seces Momento
esttico 1. Rectngulo 4. Meio-crculo 2. Tringulo 5. Quarto de crculo
3. Crculo 6. Parbola 7. Anexo 1 A1.7 Quadro A1.14 Centros de
gravidade e momentos de inrcia. Seces Momentos inrcia Centros de
gravidade Seces Momentos de inrcia Centros de gravidade 1. Tringulo
4. Crculo 2. Rectngulo 5. Meio-crculo 3. Quadrado 6. Quarto-crculo
8. Formulrio da geometria de massas A1.8 Quadro A1.15 Produtos de
inrcia. Seces Produtos de inrcia 1. Rectngulo 2. Tringulo Quadro
A1.16 Raios de girao. Seces Raios de girao Seces Raios de girao 1.
Rectngulo 3. Tringulo 2. Quadrado 4. Crculo 9. Anexo 1 A1.9 A1.8
CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE ALGUNS PERFIS METLICOS Retirado de:
Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas
E.T.L., L.da . 10. Formulrio da geometria de massas A1.10 Retirado
de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) Tabelas Tcnicas, Edies
Tcnicas E.T.L., L.da . 11. Anexo 1 A1.11 Retirado de: Farinha,
J.S.B. e Reis, A.C. (2000) Tabelas Tcnicas, Edies Tcnicas E.T.L.,
L.da .
