Matemática A 11º Ano

0.1. Caracterização de funçõesSeja f uma função real de variável real, tal que:

f : Df Rx ¿ ¿

0.2. Equivalência e Igualdade de FunçõesSejam g e f duas funções de variável real, tal que:

f : Df Rx ¿ ¿

Duas expressões são equivalentes num dado conjunto D se, para qualquer valor de D, assumirem o mesmo valor numérico. D é o domínio de equivalência.

Igualdade de funçõesDuas funções de variável real são iguais se têm o mesmo domínio e se quaisquer dois valores do seu domínio têm a mesma imagem, ou seja, Df =D g e ∀ x∈D f : f ( x )=g ( x )

1. Operações com funções

2. Composição de funções

f ∘ g=f após g

g∘ f =após f

3. Restrição e prolongamento de uma função

4. Função inversa1. Função injetiva

Para existir inversa de uma função, é preciso que a função seja injetiva.

2. GraficamenteOs objetos da função f−1 são as imagens da função f e as imagens de f−1 são as imagens de f .

O gráfico de f−1 (função inversa de f) pode ser obtido a partir do gráfico da função f por uma simetria em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares ( y=x ). Se existirem pontos de intercessão entre os dois gráficos, então

esses pontos pertencem à reta y=x .

3. Noção de função inversa

4. Com o

determinar analiticamente a inversa de uma função

5. Funções irracionaisf é uma função racional, tal que f ( x )= n√A ( x )

1. Domínio: Se n for par: D={x∈R : x∈DA∧ A ( x ) ≥0 } Se n for impar: D={x∈R : x∈DA }

2. Função inversa de uma função potência

f é continua no seu domínio

3. Resolução de equações racionais

4. Resolução de inequações racionaisx−4≥√4 x−19<¿> x−4−√4 x−19

Seja f uma função de variável real: f ( x )=x−4−√4 x−19 e Df =¿

f ( x ) ≥ 0

x 194

f (x) 34

+¿ −¿ +¿

c.a. fazer a equação

f ( x )=0

E determinar os seus zeros

5 7

x=6=¿ f ( x )<0

x=8=¿ f ( x )>0

6. Derivadas1. Variação de uma função f num intervalo [a;b]

A variação de uma função f num intervalo [a ;b ]é dada por f (b )−f (a )

2. Taxa média de variação

T .m .v . [a;b ]=f (b )−f (a )

b−a

Graficamente:

A taxa média de variação de uma função no intervalo [a ;b], geometricamente, corresponde ao declive da

reta secante ao gráfico de f nos pontos A (a ; f (a ) ) e

B (b ; f (b ) )

Nota (propriedades da TMV (b>a⟺b−a>0)

1. T .m .v [a ;b ]>0⟺ f (b )> f (a ) 2. T .m .v [a ;b ]<0⟺ f (b )< f (a ) 3. T .m .v [a ;b ]=0⟺ f (b )=f ( a )

3. Derivada de uma função num ponto (taxa de variação) f '

f ' (a )=limx→ a

f ( x )−f (a )x−a

f ' (a )=limh→ 0

f ( a+h )−f (a )h

Geometricamente:

t é uma reta tangente (perpendicular ao raio de curvatura) ao gráfico de f no

ponto A (a; f (a ) ).

x=6=¿ f ( x )<0

x=8=¿ f ( x )>0

h=x−a

x=a+h

t s

ms=f (x )−f (a )

x−a=T .m.v [ a; x ]¿ado gráficp graatangenteao gr ao raio decurvatura ¿ao gr assumiremo mesmovalor numa

f (x)

A derivada de uma função num ponto A (a; f (a ) ) é o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto

A (a ; f (a ) ) – ponto de tangência do gráfico

mt=limx→ a

f ( x )−f (a )x−a

=f ' (a)a