MATRIZES

1C – FRENTE 01

INTRODUÇÃO

João e Maria conseguiram obter as seguintes notas em

matemática, Física e Química:

Com as notas de João e Maria, podemos formar a tabela:

𝐴 =7 5 69 4 5

Essa tabela chamamos de matriz A do tipo 2x3, onde 2 é onúmero de linhas, e 3 o número de colunas.

Matemática Física Química

João 7,0 5,0 6,0

Maria 9,0 4,0 5,0

𝐴 =7 5 69 4 5

Identificamos um elemento em uma tabela olhando para a sua

posição.

• Qual foi a nota de João em química ?

• Qual é a posição do número 6 na matriz A ?

Matemática Física Química

João 7,0 5,0 6,0

Maria 9,0 4,0 5,0

DEFINIÇÃO

Chama-se matriz um conjunto de números dispostos numa tabela e distribuídos em

𝑚 linhas e 𝑛 colunas (m, n ∈ 𝑁∗) .

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES

As matrizes são classificadas de acordo com seu número de linhas e colunas. Temos

dois casos a considerar.

Quadradas: número de linhas = número de colunas.

Exemplos

𝐴 =−1 20 3

𝐵 =1 2 50 −3 𝑥1 𝑦 9

, neste caso, 𝑥 e 𝑦 são “números desconhecidos”.

𝐶 = 10

Onde A é de ordem 2, B de ordem 3, C de ordem 1.

Retangulares: número de linhas ≠ número de colunas.

Exemplos

𝐴 =1 α 14−2 3 β

𝐵 =362

(matriz coluna)

𝐶 = 2 20 (matriz linha)

Onde A tem duas linhas e três colunas, B tem 3 linhas e uma coluna, e C tem

uma linha e duas colunas.

NOTAÇÃO

Dada uma matriz A, cada elemento é denotado por 𝒂𝒊𝒋 onde i é o

número da linha e j é o número da coluna.

Assim, se a matriz A é do tipo 3x3, então a notação da matriz com seus

elementos é:

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos 𝑎𝑖𝑗com 𝑖 = 𝑗 , são os elementos da diagonal principal dessa matriz. Já os

elementos da diagonal secundária satisfazem a condição 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1.

No caso de ordem 3 por exemplo.

Elementos da diagonal principal: 𝑎11, 𝑎22 , 𝑎33.

Elementos da diagonal secundária: 𝑎13, 𝑎22, 𝑎31.

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

IGUALDADE DE DUAS MATRIZES

Dadas duas matrizes 𝐴 e 𝐵 do mesmo tipo, dizemos que 𝐴 = 𝐵 se, e

somente se, os seus elementos correspondentes forem iguais.

Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo m x n (m linhas e n colunas),

temos:

𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗

Exemplo: A =1 −10 1

e 𝐵 =−1 −10 1

são distintas pois 𝑎11 ≠ 𝑏11.

𝐶 = 𝑎 𝑏 3 e 𝐷 =𝑎𝑏3

são distintas pois antes de qualquer coisa, elas nem

são do mesmo tipo.

TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ TRANSPOSTA

Dada uma matriz A do tipo mxn, chama-se matriz transposta de A a

matriz 𝐴𝑡, nxm, obtida a partir de A, onde as linhas de A são as colunas de 𝐴𝑡,e vice-versa.

Exemplos 𝐴 =2 −1 05 2 1

e 𝐴𝑡 =2 5−1 20 1

.

𝐵 = 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝐵𝑡 =𝑥𝑦𝑧

.

𝐶 =𝑎 𝑏𝑐 1

e 𝐶𝑡 =𝑎 𝑐𝑏 1

.

Generalizando: Todo elemento 𝑎𝑖𝑗 de A é o elemento 𝑎𝑗𝑖 de 𝐴𝑡.

TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ NULA

Chama-se matriz nula a matriz onde todos os elementos são iguais a zero.

Denotamos por 0.

Exemplo 0 =0 0 00 0 0

*A matriz nula é o elemento neutro da soma de matrizes.

MATRIZ SIMÉTRICA

Chama-se matriz simétrica, toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que

𝐴𝑡 = 𝐴.

Exemplos 𝐴 =2 11 3

e 𝐵 =1 2 42 3 −14 −1 3

. Verifique.

TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ ANTISSIMÉTRICA

Chama-se matriz antissimétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal

que 𝐴𝑡 = −𝐴 ou equivalentemente 𝐴 = −𝐴𝑡.

Exemplos C =0 2−2 0

e 𝐷 =0 −2 −12 0 −41 4 0

. Verifique.

Nem toda matriz quadrada pode ser simétrica ou antissimétrica ! Tal

característica é privilégio de apenas algumas =]

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição

Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo

tipo, isto é, tenham mesmo número de linhas e de colunas. Como resultado

da soma temos uma nova matriz C definida por:

𝐶 = 𝐴 + 𝐵, com 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗.

(somar seus elementos correspondentes)

Exemplo na apostila.

Subtração

Para subtrairmos duas matrizes A e B, basta que elas sejam do mesmo

tipo. Analogamente, segue:𝐶 = 𝐴 − 𝐵, com 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗.

(subtrair seus elementos correspondentes)

Produto de um número por uma Matriz

Definimos o produto de um número por uma matriz mxn como sendo uma

nova matriz mxn, onde multiplicamos cada um dos seus elementos pelo

número dado.

Exemplo na apostila.

Propriedades de soma de Matrizes

Sejam A, B e C matrizes quaisquer do tipo mxn, e 0 a matriz nula. Para a

soma podemos usufruir das seguintes propriedades:

* (A + B) + C = A + (B + C) - PROP. ASSOCIATIVA

* A + B = B + A - PROP. COMUTATIVA

* A + 0 = 0 + A = A - Existência do elemento neutro.

* A + (-A) = (-A) + A = 0 - Existência da matriz oposta. (-A)

Propriedades de multiplicação de uma matriz por um

número e de matrizes transpostas.

Sejam A, B matrizes quaisquer do tipo mxn, e k um número real qualquer.

* (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴

* (𝐴 + 𝐵) 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡

* (𝑘. 𝐴)𝑡= 𝑘. (𝐴)𝑡

* 𝑘. 𝐴 + 𝐵 = 𝑘. 𝐴 + 𝑘. 𝐵 – Prop. Distributiva.

MATRIZES

1C – FRENTE 02

INTRODUÇÃO

Consideremos o seguinte exemplo: João e Maria conseguiram em

matemática as seguintes notas nos 4 bimestres do colégio:

Sabendo-se que o colégio adota em cada nota os seguintes pesos:

Como podemos calcular o total de pontos conseguido por João e Maria ?

1º bi 2º bi 3º bi 4º bi

João 7 5 9 6

Maria 8 6 7 9

1º bi 2º bi 3º bi 4º bi

Peso 1 2 3 3

Efetuando os cálculos:

João 7.1 + 5.2 + 9.3 + 6.3

Maria 8.1 + 6.2 + 7.3 + 9.3

João 62

Maria 68

Vimos na aula anterior como escrever uma matriz a partir das tabelas

dadas.

Considerando

𝑁 =7 58 6

9 67 9

e 𝑃 =

1233

onde N é a matriz das notas e P é a matriz dos pesos, definimos o produto

da matriz N pela matriz P como sendo6268

onde cada elemento é a soma

dos produtos dos elementos da linha da matriz N pela coluna da matriz P.

OBSERVAÇÕES1. O produto de duas matrizes existe se, e somente se, o número de

colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

2. Se as matrizes A e B são do tipo mxn e nxp, respectivamente, então o

produto C = A.B existe e é uma matriz do tipo mxp.

Exemplo:

𝐴 =2 31 04 5

e 𝐵 =3 12 4

, calcular C = A.B

* Teremos uma matriz C do tipo 3x2.

*𝑐11 = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 1ª 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑐𝑜𝑚 𝑎 1ª 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐵.

*𝑐12 = multiplicação da 1ª linha de A com a 2ª coluna de B.... E assim por diante.

Resultado:

𝐶 =2.3 + 3.2 2.1 + 3.41.3 + 0.2 1.1 + 0.44.3 + 5.2 4.1 + 5.4

𝐶 =12 143 122 24

MATRIZ IDENTIDADE

Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da

diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplos:

𝐼2 =1 00 1

e 𝐼3 =1 0 00 1 00 0 1

.

* A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

Propriedades de multiplicação de matrizes

Considere as matrizes 𝐴𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑛𝑥𝑝, e 𝐶𝑝𝑥𝑞:

*𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵 . 𝐶 – PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

Considere as matrizes 𝐴𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑚𝑥𝑛 e 𝐶𝑛𝑥𝑝:

* 𝐴 + 𝐵 . 𝐶 = 𝐴. 𝐶 + 𝐵. 𝐶 – PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

*𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴 – Não Comutativa de um modo geral.

Considere 𝐴 e B matriz quadrada de ordem n:

*𝐴. 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛. 𝐴 = 𝐴 – Elemento Neutro (Matriz Identidade)

* 𝐴. 𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡

ATIVIDADE

(FMU-SP) O administrador da “Só carrão”, uma cadeia de revenda de

automóveis Tigre e Flecha, montou as seguintes tabelas para controlar as

quantidades vendidas desses carros durante os meses de janeiro, fevereiro e

março de 2002, nas três lojas da rede.

Preço por unidade(milhares de reais)

das lojas A, B e C.

Tigre Flecha

A 20 10

B 18 15

C 22 10

Unidades vendidas:

Pergunta:

Escreva a matriz que representa a receita, em milhares de reais, de cada

loja, nos meses de janeiro, fevereiro e março.

R: 220 350 50270 405 51230 370 54

Janeiro Fevereiro Março

Tigre 5 10 2

Flecha 12 15 1