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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

FÍSICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]

732 p.

ISBN: 978-85-387-0576-5

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71




1EM

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IS_0

02

Tópicos de cinemática

escalar: MRU (movimento retilíneo

uniforme)

Serão apresentados neste tópico os conceitos clássicos de posição e trajetória. Deve existir um cui-dado muito grande, em Física, com os termos utiliza-dos porque várias palavras usadas no cotidiano trazem confusão na hora de resolver problemas. Portanto, devemos usar sempre uma linguagem científica.

CinemáticaDefinimos Cinemática como a parte da Física

que estuda os movimentos, sem preocupação de sua causa ou do elemento que executa esse movimento.

Móvel é o nome utilizado para o elemento que executa o movimento e será considerado, quase sem-pre, um ponto material, isto é, suas dimensões podem ser desprezadas em comparação com as demais di-mensões envolvidas no problema.

O ponto material será determinado por uma posi-ção, associada a um eixo ou a um plano, como fazemos em matemática com as coordenadas cartesianas.

Para se entender o conceito de movimento ou repouso, considere o seguinte exemplo:

Um homem está sentado, dentro de um ônibus que trafega em uma rua, tendo ao seu lado uma criança adormecida. Uma mulher está na calçada,

aguardando a possibilidade de atravessar a rua. Para essa mulher, a criança está em movimento e para o homem, a criança está em repouso.

Como se nota por esse exemplo, o conceito de movimento está relacionado ao referencial ou sistema de referência adotado. É possível, então, um corpo estar em movimento em relação a um dado referencial e estar em repouso em relação a outro.

Definidos o movimento de um corpo como a mudança de posição em relação a um determinado referencial, no decorrer de um intervalo de tempo; o repouso representa a não-variação de posição no decorrer do tempo.

Como sabemos, tudo no Universo tem movimen-to e, portanto, quando necessitamos de um referen-cial "parado" adotamos algo que, em relação ao mó-vel, tenha um movimento desprezível; por exemplo, para a Terra uma estrela é um referencial "parado"; no laboratório, uma haste fixa é um referencial "pa-rado" para um corpo que colocamos em movimento. Observe que o termo "parado" pode significar que o referencial está executando um movimento idêntico ao do móvel, como pode ser observado no caso de alguns satélites artificiais: o satélite está executando um movimento aproximadamente circular, gastando o mesmo tempo que a Terra em seu movimento de rotação, isto é, em relação à Terra o satélite está "parado" (geoestacionário).

No estudo de dinâmica definiremos um referencial inercial, ou seja, um referencial que, supostamente,


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não sofre modificação no seu estado de movimento ao longo do tempo.

Chamamos trajetória à linha obtida unindo-se os pontos sucessivamente ocupados pelo móvel.

As trajetórias podem ser consideradas:

Abertas, quando o móvel, após um intervalo 1) de tempo, não passa pelo ponto considerado como partida.

Fechadas, quando o móvel, após um intervalo 2) de tempo, passa novamente pelo ponto con-siderado como partida; algumas trajetórias fechadas, de forma geométrica bem definida, são chamadas de órbitas.

Quanto às trajetórias abertas, podemos consi-derá-las retilíneas ou curvilíneas.

Imaginemos a trajetória representada pela figura abaixo e marquemos sobre ela dois pontos A e B:

A

B

Podemos considerar, sobre essa trajetória, dois sentidos: o de A para B e o de B para A; qualquer um deles pode ser tomado, arbitrariamente, como positivo e o outro, oposto a esse, será o negativo.

O movimento executado no sentido positivo é chamado movimento progressivo; se for no sentido negativo será chamado de movimento retrógrado.

Vamos, agora, associar essa trajetória a um par de eixos cartesianos:

A

B

x

y

Admitindo-se que no instante em que iniciamos a nossa observação (t0 = 0), o móvel estava no ponto A, chamaremos essa posição de posição inicial (S 0); após decorrer um intervalo de tempo ( t = t 1 – t 0 , t 1 0) o móvel estará ocupando a posição B, que será chamada de posição final (S 1).

Definimos a coordenada da posição de um móvel à medida algébrica do arco orientado, medido a partir de um ponto escolhido como posição inicial.

Em função do exposto, podemos definir uma variação de posição ( S), como a diferença entre a posição final e a posição inicial de um móvel numa trajetória, e escrevemos:

S = S 1 – S 0

Note que a variação de posição ( S) nem sem-pre corresponde ao espaço percorrido; se um móvel parte de um ponto qualquer e, independente do tipo de trajetória, retorna ao ponto de partida, sua variação de posição é nula ( S = 0), mas o espaço percorrido não.

Equação horária do movimento

Se um móvel executa movimento em uma traje-tória, podemos representar tal fenômeno por meio de um gráfico ou de uma expressão matemática.

Essa expressão matemática é chamada a fun-ção horária ou equação horária do movimento. Como a cada instante o móvel ocupa uma posição definida, podemos escrever:

S = f (t)

Na representação por meio de um gráfico, marcamos no eixo x vários instantes e no eixo y as posições ocupadas pelo móvel nos instantes cor-respondentes. Observe que o gráfico não nos dá a trajetória, mas como o movimento ocorreu, é possível que um móvel que descreve uma trajetória retilínea tenha por gráfico uma curva.

Exemplo `

Um móvel tem, como função horária, a seguinte 1) equação S = 5 + 5 t (SI) ; montaremos o gráfico entre os instantes t0=0 e t4=4s, construindo uma tabela:

tempo posição tempo posição0s 5m 3s 20m1s 10m 4s 25m2s 15m

5

10

15

20

25

1 2 3 4 t(s)

S(m)

Como já era previsível, obtivemos, com o gráfico do movimento, uma reta; realmente, sendo a função horária uma equação de 1.º grau, a representação gráfica seria, obrigatoriamente, uma reta.


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Exemplo `

Um móvel tem como função horária a seguinte 2) equação S = 5 + 5 t 2 (SI); montaremos o gráfico entre os instantes t0=0 e t3=3s e outra vez, cons-truindo a tabela:

tempo posição0s 5m1s 10m2s 25m3s 50m

5

10

15

20

25

1 2 3 4 t(s)

S(m)

30

35

40

45

50

55

5

Como já era previsível, obtivemos, com o gráfico do mo-vimento, uma curva; realmente, sendo a função horária uma equação de 2.º grau, a representação gráfica seria, obrigatoriamente, uma curva.

É preciso que se tome muito cuidado com os conceitos matemáticos já adquiridos. Toda equação de 1.º grau é representada graficamente por uma reta e toda equação de 2.º grau é representada por uma curva.

Existem vários tipos de curvas: circunferência, parábola, elipse, hipérbole, catenária etc. Cada uma delas tem uma equação, não do 1.º grau, diferente. Por exemplo:

a representação gráfica da equação a) x2 + y2 = a é uma circunferência;

a representação gráfica da equação b) axy =

é uma hipérbole equilátera (muito cuidado: essa equação não é de 1.º grau);

a representação gráfica da equação c) ax2+bx +c = y é uma parábola.

Velocidade escalar médiaA velocidade escalar média representa a razão

entre a variação de posição e o intervalo de tempo gasto nesse movimento:

tSv =

As suas unidades são:

No SI: m/s ou ms1) – 1

No CGS: cm/s ou cms2) – 1 ,

1 m/s = 10 2 cm/s

Outras: km/h ou kmh3) – 1,

1 km/h = 1

3,6 m/s ou

36 km/h = 10 m/s;

nó (milha por hora) = 1,85km/h

Esta última é muito usada em navegação e, por isso, usamos a milha marítima (1 milha marítima = 1 852m); existe a milha terrestre (1 milha terrestre = 1 609m ).

É importante para os exercícios envolvendo or-dem de grandeza conhecermos algumas velocidades médias, para que possamos fazer comparações:

v de um caramujo = 1mm/s

v de um pedestre = 1,6m/s

v de um nadador = 1,7m/s

v da gota de chuva = 9m/s

v de um corredor = 10m/s

v de um navio = 50km/h

v de um avião = 900km/h

A velocidade escalar média, como o próprio nome indica, nos dá a ideia de como o movimento total entre duas posições foi realizado.

Velocidade médiaA velocidade média representa a razão entre

o deslocamento e o intervalo de tempo gasto nesse movimento

tSVm=


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Vamos usar um exemplo para concretizar essas ideias.

Um carro viaja da cidade de São Paulo para a cidade do Rio de Janeiro e retorna, em seguida, para São Paulo, gastando, no total dessa viagem, 10 ho-ras. A sua velocidade escalar média (v) é zero, pois saiu de uma dada posição e no final do movimento ocupa a mesma posição de onde partiu ( S f= S i S = 0 );a sua velocidade média (vm) é de 80km/h,

pois percorreu o espaço de 800km (400 na ida e 400 na volta) em 10h.

Em ambos os casos, temos uma ideia geral de como o movimento aconteceu, mas não sabemos como decorreu a viagem em cada intervalo de tem-po, isto é, se aproveitando a descida o motorista desenvolveu uma velocidade maior do que 80km/h, se houve um congestionamento e ele reduziu essa velocidade para 40km/h, se durante a viagem o carro parou para que o motorista trocasse um pneu furado ou para tomar um lanche.

Gráfico da velocidade pelo tempo

Como visto no tópico anterior, o gráfico da posi-ção em função do tempo, para um móvel cuja função horária é S = 5 + 2t (SI), é dado por:

25

20

15

10

5

1 2 3 4 t(s)

S(m)

Observando esse gráfico, podemos ver que a tangente do ângulo poderia ser escrita como a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente a ele, isto é, tg = S

t ; isso fisicamente correspon-

de à equação da velocidade, mostrando que, num gráfico de S . t, a tangente à curva representa a velocidade.

InstanteO instante representa um intervalo de tempo

tão pequeno quanto se consiga ou, usando uma linguagem matemática, t tende para zero, isto é, a

diferença de tempo entre o instante final e o instante inicial é tão pequena, que se aproxima de zero; note bem que ela não é zero, mas chega bem perto desse valor, para os parâmetros definidos.

Dentro da Matemática usamos um processo definido como limite para calcular essas situações.

Velocidade escalar instantâneaVoltemos ao exemplo anterior; se quisermos

saber, em cada instante, qual era a velocidade do carro, vamos dividir o intervalo de tempo de 10h em porções tão pequenas quanto possível e observar o comportamento da velocidade.

Dizemos que a velocidade escalar instantânea corresponde ao limite da razão entre variação de po-sição e o intervalo de tempo, quando esse intervalo de tempo tende para zero.

v = lim t 0 t

S ou v = lim vt 0

Conceito de derivada e significado geométrico

Em matemática definimos a derivada de uma função como sendo o limite da variação dessa função em um intervalo que tende a zero. Então, quando escrevemos

v = lim vt 0

podemos, usando o conceito de derivada, dizer que

v = dSdt

ou, a velocidade instantânea representa a deri-vada da posição em função do tempo.

O gráfico seguinte refere-se ao segundo exem-plo do tópico anterior.

Exemplo `

Um móvel tem como função horária a seguinte 1) equação S = 5 + 5 t 2 (SI); montaremos o gráfico entre os instantes t 0 = 0 e t 3 = 3s e outra vez, cons-truindo a tabela:

tempo posição tempo posição

0s 5m 2s 25m

1s 10m 3s 50m


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5

10

15

20

25

1 2 3 4 t(s)

S(m)

30

35

40

45

50

55

5-5

A curva, agora, é um arco de parábola; traçando-se a reta r , tangente à curva que passa pelo ponto 3s , vamos ter, novamente tg = S

t , representando a velocidade naquele instante, ou seja, a velocidade escalar instantânea em t = 3s.

Aceleração escalar médiaA aceleração escalar média representa a razão

entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo gasto nessa variação a– = v

t .

As suas unidades são:

1) No SI : m/s 2 ou ms – 2

2) No CGS : cm/s 2 ou cms – 2 ,

1 m/s 2 = 10 2 cm/s 2

Aceleração escalar instantânea

Dizemos que a aceleração escalar instantânea corresponde ao limite da razão entre variação de velo-cidade e o intervalo de tempo quando esse intervalo tende para zero.

a = lim Vtt 0

ou

a = lim at 0

Podemos, usando novamente o conceito de de-rivada, dizer:

a= dvdt

ou, a aceleração instantânea representa a deri-vada da velocidade em função do tempo.

Movimento retilíneo uniforme

Dizemos que um móvel executa movimento retilíneo uniforme (MRU), relativamente a um dado sistema de referência, quando a sua trajetória pode ser considerada uma reta e sua velocidade perma-nece inalterada.

Consideremos um móvel que percorre a trajetó-ria no eixo Ox da figura abaixo.

O S0

t0

S1

t1

S2

t2

x

Se iniciarmos as nossas observações no instante em que ele está na posição S0, dispararemos nesse instante um cronômetro e consideraremos t0=0. Ao passar pela posição S1 o cronômetro registrará o ins-tante t1(t1> t0) e ao passar pela posição S2 teremos o instante t2 (t2 > t1).

A velocidade escalar média do móvel, entre os instantes t1 e t0 será:

S(0,1) t(0,1)

t1 - t0

v_

(0,1) = =S1 - S0

Como a velocidade não varia, podemos dizer que a velocidade escalar média é a mesma em to-dos os instantes, isto é, ela será igual à velocidade instantânea e tendo admitido t0=0s, escrevemos:

v = S1 - S0

t1

ou S1 – S0 = v t1, dondeS1 = S0 + v t1

Para o ponto S2 teremos S2 = S0 + v t2 e genera-lizando para um instante t qualquer, teremos:

S = S0 + v t

que é a equação horária do MRU

Como pode ser notado, ao escolhermos, arbi-trariamente, um instante t0, podemos ter instantes positivos ou negativos mas, como t será sempre o instante final menos o instante inicial, t será obri-gatoriamente positivo; quanto a S, ele poderá ser positivo, se a posição final tiver um valor maior que a posição inicial ou negativo, em caso contrário.

Se Sfinal - Sinicial

tv= podemos afirmar que o sinal

de v só dependerá do sinal de S; se S > 0 v > 0 (movimento progressivo) e se S < 0 v < 0 (movi-mento retrógrado).


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t

SS0

Nesse gráfico, a velocidade é negativa, já que o ângulo entre a reta e o eixo t é de 2.º ou 4.º qua-drante, o que caracteriza uma tangente negativa; o movimento é retrógrado.

Como a velocidade é constante, o gráfico da velo-cidade para esse movimento será sempre uma paralela ao eixo do tempo.

t

v

v

t1 t2

A área sombreada representa a variação de posição S entre os instantes t 1 e t 2.

Como a aceleração escalar média é definida

como a_

= vt , e sendo a velocidade constante, v será

igual a zero e o gráfico da aceleração para esse movimento será sempre uma reta sobre o eixo do tempo (a

_ = a).

at

a

(Fund. Carlos Chagas-SP) Para filmar um botão de rosa 1. que desabrocha e transforma-se numa rosa aberta, foram tiradas fotografias de 2 em 2 horas. Essas fotos, projetadas à razão de 24 fotos/segundo, mostraram todo o transcurso acima descrito em 2 segundos. O desabrochar da rosa ocorreu realmente em um número de horas igual a:

6a)

12b)

24 c)

48d)

96 e)

Um caso bastante importante e com grande in-cidência nas provas vestibulares, é a situação teórica de um móvel que executa dois ou mais movimentos com velocidades constantes e distintas.

Considere, por exemplo, um móvel que partindo de uma posição S0 com velocidade constante v1, atin-ge a posição S1 no instante t1 . Nesse momento, muda instantaneamente para uma velocidade v2 , também constante. Num instante t2, atinge uma posição S2, tal que S2– S1 = S1 – S0 e S2 – S0= d .

O S0

t0

S1

t1

S2

t2

xd / 2 d / 2

Vamos determinar a v(0,2) = S(0,2) =

S2 – S0

t2 – t0t(0,2)

Como t2 – t0 = (t2 – t1) + (t1 – t0) e

(t2 – t1)= S2 – S1

v2

e (t1 – t0)= S1 – S0

v1

v(0,2) =d

d/2 + d/2v2 v1

= dd(v1+v2)

2v1v2

ou v(0,2) =2v1v2

v1+v2

Se tivermos n trechos iguais, cada um percorrido com velocidade constante, podemos escrever:

1v_ 1

n1 + 1 + ... + 1v1

v2vn

=

que representa a média geométrica das veloci-dades em cada trecho.

Gráficos do MRUComo vimos anteriormente, a equação horária

do MRU é S = S 0 + v t, e sendo essa equação de 1.º grau, concluímos que a representação gráfica S x t do MRU será uma reta oblíqua traçada pelo ponto S0.

t

S

S0

Nesse gráfico, como a velocidade corresponde ao coeficiente linear da reta, ela é positiva, já que o ângulo entre a reta e o eixo t é de 1.º ou 3.º qua-drante, o que caracteriza uma tangente positiva; o movimento é progressivo.


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Solução: `

Como o tempo total de projeção foi de 2s podemos concluir que foram projetadas 48 fotos; como o intervalo de tempo (t) entre duas fotos é de 2 horas, podemos escrever

t real 48 . 2 horas = 96 horas

Letra E

(Unificado) Uma formiga movimenta-se sobre um fio 2. de linha. Sua posição (S) varia com o tempo, conforme mostra o gráfico.

t(s)

S(cm)

6,0

4,0

2,0

0 2,0 4,0 6,0

O deslocamento entre os instantes t = 0s e t = 6,0s é:

0,5cma)

1,0cmb)

1,5cmc)

2,0cm d)

2,5cm e)

Solução: `

Pelo gráfico vemos que t0=0 S0=2,0cm e t1=6,0s S1=1,0cm ; então, como S = S1–S0 , S = 1,0 – 2,0 S = –1,0cm; a variação de posição é de –1,0cm ,

mas quando se fala em deslocamento considera-se o valor absoluto.

Letra B

(FEI-SP) A posição de um ponto varia no tempo con-3. forme a tabela:

s (m) 25 21 17 13 9 5

t (s) 0 1 2 3 4 5

A equação horária desse movimento é:

s = 4 - 25ta)

s = 25 + 4tb)

s = 25 - 4tc)

s = -4 + 25td)

s = -25 - 4te)

Solução: `

Vamos montar um gráfico

5

9

13

17

21

25

10 2 3 4 5t(s)

s(m)

Como o gráfico nos mostra uma reta, a posição é uma função linear onde o termo independente vale 25 e o co-eficiente linear da reta (tg ) vale tg = 5 - 25

5 - 0= -20

5

tg = –4; a equação será, então s = 25 – 4t

Letra C

(UFRJ) Um foguete foi lançado da Terra com destino a 4. Marte. Na figura abaixo estão indicadas as posições da Terra e de Marte, tanto no instante do lançamento do foguete da Terra, quanto no instante de sua chegada a Marte. Observe que, a contar do lançamento, o foguete chega a Marte no instante em que a Terra completa 3/4 de uma volta em torno do Sol.

Marte no instante de chegada

Terra no instante de chegada

Terra no instante do lançamento

Marte no instante do lançamento

Sol

Calcule quantos meses durou a viagem desse foguete da Terra até Marte.

Solução: `

Como pode ser observado na figura, o intervalo de tempo da viagem do foguete é igual ao intervalo de tempo gasto

pela Terra para percorrer 34 da sua órbita em torno do

Sol. Como para a Terra chamamos esse intervalo de tempo de 1 ano ou 12 meses, temos:

tfoguete = 34 . 12 meses tfoguete = 9 meses.


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(Cesgranrio) Um fabricante de automóveis anuncia que 5. determinado modelo atinge 80km/h em 8 segundos (a partir do repouso). Isso supõe uma aceleração média próxima de:

0,1m/sa) 2

3m/sb) 2

10m/sc) 2

23m/sd) 2

64m/se) 2

Solução: `

Se o automóvel parte do repouso, sua velocidade inicial (v 0) é igual a 0; sua velocidade final (v) será transformada em m/s para que a resposta possa ser dada em m/s 2 ; então, v = 80

3,6 m/s v = 22, 22m/s; como a_

= vt tere-

mos a_ = 22,22 - 0

8 ou a

_ = 2,78; como os dados foram

apresentados com 2 AS e 1 AS, tendo feito uma divisão, a resposta só poderá conter um algarismo significativo.

Letra B .

(UEL-PR) A velocidade escalar média de um automóvel, 6. num percurso de 300km, foi de 60km/h. Então, é válido afirmar que:

em uma hora o automóvel percorreu 60km. a)

a velocidade do automóvel, em qualquer instante, b) não foi, em módulo, inferior a 60km/h.

a velocidade do automóvel, em qualquer instante, c) não foi superior a 60km/h.

se o automóvel manteve durante 2h a velocidade d) média de 50km/h, deve ter mantido durante mais 2h a velocidade média de 100km/h.

se o automóvel percorreu 150km com velocidade e) média de 50km/h, deve ter percorrido os outros 150km com velocidade média de 75km/h.

Solução: `

Opção A errada: o valor da velocidade média não representa nem a velocidade em um instante, nem a velocidade média em um intervalo de tempo durante a viagem.

Opção B errada: a velocidade instantânea pode ter tido qualquer valor, inclusive zero.

Opção C errada: a velocidade instantânea pode ter tido qualquer valor, maior ou menor do que a velocidade média.

Opção D errada: se o percurso foi de 300km e sua velo-cidade média foi de 60km/h, o tempo gasto no percurso foi de t = v

S ou 30060t = donde Δt = 5h;

como a opção relata 2h para o primeiro movimento e 2h para o segundo, o tempo de viagem seria de 4h.

Opção E certa: o percurso total nos dá 300km que é o dado no exercício; no primeiro movimento teríamos

15050

t 1= t 1 =3h; no segundo teríamos Δ Δ

15075t 2= t 2 = 2h; como o tempo total é a soma

t1 + t 2 teríamos ttotal = 5h, que é o tempo calculado

na opção D.

(MACK -SP) Um carro faz um percurso de 140km em 3h. 7. Os primeiros 40km ele faz com certa velocidade escalar média e os restantes 100km com velocidade média que supera a primeira em 10km/h. A velocidade média nos primeiros 40km foi de:

50km/ha)

47km/h b)

42km/h c)

40km/h d)

28km/he)

Solução: `

A velocidade escalar média nos primeiros 40km será tal

que t1= 40

v_ ; a velocidade escalar média nos 100km

seguintes será tal que 100v_+ 10t 2= ; como o tempo total

de movimento foi de 3h, teremos Δt 1 + Δt 2 = 3h ou

substituindo 40v_ + 100

v_+ 10

= 3; resolvendo-se a equação

de segundo grau teremos, como raízes, 40 e – 103 ; não

interessando a resposta negativa, diremos então que v_= 40m/s.

Letra D

(PUC-SP) Numa corrida de carros, suponha que o ven-8. cedor gastou 1h 30min para completar o circuito, desen-volvendo uma velocidade média de 240km/h, enquanto que um outro carro, o segundo colocado, desenvolveu a velocidade média de 236km/h. Se a pista tem 30km, quantas voltas o carro vencedor chegou à frente do 2.º colocado?

0,2 volta.a)

0,4 volta.b)

0,6 volta.c)

0,8 volta.d)

1,2 voltas.e)

Solução: `

O primeiro carro terá S1 = 30n onde n representa o número de voltas que ele deu no intervalo de tempo Δ


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t=1h 30min; o segundo carro terá S2 = 30n’ onde n’ representa o número de voltas que ele deu no mesmo in-tervalo de tempo Δt , já que uma corrida de carros termina quando o primeiro colocado recebe a bandeirada.

Como v_

= St podemos escrever, para o primeiro carro,

240 = 30n1,5

observando que as unidades estão coerentes

(v em km/h , comprimento da pista em km e o tempo

foi passado para horas); portanto n = 240 . 1,530

ou

n = 12 voltas; repetindo o mesmo cálculo para o segundo

carro, vem 236= 30n'1,5 e portanto n’ = 236 . 1,5

30 ou

n’ = 11,8 voltas; então, a diferença no instante da che-

gada foi x = n – n’ x = 0,2 volta.

Letra A.

(FGV-SP) Um batalhão de infantaria sai do quartel para 9. uma marcha de exercícios às 5 horas da manhã, ao passo de 5km/h. Depois de uma hora e meia, uma ordenança sai do quartel de jipe para levar uma informação ao comandante da marcha, ao longo da mesma estrada, a 80km/h. Quantos minutos a ordenança levará para alcançar o batalhão?

11min.a)

1min.b)

5,625min.c)

3,5min.d)

6min.e)

Solução: `

Aplicando a equação de posição para o batalhão e para a ordenança:

batalhão Sf = S0 + 5 t b onde tb é o tempo gasto pelo batalhão.

ordenança Sf = S0 + 80 t o onde t o é o tempo gasto pela ordenança.

Tendo ambos partido do quartel, S0 é o mesmo e como vão se encontrar, isto é, ocupar uma mesma posição, Sf também é o mesmo ou 5tb= 80 to e, simplificando, tb=16 to.

O tempo de marcha do batalhão vale o tempo de viagem do jipe mais o intervalo de tempo entre os dois inícios; en-tão tb = t o + 1,5 e substituindo 16 to = to + 1,5, donde

15 to = 1,5 Δ t o = 0,1h; como o exercício pede em minutos to = 0,1 . 60min Δ to = 6min

Letra E

(U.F.MG) Duas esferas se movem em linha reta e 10. com velocidades constantes ao longo de uma régua centimetrada. Na figura estão indicadas as velocidades das esferas e as posições que ocupavam num certo instante.

5cm/s 3cm/s

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

As esferas irão colidir na posição correspondente a:

15cma)

17cmb)

18cmc)

20cmd)

22cme)

Solução: `

Chamaremos a esfera preta de 1 e a branca de 2;

esfera 1: S01 = 10cm; v1 = 5cm/s

esfera 2: S02 = 14cm; v2 = 3cm/s

Como a foto mostra um dado instante e elas vão se en-contrar, os tempos de movimento são iguais; as equações

horárias serão S1= S01+ v1t e S2= S02

+ v2t; no ponto de

encontro S1= S2 e, portanto, S01+ v1t = S02

+ v2t.

Substituindo os valores teremos 10 + 5 t = 14 + 3 t ou 2t = 4 ou t = 2 s; para calcular o ponto de encontro pode-mos usar a equação da esfera 1 ou da 2; usando a 1.

S1 = 10 + 5 . 2 Δ S1 = 20cm

Letra D

(UEL-PR) Duas cidades, A e B, distam entre si 400km. 11. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B; no mesmo instante, parte de B outro móvel O dirigindo-se a A. Os móveis P e O executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são de 30km/h e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e O, em km, vale:

120a)

150b)

200c)

240d)

250 e)

Solução: `

Como haverá encontro as posições finais dos móveis serão iguais; montaremos o esquema


10 EM

_V_F

IS_0

02

vp v0

A B400km

Considerando-se S0P= 0 e S0O

= 400 estaremos orien-tando o eixo e admitindo que é positivo para a direita; como os módulos das velocidades de P e O são 30 e 50 e tendo os móveis partido no mesmo instante (tP= tO= t), escrevemos suas equações horárias

Sp= S0p+ 30t e SO= S0O

+ (– 50)t; igualando:

0 + 30t = 400 – 50t ou 80t = 400 Δ t = 5h; como o exercício pede a distância de A à posição do encontro, podemos fazer para o móvel P:

Sp= 0 + 30 x 5 Δ Sp= 150km. Resposta letra B, já que adotamos o ponto A como referencial.

(EMC-RJ) Uma substância injetada na veia da região 12. dorsal da mão vai até o coração, com velocidade média de 20cm/s e retorna ao ponto de partida, por via arterial de igual percurso, com velocidade média de 30cm/s. Logo, podemos concluir que:

a velocidade média no percurso de ida e volta é a) 24cm/s;

o tempo gasto no trajeto da ida é igual ao de volta; b)

a velocidade média do percurso de ida e volta é de c) 25cm/s;

a velocidade média no trajeto de ida e volta é de d) 28cm/s.

nenhuma das respostas anteriores.e)

Solução: `

Como a distância percorrida na veia é igual à distância

percorrida na artéria, podemos usar 2vavvva + vv

v_ = onde

va é a velocidade média na artéria e vv é a velocidade

média na veia, ficando v_ = 2 . 30 . 20

30 + 20, ou v

_ = 1 200

50

e, portanto, v_ = 24m/s

Letra A

(AMAN) Uma representação gráfica aproximada da 13. velocidade em função do tempo desenvolvida por um motorista típico carioca é apresentada na figura abaixo. Qual a velocidade média no percurso correspondente ao intervalo de tempo entre t = 0 e t = 240s?

SINAL FECHADO SINAL FECHADO

km/h

t(seg)

120

120 180 240

60

600

Obs: Os trapézios são iguais e a base menor é desconhecida.

120km/ha)

80km/hb)

65km/hc)

35km/hd)

15km/he)

Solução: `

Dado um gráfico v x t, a área sob a curva nos dá a va-riação de posição (Δ S). A base superior, desconhecida, será chamada de b; teremos, então Δ S = 2 . área do

trapézio ou S = 2 . (60 + b) . 1202

o que resolvendo dá

S = (60+b) 120 ; como a velocidade escalar média

é v_ = S

t (60 + b) . 120240v

_ = ou (60 + b)

2v_ =

v_ = 30 + b

2; apesar de b ser desconhecido, o gráfico nos

mostra que 0 < b < 60 ; substituindo na equação de v_ os

valores limítrofes de b, obteremos: 30 < v_

< 60.

Letra D

É interessante notar que, apesar do tempo estar em segundos e a velocidade em km/h, não precisamos fazer transformação de unidades; se quiser ter certeza da nossa afirmativa pegue a expressão a e coloque as unidades:

(60 + b)s .120 km/h240sv_ = ; facilmente se nota que 60

e b estão expressos em segundos, que vai eliminar a unidade s do denominador; com isso, v

_estará expressa

em km/h.

(UFCE) Um automóvel move-se numa estrada conforme 14. o gráfico v X t na figura abaixo.

30

60

90

1 2 3 4 5

v(km/h)

t(h)

Determine a velocidade média, em km/h, após 5h.

Solução: `

No gráfico v X t a área sob a curva nos dá a variação de posição ( ΔS); então Δ S total = Δ S (0,1) + Δ S (1,3) + ΔS (3,5)

e, portanto,

Δ S total = ( 30 . 1 ) + ( 90 . 2 ) + ( 60 . 2 )

Δ S total = 30 + 180 + 120 = 330; como a velocidade escalar média é v

_= S

t 3305

v_

= ou v_ = 66km/h .


11EM

_V_F

IS_0

02

(FM ABC-SP) O gráfico ao lado mostra o espaço (s) de 15. um corpo em função do tempo (t).

S

t

A partir deste gráfico, podemos afirmar que a velocidade escalar do corpo é:

constante, diferente de zero. a)

uniformemente crescente. b)

uniformemente decrescente. c)

variável, sem uniformidade. d)

constante e sempre nula. e)

Solução: `

Como o gráfico S X t é uma reta, podemos dizer que a velocidade é constante, positiva e diferente de zero.

Letra A

(UFRJ) A coruja é um animal de hábitos noturnos que 16. precisa comer vários ratos por noite.

Um dos dados utilizados pelo cérebro da coruja para localizar um rato com precisão é o intervalo de tempo entre a chegada de um som emitido pelo rato a um dos ouvidos, e a chegada desse mesmo som ao outro ouvido.

Imagine uma coruja e um rato, ambos em repouso; num dado instante, o rato emite um chiado. As distâncias da boca do rato aos ouvidos da coruja valem d 1 = 12,780m e d 2 = 12,746m.

Sabendo que a velocidade do som no ar é de 340m/s, calcule a intervalo de tempo entre as chegadas do chiado aos dois ouvidos.

1.ª Solução (gráfica): `

Como num gráfico v X t a a área corresponde ao Δ S, no gráfico abaixo a área sombreada representa a diferença d1 – d2 . Admitida a velocidade do som no ar constante podemos ver que d 1 – d 2 = 340 (t1 – t2) e substituindo pelos valores dados, teremos : 12,780 – 12,746 = 340 (t1 – t2) donde (t1 – t2 ) = 1,00 . 10 – 4s.

v (m/s)

t1 t2

340

t

2.ª Solução (analítica): `

Como consideramos a velocidade do som no ar cons-tante, podemos escrever Δ S = vt ; para d1 teremos d1= 340t1 e para d2 teremos d2= 340t2; subtraindo as duas expressões vem d1– d2= 340 (t1– t2)e substituindo pelos valores do exercício 12,780 – 12,746 = 340 (t1– t2) donde (t1– t2) = 1,00 x 10– 4 s.

(FESP-SP) Das afirmações : 1.

Uma partícula em movimento em relação a um re-I. ferencial pode estar em repouso em relação a outro referencial.

A forma da trajetória de uma partícula depende do II. referencial adotado.

Se a distância entre dois corpos permanece constan-III. te, então um está em repouso em relação ao outro.

São corretas:

apenas I e II.a)

apenas III.b)

apenas I e III.c)

todas.d)

apenas II e III. e)

(Covest-PE) Um atleta caminha com uma velocidade 2. escalar constante dando 150 passos por minuto. O atleta percorre 7,2km em 1,0h com passos do mesmo tamanho. O comprimento de cada passo vale:

10cma)

60cmb)


12 EM

_V_F

IS_0

02

80cmc)

100cmd)

120cm e)

(Fund. Carlos Chagas-SP) Um relógio de ponteiros 3. funciona durante um mês. Nesse período, o ponteiro dos minutos terá dado um número de voltas mais apro-ximadamente igual a:

3,6 x 10a) 2

7,2 x 10b) 2

7,2 x 10c) 5

3,6 x 10d) 5

7,2 x 10e) 6

(UERJ) Na figura abaixo, o retângulo representa a janela 4. de um trem que se move com velocidade constante e não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento do trem em relação ao solo.

Dentro do trem, um passageiro sentado nota que começa a chover. Vistas por um observador em repouso em relação ao solo terrestre, as gotas da chuva caem verticalmente. Na visão de um passageiro sentado no lado esquerdo do trem, a alternativa que melhor descreve a trajetória das gotas através da janela é :

a)

b)

c)

d)

(AMAN-RJ) A posição de um ponto material varia no 5. decurso do tempo de acordo com o gráfico.

10

5

s (m)

t (s)1 2 3 4 5 6 7

Qual será o espaço percorrido no intervalo de tempo entre 2 e 4 segundos e o instante em que o móvel passa pela origem ?

(FGV-SP) A equação da posição de um móvel, no 6. SI, é dada por S = 20t – 5 t2 . Em que instantes, em segundos, a posição desse móvel é S = 0 ?

0 e 2a)

0 e 4b)

2 e 4c)

3 e 6d)

2 e 6 e)

(AFA) Assinale a alternativa correta. 7.

Um satélite artificial em órbita da Terra é um corpo a) em repouso.

Um passageiro sentado, no interior de um trem, pa-b) rado na plataforma, está em repouso.

Os conceitos de movimento e repouso dependem de c) referenciais que também devem estar em repouso.

Um corpo poderia estar em movimento, em relação d) a um referencial e em repouso, em relação a outro.

(ASSOCIADO-RJ) Entre os gráficos seguintes, o único 8. que apresenta uma situação impossível é :

o t

Sa)

b)

o t

S


13EM

_V_F

IS_0

02

o t

Sc)

d)

o t

S

(AFA) De uma aeronave em movimento retilíneo e unifor-9. me, uma bomba é abandonada em queda livre. A trajetó-ria dessa bomba, em relação à aeronave, será um:

arco de elipse.a)

arco de parábola.b)

segmento de reta.c)

ramo de hipérbole.d)

(UERJ) A figura abaixo representa uma escuna atracada 10. ao cais.

Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro – ponto O. Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro–ponto Q. Quando a escuna estiver se afastando do cais, com velocidade constante, se a mesma bola for abandonada do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da figura :

Pa)

Qb)

Rc)

S d)

(Cesgranrio) Os dois corpos 11. P e Q são ligados por um fio inextensível que passa por cima da roldana fixa R. Quando o sistema está em movimento, as distâncias y1 e y2, mostradas na figura, variam.

R

O

y1

y2

P

Q

Qual das alternativas abaixo melhor representa o gráfico de y1 em função de y2 ?

a) y1

y2

b) y1

y2

c) y1

y2

d) y1

y2

e) y1

y2


14 EM

_V_F

IS_0

02

(UFRJ) Um ônibus parte do Rio de Janeiro, às 13:00 12. horas e termina sua viagem em Varginha, Minas Gerais, às 21:00 horas do mesmo dia. A distância percorrida do Rio de Janeiro a Varginha é de 400km.

Calcule a velocidade escalar média do ônibus nessa viagem.

(UEL-PR ) Um automóvel mantém uma velocidade esca-13. lar constante de 72,0km/h. Em uma hora e dez minutos ele percorre, em km, uma distância de:

79,2 a)

80,0b)

82,4c)

84,0d)

90,0 e)

(PUC-RS) Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta 14. a uma velocidade de 72km/h quando acionou os freios e parou em 4,0s. A aceleração imprimida à motocicleta pelos freios foi, em módulo, igual a:

72km/ha) 2

4,0m/sb) 2

5,0m/sc) 2

15m/mind) 2

4,8km/he) 2

(UFPE) Um automóvel que vinha a 72km/h é freado e 15. para em 2,0s. Qual o valor absoluto da aceleração média do automóvel durante a freada?

zeroa)

3,6m/sb) 2

72m/sc) 2

10m/sd) 2

13m/se) 2

(EFOMM) Um móvel está com aceleração de 10m/s16. 2. Isto significa que:

a cada segundo, ele percorre 10m.a)

em cada segundo, sua velocidade varia de10b) 2m/s.

em cada segundo, ele percorre 10c) 2m.

em cada segundo, sua velocidade varia de 10m/s.d)

a velocidade não varia, pois a aceleração é cons-e) tante.

(UFCE - adaptado) Um automóvel move-se em uma 17. autoestrada retilínea observado por um sistema de radar, de tal modo que sua posição em função do tempo é representada no gráfico a seguir.

x(m)

100

80

60

40

20

0 1 2 3 4 5 6 7t (s)

Entre t1= 2,0s e t2= 3,0s houve uma pane no sistema de observação e nada foi registrado no gráfico. Determine o módulo da velocidade escalar média no intervalo de tempo entre t1 e t2.

(UFRS) O gráfico mostra as posições (x) de dois móveis, 18. A e B, em função do tempo (t). Os movimentos ocorrem ao longo do eixo Ox. Analisando o gráfico, pode-se verificar que :

x (m)

t (s)0 2 4 6

2

4

AB

em nenhum instante o móvel a) A possui velocidade instantânea nula.

o movimento do móvel b) B é uniformemente variado.

o móvel c) B alcança o móvel A no instante t = 4s.

o módulo da velocidade instantânea do móvel d) A é sempre maior do que o do B.

no instante t = 3s, o módulo da velocidade instantâ-e) nea do móvel B é maior do que a do A.

(PUC-RJ) Um carro avança com velocidade constante 19. cujo módulo vale 80km/h. Que distância percorre o carro em 15 minutos?

(UGF-RJ) Um carro passou pelo marco 24km de uma 20. estrada, às 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo marco 28km da mesma estrada às 12 horas e 11 minutos. A velocidade média do carro entre as duas passagens pelos dois marcos foi, em km/h, de aproximadamente :

12a)

24b)

28c)

60d)

80e)


15EM

_V_F

IS_0

02

(Integrado-RJ) Um objeto, movendo-se em linha reta, 21. ocupa a posição 5m, em relação a um referencial, no instante 0,2s. No instante 0,5s, a posição ocupada, em relação ao mesmo referencial, é 8m. A velocidade média do objeto, nesse intervalo de tempo é, em m/s:

10a)

13b)

16c)

25d)

43e)

(MACK-SP) Sejam M e N dois pontos de uma reta e P 22. o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com velocidade constante de 4,0m/s e PN com velocidade constante de 6,0m/s. A velocidade média do homem entre M e N é:

4,8m/sa)

5,0m/sb)

5,2m/sc)

4,6m/sd)

n.d.a. e)

(FEMC-RJ) Um carro vai do Rio a São Paulo com a 23. velocidade média de 60km/h e volta com a velocidade média de 40km/h. Logo, para ir e voltar gastando o mesmo tempo, a velocidade deverá ser de:

70km/ha)

40km/hb)

45km/hc)

50km/hd)

48km/he)

(UFRN) Um móvel percorre uma estrada retilínea AB, 24. onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e com movimento uniforme em cada um dos trechos AM e MB. A velocidade no trecho AM é de 100km/h e no trecho MB é de 150km/h.

A M B

A velocidade média entre os pontos A e B vale:

100km/ha)

110km/h b)

120km/hc)

130km/hd)

150km/h e)

(UEL-PR) Um trem de 200m de comprimento, com 25. velocidade escalar constante de 60km/h, gasta 36s para atravessar completamente uma ponte. A extensão da ponte, em metros, é de:

200a)

400b)

500c)

600d)

800e)

(UEL-PR) Duas cidades, 26. A e B, distam entre si 400km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B; no mesmo instante, parte de B outro móvel O dirigindo-se para A. Os móveis P e O executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são de 30km/h e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e O, em km, vale:

120a)

150b)

200c)

240d)

250e)

(Fuvest) Um ônibus sai de São Paulo às 8h e chega a 27. Jaboticabal, que dista 350km da capital, às 11h30min. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45km, sua velocidade foi constante e igual a 90km/h.

Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São a) Paulo/Jaboticabal?

Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí/b) Campinas?

(UERJ) A velocidade normal com que uma fita de vídeo 28. passa pela cabeça de um gravador é de, aproximadamente, 33mm/s.

Assim, o comprimento de uma fita de 120 minutos de duração corresponde a cerca de:

40ma)

80mb)

120mc)

240md)

(PUC) Um trem de passageiros sai de uma estação e 29. trafega à velocidade de 70km/h. Outro trem parte, no mesmo instante, de uma estação distante 100km da primeira e viaja na direção oposta à do trem de passa-geiros com velocidade de 30km/h. Em quantos minutos irão se encontrar?


16 EM

_V_F

IS_0

02

(EN) Um trem e um automóvel viajam paralelamente, 30. no mesmo sentido, em um trecho retilíneo. Os seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da do trem. Considerando-se desprezível o comprimento do automóvel e sabendo-se que o trem tem 100m de comprimento, qual a distância (em metros) percorrida pelo automóvel desde o instante em que alcançou o trem e o instante em que o ultrapassou?

100a)

200b)

250c)

400d)

500e)

(PUC) Sobre uma estrada encontram-se dois carros 31. movendo-se com velocidades de 60km/h e 40km/h. Num certo instante a distância entre eles era 50km. Determinar quanto tempo depois os carros se encontram em cada um dos casos abaixo:

Os carros viajam em sentidos contrários.a)

Os carros viajam no mesmo sentido.b)

(PUC) Ao passar do verde para o vermelho, um sinal de 32. trânsito permanece durante 4s no amarelo. Durante esse intervalo de tempo, que distância percorre um automóvel que trafega a 54km/h?

(MACK-SP) Os módulos das velocidades dos móveis, 33. cujas equações horárias estão representadas através dos gráficos (I) e (II) abaixo são, respectivamente:

20

10

0 1 2 3

(I)

x(m)

t(s)

20

10

0 1 2 3

(II)

x(m)

t(s)4

zero e 10m/sa)

5m/s e zerob)

10m/s e 5m/sc)

10m/s e zerod)

20m/s e 20m/se)

(UFRN) Um móvel desloca-se em MRU, cujo gráfico 34. v X t está representado na figura abaixo.

V (m/s)

t (s)10 2 3 4

10

Determine o valor do deslocamento do móvel entre os instantes t = 2,0s e t = 3,0s.

zeroa)

10mb)

20mc)

30md)

40me)

(UFPR) 35.

S (m)

t (s)

Dado o diagrama horário do movimento de um ponto material, podemos afirmar que:

a função horária do espaço é S = 30 + 10 t.a)

o ponto material move-se sempre em trajetória cur-b) vilínea.

o ponto material muda o valor da sua velocidade no c) instante t = 3s.

o ponto material muda o sentido de sua velocidade d) no instante t = 3s.

o deslocamento entre os instantes t = 0s e t = 3s e) é ΔS = 30m.

(FGV-SP) O gráfico abaixo representa a velocidade 36. de um ciclista em função do tempo, num determinado percurso.

24

12

1 2 3 t (h)

v(km/h)

A velocidade média do ciclista foi, em km/h:

14a)

16b)

18c)

20d)

22e)


17EM

_V_F

IS_0

02

(EMC-RJ) Dois móveis partem simultaneamente de um 37. ponto A, em movimentos retilíneos uniformes, na mes-ma direção mas com sentidos opostos, tendo ambos a mesma velocidade. Caso você pretendesse representar graficamente a variação da distância entre os dois mó-veis, em função do tempo, obteria:

uma exponencial.a)

uma parábola.b)

uma reta que passa pela origem dos eixos.c)

uma reta paralela ao eixo das abscissas.d)

uma reta paralela ao eixo das ordenadas.e)

(EFOMM) O gráfico desta questão ilustra a velocidade 38. de um certo móvel

v (m/s)

t (s)5 10 15 20

30

50

80

Calcule, em m/s, o valor aproximado de sua velocidade média de 0 a 15s.

62a)

57b)

51c)

45d)

43e)

(Unitau-SP) O gráfico abaixo mostra como a posição de 39. um corpo varia com o tempo.

S (cm)

t (s)

A velocidade, no instante t = 5s, vale:

zeroa)

20cm/sb)

40cm/sc)

90cm/sd)

100cm/se)

(ESPCEX) Dois móveis, 40. M e N, deslocam-se numa mesma reta. Suas posições, em função do tempo, estão registradas no gráfico abaixo:

S (m)

t (s)

Com base nele, o encontro dos móveis M e N dá-se no instante:

10sa)

5sb)

20sc)

8sd)

9se)

(Cesgranrio) Um automóvel percorre 180km com velo-41. cidade média de 40km/h. Um outro carro faz o mesmo percurso, partindo meia hora depois do primeiro. Se os dois carros chegam juntos ao final do percurso, a velocidade média do segundo carro é :

35km/ha)

45km/hb)

50km/hc)

55km/hd)

70km/he)

(FCM-RJ) O gráfico a seguir representa a posição de 1. um móvel em função do tempo.


18 EM

_V_F

IS_0

02

t (s)

20

10

–10

–20

S (m)

0 1 2 3 4 5

Com base no gráfico, calcule :

quanto o móvel percorreu efetivamente no intervalo a) de tempo entre 0 e 5s.

o instante em que o móvel passa pela origem dos b) espaços.

o espaço percorrido pelo móvel enquanto em mo-c) vimento progressivo.

o espaço percorrido pelo móvel enquanto em mo-d) vimento retrógrado.

(UFPB) Um observador, situado em um veículo que se 2. move para a direita com velocidade v, deixa cair uma pedra.

a)

b)

c)

d)

e)

Qual dos gráficos acima melhor representa o movimento dessa pedra, do ponto de vista de um segundo observador que se move, também para a direita, com velocidade v em relação ao primeiro?

(UERJ) Um avião se desloca com velocidade constante, 3. como mostrado na figura:

Ao atingir uma certa altura, deixa cair um pequeno objeto. Desprezando-se a resistência do ar, as trajetórias descritas pelo objeto, vistas por observadores no avião e no solo, estão representadas por :

Observador no avião Observador no solo

a)

b)

c)

d)

e)

(PUC-RS) Esta explicação se refere aos exercícios 4 e 5.

Dois móveis, A e B, percorreram uma trajetória retilínea, conforme as equações horárias SA= 30 + 20t e SB= 90 – 10t, sendo a posição S em metros e o tempo t em segundos.

No instante t = 0s, a distância entre os móveis, em me-4. tros, era de:

30a)

50b)

60c)


19EM

_V_F

IS_0

02

80d)

120.e)

O instante de encontro dos dois móveis, em segundos, 5. foi:

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

(Cesgranrio) Um trem anda sobre trilhos horizontais 6. retilíneos com velocidade constante igual a 80km/h. No instante em que o trem passa por uma estação, um objeto, inicialmente preso ao teto do trem, cai.

v = 80km/h

A trajetória do objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem, será :

a)

b)

c)

d)

e)

(Cesgranrio) Em relação à situação descrita na pergunta 7. anterior, qual é a trajetória do objeto vista por um ob-servador parado na estação?

(A seta imediatamente abaixo representa o sentido do movimento do trem para esse observador).

a)

b)

c)

d)

e)

(AFA). O gráfico abaixo representa o deslocamento de 8. duas partículas A e B.

Obs: considerar as retas paralelas.

Pela interpretação do gráfico pode-se afirmar que as partículas partem de (do):

pontos diferentes com velocidades diferentes.a)

mesmo ponto com a mesma velocidade.b)

mesmo ponto com velocidades diferentes.c)

pontos diferentes com a mesma velocidade.d)

(Cesgranrio) O gráfico mostra como varia, com o tempo 9. (t), o nível da água (h) em um recipiente, inicialmente va-zio, o qual se enche com uma bica de vazão constante.

Nível da água (h)

Tempo

H

TT2

H2


20 EM

_V_F

IS_0

02

O recipiente utilizado foi um dos cinco representados nas opções propostas. Assinale-o .

a)

H

b)

H

c)

H

d)

H

e)

H

(Fuvest) Um filme comum é formado por uma série de 10. fotografias individuais que são projetadas à razão de 24 imagens (ou quadros) por segundo, o que nos dá a sensação de um movimento contínuo. Esse fenômeno é devido ao fato de que nossos olhos retêm a imagem por um intervalo de tempo um pouco superior a 1/20 de segundo. Essa retenção é chamada de persistência da retina.

Numa projeção de filme com duração de 30 segun-a) dos, quantos quadros são projetados ?

Uma pessoa, desejando filmar o desabrochar de b) uma flor cuja duração é de, aproximadamente, 6,0 horas, pretende apresentar esse fenômeno num filme de 10 minutos de duração. Quantas fotogra-fias individuais do desabrochar da flor devem ser tiradas ?

(UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um 11. passageiro decide calcular a velocidade escalar média do ônibus. Primeiramente, verifica que os marcos indicativos de quilometragem na estrada estão dispostos de 2,0 em 2,0km. O ônibus passa por três marcos consecutivos e o passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre o primeiro marco e o terceiro é de 3 minutos.

Calcule a velocidade escalar média do ônibus nesse trecho da viagem, em km/h.

(Cesgranrio) Um certo tipo de foguete, partindo do 12. repouso, atinge a velocidade de 12km/s após 36s. Qual foi sua aceleração média, em km/s2, nesse intervalo de tempo?

0a)

3b)

2c)

1/2d)

1/3e)

(Cesgranrio) Uma linha de ônibus urbanos tem um trajeto 13. de 25km. Se um ônibus percorre esse trajeto em 85 minu-tos, a sua velocidade média é aproximadamente de:

3,4km/ha)

50km/hb)

18km/hc)

110km/hd)

60km/he)

Os exercícios 14, 15 e 16 referem-se ao seguinte enunciado.

(UGF-RJ) Nos gráficos a seguir são representadas as distâncias x à origem, em uma trajetória retilínea, em função do tempo t.I.

x

t

II. x

t

III. x

t


21EM

_V_F

IS_0

02

IV. x

t

V. x

t

Em quais dos movimentos acima representados a velo-14. cidade da partícula adquire o valor zero ?

I e Va)

II e Vb)

III e IVc)

III e Vd)

I e IVe)

Em qual dos movimentos acima representados a veloci-15. dade da partícula pode ter valores negativos ?

Ia)

IIb)

IIIc)

IVd)

Ve)

Em qual dos movimentos acima a aceleração é nula ?16.

I e Va)

I e II b)

III e IVc)

IV e Vd)

IVe)

(UGF-RJ) Um ponto móvel está em 17. x = 10m quando t = 0 s; em x = – 14m quando t = 12s e em x = 4,0m quando t = 20s. Qual o módulo da velocidade média do ponto no decurso dos primeiros 12s e no percurso total ?

2,0m/s e 0,30m/s;a)

4,0m/s e 8,0m/s;b)

2,0m/s e 3,0m/s;c)

6,0m/s e 8,0m/s;d)

3,0m/s e 0,30m/s.e)

(FATEC-SP) Nos diagramas horários 18. I e II, a compa-ração das velocidades instantâneas v 1 em t1 , v2 em t2 , v3 em t3 e v4 em t4 resulta :

s (m)

t (s)t1 t2

s (m)

t (s)t3 t4

va) 1 > v2 e v3 > v4

vb) 1 < v2 e v3 = v4

vc) 1 = v2 e v3 = v4

vd) 1 > v2 e v3 = v4

ve) 1 < v2 e v3 < v4

(UFRJ) Em sua viagem da descoberta da América, Cris-19. tovão Colombo gastou 37 dias para ir das Ilhas Canárias até a Ilha de Guanahani, num percurso de cerca de 6 000km, conforme indica o mapa.

Escala 1:150.000.000

0 1500 3000 6300

km

Calcule, em km/h, a velocidade escalar média das cara-velas de Colombo nesse trecho da viagem.

(UFRJ) O gráfico abaixo mostra a abscissa da posição 20. de uma partícula que se move ao longo do eixo x em função do tempo t e destaca três instantes distintos t 1 , t 2 e t 3 .

5 10 15 20t1 t2 t3 t(s)

10

x(m)


22 EM

_V_F

IS_0

02

Coloque em ordem crescente os valores das velocidades escalares instantâneas da partícula nos instantes t1 , t2 e t3. Justifique sua resposta.

(ITA-SP) Um motorista deseja perfazer a distância de 21. 20km com a velocidade média de 80km/h. Se viajar durante os 15 minutos com a velocidade de 40km/h, com que velocidade deverá fazer o percurso restante?

120km/h.a)

160km/h.b)

é impossível atingir a velocidade média desejada c) nas circunstâncias apresentadas.

nula.d)

nenhuma afirmação é correta.e)

(AFA) Dois trens 22. A e B, de comprimentos A e B, deslocam-se no mesmo sentido, em linhas paralelas, com velocidades escalares constantes de módulos vA e vB, respectivamente. O intervalo de tempo t gasto pelo trem A para ultrapassar B é dado por :

a) A – B

vA – vB

b) A – B

vA + vB

c) A + B

vA + vB

d) A + B

vA – vB

(AFA) Uma estrada de ferro retilínea liga duas cidades 23. A e B separadas por uma distância de 440km. Um trem percorre esta distância com movimento uniforme em 8h. Após 6h de viagem, por problemas técnicos, o trem fica parado 30 minutos. Para que a viagem transcorresse sem atraso, a velocidade constante, em km/h, que o trem deveria percorrer o restante do percurso seria de aproximadamente:

55,0a)

61,2b)

73,3c)

100,0 d)

(AFA) Uma esteira rolante com velocidade v, transporta 24. uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distân-cia é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp sobre a esteira em movimento, o tempo gasto no percurso, em segundos, será:

5a)

10b)

15c)

30 d)

(FAC MED – UFRJ) Um móvel parte de um ponto 25. A, passa por B e atinge C, sempre em movimento retilíneo uniforme. Sabendo-se que a distância AC é de 100m e que a diferença entre as distâncias AB e BC é de 20m, podemos concluir que a relação entre os tempos gastos para percorrer o maior e o menor trecho será:

2 para 1a)

3 para 2b)

4 para 1c)

4 para 3d)

5 para 1e)

(Fuvest) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da 26. chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo cerca de 1 000km. Sendo de 4km/h a velocidade média das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas águas da chuva em, aproximadamente:

30 dias.a)

10 dias.b)

25 dias.c)

2 dias.d)

4 dias.e)

(CIAGA-RJ) Um avião iraniano decola da base aérea de Teerã e, 5 minutos depois, é detectado pelo radar de um porta-aviões americano fundeado no Golfo Pérsico. Sabemos que o radar emite ondas eletromagnéticas de rádio-frequência e que o sinal emitido leva 3 × 10–4 s (segundos) para atingir o alvo e retornar à antena do radar.

Qual a distância do alvo ao porta-aviões no instante da 27. detecção?

90kma)

45kmb)

180kmc)

60kmd)

100kme)

O porta-aviões lança um míssil contra o avião, 2 minutos 28. após a detecção. Qual o tempo até o impacto, supondo a velocidade do avião 540km/h e a do míssil 1 800km/h e que ambos se deslocam na mesma direção em sentidos contrários?

60,00sa)

15,24sb)

27,74sc)


23EM

_V_F

IS_0

02

85,46sd)

41,54se)

Qual a distância do ponto de impacto ao porta-aviões?29.

30 715ma)

20 769mb)

6 535mc)

28 325md)

13 845me)

(FAC CIENC MED – UEG) Uma substância injetada 30. numa veia, na altura do cotovelo, chega ao coração em t1 segundos e leva mais t2 segundos para atingir a língua. A velocidade média da circulação sanguínea no trajeto braço-língua é proporcional:

ao tempo a) t1

ao tempo b) t2

ao tempo c) t1 + t2

ao quadrado de d) t1 + t2

ao inverso de e) t1 + t2

(UFRJ) Duas pessoas partem simultaneamente de um 31. dos extremos de uma pista retilínea, com o objetivo de ir ao outro extremo e retornar ao ponto de partida. Uma se desloca correndo e a outra andando, ambas com movimentos uniformes. Transcorridos 30min, a distân-cia entre elas é 5,0km. Decorridos mais 30min, elas se cruzam no meio da pista.

Desprezando o tempo da virada no extremo oposto ao da partida, calcule a extensão da pista.

(PUC) A tabela abaixo fornece os dados de uma viagem 32. feita por um móvel, em três intervalos independentes e na sequência 1, 2 e 3.

INTERVALODURAÇÃO DO

INTERVALO (h)

VELOCIDADE (km/h)

123

0,100,400,20

206020

Construir o gráfico da velocidade, em km/h, em a) função do tempo, em h.

Calcular a distância total percorrida pelo móvel.b)

Indicar no gráfico o tempo que o móvel gasta para c) percorrer os primeiros 11km.

(UF. Juiz de Fora) Num laboratório de Física, um pes-33. quisador observou os movimentos de duas partículas e representou a variação da posição de cada uma delas no tempo, de acordo com o gráfico a seguir:

A partir do gráfico, pode-se afirmar que:

a partícula A está subindo e a partícula B está des-a) cendo.

as duas partículas estão se deslocando no mesmo b) sentido com velocidades iguais.

a partícula B é mais lenta que a partícula A e tem c) sentido oposto a esta.

a partícula A é mais rápida que B e se desloca no d) mesmo sentido desta.

a partícula B é mais rápida que A e tem sentido e) oposto a esta.

(UMC) O gráfico abaixo mostra, em função do tempo, a posição de dois estudantes A e B que caminham no mesmo sentido, pela mesma calçada, em trajetórias retilíneas e paralelas.

Com base no gráfico, resolva as questões que se seguem.

Determine a velocidade escalar do estudante A.34.

Determine a velocidade escalar do estudante B.35.

Determine a distância que A percorreu até ser alcançado 36. por B.

(PUC) A posição de um corpo, em movimento ao longo 37. de uma trajetória retilínea, varia em função do tempo, de acordo com o diagrama abaixo, onde S é medido em metros e t em segundos.


24 EM

_V_F

IS_0

02

20,0

15,0

10,0

5,00,0

–5,0

–10,0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

S

t

A velocidade média do corpo, no intervalo de tempo de 1,0s a 5,0s, tem valor:

6,25m/sa)

–6,25m/sb)

7,50m/sc)

– 7,50m/sd)

8,33m/s e)

(Associado) Um botânico, estudando o efeito da auxina 38. sob ação de luz, observa que nos dia de chuva a planta cresce 0,5mm por dia e nos dias de Sol, 1,5mm por dia. Construa o gráfico da velocidade de crescimento da planta, sabendo-se que choveu nos dois primeiros dias da semana, fez Sol nos três seguintes, choveu no-vamente no sexto dia e no último dia fez Sol; determine também a altura atingida pela planta.

(Integrado) Considere duas cidades 39. A e B. De 20 em 20 minutos sai um ônibus de A para B e um de B para A, contínua e simultaneamente. Os ônibus gastam 1 hora para fazer o percurso. Um certo ônibus cruzará, na estrada, com quantos outros?


25EM

_V_F

IS_0

02

A 1.

C2.

B 3.

A4.

O espaço percorrido entre 2 e 4s é zero e ele passa pela 5. origem no instante 6s.

B 6.

D7.

C8.

C 9.

B10.

D11.

v = 12. 50km/h

D13.

C14.

D15.

D 16.

A posição inicial é S17. 2 = 80m e a posição final é S3 = 80m;

aplicando 80 – 803 – 2v = v = = 0

1; v = 0

E18.

19. = 20km.

D20.

A21.

A22.

E23.

C24.

B 25.

B 26.

27.

v = a) 100km/h

t = 0,5h b)


26 EM

_V_F

IS_0

02

D28.

t = 60min.29.

Vamos fazer um diagrama, mostrando a situação inicial, 30. quando o carro começa a ultrapassar o trem até o ins-tante da ultrapassagem completa:

O diagrama nos mostra que Scarro= Strem+ trem; teremos então vcarro t = vtrem t + trem e como vcarro=2vtrem ,

2vtrem t = vtrem t + 100 ⇒ vtrem t = 100 ou Strem= 100m ;

usando Scarro= Strem+ trem vem Scarro= 100 + 100 ou Scarro= 200m

Letra B

31.

Fazendo o diagrama:a)

A 60km/h 40km/h B

50km/h

Como os tempos de movimento são iguais, podemos então escrever:

SA + SB = 50km ou vA t + vB t = 50 ⇒ 60 t + 40 t = 50 ⇒ 100 t = 50 ou t = 0,5h

(quando se usa a expressão do S , o sinal é dado pelo diagrama)

Fazendo o diagrama:b)

A 60km/h B 40km/h

50km/h

SA

SB

STREM

Como os tempos de movimento são iguais, podemos então escrever:

SA = SB + 50km ou vA t = vB t + 50 ⇒ 60 t – 40 t = 50 ⇒ 20 t = 50 ou t = 2,5h

(confirmamos: quando se usa a expressão do S, o sinal é dado pelo diagrama)

Como o automóvel tem velocidade constante:32.

S = 15 x 4 = 60m .

D33.

B34.

E35.

D 36.

C 37.

A38.

C 39.

A40.

B41.

1.

60m.a)

t = 1,5s .b)

20m.c)

40m.d)

B2.

C3.

C 4.

B 5.

A6.

C7.

D8.

Inicialmente o nível de água varia lentamente, depois 9. aumenta taxa de variação e finalmente o nível volta a variar lentamente. Portanto, as áreas são grandes no início e no fim e menores no meio, o que corresponde à letra B.

10.

720 quadrosa)

14 400 quadros.b)

v = 11. 80km/h.

E12.


27EM

_V_F

IS_0

02

C13.

C14.

C15.

D16.

A17.

D18.

v = 19. 6,8km/h.

Como a velocidade instantânea é dada pela tangente 20. do ângulo formado entre a linha tangente à curva no instante considerado e o eixo dos tempos, traçando-se essa linha tangente nos instantes t1, t2 e t3 verificamos que o ângulo formado em t1 é maior do que o ângulo formado em t3, e este é maior do que o ângulo forma-do em t2 ( você pode ver que em t2 a linha tangente é praticamente paralela ao eixo dos tempos, o que quer dizer que o ângulo é zero e, portanto, a velocidade nesse instante é zero ); portanto, v1 > v3 > v2.

A justificativa só pode ser pela ideia da derivada: como o que foi dito acima corresponde à significação geométrica da derivada, a velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em função do tempo ou

seja v = dSdt

.

C21.

D22.

C23.

B24.

B 25.

Como 26. S = v t, substituindo pelos valores dados na questão teremos 1 000 = 4 x t e portanto t = 250h; montando a regra de três:

1 dia ≡ 24h

y ≡ 250h

teremos y = 10,42

ou aproximadamente 10 dias (opção B).

B 27.

E28.

B29.

Considerando-se o caminho percorrido como Δ S B L 30. podemos escrever:

SBL = v Δt onde Δ t = t1 + t2; a velocidade do sangue fica, então:

v Δt = SBL

t1+ t2

; como SBL é constante v Δ+ ∝ = 1

t1+ t2

(opção E)

Fazendo um diagrama e chamando v31. c à velocidade do que corre e va à velocidade do que anda:em 30min de movimento ( Δt = 0,5 h)

5km

SC

SA

VA VC

A B

SC= SA+ 5km ou vcx 0,5 = vAx 0,5 + 5 ⇒ 0,5 (vC– v A) = 5 ⇒ vC – vA = 10 ( I )

em mais 30min de movimento (t = 1h)

VA VC

A B

AB2

AB2

SĆ = 3 AB2

e SÁ = 3 AB2

⇒ SĆ = 3 SÁ

vC x 1 = 3 x vA x 1 ou vC = 3vA e substituindo em ( I )

3 vA – vA = 10 ⇒ vA = 5km/h

Como S’A = AB2

= vA x 1 ⇒ AB = 2 x 5 = 10km.

32.

Para S’ = 11km, deveremos ter o 1.º intervalo de tempo ( S0;10 = 2,0km) mais um pedaço do segundo, já que

S0;10; 0.50 = 60 x 0,40 = 24km; então:

S’ = S0; 0,10+ S0,10; T = 2,0 + (T – 0,10) 60 = 11 e, portanto,

T – 0,10 = 11– 260

⇒ T – 0,10 = 0,15 ou T = 0,25h

E 33.

v34. A = St

= 5 – 11

⇒ vA = 4,0km/h

v35. B = St

= 5 – 01

⇒ vB = 5,0km/h

d36. A = S1 – S2 = 5 – 1 = 4km

B 37.

Construindo o gráfico Vf(t) 38.


28 EM

_V_F

IS_0

02

Dias dasemana

Como a área sob a curva nos dá S, calculamos as 4 áreas:

S0;2 = 0,50 x 2 = 1,0mm

S2;5 = 1,5 x 2 = 4,5mm

S5;6 = 0,50 x 1 = 0,50mm

S6;7 = 1,5 x 1 = 1,5mm; o crescimento total será a soma dessas áreas:

S total = 7,5mm

Construímos um gráfico S = f(t) colocando no eixo 39. x os instantes de partida dos ônibus; no próprio eixo x estará a partida dos ônibus de A ; traçamos uma paralela ao eixo x que mostrará, nos mesmos instantes, as partidas de ônibus de B; as linhas pontilhadas representam então, alguns dos ônibus que partem de B e as linhas cheias representam alguns dos ônibus que partem de A; peguemos, como caso genérico, o ônibus que parte de A no instante 0; observa-se facilmente que ele cruzará, na estrada, com 5 ônibus que saem de B.


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