Quadrilátero:Quadrilátero:QuadriláteroQuadrilátero é um polígono de é um polígono de quatro lados.quatro lados.

Antonio Carlos Antonio Carlos Carneiro BarrosoCarneiro Barroso Professor de Matemática do Colégio Professor de Matemática do Colégio

Estadual Dinah Gonçalves em Valéria Estadual Dinah Gonçalves em Valéria Salvador-BahiaSalvador-Bahia

Graduado pela UFBAGraduado pela UFBA Pós Graduado em Metodologia e Pós Graduado em Metodologia e

DidáticaDidática 29/06/2009 29/06/2009 http://ensinodematemtica.blogspot.comhttp://ensinodematemtica.blogspot.com

Cont.Cont.

Em um quadrilátero, dois lados ou dois Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados ângulos não-consecutivos são chamados opostos.opostos.

Elementos:Elementos:

Vértices:Vértices: A, B, C, e D. A, B, C, e D.Lados:Lados: Diagonais:Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do Ângulos internos ou ângulos do quadrilátero ABCD: . quadrilátero ABCD: .

Observações:Observações:

Todo quadrilátero tem duas diagonais. Todo quadrilátero tem duas diagonais. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das

medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA. medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.       Côncavos e ConvexosCôncavos e Convexos Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.

Um quadrilátero é Um quadrilátero é convexoconvexo quando a reta que une quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices formado pelos dois outros vértices

Convexo e CôncavoConvexo e Côncavo

http://ensinodematemtihttp://ensinodematemtica.blogspot.comca.blogspot.com QuadriláteroQuadrilátero     Soma das medidas dos ângulos Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexointernos de um quadrilátero convexo

A soma do ângulos internos de um A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º. Podemos quadrilátero convexo é 360º. Podemos provar tal afirmação decompondo o provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.BCD.

Observe:Observe:

Cont.Cont.

Do triângulo ABD, temos : Do triângulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180º. 1a + b1 + d1 = 180º. 1 Do triângulo BCD, temos:Do triângulo BCD, temos: c + b2 + d2 = 180º. 2c + b2 + d2 = 180º. 2 Adicionando 1 com 2 , obtemos:Adicionando 1 com 2 , obtemos: a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º +

180º180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º

a + b + c + d = 360º a + b + c + d = 360º

Cont.Cont.

ObservaçõesObservações 1.Termos uma fórmula geral para 1.Termos uma fórmula geral para

determinação da soma dos ângulos determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:internos de qualquer polígono convexo:

Si = (n - 2)·180º, onde Si = (n - 2)·180º, onde nn é o número de é o número de lados do polígono. 2. A soma dos lados do polígono. 2. A soma dos ângulos externos de um polígono ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.convexo qualquer é 360º.

Cont.Cont.

Quadriláteros NotáveisQuadriláteros Notáveis ParalelogramoParalelogramo Paralelogramo é o quadrilátero que tem Paralelogramo é o quadrilátero que tem

os lados opostos paralelos.os lados opostos paralelos.

Cont.Cont.

QuadriláteroQuadrilátero     RetânguloRetângulo Retângulo é o paralelogramo em que os Retângulo é o paralelogramo em que os

quatro ângulos são congruentes (retos).quatro ângulos são congruentes (retos).

Cont.Cont.

    LosangoLosango Losango é o paralelogramo em que os Losango é o paralelogramo em que os

quatro lados são congruentes.quatro lados são congruentes.

Cont.Cont.

QuadradoQuadrado Quadrado é o paralelogramo em que os Quadrado é o paralelogramo em que os

quatro lados e os quatro ângulos são quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.Exemplo:congruentes.Exemplo:

É o único quadrilátero É o único quadrilátero regular. É, regular. É, simultaneamente simultaneamente retângulo e losango retângulo e losango

      TrapézioTrapézio É o quadrilátero que apresenta somente É o quadrilátero que apresenta somente

dois lados paralelos chamados dois lados paralelos chamados basesbases. . Exemplo:Exemplo:

Trapézio:Trapézio:

Cont.Cont.

Cont.Cont.

Denominamos Denominamos trapezóide trapezóide o o quadrilátero que não apresenta lados quadrilátero que não apresenta lados paralelos.paralelos.

QuadriláteroQuadrilátero Destacamos alguns trapézios:Destacamos alguns trapézios: Trapézio retânguloTrapézio retângulo É aquele que apresenta dois ângulos É aquele que apresenta dois ângulos

retos.retos.

Cont.Cont.

Professor Antonio Professor Antonio CarlosCarlos     Trapézio isóscelesTrapézio isósceles É aquele em que os lados não-paralelos É aquele em que os lados não-paralelos

são congruentes.Exemplo:são congruentes.Exemplo:

Cont.Cont.

    Trapézio escalenoTrapézio escaleno      

É aquele em que os lados não-paralelos É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.Exemplo:não são congruentes.Exemplo:

Cont.Cont.

QuadriláteroQuadrilátero Propriedades dos ParalelogramosPropriedades dos Paralelogramos 1ª Propriedade1ª Propriedade Os lados opostos de um paralelogramo Os lados opostos de um paralelogramo

são congruentes.são congruentes.

ParalelogramoParalelogramo

H: ABCD é paralelogramo. T:

Cont.Cont.

2ª Propriedade2ª Propriedade Cada diagonal do paralelogramo o divide Cada diagonal do paralelogramo o divide

em dois triângulos congruentes.em dois triângulos congruentes.

H: ABCD é paralelogramo. T:

H:  ABCD  é H:  ABCD  é paralelogramo paralelogramo 3ª Propriedade3ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo As diagonais de um paralelogramo

interceptam-se mutuamente ao meio.interceptam-se mutuamente ao meio.

Cont.Cont.

QuadriláteroQuadrilátero   4ª Propriedade4ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo As diagonais de um paralelogramo

interceptam-se mutuamente ao meio.interceptam-se mutuamente ao meio.

Resumindo:Resumindo:

Num paralelogramo:Num paralelogramo: os lados opostos são congruentes; os lados opostos são congruentes; cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os ângulos opostos são congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais interceptam-se em seu ponto médio. as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.   Propriedade característica do retângulo.Propriedade característica do retângulo. As diagonais de um retângulo são congruentes. As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD  é retângulo. T: ABCD  é retângulo.