Triângulos

Geometria

Triângulos

1. Considerações iniciais

2. Relações entre os elementos geométricos de um triângulo

2.1. Relações entre os ângulos

2.2. Relações entre os lados

2.3. Relações entre os lados e os ângulos de um triângulo

3. Construção e igualdade (congruência) de triângulos

4. Linhas e pontos notáveis (no plano) de um triângulo

ESE VESE VISEUISEU

PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICAPARA PROFESSORES DO 1º E 2º CICLOS

1. Considerações Iniciais

Dados dois pontos não colineares, A, B e C chama-se triângulo ou trilátero à

intersecção dos três semi-planos cujas origens são as rectas definidas por aqueles pontos 2 a 2

e que contêm o outro ponto.

De outra forma, triângulo é qualquer polígono com três lados e três ângulos.

Num triângulo, as duas semi-rectas que partem do mesmo vértice e contêm dois lados,

limitam um ângulo que se chama ângulo interno ou simplesmente ângulo que se diz adjacente

a qualquer desses lados.

Ângulos externos de um triângulo são os ângulos formados por um dos lados e pelo

prolongamento do lado consecutivo.

Exemplo

são ângulos externos do triângulo

[ABC].

Programa de Formação Contínua em Matemática

ELEMENTOS DO TRIÂNGULO [ABC]

Vértices – A, B, C.

Lados – [AB], [BC], [CA].

Ângulos - são os ângulos internos

Num triângulo, um lado oposto a um ângulo é aquele que não está contido em nenhum

dos lados do ângulo.

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

Um triângulo pode ser classificado quanto à grandeza relativa dos seus lados e quanto

à amplitude / natureza dos seus ângulos internos.

Quanto à grandeza relativa dos lados, os triângulos classificam-se em:

1. Isósceles – quando têm pelo menos dois lados iguais.

2. Equiláteros – quando têm os três lados iguais.

3. Escalenos – quando têm os três lados desiguais.


Quanto à natureza dos seus ângulos, os triângulos classificam-se em :

1. Rectângulos – quando têm um ângulo recto.

[AB] e [AC] são catetos; [BC] é a hipotenusa.

2. Acutângulos – quando têm todos os ângulos agudos

3. Obtusângulos – quando têm um ângulo obtuso.

2. Relações entre os elementos geométricos de um triângulo

2.1 Relação entre os ângulos

A soma das amplitudes dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.


A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos

ângulos internos não adjacentes.

A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é maior do que a amplitude de

qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

2.2 Relação entre os lados

Num triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das medidas dos outros dois

– Desigualdade triangular.

Num triângulo, a medida de cada lado é maior que a diferença das medidas dos outros

dois.

Num triângulo rectângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos

quadrados das medidas dos catetos – Teorema de Pitágoras.


2.3. Relação entre os lados e ângulos de um triângulo

Num triângulo, a ângulos iguais opõem-se lados iguais e vice-versa.

Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo (e ao menor lado opõe-se o

menor ângulo) e vice-versa.

3. Construção e igualdade (congruência) de triângulos

Dois triângulos dizem-se iguais ou congruentes se coincidem ponto por ponto. Em dois

triângulos congruentes, aos elementos iguais chamamos elementos correspondentes ou

homólogos.

Como foi referido, dois triângulos iguais têm os seis elementos iguais, cada um a cada

um. Porém, para afirmar a igualdade de triângulos, é suficiente saber-se que três determinados


elementos são iguais. Assim, os casos apresentam-se, de seguida, com as respectivas

abreviaturas,

a.l.a – um lado ( l ) e dois ângulos adjacentes (a.a);

l.a.l – dois lados ( l.l ) e o ângulo por eles formado( a );

l.l.l – os três lados.

1º Caso de igualdade de triângulos (a.l.a.)

Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais,

cada um a cada um. (a.l.a. = a.l.a.)

CONSTRUÇÃO

Conhecidos dois ângulos, o terceiro também o é pois é o suplementar da soma daqueles.

Dados Construção

Desenha-se um segmento geometricamente igual a c e nos seus extremos ângulos

geometricamente iguais a A e B.

2º Caso de igualdade de triângulos (l.a.l)


Dois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um e o ângulo por

eles formado igual. ( l.a.l = l.a.l )

CONSTRUÇÃO

Dados um ângulo e os lados que o formam,

Dados Construção

Constrói-se um ângulo geometricamente igual a C e sobre os seus lados consideram-se

segmentos geometricamente iguais a a e b. Unem-se os extremos destes dois segmentos.


3º Caso de igualdade de triângulos (l.l.l)

Dois triângulos são iguais se têm os três lados iguais, cada um a cada um ( l. l. l= l. l. l).

CONSTRUÇÃO

Dados Construção

Desenha-se um segmento geometricamente igual a a. Com centro nos extremos desse

segmento, constroem-se circunferências de raios b e c. O ponto de intersecção dessas

circunferências é o terceiro vértice do triângulo.


4. Linhas e pontos notáveis (no plano) do triângulo

Mediatriz

Eixo ou mediatriz de um triângulo é a recta perpendicular ao

meio de qualquer dos seus lados.

As mediatrizes de um triângulo encontram-se num ponto que

se designa por circuncentro do triângulo ou centro da

circunferência circunscrita no triângulo.

O circuncentro de um triângulo está equidistante dos vértices.

Bissectriz

Bissectriz de um triângulo é a bissectriz de qualquer dos seus

ângulos.

As bissectrizes de um triângulo encontram-se num ponto que se

designa por incentro do triângulo ou centro da circunferência inscrita no

triângulo.

O incentro de um triângulo está equidistante de todos os lados.


Altura

Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular baixada de um vértice sobre o lado oposto ou sobre o

seu prolongamento.

As alturas de um triângulo ou os seus

prolongamentos encontram-se num ponto designado por

ortocentro do triângulo.

Mediana

Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice com o ponto

médio do lado oposto.

Ao ponto de encontro das medianas de um triângulo dá-se o nome de

baricentro (ou centro de gravidade) do triângulo.

A distância do baricentro de um triângulo a qualquer um dos seus vértices é da mediana respectiva.

Na figura,


EIXOS DE SIMETRIA DE ALGUNS TRIÂNGULOS

Uma figura admite um eixo de simetria se, “dobrando” o desenho da figura pelo eixo, as duas partes do

desenho coincidem ponto por ponto.

Uma figura pode ter um ou mais eixos de simetria, mas nem todas as figuras têm eixos de simetria.

Triângulo Nº de eixos de simetria

Triângulo equilátero 3

Triângulo isósceles 1

Triângulo escaleno 0

Equilátero (tem 3 eixos de simetria)

Isósceles (tem 1 eixo de simetria)

Escaleno (não tem eixos de simetria)


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