Aula 3 geom descritiva

NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA

UNC- ENGENHARIA CIVIL- DESENHO BÁSICOPROF. KÁTIA DE LUCA V.LEITE - 2015

INTRODUÇÃO A GEOMETRIA DESCRITIVA

A Geometria Descritiva é uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano, tem por objetivo representar num plano (2-D) as figuras do espaço (3-D) de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos osproblemas relativos a essas figuras. A Geometria Descritiva foi criada no fim do século XVIII pelo matemático francês GASPAR MONGE (1746-1818).

O sistema de comunicação desenvolvido para a engenharia é o desenho, o qual é um sistema de representação dos objetos, representados normalmente em um espaço bidimensional.A representação de um objeto tridimensional, como uma casa, em um espaço bidimensional, tem como finalidade dois objetivos. O primeiro e mostrar a forma que o objeto tem na realidade, isto e, reproduzir o aspecto que o objeto teria. Esse tipo de representação denomina-se DESENHO PERSPECTIVO ou PERSPECTIVA.Quando se deseja colocar em evidencia as dimensões do objeto, tem-se o segundo objetivo. Essa operação gráfica e denominada DESENHO PROJETIVO.Para se atingir estes dois objetivos realiza-se uma operação gráfica na qual liga-se o objeto real a sua representação em um plano. Essa operação gráfica e denominada PROJEÇÃO, que é realizada através dos ensinamentos da geometria descritiva.

SISTEMA DE PROJEÇÃO

A projeção de um objeto é a sua REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano.Como os objetos têm três dimensões, a sua representação num plano bidimensional

dá-se em conformidade com artifícios técnicos, para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção:

1. Plano de projeção 2. Objeto 3. Projetante, ou raio projetante4. Centro de projeção

PLANO DE PROJEÇÃO é uma superficie onde se projeta o objetoCENTRO DE PROJEÇÃO é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as

projetantes.PROJETANTE é a reta que passa pelos pontos do objeto e intercepta o plano de projeção.

Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção adotada.

CLASSIFICAÇÃO: os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção. Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando: o SISTEMA CÔNICO (finito) e o SISTEMA CILÍNDRICO ORTOGONAL OU OBLÍQUO (infinito).


Um objeto pode ocupar qualquer posição no espaço em relação ao plano de projeção.Os sistemas cônico e cilíndrico de projeções são as bases de todos os tipos de projeções

utilizados e são suficientes para a aplicação nas engenharias, através das vistas e perspectivas.

Vejamos o que acontece com a projeção de um triângulo quando este muda de posição no espaço. No exemplo, vamos manter um dos lados do triângulo fixo no espaço e movimentar o terceiro vértice.


VEJAMOS AGORA CADA POSIÇÃO SEPARADAMENTE

OBJETO PERTENCE A UM PLANO PARALELO EM RELAÇÃO AO PLANO DE PROJEÇÃO. A projeção do objeto éexatamente igual ao objeto do espaço e dizemos que a projeção está em VERDADEIRA GRANDEZA (VG)PROJ. CÔNICA

OBJETO PERTENCE A UM PLANO OBLÍQUO EM RELAÇÃO AO PLANO DE PROJEÇÃO. Há uma acentuada mudança na projeção do objeto, ele não está em VG, pois a projeção não apresenta a real superfície do objeto. PROJ. CILINDRICA OBLIQUA

OBJETO PERTENCE A UM PLANO PERPENDICULAREM RELAÇÃO AO PLANO DE PROJEÇÃO. Neste caso a projeção do triângulo reduz-se a um segmento de reta.PROJ. CILINDRICA ORTOGONAL

PLANOS DE PROJEÇÕES ( SISTEMA MONEANO)

11oo DiedroDiedro22oo DiedroDiedro

33oo DiedroDiedro 44oo DiedroDiedro

T

L

a'

aPHP

PV

I

A

DIEDROS:A geometria descritiva utiliza os diedros que são ângulos formados por dois planos:Plano Horizontal de Projeções e o Plano Vertical de Projeções. Os pontos, as retas ou os sólidos vão situar-se nestes “diedros" e através de suas projeções cônicas ou ortogonais (cilíndricas ou paralelas) vão ser representados sobre os Planos de projeções: horizontal, vertical e lateral.

A intersecção entre os dois planosdeterminam uma linha horizontal que échamada de Linhade Terra (LT) a qual divide os planosformando quatro semiplanos econsequentemente quadro diedros:Os semiplanos:PVS – Plano Vertical SuperiorPVI – Plano Vertical InferiorPHA – Plano Horizontal AnteriorPHP – Plano Horizontal PosteriorOs diédros:I Diedro – formado pelos semiplanosPHA ePVSII Diedro – formado pelos semiplanosPVS e PHPIII Diedro – formado pelos semiplanosPHP e o PVIIV Diedro – formado pelos semiplanosPVI e PHA

PHA

PVS

ESTUDO DO PONTO

Não tem definição. Além disso, não tem dimensão. Graficamente, expressa-se o ponto pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. Sua representação também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas.

Figura geométrica sem dimensão, que representa um local no plano, é a intersecção entre duas linhas. A localização de uma cidade no mapa, a marca de uma ponta de giz no quadro, por exemplo, nos dão a idéia de ponto. Designamos os pontos com letras maiúsculas A, B, C, ... e sua representação gráfica é:

A

(A)A’A’

( π π π π )

( ππππ’)( ππππ’)

ESTUDO DO PONTO

MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO (A)

“Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares,um horizontal representado por (π ) e outro vertical (π ’ ), que se interceptam segundo uma linha chamada LINHA DE TERRA”.

CONVENÇÕES:• o ponto (O), centro de projeção, ésempre situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita dos mesmos. • a projeção de um ponto (A) no plano horizontal (π ) é designada pela letra maiúscula A, sem parênteses• a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical (π ‘ ) é designada por A’

Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da perpendicular baixada do ponto sobre o plano.

ESTUDO DO PONTO

Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos

perpendiculares um horizontal e um vertical (H / V).

COMO DETERMINAR AS PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE UM PONTO :Procedemos do modo descrito abaixo:

1 – por traçamos a primeira projetante, paralela ao plano vertical encontrando sobre o planohorizontal;2 – traçamos a segunda projetante, pelo ponto e paralela ao plano horizontal;3 – traçamos o segmento de reta , paralelo à segunda projetante, com sobre a linha de terra;4 – pelo ponto levantamos uma perpendicular da linha de terra até interceptar a segundaprojetante;5 – nesta intersecção marcamos a projeção.

ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO

ÉPURA: Para representar no plano 2-D as figuras do espaço 3-D, faz-se o rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal, no sentido anti-horário.Isso consiste em fazê-lo girar 90°em torno da linha de terra, de modo que PVS venha a ficar em coincidência com PHP e PVI em coincidência com o PHA.Após o rebatimento, têm-se a épura, onde a linha de terra é representada por uma linha horizontal LT.

PVS

PHP

PHA

PVI

(ππππ’I)(ππππ’I)

(ππππ’S)(ππππ’S)

(ππππP)

(ππππA)

(ππππ’S) (ππππP)

(ππππ’I) (ππππA)ππππ’ππππ

PVS – Plano Vertical Superior (π´S)PVI – Plano Vertical Inferior(πÍ)PHA – Plano Horizontal Anterior (πA)PHP – Plano Horizontal Posterior(πP)


COTA E AFASTAMENTO

• Chama-se COTA de um ponto a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção.• Chama-se de AFASTAMENTO de um ponto a distância deste ponto ao plano vertical de projeção.

A

(A)

( π )

COTA

AFASTAMENTO

(A)A = COTA

(A)A’ = AFASTAMENTO

A’A’

( π’)( π’)


PV

A2

(A)

PH

A1

AFASTAMENTO(A)A2

COTA(A)A1

AFASTAMENTO(A)A2

COTA(A)A1

A2

A1

A0L T

Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à uma mesma reta perpendicular à L.T. esta reta é denominada linha de chamada. A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada COTA do ponto; que em projeção érepresentada em épura pela distância da sua projeção vertical até a linha de terra.


(ππππ) (ππππ’) LT

A’

A

A

A’A’

( π π π π )

( ππππ’)( ππππ’)COTA

AFASTAMENTO

(A)

LINHA DE PROJEÇÃO

• Chama-se LINHA DE PROJEÇÃO ou LINHA DE CHAMADA a toda linha perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um ponto.

• Na figura, a linha A’A que une as projeções do ponto (A) é uma linha de projeção.

Em relação aos planos de projeção, quantas posições diferentes o objeto pode ocupar no espaço?

Embora o observador esteja no infinito na projeção cilíndrica ortogonal, o mesmo foi colocado na ilustração para que se possa perceber melhor a ordem em que cada elemento está.

1° DIEDRO -

PH - observador, objeto, plano de projeção.

PV - observador, objeto, plano de projeção.

2° DIEDRO -

PH - observador, objeto, plano de projeção

PV - observador, plano de projeção, objeto

3° DIEDRO -

PH - observador, plano de projeção, objeto

PV - observador, plano de projeção, objeto

4° DIEDRO -

PH - observador, plano de projeção, objeto

PV - observador, objeto, plano de projeção

DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um horizontal, um vertical.

LINHA DE TERRA - reta determinada pela intersecção dos planos Horizontal e Vertical de projeção.REBATIMENTO – rotação do PH em 90 graus para obtenção da épura.

ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, pelas suas projeções.

LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga as projeções horizontais e verticais de pontos.

COTA – distância de um ponto ao PH.

AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV.

VERDADEIRA GRANDEZA - V.G. - diz-se que uma projeção está em V.G. quando o objeto está paralelo ao plano de projeção, projetando o mesmo com sua real superfície.

RESUMO

(ππππP)

(ππππA)

LT

A’

A


A’A’ (A)

AA0A’1

POSIÇÕES DO PONTO

• Em relação aos planos de projeção, o ponto (A) pode ocupar nove (09) posições diferentes, a saber:

Depois do rebatimento, o (π’S) ficará em coincidência com o (π P). A projeção vertical A’acompanhará o plano (π’S) no seu deslocamento e cairá em A’1 de tal modo que A’1A0 = A’Ao.Na épura as projeções são separadas pela linha de terra estando a projeção vertical A’

acima e a horizontal A abaixo da linha. Na épura não há a necessidade de representar o símbolo Ao. A projeção vertical rebatida A’1 é também apenas representada por A’.

1º. POSIÇÃO: O PONTO (A) ESTÁ NO 1º. DIEDRO

(ππππP)

(ππππA)

LT

B’B

(B)

B B0


B’B’

B’1

POSIÇÕES DO PONTO

2º. POSIÇÃO: O PONTO (B) ESTÁ NO 2º. DIEDRO

Após o rebatimento, o B’ se projetará no plano (π P), sobre BB0 (ou seu Prolongamento), conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento.

Na épura, ambas as projeções estão acima da linha de terra.

É indiferente B estar acima ou abaixo de B’ - o que caracteriza o ponto no 2 ° diedro épossuir ambas as projeções acima da linha de terra.

(ππππ’S)

(ππππA)

(C)

LT

C ’

C

(πP)

(π’I)(π’I)C ’C ’

C C0C0

(ππππA)


POSIÇÕES DO PONTO

3º. POSIÇÃO: O PONTO (C) ESTÁ NO 3º. DIEDRO

Após o rebatimento, (π’S) coincidirá com (π P) e (π’I) coincidirá com o plano (π A). A projeção vertical C’ irá cair em C’1 no prolongamento CC0. Na épura, a projeção horizontal C ficará posicionada acima da linha de terra e a vertical C’ abaixo desta linha (inverso da épura no 1 diedro)

POSIÇÕES DO PONTO

4º. POSIÇÃO: O PONTO (D) ESTÁ NO 4º. DIEDRO

Depois do rebatimento, a projeção D’ cairá em D’1 sobre DD0 (ou seu prolongamento). Ambas as projeções abaixo da linha de terra caracterizam a épura deste ponto no 4°°°°

diedro.Note que a épura de um ponto no 4°°°° diedro é o inverso da épura no 2°°°° diedro.

(π’I)(π’I)

(π’S)(π’S)

(πP)

(D)D’D’

LT

D’

D

D’1D0D0 D

(πA)

POSIÇÕES DO PONTO

5º. POSIÇÃO: O PONTO (E) ESTÁ NO (π´s)

Estando o ponto (E) no plano vertical superior (π’S) , o seu afastamento será nulo.A projeção vertical E’ coincide com o próprio ponto (E) e a projeção horizontal E

estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção E’ cairá em E1’ sobre o plano (π P).Na épura a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E sobre

esta linha.

(πP)

E’1 E(πA)

LT

E

E’= (E)(E)=E’(E)=E’

(π’S)(π’S)

POSIÇÕES DO PONTO

6º. POSIÇÃO: O PONTO (F) ESTÁ NO (πÍ)

Estando o ponto (F) no plano vertical inferior (π’I) seu afastamento será nulo.Sua projeção vertical F’ coincidirá com o próprio ponto (F) e sua projeção horizontal F estará sobre a linha de terra. Após o rebatimento, a projeção F’ cairá em F’1 sobre o plano π A . Na épura, a projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permanece sobre a linha.

(π’I)(π’I)

(π’S)(π’S)

(πP)

(F)’=F’(F)’=F’

F’1FF(πA)

LTF

F’= (‘F)

POSIÇÕES DO PONTO

7º. POSIÇÃO: O PONTO (G) ESTÁ NO (πÁ)

Estando o ponto no plano horizontal anterior (π A), sua cota será nula. Portanto sua projeção horizontal G coincidirá com o próprio ponto (G) = G.A projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Com o rebatimento, nada se

altera.Na épura, a projeção horizontal G estará abaixo da linha de terra e a vertical G’ sobre a linha de terra.

(ππππP)

(ππππA)


(G)=GG’G’

LTG’

G= (G)

POSIÇÕES DO PONTO

8º. POSIÇÃO: O PONTO (J) ESTÁ NO (π´p)

Nesta posição a cota do ponto é nula.Nada se altera com o rebatimento.Na épura, a projeção horizontal J está acima da linha de terra e a vertical J’ sobre linha de terra.

(J)=JJ’

LT

J=(J)

J’

(πP)

(πA)

(π’S)(π’S)

POSIÇÕES DO PONTO

9º. POSIÇÃO: O PONTO (M) ESTÁ NA LINHA DE TERRA

Nesta posição o ponto não terá nem cota bem afastamento.Nada se altera com o rebatimento já que a linha de terra é fixa.

(πP)

M(πA)

LTM=M’

M’

(π’S)(π’S)

REVISANDO

CONVENÇÕES:• o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita dos mesmos.

• a projeção de um ponto (A) no plano horizontal (π) é designada pela letra maiúscula A, sem parênteses

• a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical (π‘ ) é designada por A’

A’

A

B’

B

C

C’

D’

D E’

E

F’

F

G=G’

REVISANDO

A’

A

Ponto (A) - semi plano vertical inferior

B’

B

Ponto (B) - 3°diedro

REVISANDO

C

C’

Ponto (C) - 1°diedroD’

D

Ponto (D) - semi plano vertical superior (ππππ’S)

REVISANDO

E’

E

Ponto (E) - semi plano horizontal posterior (ππππP)

F’

F

Ponto (F) - 4°diedro

REVISANDO

G=G’

Ponto (G) - 2°diedro (caso especial - cota e afastamento iguais)

COORDENADAS

A COTA e o AFASTAMENTO de um ponto constituem as suas coordenadas.

Na prática, o ponto necessita de mais outra coordenada - a ABSCISSA - que não influi na sua posição, sendo tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto zero (0) considerado origem e arbitrariamente marcado sobre aquela linha.

-Quando positiva, a coordenada é marcada para a direita da origem.

- Quando negativa, a coordenada é marcada para a esquerda da origem.

TAMBÉM A COTA E O AFASTAMENTO PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS

COORDENADAS

A COTA e o AFASTAMENTO de um ponto constituem as suas coordenadas.

Na prática, o ponto necessita de mais outra coordenada - a ABSCISSA - que não influi na sua posição, sendo tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto zero (0) considerado origem e arbitrariamente marcado sobre aquela linha.

-Quando positiva, a coordenada é marcada para a direita da origem.

- Quando negativa, a coordenada é marcada para a esquerda da origem.

TAMBÉM A COTA E O AFASTAMENTO PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS

COORDENADAS

LT

A’

A

(ππππP)

(π’I)(π’I)

(ππππA)


(A)

A

A’A’

A0A’1

A0

Cota

Afastamento

A figura (A)A’A0A é um quadrilátero (quadrado ou retângulo). Em qualquer das hipóteses têm-se que (A)A = A’A0 . Como no rebatimento A’ coincide com A’1, isto resulta que A0A’1 também representa a cota e está na épura representado pelo segmento A0A’ acima da linha de terra.

COORDENADAS

LT

A’

A

A0

Cota

Afastamento

A COTA é POSITIVA quando acima do plano horizontal (p), portanto no 1°ou 2°diedro. A COTA é NEGATIVA quando abaixo deste plano, ou seja no 3°ou 4°diedro.

O AFASTAMENTO (A)A’ é POSITIVO quando, observado na figura DE FRENTE, estiver àdireita do plano vertical (p’), isto é, no 1° ou 4°diedro. O AFASTAMENTO é NEGATIVO quando, observado DE FRENTE, estiver àesquerda do plano vertical (p’), isto é, no 2°ou 3°diedro.

COORDENADAS

(π P)

(π’I)(π’I)

(π A)

(π’S)(π’S)(A)

A

A’A’

A0A’1

LT

A’

A

A0

Cota

Afastamento

NO ESPAÇO: cota positiva (+) 1°e 2°diedroscota negativa (-) 3°e 4°diedrosafastamento positivo (+) 1°e 4°diedrosafastamento negativo (-) 2°e 3°diedros

EM EPURA: cota positiva (+) acima da LTcota negativa (-) abaixo da LTafastamento positivo (+) abaixo da LTafastamento negativo (-) acima da LT

COORDENADAS

As coordenadas do ponto são pois: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z)

Z=COTA

X=ABSCISSA

Y=AFASTAMENTO

COORDENADAS

LTO

1 cm

EXEMPLO 1:

• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]; a unidade é centímetro.• A abscissa (x) igual a 1, como é positiva é marcada à direita desta origem

COORDENADAS

EXEMPLO 1:

• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]; a unidade é centímetro.• A abscissa (x) igual a 1, como é positiva é marcada à direita desta origem• O afastamento (y), igual a 2 e sendo positivo, é marcado abaixo da linha de terra

LT

Afastamento

O

2 cm

COORDENADAS

EXEMPLO 1:

• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]; a unidade é centímetro.• A abscissa (x) igual a 1, como é positiva é marcada à direita desta origem• O afastamento (y), igual a 2 e sendo positivo, é marcado abaixo da linha de terra• A cota (z), igual a 1 e sendo positiva, é marcada acima da linha de terra

LT

A’

CotaO

1 cm

1 cm

Afastamento 2 cm

O ponto está portanto no 1o diedro!A simples inspeção das coordenadas já nos indicava isto, pois cota e afastamento positivos significa ponto no 1o. diedro

COORDENADAS

Dadas as coordenadas de um ponto, como podemos reconhecer onde o mesmo está situado em relação aos diedros?

É possível chegarmos à esta conclusão sem representarmos o ponto diretamente na épura?

COORDENADAS

Y

X’

Y’

XO

Raciocínio alternativo:

• Traçam-se dois eixos ortogonais XX’ e YY’, os quais representam:

Semi eixo OX’: Semiplano horizontal anterior (π A)Semi eixo OX : Semiplano horizontal posterior (πP)Semi eixo OY : Semiplano vertical superior (π’S)Semi eixo OY’: Semiplano vertical inferior (π’I)

As regiões determinadas por estes eixos são os diedros que jáconhecemos!

COORDENADAS

Y

X’

Y’

XO*

**

EXEMPLO 1: seja o ponto (A) de coordenadas [2; -1; 2], pergunta-se: qual a posição do mesmo em relação aos diedros?

A abscissa, nesta perspectiva, não influi na posição do ponto.

O afastamento é negativo (-1).Como o afastamento negativo indica que o ponto encontra-se à esquerda do plano vertical (π’), marcaremos um asterisco em cada diedro onde o ponto possa estar contido, à esquerda do eixo YY’ - que representa o plano vertical.

- neste exemplo, portanto, os asteriscos necessariamente devem estar posicionados no 2°e 3°diedros

[x, y, z]`= [abscissa, afastamento, cota]

COORDENADAS

Y

X’

Y’

XO*

*

* *

A cota é positiva (2).

Como a cota positiva indica que o ponto encontra-se acima do plano horizontal (π), marcaremos um asteriscoem cada diedro onde o ponto possa estar contido, acima do eixo XX’ - que representa o plano horizontal.

- neste exemplo, portanto, os asteriscos necessariamente devem estar posicionados no 1°e 2°diedros.

*

COORDENADAS

Y

X’

Y’

XO*

*

* *Resultado:

A região contendo dois asteriscos será aquela ocupada pelo ponto.

Portanto, o ponto (A) de coordenadas [2; -1; 2] situa-se no 2°diedro

COORDENADAS

EXEMPLO 3: a qual diedro pertence o ponto (C), de coordenadas [1;0; 2] ?

[x, y, z]`= [abscissa, afastamento, cota]

Y

X’

Y’

XO*

*

*Afastamento nulo => ponto situado no eixo YY’, isto é, no plano vertical. Coloca-se então um asterisco no semi-eixo OY e outra no semi-eixo OY’.

A cota postiva (2) => ponto acima do plano horizontal, ou seja, no semi-eixo OY.

O ponto C, portanto, está situado no semi-plano vertical superior (π’S)

Em todos os casos estudados, se recorrermos à epura, teremos confirmadas as posições dos pontos pela situação de suas projeções em relação à linha de terra.

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