Métodos Matemáticos em Biologia de POpulações

MétodosMatemáticos

em Biologia dePopulações

R.A. Kraenkel

EpidemiasHistórias...

Modelos

Glórias e Misérias

Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Métodos Matemáticos em Biologia dePopulações

Roberto André Kraenkel

Instituto de Física Teórica-UNESPSão Paulo

http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel

Aula IV



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A aula de hoje

1 EpidemiasHistórias...ModelosGlórias e Misérias

2 Vegetação em regiões Semi-áridasRegiões semi-áridas e áridasModeloHistereseGlóris e Misérias



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A aula de hoje

1 EpidemiasHistórias...ModelosGlórias e Misérias

2 Vegetação em regiões Semi-áridasRegiões semi-áridas e áridasModeloHistereseGlóris e Misérias



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Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).

A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma

epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.

• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.

• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.

• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.

• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.



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• 1/3 da população foidizimada.

Pericles, inclusive.• Não se sabe que doença foi a

causadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.




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• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.

Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.




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Epidemias: históriasDizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, noDecameron).

A Peste.• A peste é uma doença

infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.

Hátrês formas;• pneumônica, afetando os

pulmões e sendotransmissível entre humanos.

• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.

• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.

• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em

poucas horas...



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infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;

• pneumônica, afetando ospulmões e sendotransmissível entre humanos.




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infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os





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poucas horas...



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• Não tratadas, sãofatais.

Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em

poucas horas...



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• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .

• Devem ser ministrados empoucas horas...



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poucas horas...



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Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).

A Peste.

• Houve três grandespandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541

D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.

• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.

• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.

• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.



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A Peste.• Houve três grandes

pandemias de peste;

• A peste de Justiniano, (541D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.






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pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541







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• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica.

Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.



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Epidemias: histórias

Algumas Grandes Epidemias

Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.



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Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.

A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.



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Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.

Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.



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Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas).

A Gripe Espanhola.

• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe(influenza A) particularmente severa e mortífera.

• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500

milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de

outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.

• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.



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A Gripe Espanhola.• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe

(influenza A) particularmente severa e mortífera.

• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500






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(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.

• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500






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(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.

• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.

• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de





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(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500

milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.

• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de





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milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.

• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 deoutubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.




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outubro de 1918.

Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.




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• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!

• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.



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• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.

• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.



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• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.

• Tudo de bom!.



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Modelos Matemáticos

Modelo Simples: hipóteses

• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .

• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.

• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.

• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)



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• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.

• A população é espacialmente homogênea.





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• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.





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• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:

• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)



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• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;

• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)



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• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;

• R recuperados (imunes ou falecidos)



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Modelo de Kermack &McKendrick (1927)

A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional aonúmero de infectados:

dSdt

= −rSI

sendo r a taxa de infecção .



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A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional aonúmero de infectados menos a taxa de remoção (recuperadosimunes ou mortos).

dSdt

= −rSI

dIdt

= −rSI − aI



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A taxa de variação per capita dos recuperados é constante.

dSdt

= −rSI

dIdt

= −rSI − aI

dRdt

= aI



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Temos portanto três equações para três variáveis:

dSdt

= −rSI

dIdt

= −rSI − aI

dRdt

= aI

ANALISEMOS-LAS!



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Análise do modelo I

dSdt = −rSI dI

dt = −rSI − aI dRdt = aI

• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:

• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.

• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).

• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.



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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N







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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0

⇒S + I + R = N







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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

onde N é a população total, constante.

• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e

� R(0) = 0 �.• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e de

susceptíiveis (S0).• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não uma

epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.



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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N







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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N


• Inicialmente, em t = 0, temos:

S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.





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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N


• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0,

I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.





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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N


• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e

� R(0) = 0 �.• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e de

susceptíiveis (S0).• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não uma

epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.



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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N







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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N







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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N




• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia.

Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.



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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N







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dSdt = −rSI dI



d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N







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Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI


• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

• Se S0 < a/r entãoˆ dI

dt

˜0 < 0.

• Se S0 > a/r entãoˆ dI

dt

˜0 > 0 (Epidemia!)

• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.

• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI

dt

˜0 > 0). Note porém que I(t) não

cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.



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• Notemos inicialmente que em t = 0:

»dIdt

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

• Se S0 < a/r então

ˆ dIdt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.

• Se S0 > a/r então

ˆ dIdt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0

(Epidemia!)• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)

• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.

• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)

• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r

então S(t) < a/r para todo t

dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt

˜0 > 0).

Note porém que I(t) nãocresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.



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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt


cresce indefinidamente,

e depois de um certo tempo torna-se negativo.



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–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)


dt

˜0 < 0.


dt

˜0 > 0 (Epidemia!)


dIdt

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0



dt





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Análise do modelo III

Em resumo...

• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:

R0 ≡S0ra

> 1

é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um

parâmetro análogo.



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Em resumo...

• Se S0 > a/r há epidemia,

e se S0 < a/r, não há.• Ou:

R0 ≡S0ra

> 1





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Em resumo...

• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.

• Ou:

R0 ≡S0ra

> 1





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Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1

é a condição de existência de uma epidemia.

• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1

é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de

Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1

é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.

• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir umparâmetro análogo.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

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Glóris e Misérias


Em resumo...


R0 ≡S0ra

> 1





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo IV

dSdt = −rSI dI


Fazendo sentido de R0 > 1.• O que nos diz a condição R0 ≡ S0r

a > 1 ?

• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a

pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente

tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde

pública.

• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.

• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?

• Passo a passo:

• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/apode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente


pública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?

• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados.

1/apode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente


pública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?


pode ser visto como o tempo característico da infecção .

• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmentetem-se uma epidemia. Faz sentido.

• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúdepública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?



tem-se uma epidemia.

Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde

pública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?



tem-se uma epidemia. Faz sentido.

• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúdepública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.

• Quanto maior S0 maior R0.

Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.

• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja,

quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.

• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia.

Faz sentido também.• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.

Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.


• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.

Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.


• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.

Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.


• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia.

Fazsentido também.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dSdt = −rSI dI



a > 1 ?




pública.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo V

Nada como um gráfico...

• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.

• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemoseliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.

Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.

Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis,

mas como S + I + R = N, podemoseliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos

eliminar uma delas.

Por exemplo, R. Ficamos com S e I.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias




eliminar uma delas. Por exemplo, R.

Ficamos com S e I.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias




eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias





Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.

Toda epidemia acaba!Que bom!.




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias





Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!

Que bom!.




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






Repare que S(t→∞) 6=0.

Nem todos pegam a in-fecção .



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

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Glóris e Misérias

Glória e Miséria do Modelo

Glórias

• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo

para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.

• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.

• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.

• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.

• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Glórias• O modelo é simples.

• É adequado a alguns casos. Sobretudopara doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.







R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos.

Sobretudopara doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.







R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo








R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias







• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.

• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glória e Miséra do Modelo

Misérias

Figure: Rev. Latino-Am.Enfermagem vol.14 no.6 RibeirãoPreto Nov./Dec. 2006

• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.

• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.

• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.

• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..

• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias



• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.

Nada homogênea.• É pouco adequado para modelos de

transmissão de moléstias por vetores.• É totalmente macroscópico: não levamos

em conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias









R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias





• É totalmente macroscópico:

não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias






• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa".

Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Misérias






• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.

Isso não estáno modelo.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

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Glóris e Misérias


Misérias









R.A. Kraenkel


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Modelo

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Glóris e Misérias


Misérias









R.A. Kraenkel


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Vegetação em Regiões Semi-áridas

Eremologia: ciência das regiões áridas.

Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo



R.A. Kraenkel


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Modelo

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Glóris e Misérias


Eremologia: ciência das regiões áridas.

Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo



R.A. Kraenkel


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Modelo

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Glóris e Misérias


Figure: Sertão da Bahia

• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.

• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde

água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.

• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.

• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

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Glóris e Misérias







• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

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Glóris e Misérias




• Neste caso, a água é um fator limitante.

• Ao contrário de regiões tropicais, aondeágua e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.


• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias







• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






• Desejamos escrever um modelomatemático

(simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.

• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!)

para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.

• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias







• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


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Modelo

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Glóris e Misérias







• MÃOS À OBRA!



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

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Modelo de Klausmeier

Figure: Colorado, USA

Figure: Kalahari, Namíbia

• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.

• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .

• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo

predador-presa convencional não éadequado.

• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no

solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.

proporcional à área dacobertura vegetal).



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias













R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias













R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias













R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias













R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






• A vegetação consome água.

• No entanto, um modelopredador-presa convencional não éadequado.






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias













R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias








• Consideremos duas variáveis:

• w, a quantidade de água nosolo.

• u, a biomassa vegetal ( aprox.proporcional à área dacobertura vegetal).



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias









solo.

• u, a biomassa vegetal ( aprox.proporcional à área dacobertura vegetal).



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias













R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Equação para o volume d’água no solo

dwdt

= a|{z}precipitação

− bw|{z}evaporação

− cu2w|{z}absorção pela vegetação

A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).

Equação para a biomassa

dudt

= −du|{z}morte natural da vegetação

+ eu2w|{z}absorção de água

A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt

=

a|{z}precipitação





dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

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Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt




A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante,

evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).


dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt




A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b),

e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).


dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt

=

−du|{z}morte natural da vegetação





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt



A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d)

e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dwdt






dudt






R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dwdt = a− bw− cu2w du

dt = −du + eu2w

• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:

W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb

• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb

• Esta variáveis são em dimensão .

• Substituindo-as nas equações acima, teremos:



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo


dt = −du + eu2w


W = w[

e√b3c

]

U = u√

bc

T = tb




R.A. Kraenkel


Modelos



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Glóris e Misérias

Análise do Modelo II

dWdT

= A−W −WU2

dUdT

= WU2 − BU

ondeA =

ae√

b3ce

B = d/b

⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.

O QUE OS DIZEM ESTAS EQUAÇÕES ?



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dWdT

= A−W −WU2

dUdT

= WU2 − BU

ondeA =

ae√

b3ce

B = d/b





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dWdT

= A−W −WU2

dUdT

= WU2 − BU

ondeA =

ae√

b3c

eB = d/b





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dWdT

= A−W −WU2

dUdT

= WU2 − BU

ondeA =

ae√

b3ce

B = d/b





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dWdT

= A−W −WU2

dUdT

= WU2 − BU

ondeA =

ae√

b3ce

B = d/b





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dWdT

= A−W −WU2

dUdT

= WU2 − BU

ondeA =

ae√

b3ce

B = d/b





R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU

dT = WU2 − BU

• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:

• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•

dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dT = WU2 − BU


• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que

•dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dT = WU2 − BU



dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dT = WU2 − BU



dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja

•A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dT = WU2 − BU



dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dT = WU2 − BU



dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


dT = WU2 − BU



dW∗

dT= 0

•dU∗

dT= 0

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0



R.A. Kraenkel


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Glóris e Misérias


dWdT = A−W −WU2 dU

dT = WU2 − BU

• O sistema algébrico anterior tem três soluções :

U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

2



R.A. Kraenkel


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Modelo

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Glóris e Misérias



dT = WU2 − BU


U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

2



R.A. Kraenkel


Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dT = WU2 − BU


U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

2



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



dT = WU2 − BU


U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

2



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Interpretação

Nossa primeira conclusão :

• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um

deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d

√bc

e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.

• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.

• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.

• RAZOÁVEL!



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Interpretação




√bc




• RAZOÁVEL!



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Glóris e Misérias


Interpretação




√bc




• RAZOÁVEL!



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Glóris e Misérias


Interpretação


• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.

• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Umdeserto.

• A condição A > 2B⇒ a > 2d√

bce mostra a necessidade de

haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.

Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.


• RAZOÁVEL!



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Glóris e Misérias


Interpretação


• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação .

Um Umdeserto.






• RAZOÁVEL!



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deserto.






• RAZOÁVEL!



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√bc




• RAZOÁVEL!



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Interpretação




√bc


• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.



• RAZOÁVEL!



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Interpretação




√bc


• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação .

Quanto maior, melhor.• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa de

morte da vegetação (d), pior.• RAZOÁVEL!



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√bc




• RAZOÁVEL!



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√bc




• RAZOÁVEL!



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√bc




• RAZOÁVEL!



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√bc




• RAZOÁVEL!



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Análise do Modelo VI

Seja então A > 2B

• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.

• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2

é sempre instável.• O ponto fixo

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B



U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B

• Se A > 2B,

podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.


U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B

• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.

• Precisamos saber da estabilidade deles.


U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B



U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B


• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:

• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B


• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.

• O ponto fixo

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B



U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2

é sempre instável.

• O ponto fixo

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B



U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Seja então A > 2B



U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

2


U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

2

é sempre estável.



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Análise do Modelo VII

• Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qualcom a sua bacia de atração .

• Podemos representar a situação no gráfico abaixo:

Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U∗ ( ou seja, abiomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U∗ = 0)e a solução estável com cobertura vegetal.



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Histerese

• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .

• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num

dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.

DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo

com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até

A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.

• A este fenômeno, chamamos de Histerese.



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Modelo

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• Tomemos B fixo.

E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num








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Glóris e Misérias

Histerese


• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.

• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.

• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.

• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.

• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.




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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese


• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade.

E deixemos A diminuir.Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.







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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese


• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.

Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.







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Histerese



dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.







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Modelo

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Histerese



dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca,

um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.






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Histerese










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Modelo

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DESERTIFICAÇÃO !!!.






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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese




DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer.

Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.





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Modelo

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Glóris e Misérias

Histerese





com A > 2B continuaremos na região desértica.





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Glóris e Misérias

Histerese





com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA:

se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.




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Modelo

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Glóris e Misérias

Histerese






A < 2B e voltarmos ao valor inicial,

saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.




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Modelo

Histerese

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Histerese










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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese










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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II

Figure: B está fixo. A sai de um valor A′

com U∗ = U′, diminui, passa por

A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.

Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II




Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas

(no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II




Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva)

para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II




Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.

TERRÍVEL



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II




Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias e Misérias do Modelo

Glórias

Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara.Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando umestado desértico estável.

• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais. O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.

• O modelo é SIMPLES.



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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Glórias






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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias


Glórias


• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais.

O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.




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Histerese

Glóris e Misérias


Glórias






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Modelo

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Glóris e Misérias


Glórias






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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias e Misérias do ModeloMisérias

Figure: Região em processo dedesertificação na China

Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).

• O modelo é MUITO SIMPLES

• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.

• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .

• Podemos escrever modelos maiscompletos.



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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias





• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente).

Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.





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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias





• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.

Pode haveruma vegetação remanescente.





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Modelo

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Glóris e Misérias










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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .

Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .




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Modelo

Histerese

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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias










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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Modelos mais realistas

• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:

Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo).

A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.



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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição

Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.



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Modelos



Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto.

Àdireita, uma transição no sentido re-verso.



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Modelo

Histerese

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Modelo

Histerese

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Modelo

Histerese

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• Outra curva demonstrando histerese.

Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo). Acurva é semelhante à anterior, masneste caso U∗ não vai a zero.



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias






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Histerese

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Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo).

Acurva é semelhante à anterior, masneste caso U∗ não vai a zero.



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Modelo

Histerese

Glóris e Misérias



Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo). Acurva é semelhante à anterior,

masneste caso U∗ não vai a zero.



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Modelo

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Modelos



Modelo

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Referências

Epidemias• J.D. Murray: Mathematical Biology I (Springer, 2002)• F. Brauer e C. Castillo-Chavez: Mathematical Models in

Population Biology and Epidemiology (Springer, 2001).• N.F. Britton: Essential Mathematical Biology ( Springer,

2003).

Dinâmica de vegetações em regiões áridas• M. Scheffer e S.R. Carpenter, Trends in Ecology and

Evolution 18, 648 (2003).• M. Rietkerk et alli., Science 305, 1926 (2004)• C.A. Klausmaier, Science 284, 1826 (1999).

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