1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS - NOÇÕES BÁSICAS

Conjuntos numéricos

Dos naturais aos racionais

Como surgiu o número?

• Certamente você já imaginou que um dia  alguém teve uma idéia genial e de repente inventou o número. Mas não foi bem assim.

• A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha.

• O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisa

• Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número.

Alguma vez você parou para pensar nisso?

Construindo o conceito de número

• Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.

Uma breve históriaO primeiro sistema de contagem foi as mãos.

Depois riscos em madeiras e ossos.

Alguns utilizavam símbolospara representarquantidades.

Uma breve história

• Desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e

ter registros numéricos. Desta preocupação sugiram os Conjuntos

Numéricos

O QUE É UM CONJUNTO?Conjunto é qualquer coleção bem definida de

objetos ou seres, com características bem definidas e designados por letras maiúsculas.

• A idéia de conjunto é a mesma de coleção. • Os objetos são os elementos do conjunto.

OS NÚMEROS SERIAM UM TIPO

DE COLEÇÃO?

CONJUNTOS NUMÉRICOSO conceito de número foi evoluindo

ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para

responder a problemas entretanto surgidos.

Na Matemática a ideia de conjunto é fundamental. Podemos formar

conjuntos a partir de elementos de diferentes naturezas, tais como

objetos, pessoas e números.

Cada componente de um conjunto é chamado elemento.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Ao longo do curso você vem estudando as sucessões numéricas e ampliando seus conhecimentos a respeito dos números. Vamos agora verificar como os números que você já conhece foram organizados em conjuntos numéricos.

OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

NATURAIS

RACIONAIS

REAIS

INTEIROS

Os conjuntos numéricos foram separados por suas características e nomeados assim:

IRRACIONAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURAISEstes números foram

criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

1

2

3

4

Dizemos que: 1, 2, 3, 4, 5, ... são números de contagem.

CONJUNTOS NUMÉRICOSNÚMEROS NATURAISEsses números reunidos constituem o

conjunto dos números naturais.

A representação matemática deste conjunto é:IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

}

• 4 IN (4 pertence ao conjunto dos números naturais)

• Se o número não é um elemento de IN, escrevemos:

• - 7 IN (- 7 não pertence ao conjunto dos números naturais)

Quando um número é natural, ou seja, que é um elemento de IN, usamos os símbolos

(pertence) e (não pertence)

CONJUNTOS NUMÉRICOS

a) 25 + 12 = b) 16 . 3 =

CONJUNTOS NUMÉRICOSNo conjunto dos números naturais, sempre podemos realizar as operações de: adição e multiplicação.Qualquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto dos naturais, o resultado de a + b e de a . b será também um número natural.Dizemos, então, que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multiplicação.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS INTEIROS• Os números naturais não permitiam a

resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.

• A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais

que envolviam dívidas.

• A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

• A idéia de existência de números menores que zero levou muito tempo para ser aceita. Entretanto, hoje em dia, os números negativos são bastante conhecidos usados para registrar débitos, indicar saldo devedor, temperaturas abaixo de zero grau e saldo negativo de gols...

• Os números inteiros negativos, o zero e os inteiros positivos constituem a sucessão dos números inteiros.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS INTEIROSA representação matemática deste

conjunto é:Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

A representação matemática deste conjunto através de diagramas e feita

desta maneira

N Z

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS INTEIROSNo conjunto dos números inteiros, além da

adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número inteiro.

a) 5 + 12 = b) 16 . 3 =

c) 11 – 15 = d) 15 : 2 =

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS RACIONAIS

“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “

Medimos tudo o que está a nossa volta, nas mais diversas situações.

• Surgiram da necessidade de resolver problemas de medidas.

A representação matemática deste conjunto através de diagramas e feita desta maneira.

N Z Q

Os racionais são representados pela letra Q e é composto pelos números decimais

finitos, decimais infinitos periódicos simples ou compostos

• A sucessão dos números racionais que contém os números naturais, os números inteiros e os fracionários constitui o conjunto dos números racionais.

• O conjunto Q dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma com a e b inteiros e b ≠ 0. Indicamos:

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS RACIONAISO conjunto Q dos números racionais é formado

por todos os números que podem ser escritos na forma com a e b inteiros e b ≠ 0. Indicamos:

*Zb e Za ;baQ

O conjunto dos números racionais, que é fechado para a adição, multiplicação,

subtração e divisão

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS IRRACIONAISÉ formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Alguns números irracionais famosos:• PI que vale 3,14159265 .... • Phi φ que vale 1,61803399...• Raízes quadradas de números primos

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números Reais é formado por todos os números

Racionais junto com os números Irracionais,

CONJUNTOS NUMÉRICOS

A representação matemática deste conjunto é:

IR = Q { números irracionais }

NÚMEROS REAIS

A representação matemática deste conjunto através de diagramas e feita desta maneira.

Um problema real• Durante muito tempo pensou-se que os números racionais

fossem suficientes para resolver qualquer problema que envolvesse medida. No entanto, o teorema de Pitágoras apresenta uma situação que tem como solução um número que não é racional.

• A diagonal de um quadrado de lado 1, por exemplo, é um segmento cuja medida não pode ser expressa por um número racional. Pelo teorema de Pitágoras, temos que, num triângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

1 . 1 = 2 . 2 = 1,1 .1,1 = 1,2 . 1,2 = 1,3. 1,3 = 1,4 .1,4 = 1,5 . 1,5 = 1,41 . 1,41 = 1,42 . 1,42 =Se continuarmos fazendo estimativas para a medida da diagonal

do quadrado, agora com três casas decimais, concluiremos que a medida “mais precisa” está entre 1,414 e 1,415.

2? resulta quadrado

ao elevado que

número o é Qual

? d

2 d

1 1 d2

222

• O número que elevado ao quadrado é igual a 2 não tem uma representação decimal finita, nem periódica, ou seja, não é um número racional. Ele é um número irracional e é representado pelo símbolo

• Verificou-se assim, a existência de números que não podem ser escritos na forma de fração. Chamam-se números irracionais, e é o número que responde à questão pitagórica, com um segmento incomensurável.

2

Números reais• De modo geral, toda raiz quadrada não-exata e todo

número decimal não-exato e não-periódico são irracionais

• Existem também outros números irracionais que não são representados sob a forma de radical, como por exemplo, , (pi), (fi).

• E os números reais?• Reunindo todos os números racionais e irracionais,

obtém-se o conjunto dos números reais.• O conjunto dos números reais é indicado por IR.